CC BY
8УДК 517.958
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОГО СОСУЩЕСТВОВАНИЯ ТРЕХ ВИДОВ В ЭКОЛОГИИ*)
М, А. Иванова, Е, Т. Софронов
В статье рассматривается система трех дифференциальных уравнений вида
X = X (г — х — Ъх — Ъхз),
X = X (1 — ах — х — схз), (1)
X = Р хз (1 — ах — сх — X), где а, Ъ, с, г — положительные постоянные, р принимает значения ±1. Исследуется эта система уравнений на устойчивость по А. М. Ляпунову [1] состояния равновесия с положительными координатами. Если в
Р
Р—
быть моделью отношений двух видов жертв с одним видом хищников. Найдем состояние равновесия М из системы уравнений
XI + Ъх2 + Ъхз = г, ах1 + х + сх = 1, ах + сх2 + хз = 1.
Если ввести обозначения
Д = (1 — с)(1 + с — 2аЪ), А1 = (1 — с) [(1 + с) г — 2Ъ],
Д2 = Д3 = (1 — с)(1 + аг),
то координаты точки М х*, х*, х* имеют вид
_ _ (1 + с)г - 26 * _ * _ 1 ~аг
1 + с — 2аЬ ' 1 + с_2аЬ- ^
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 054)84) 1176а).
© 2010 Иванова М. А., Софронов Е. Т.
1. Пусть р = 1. Тогда устойчивость состояния равновесия М с положительными координатами может быть в случаях
(1 - е)(1 + е - 2аЪ) >0,
[(1 + с)г - 2Ъ](1 + е - 2аЪ)>0, (3)
(1 - аг)(1 + с - 2аЪ) > 0.
Применим для системы уравнений (1) замены переменных:
хх=хХ + у1, х2 = х% + у2, х3=х*3 + у3. Тогда получим систему уравнений вида
У1 = (х* + у{)(-у! - Ъу2 - Ъу3), У2 = (х* + У2) (-ау1 - у2 - оу3), (4)
у'з = (х* + уз){-ау\ - су2 - у3). Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений имеет вид
А3 + а1А2 + агА + аз = 0,
где а! = х* + 2х*, а = 2(1 - аЪ)х*х* + (1 - с2)х*х*, а3 = Дх*х*х*. Теорема 1. Если выполнены неравенства (3) н с < 1, 1 + с - 2аЪ > 0, М
тотнческн устойчиво.
Доказательство. Из (2) и (3) следует, что х* > 0 (г = 1,2,3). с < с - аЪ > аЪ <
а2 > 0, а!а2 - аз = х*{2( 1 - аЪ)(х*2 + 2х*х*)
+ 2(1 - с2)х*2 + 2(1 - с)аЪх**х*2} > 0.
Тогда все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выполнены. Следова-
М
Теорема 2. Если выполнены неравенства (3) и с > 1, 1 + с — 2аЪ < О, М
чиво.
М
с — аЪ <
с
аЬ > —-— >1, а2 < 0, а1а2 — аз < 0.
М
Теорема 3. Если выполнены неравенства (3) и с = 1, 1 + с — 2аЪ > 0, М
устойчиво.
М
состояния равновесия, определяемые из системы уравнений
х Ъх Ъх г, ах х х .
Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, два корня имеют отрицательные действительные части. Этот критический случай А. М. Ляпунов [1] назвал особенным случаем. Тогда состояние М
Замечание 1. Если Д < 0, то аз < 0 и состояние равновесия М неустойчиво.
Замечание 2. Если выполнены неравенства (3) и с = 1, 1 + с — аЪ < М
Р—
виду
Ш = (х* + уО (—ш — Ъу> — Ъуз), Ш = (х* + уг)(—ау1 — У2 — су3), (5)
Уз = (х* + уз)(ау! + су2 + у3).
Устойчивое состояние равновесия с положительными координатами может быть в случаях
(1- с)(1 + с - 2аЪ) <0,
(6)
[(1 + с)т - 2Ъ] (1 + с - 2аЪ) > 0, (1 - аг)(1 + с - 2аЪ) > 0.
В этом случае характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений имеет вид
А3 + а\А + а2А + а% = 0, где а± = ха2 = (с2 - 1 )х*х= -Дх*х*х*.
Теорема 4. Еслн выполнены неравенства (6) н
Ъ
с> 1, 1 + с — 2аЪ > 0, -- <г<~,
са
М
ентами, п оно асимптотически устойчиво.
Доказательство. В силу выполнения условий теоремы состояния равновесия М имеет положительные координаты, поэтому ^ > 0, а>
а!а2 - аз = 2аЪ(с - 1 )х*х*х* > 0. Отсюда следует доказательство теоремы.
Теорема 5. Если выполнены неравенства (6) н
с = 1, 1 + с — 2аЪ > 0, Ъ < г < -,
а
М
ентами п оно неустойчиво.
Доказательство. В этом случае характеристическое уравнение имеет два нулевых и один отрицательный корень. С помощью замены переменных
х = уз - у2, у = ау! + у2 + уг, * = ух + Ъ(у2 + уз)
приводим систему уравнений (5) к следующему виду:
у — а^4
х = у 2ж1
1 — а6
У = ~аг ^ + ^ _ ^ + ху, (7)
¿ = + +
Здесь у — аг = (1 — а6)(у2 + у3), г — 6у = (1 — а6)уь Возьмем функцию Ляпунова
У = ^ху + + /3Ж3 + ^х^, где /г — постояппые, /\ > 0, /2 < 0 — достаточно большое по модулю число, /3 < 0, /4 < 0. Производную этой функции, взятую в силу системы уравнений (7), можно представить в виде
- = 21-}Х%у2 — 2/9X1 х2 + ¿(х)уг + . .. .
от
Здесь ¿(х) — функция от х. Ненаписанные члены таковы, что они на
йУ
м
знак функции не влияют, если выбрать /3, /4 так:
1л — —, /3 — ---—.
—1
х
При таком выборе Ь функция ^ знакопостоянная и положительная. Возьмем область V > 0 при х > 0. Если х = 0 или х > 0, у = г = 0, то функция V < 0 и траектории, лежащие в области V > 0 при х > 0, не покидают область х > 0 и не попадают па прямую у = 0, г = 0. Тогда, применяя теорему Барбашина — Красовского [2], доказываем нашу теорему.
Теорема 6. Если выполнены неравенства (6) и
1 26
с < 1, 1 + с — 2а6 < 0, -<г<
а 1 + с
то существует состояние равновесия М с положительными коэффициентами и оно неустойчиво.
Доказательство. В силу условий теоремы состояние равновесия М имеет положительные координаты. Так как ^ < 0, то а^2 — аз <0.
М
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1950.
г. Якутск
23 декабря 2009 г.
