Об одной математической модели в экологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ЭКОЛОГИИ

А. Ю, Костин, Е, Т. Софронов

В статье рассматривается математическая модель взаимодействия трех популяций, из которых два вида — жертвы, и один вид — хищник. Эта система уравнений имеет вид

Ж1 = Ж1 (1 — х — Ъх2 — ах%),

X = х(1 — Ьх\ — х — ахз), (1)

X = — хз(к — Ьх\ — ах2 — х),

где а, Ь, г — положительные постоянные. Исследуется устойчивость состояния равновесия М с положительными координатами хд, х^, хд, где

х* = ^ (¿=1,2,3), Д = 1 — а — аЬ — Ь2 + аЧ + аЬ2 = ( 1 — а)(1 — Ь)(1 + а+Ь), = Д2 = (1 — Ь)(1 — ак), Д3 = (1 — Ь)[(1 + Ь)к — а — Ь].

После преобразования вида

х^ — х^ -х, х — х^ I- у, х — х^ ~~г получим систему уравнений:

х = (х + х^) (—х — Ьу — аг),

У=(у + хд) (—Ьх — у — аг), (2)

г = (г + х^) (Ьх + ау + г),

© 2008 Костин А. Ю., Софронов Е. Т.

характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы представится так:

Если А > 0, то из условий Рауса — Гурвица следует, что состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому в дальнейшем предполагается, что

В статье [1] представлена классификация возможных случаев при

М

Ь а < 1. В других случаях получены достаточные условия устой-

М

рассмотрим оставшиеся варианты относительно параметров системы уравнений (1).

а > Ь <

(1 + а)(1 + Ь)к — 1 — а — 2Ь > 0. Тогда состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что

(3)

Д < 0, Д1 < 0, Д3 < 0.

(4)

аЬ

аЬ

а>

а

(1 — Ь)[2 + а+ Ь — (1 + 2а + Ь)к] Д

> 2 + а + Ь — (1 + 2а + Ь)

аЬ ЬаЬ

аЬ

а Ь а Ь

Ь

аЬ

>.

С другой стороны,

а1а2 — аз = (2ж^ — Жд)[(1 — Ь2)ж^2 + (а2 + аЬ — 2Жд] + А(ж^)2Жд = [(1 + Ь)жд — жд][2( 1 — Ь)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд]. Будем различать два случая:

1) а2 + аЬ — 2 >0,

2) а2 + аЬ — 2 < 0. Так как

—+а;<1+Ь>* - "+;'+2Ь> >о,

а — а Ь

то ^^ — ад > 0 при а2 + аЬ — 2 >0.

Поэтому все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения (3) выполняются, следовательно, нулевое решение системы уравнений (2) асимптотически устойчиво. Теорема доказана в этом случае.

а>

а2 = (1 — Ь2)(жд)2 + (а2 + аЬ — 2 )х\ ж^

= (1— Ь)жд^[( 1—Ь2)( 1—ак) + (а2+аЬ—2)(1+Ь)к—(а2+аЬ—2)(а+Ь)] > 0, если

а Ь — Ь — а аЬ — а Ь

>

а Ь а — Ь — а аЬ — Ь

Но

(1 + а)[1 — Ь2 — (а2 + аЬ — 2)(а+ Ь)] — (1 + а+ 2Ь)[а(1 — Ь) — (а2 + аЬ — 2)] = (2 —аЬ—а2)[(1 + а)(а+Ь) — (1 + а+2Ь)] + ( 1 —Ь)[(1 + а)(1 + Ь) — а(1 + а+2Ь)]

= — (а — 1)2(1 + а+Ь)2 <0.

а>

2(1 — Ь)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд

= (1 — Ь2)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд + (1 — Ь)2жд2 > 0,

а^ — ад = [(1 + Ь)жд — ж^а + (1 — Ь)2жд2] > о.

Ввиду того, что все условия Рауса — Гурвица выполнены, состояние М

Теорема 2. Пусть выполнены неравенства (4), а > 1, Ь < 1 н одно нз следующих соотношений:

(а) а2 + аЬ — 2 > 0, (1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а+ 2Ь) < 0,

(б) а2 + аЬ — 2 < 0, (1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а + 2Ь) < 0,

[(1 + ^^ + аЬ — 2) + а(Ь2 — 1)]к — (а + ^^ + аЬ — 2) — (Ь2 — 1) < 0.

