CC BY
11УДК 517.958:57
ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Е, Т. Софронов
1. В статье рассматривается одна система уравнений при изменении параметра p на знак ±. В первом случае получим модель отношения вида «конкуренции», а во втором случае — «хищник-жертвы». Итак, сначала рассмотрим систему трех уравнений вида
ж°1 = xi(l — x\ — bx± — ax^),
X = x(l — ax — x — CX3), (1)
X = px3(l — ax\ — 0x2 — X3),
где a,b, о — положительные постоянные, p = 1.
Ставится вопрос: при каких параметрах состояние равновесия M(xl,xi,,x%) с положительными координатами будет устойчиво или неустойчиво?
Найдем состояние равновесия M из системы
x + bx2 + a,xg = 1,
ax± + x + 0x3 = 1, (2)
ax± + 0x2 + щ = 1 •
Тогда
x* = ^ (¿=1,2,3), где A = (1 - c)(l + c- a2 -ab), — 0 0— a— b , — 0 — a •
© 2008 Софронов E. T.
Учитывая эти равенства при сф\, получим
1 + с- а -Ь 1-а
гу* - --гу* - гу* I _
11 9 т> 2 3 ^ 1 I 9 7,-
с - а - аЬ с - а - аЬ
Параметры а, Ь с таковы, что х*1 > 0. Сделаем замену переменных
хн = Уг + х* (г = 1, 2,3).
Тогда получим систему уравнений
Ш = Ы+ х*х){-Ш - Ьу2 - ау3),
Уз = (уз + х*ъ)(-ауг - су2 - уз).
Характеристическое уравнение для данной системы уравнений первого приближения равно
^ = х\ + 2х1, = (1 - аЬ)х\х% + (1 - а?)х\х^ + (1 - с2)х^2
= [(2 - а2 - аЬ)х^ + (1 - х^, аз = Ах^х^.
Заметим, что если А < 0, то состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому предположим, что
Д>0, (1 + с - а - Ь)(1 + с - а2 - аЬ) > 0, (1-а)(1 + с - а2 - аЬ) > 0. (5)
Теорема 1. Если 1 + с - а - Ь<0, 1- а < 0 н выполнены неравен-
М
неустойчиво.
с- а -
аЬ < 0 и 1- с < 0. Тогда а? < 0, ^ > 0, аз > 0, а]а - аз < 0. М
у°2 = у + х^{-аух - у2 - су3),
(4)
где
Теорема 2. Если 1 + с — а — Ь > О, 1 — а > О н выполнены неравенства (5), то состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
1 + с — а — аЬ > 0, 1 — с > 0, ^ > 0, а2 > 0, аз > 0.
Тогда а]_а2 — аз
= х2 [(2 — а — аЬ)х\2 + (4 — а — аЬ — а?с — аЬс)х2х2 + 2( 1 — с2)^2]. Так как
4 — а2 — аЬ — ас — аЬс = (2 — а2 — аЬ) + [2 — (а2 + аЬ)с] > 0,
то
а!а2 — аз > 0.
Следовательно, если все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выпол-
М
Теорема 3. Если 1 + с — а — Ь > 0, 1 — а>0, с = 1, то состояние М
Доказательство. Так как с = 1, то Д = 0 и а3 = 0. Но ^ > 0, — а — аЬ > а > корни
= 0, Т1е А2,з < 0.
Кроме того, если имеем состояния равновесия, определяемые из системы
У1 + Ьу2 + ау3 = 0, аух+ у2 + Уз = 0, то по теореме А. М. Ляпунова состояние равновесия устойчиво.
Замечание. Если с = 1, а > 1, 1 + с — а — Ь < 0, то состояние равновесия М неустойчиво, ибо а2 < 0.
2. Теперь рассмотрим систему уравнений (1) при р = -1 и поставим такой же вопрос, как в первом случае. Координаты состояния равновесия определяются из системы уравнений (2) и имеют вид (3). После аналогичного преобразования получим систему уравнений
у°1 = Ы + х*г)(-у! - Ьу2 - ау3),
у'2 = у + х*2)(-ауг - у2 - су3),
уз = (уз + х*3) (ау! + су2 + уз).
