УДК 517.958
ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ЭКОЛОГИИ
А. Ю, Костин, Е, Т. Софронов
В статье рассматривается математическая модель взаимодействия трех популяций, из которых два вида — жертвы, и один вид — хищник. Эта система уравнений имеет вид
Ж1 = Ж1 (1 — х — Ъх2 — ах%),
X = х(1 — Ьх\ — х — ахз), (1)
X = — хз(к — Ьх\ — ах2 — х),
где а, Ь, г — положительные постоянные. Исследуется устойчивость состояния равновесия М с положительными координатами хд, х^, хд, где
х* = ^ (¿=1,2,3), Д = 1 — а — аЬ — Ь2 + аЧ + аЬ2 = ( 1 — а)(1 — Ь)(1 + а+Ь), = Д2 = (1 — Ь)(1 — ак), Д3 = (1 — Ь)[(1 + Ь)к — а — Ь].
После преобразования вида
х^ — х^ -х, х — х^ I- у, х — х^ ~~г получим систему уравнений:
х = (х + х^) (—х — Ьу — аг),
У=(у + хд) (—Ьх — у — аг), (2)
г = (г + х^) (Ьх + ау + г),
© 2008 Костин А. Ю., Софронов Е. Т.
характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы представится так:
Если А > 0, то из условий Рауса — Гурвица следует, что состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому в дальнейшем предполагается, что
В статье [1] представлена классификация возможных случаев при
М
Ь а < 1. В других случаях получены достаточные условия устой-
М
рассмотрим оставшиеся варианты относительно параметров системы уравнений (1).
а > Ь <
(1 + а)(1 + Ь)к — 1 — а — 2Ь > 0. Тогда состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
(3)
Д < 0, Д1 < 0, Д3 < 0.
(4)
аЬ
аЬ
а>
а
(1 — Ь)[2 + а+ Ь — (1 + 2а + Ь)к] Д
> 2 + а + Ь — (1 + 2а + Ь)
аЬ ЬаЬ
аЬ
а Ь а Ь
Ь
аЬ
>.
С другой стороны,
а1а2 — аз = (2ж^ — Жд)[(1 — Ь2)ж^2 + (а2 + аЬ — 2Жд] + А(ж^)2Жд = [(1 + Ь)жд — жд][2( 1 — Ь)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд]. Будем различать два случая:
1) а2 + аЬ — 2 >0,
2) а2 + аЬ — 2 < 0. Так как
—+а;<1+Ь>* - "+;'+2Ь> >о,
а — а Ь
то ^^ — ад > 0 при а2 + аЬ — 2 >0.
Поэтому все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения (3) выполняются, следовательно, нулевое решение системы уравнений (2) асимптотически устойчиво. Теорема доказана в этом случае.
а>
а2 = (1 — Ь2)(жд)2 + (а2 + аЬ — 2 )х\ ж^
= (1— Ь)жд^[( 1—Ь2)( 1—ак) + (а2+аЬ—2)(1+Ь)к—(а2+аЬ—2)(а+Ь)] > 0, если
а Ь — Ь — а аЬ — а Ь
>
а Ь а — Ь — а аЬ — Ь
Но
(1 + а)[1 — Ь2 — (а2 + аЬ — 2)(а+ Ь)] — (1 + а+ 2Ь)[а(1 — Ь) — (а2 + аЬ — 2)] = (2 —аЬ—а2)[(1 + а)(а+Ь) — (1 + а+2Ь)] + ( 1 —Ь)[(1 + а)(1 + Ь) — а(1 + а+2Ь)]
= — (а — 1)2(1 + а+Ь)2 <0.
а>
2(1 — Ь)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд
= (1 — Ь2)жд2 + (а2 + аЬ — 2)жджд + (1 — Ь)2жд2 > 0,
а^ — ад = [(1 + Ь)жд — ж^а + (1 — Ь)2жд2] > о.
Ввиду того, что все условия Рауса — Гурвица выполнены, состояние М
Теорема 2. Пусть выполнены неравенства (4), а > 1, Ь < 1 н одно нз следующих соотношений:
(а) а2 + аЬ — 2 > 0, (1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а+ 2Ь) < 0,
(б) а2 + аЬ — 2 < 0, (1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а + 2Ь) < 0,
[(1 + ^^ + аЬ — 2) + а(Ь2 — 1)]к — (а + ^^ + аЬ — 2) — (Ь2 — 1) < 0.