М

тойчиво.

Доказательство. Если выполняются неравенства (а) или (б), то а а — а <

отрицательности действительных частей корней характеристического

М

а > Ь <

(1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а + 2Ь) = 0. Тогда состояние равновесия М с положительными координатами устойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что * _ * _ ^ * _ ^

х - х - (1 + ^ + ^' х ~ гта

п 1Л * л (а — 1)(1 + а + Ь) 2

а а — а ^ < 0, А23 = ±вг.

С помощью преобразования

х = У1+У2, У = У2, г = у3

систему уравнений (2) приведем к виду

У1 = Муг — у\ — 2уш — аухуз, у у хд — Ьу — Ь у — ау , у у хд Ьу а Ь у у .

Для системы уравнений (5) у± = О есть интегральная плоскость, на которой могут лежать замкнутые или не замкнутые траектории. Для того чтобы определить картину расположения траекторий, сделаем еще

у

в 1 + Ь

- =--- У2, Ь =-Уъ+Уъ.

аж а

Тогда получим систему уравнений

жд

и = — в- + ь2 — V2 -|—^-(2 + а + 2Ь — а2)му, V = вь — аму.

в

У

лежат замкнутые траектории. Отсюда получим [3] устойчивость состояния равновесия М.

а > Ь

а

М

Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем

жж

2(1 +а)' 3 1 + а'

(а — 1)(а+2) 2

а1=0, а3 = 0, а2 = 2(а + 1)2 =в.

Характеристическое уравнение (3) имеет корни А1 = 0, А2,з = ±в«-Для исследования системы уравнений (2) введем следующую замену переменных:

1. . —вж 2(1 + а)2в у1 = _ж + у)+^ ---- у, у3=ж — у.

а а а жд а а

Тогда получим систему уравнений

аа

Ш = —ву2 + у{ — ^ + ;—ггйй —

ав

уъ = ву1 — ауш, у3 = — ау!у3.

+ —ту2

а

у,

Система уравнений (6) имеет состояние равновесия у\ = 0, y2 = О, Уз = Уз- На интегральной плоскости уз = О лежат периодические решения [2] в окрестности точки с координатами у\ = 0, у2 = 0. Также имеем интегральные плоскости уз = (fi — ay2)с, где с — const. Для системы уравнений (6) при уз = 0 имеем голоморфный интеграл [3] вида

V(rn >у^ = у\ + у\ + 1Ы,у2) = с,

где ¡{у!,у2) есть голоморфная функция, разложение которой в сходящийся ряд по целым положительным степеням начинается с членов не ниже третьего порядка. Для исследования устойчивости состояния равновесия возьмем функцию

Ыу1,у2,уз) = УЫ,у2) + (Ъху1 + Ъ2угу2 + Ъ3у%)-

у

Р — ау2

такую, что производная ее, вычисленная в силу системы уравнений (6), имеет вид

= [я(У1+У2) +... ]уз + ■ФЫ^^УЬ

где многоточием обозначен ряд, начинающийся с членов не ниже третьего порядка; Ф(у1, У2) — голоморфная функция, разложение которой в ряд начинается с членов второго порядка. Если

а — а

Ь1 = оп ^ ^^ Ьз= 0'

2(1 + а) р г + а

то ц = — ^фа• Тогда применим теорему 2.17 из [4], где в = 1. Получа-

М

равповесия у\ = 0, У2 = 0, уз = у® > 0 суть устойчивые фокусы, а состояния равновесия у\ = 0, у2 = 0, уз = у® <0 суть неустойчивые фокусы. Поэтому в этом случае происходит циклическое изменение количества особей всех видов при условии х = х2, а в случае х > х2 количество особей всех видов периодически меняется и со временем стремится к определенному числу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Костин А. Ю., Софронов Е. Т. Исследование одной математической модели «хищник и жертва» // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 57^64.

2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

4. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

29 декабря 2004 г.