Характеристическое уравнение для системы первого приближения равно
А3 + ах\2 + а2А + а3 = О,
где
о,1 = х±, а2 = [(а2 - аЬ)х\ + (с2 - 1 )х2\х2, а3 = - Ах\х*2 .
Заметим, что если Д > 0, то аз < 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому в дальнейшем предположим, что
Д<0, (1 + с - а - Ь)(1 + с - а2 - аЬ) > О,
(7)
- а с - а - аЬ > . Теорема 4. Пусть 1 + с - а - Ь < 0, 1- а < Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнено одно пз соотношений:
1) а < Ь,
2) а > Ь, (а + Ь - 2) (Ь - ас) > О,
М
чиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что 1 - с > О, с - а - аЬ < а < а > а а - а <
а > а >
а1а2 - аз = х\х2[(а2 - аЬ)х\ + (с - 1)(о? + оЬ)х2)\
= а(а1+6-2)р-а;)х^< 0. (8) с - а - аЬ
М
Теорема 5. Пусть 1 + с — а — Ь < 0, 1— а < Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнены неравенства
а > Ь, (а+Ь — 2) (Ь — ас)<0, (9)
М
тотнческп устойчиво.
а > а >
(а+Ь-1)(Ь-ас) „
а1а2 — аз = —-----—Ж! ж, > и
с — а — аЬ
в силу неравенств (9) и условий теоремы. Тогда состояние равновесия М асимптотически устойчиво. Здесь с < 1 в силу неравенства (7).
Теорема 6. Пусть 1 + с — а — Ь > 0, 1— а > Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнено одно пз соотношений:
1) а ^ Ь;
2) а < Ь, (а + Ь — 2) (Ь — ас) > О,
М
тотически устойчиво.
а > а >
неравенства (8) при а ^ Ь выполняется неравенство а]а — аз >0. Если же а < Ь, но (а + Ь — 2) (Ь — а^ > 0, то также а^ — аз > 0. Таким образом, все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выполнены. Следова-
М
Теорема 7. Пусть 1 + с — а — Ь > 0, 1— а > Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнены неравенства
а < Ь, (а+Ь — 2)(Ь — ас)<0,
М
чиво.
Доказательство. При выполнении условий теоремы выполняется неравенство — аз < 0, следовательно, состояние равновесия М неустойчиво.
Теорема 8. Пусть выполнены неравенства (2- а - Ь)(2 - а2 - аЬ) > 0, (1 - а)(2 - а2 - а^ > 0, а > Ь, с=1.
М
чпво.
Доказательство. Так как а > Ь, то а2 > 0 и характеристическое уравнение имеет корни
А = 0, Т1е А,з < 0.
Кроме того, есть состояния равновесия, определяемые из системы уравнений
ах± + х2 + хз = 1, х + Ь^2 + ах% = 1.
Отсюда, применяя теорему А. М. Ляпунова [1], доказываем нашу теорему.
Теорема 9. Пусть 1 + с - а - Ь < 0, 1- а < Он выполнены
а Ь М
положительными координатами устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем
са
Х1 ~ 1 , „ о > Х2 —
с- а с- а
а2 = (с - 1)(1 + с - 2а)х22, ^^ - аз = 0. Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет корни
А = -х2, А,з = в = (с - 1)(1 + с - 2а)х\.
Для системы уравнений (6) введем преобразование
х = у1+у2 + уз, у = у-2, г = 1гу2 + 12у3,
где
(1 - а,)х2 (с - а,)х2
¿1 = -~-1-9, =
в ' ^ в
Тогда получим следующую систему уравнений:
2
х = Xix — х" + —x(z — l\y), '2
я * i а~с
у = —pz — ах2х — аух Н---—yz,
'2
z = fiy + a(l2 — h)x2 x + [—li(l + a)y + az\x
l + c-2a
У — zJ) + dyz, d — const.
c— a
x
которой лежат замкнутые траектории [2]. Отсюда следует доказательство теоремы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л. : Гостехиздат, 1950.
2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
г. Якутск
21 мая 2007 г.
