CC BY
9УДК 517.958
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
М, А. Иванова, Е, Т. Софронов
В статье рассматривается система уравнений вида ¿1 = — x — bx — ax),
¿2 = #2(1 — bx — x — cx), (1)
X = px%( 1 — bx — cx 2 — x ),
где a, b, c — положиельше постоянные, p принимает значение либо —
моделью сосуществования трех видов особей природы, при этом в слу-p
p—
ника с жертвами. Будем исследовать данную систему уравнений на устойчивость состояния равновесия с положительными координатами по А. М. Ляпунову [1]. Состояния равновесия находим из системы уравнений
x bx ax , bx x cx ,
bx + cx + x = 1 •
p
чения
Д = (1 — c)(l + c — ab — b2), Д1 = (1 — ^ + c — a — b),
— c — b • © 2010 Иванова M. A., Софронов E. T.
Тогда состояние равновесия имеет координаты х*, х*, х*:
*_ 1 + с — а — Ь 1-6
" 1 + с _ аЬ _ Ь2 > х?-хз~ 1 + с_аЬ_Ь2-
Введем следующую замену переменных:
Х1 = хд + ш, х2= х* + у2, х3 = х* + у3. Тогда получим систему уравнений
У1 = (х* + у{)(-у! - Ъу2 - ау3), У2 = (хд + у2) (-Ъу1 - У2 - су3), (3)
уз = р(х* + уз)(-Ъ^ - су2 - уз). Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений при р = 1 имеет вид
А3 + а1 А2 + а2А + аз = О,
где = х* + 2х*, а2 = (2 - аЪ - Ъ2)х*х* + (1 - с2)х*2, а = Д • х* • х*2. Так как исследуем состояние равновесия М с положительными координатами, должны быть выполнены неравенства
(1 + е - а - Ъ)(1 + с - аЪ - Ъ2) > 0, ((1- Ъ)(1 + с - аЪ - Ъ2) > 0. (4)
Теорема 1. Если выполнены неравенства (4) и
Ъ -1 <0, с -1 <0, 1 + с - а - Ъ > 0,
М
Доказательство. Из неравенств (4) следует, что х* > 0. Кроме а > а > а >
а1а2-аз = х*{(2-аЪ-Ъ2)х*2 + [4-(1 + с)(аЪ+Ъ2)]х*х* + ( 1-с2)х*х*} > 0.
Так как выполнены все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, по теореМ
чиво. Теорема доказана.
Теорема 2. Если выполнены неравенства (4) и
Ь -1 >0, , с -1 >0, 1 + е - а - Ь < 0,
то состояние равновесия М неустойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
1 + с - аЬ - Ь2 < 0, 2 - аЬ - Ь2 < 0, 1 - с2 < 0.
Тогда а2 < 0, аз >0, а^ - аз < 0, а нарушение условий Рауса — Гурвица приводит к доказательству данной теоремы.
Теорема 3. Если выполнены неравенства (4) и
с=1, Ь -1 <0, 2- а - Ь > 0,
М
Доказательство. Из условий теоремы следует, что ж* > 0 (г = , , а а >
нулевой корень, два корня имеют отрицательные действительные части. Кроме того, система уравнений (1) имеет состояния равновесия, определяемые из системы уравнений
Ж + Ьж + ажз = 1, Ьж + X + Щ = 1. Такой критический случай А. М. Ляпунов назвал особенным и доказал,
М
Замечание. Если с = 1, Ь - 1 > 0, 2 - а - Ь < 0, то состояние равновесия М неустойчиво, ибо а? < 0, ^ > 0, т. е. характеристическое уравнение имеет положительный корень.
В дальнейшем перейдем к случаю, когда р = -1. В этом случае систему уравнений (1) можно привести к виду (3), где р = -1. Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы р-
А3 + ^ А2 + агА + аз = 0,
где ^ = ж*, а2 = (аЬ - Ь2)х*х* + (с2 - 1 )х*2, аз = -А • ж* • ж*2.
М
ложительные координаты. Докажем следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть выполнены неравенства (4) н Ъ - < , с - а - Ъ > , с - > ,
(5)
В = (а - Ъ)(1 + с - а - Ъ) + (с - 1)(1 - Ъ)(а + Ъ) > 0. М
тотпческн устойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что х* > 0 (г = 1, 2,3), ^ > 0, аз > О, ибо при Ъ<1, 1 + с - а - Ъ>0 выполняется с - аЪ - Ъ >
К * *
ъхх х^
а а - а хдхд аЪ - Ъ хд с - аЪ Ъ хд
с аЪ Ъ
х [(а - Ь)( 1 + с - а - Ъ) + (с - 1)(1 - Ь)(а + Ъ)} = 1• (6)
Если а ^ Ъ, то а1а2 - аз > 0. Если а < Ъ, но В > 0, то также а а - а >
действительных частей корней характеристического уравнения выпол-
М
доказапа полностью.
Теорема 5. Пусть выполнены неравенства (4) н
Ъ -1 <0, 1 + с - а - Ъ > 0, с -1 >0, а < Ъ, В < 0. М
тончпво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что состояние равновесия М имеет положительные координаты и из неравенств Ъ -1 < 0, 1 + с - а - Ъ > 0 следует, что 1 + с - аЪ - Ъ2 >0. Из неравен-В < а а - а <
М
Теорема 6. Пусть выполнены неравенства (4) н
Ъ -1 >0, 1 + с - а - Ъ < 0, с -1 <0, а > Ъ, В < 0. М
тотпческн устойчиво.
Доказательство. Из неравенств (4) следует, что состояние рав-
М Ь- >
с - а - Ь < с - аЬ - Ь <
вии Б < 0 выполняется неравенство а^2 - аз >0. Отсюда получакм доказательство теоремы.
Теорема 7. Пусть выполнены неравенства (4) и
Ь -1 > 0, с -1 <0, 1 + с - а - Ь < 0, Б > 0.
М
тойчиво.
Ь - > с- а- Ь < что 1 + с - аЬ - Ь2 < 0. Если а - Ь ^0, с -1 < 0, то а2 < 0 и а^2 - аз < 0. Если а - Ь > 0, но Б > 0, то а1а2 - аз < 0. Тогда в обоих случаях М с положительными координатами неустойчиво. Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть выполнены неравенства (4) и одно из следующих соотношений:
1)с=1, Ь -1 <0, а - Ь > 0, 2- а - Ь > 0,
2) с = 1, а > Ь > 1.
М
устойчиво.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что ж* > 0 (г =
,,
два корня имеют отрицательные действительные части. Кроме того, система уравнений (1) имеет состояния равновесия, определяемые из системы уравнений
ж Ьж аж , Ьж ж ж .
Этот критический случай А. М. Ляпунов [1] назвал особенным.
М
Приведем примеры, подтверждающие теоремы 4-7.
1 3 23 1
Пример 1. а = -, Ъ = -, с = 5. Тогда 1 + с - а - Ь = —, Б = —.
11 9 3
Пример 2. а = Ъ = с = 2. Тогда 1 + с — а — Ь = -, Б =--.
4' 2' 4' 16
3 3 11
Пример 3. а = 2, Ъ = с = -. Тогда 1 + с-а-Ь= —, В = —.
2 5 4 4
3 1 23 1
Пример 4. а = 2, Ъ = с = -. Тогда 1 + с- а - Ь =--, В = -.
2 5 10 4
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. м.; л.: Гостехиздат, 1950.
г. Якутск
19 апреля 2010 г.