М
тойчиво.
Доказательство. Если выполняются неравенства (а) или (б), то а а — а <
отрицательности действительных частей корней характеристического
М
а > Ь <
(1 + а)(1 + Ь)к — (1 + а + 2Ь) = 0. Тогда состояние равновесия М с положительными координатами устойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что * _ * _ ^ * _ ^
х - х - (1 + ^ + ^' х ~ гта
п 1Л * л (а — 1)(1 + а + Ь) 2
а а — а ^ < 0, А23 = ±вг.
С помощью преобразования
х = У1+У2, У = У2, г = у3
систему уравнений (2) приведем к виду
У1 = Муг — у\ — 2уш — аухуз, у у хд — Ьу — Ь у — ау , у у хд Ьу а Ь у у .
Для системы уравнений (5) у± = О есть интегральная плоскость, на которой могут лежать замкнутые или не замкнутые траектории. Для того чтобы определить картину расположения траекторий, сделаем еще
у
в 1 + Ь
- =--- У2, Ь =-Уъ+Уъ.
аж а
Тогда получим систему уравнений
жд
и = — в- + ь2 — V2 -|—^-(2 + а + 2Ь — а2)му, V = вь — аму.
в
У
лежат замкнутые траектории. Отсюда получим [3] устойчивость состояния равновесия М.
а > Ь
а
М
Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем
жж
2(1 +а)' 3 1 + а'
(а — 1)(а+2) 2
а1=0, а3 = 0, а2 = 2(а + 1)2 =в.
Характеристическое уравнение (3) имеет корни А1 = 0, А2,з = ±в«-Для исследования системы уравнений (2) введем следующую замену переменных:
1. . —вж 2(1 + а)2в у1 = _ж + у)+^ ---- у, у3=ж — у.
а а а жд а а
Тогда получим систему уравнений
аа
Ш = —ву2 + у{ — ^ + ;—ггйй —
ав
уъ = ву1 — ауш, у3 = — ау!у3.
+ —ту2
а
у,
Система уравнений (6) имеет состояние равновесия у\ = 0, y2 = О, Уз = Уз- На интегральной плоскости уз = О лежат периодические решения [2] в окрестности точки с координатами у\ = 0, у2 = 0. Также имеем интегральные плоскости уз = (fi — ay2)с, где с — const. Для системы уравнений (6) при уз = 0 имеем голоморфный интеграл [3] вида
V(rn >у^ = у\ + у\ + 1Ы,у2) = с,
где ¡{у!,у2) есть голоморфная функция, разложение которой в сходящийся ряд по целым положительным степеням начинается с членов не ниже третьего порядка. Для исследования устойчивости состояния равновесия возьмем функцию
Ыу1,у2,уз) = УЫ,у2) + (Ъху1 + Ъ2угу2 + Ъ3у%)-
у
Р — ау2
такую, что производная ее, вычисленная в силу системы уравнений (6), имеет вид
= [я(У1+У2) +... ]уз + ■ФЫ^^УЬ
где многоточием обозначен ряд, начинающийся с членов не ниже третьего порядка; Ф(у1, У2) — голоморфная функция, разложение которой в ряд начинается с членов второго порядка. Если
а — а
Ь1 = оп ^ ^^ Ьз= 0'
2(1 + а) р г + а
то ц = — ^фа• Тогда применим теорему 2.17 из [4], где в = 1. Получа-
М
равповесия у\ = 0, У2 = 0, уз = у® > 0 суть устойчивые фокусы, а состояния равновесия у\ = 0, у2 = 0, уз = у® <0 суть неустойчивые фокусы. Поэтому в этом случае происходит циклическое изменение количества особей всех видов при условии х = х2, а в случае х > х2 количество особей всех видов периодически меняется и со временем стремится к определенному числу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Костин А. Ю., Софронов Е. Т. Исследование одной математической модели «хищник и жертва» // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 57^64.
2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
4. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических Новосибирск: Наука, 2000.
г. Якутск
29 декабря 2004 г.