Исследование на устойчивость состояния равновесия одной системы трех уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ

И, И, Горохова, Е, Т. Софронов

В статье рассматривается трехмерная система уравнений вида ж°1 = #1(1 — х — Ъх2 — ахз),

X = х(1 — Ьх\ — х — ахз), (1)

х'з = —хз(к — ах — сх2 — хз), где а, Ь, к, с — положительные числа, а ф с. Нам необходимо исследовать устойчивость или неустойчивость состояния равновесия с положительными координатами. Такая система уравнений может быть математической моделью отношения «хищника» с «жертвами», если х х х

Состояние равновесия М найдем из системы уравнений

х Ьх ах , Ьх х ах , ах1 + сх2 + хз = к. Состояние равновесия М имеет координаты х^, где

х\ = х*2 = хз = А = (1 — Ь)( 1 + Ь — ас — а2),

А1 = А2 = (1 — Ь)(1 — ак), Д3 = (1 — Ь) [—а — с + к(1 + Ь)],

т. е.

* * 1— ак —а — с + к(1 + Ь)

/•у» - 'Т* - --'Т* —

Х1 — — 9 , Х3 — .

1 + Ь — ас — а^ 1 + Ь — ас — а^

© 2008 Горохова И. И., Софронов Е. Т.

В системе уравнений (1) введем замену переменных:

Х\ = х\+ у\, х2 = + У2, х3 = хз + Уз-Тогда получим систему уравнений

У1 = {х{ + ух)(-У1 - Ьу2 - ау3), У2 = (х2 + У2) (-Ьу! - У2 - ауз),

(2)

Уз = (х£ + Уг){аух + еу2 + Уз)-Характеристическое уравнение для уравнения первого приближения данной системы уравнений (2) имеет вид

^ = 2x2 - х2, а2 = (1- Ь2)х^ + (-2 + ас+а2)х2х2, а = -Дх^х2.

Так как мы исследуем состояние равновесия с положительными коор-

х2 х2 х2

устойчивости состояния равновесия М необходимо выполнение неравенств

Поэтому из дальнейшего рассмотрения исключаем случай Д > 0, ибо тогда состояние равновесия неустойчиво. Исходя из этого, будем рассматривать следующие случаи:

а) Ь < 1,1 + Ь - ас - а? < О,

б) Ь > 11 + Ь - ас - а2 > О, Ь

Пусть рассматривается первый случай. Теорема 1. Если

М

та ми и оио асимптотически устойчиво.

где

^ > 0, аз > 0, а1а2 - аз > 0.

Ь < 1, 1 + 6 — ас — а2 < 0, -<

а Ь с а с

а < (1 + а)(1 + Ь) < 1 + 6'

Доказательство. При выполнении условий теоремы состояние равновесия М имеет положительные координаты. Покажем, что ^ > 0.

х2 - х2 >

ас

- < ,-«-Г < к- (3)

а 1 + 2а + Ь у '

Теперь нужно показать неравенство

а с а Ь с

1 + 2а + 6 < (1 + а)(1 + 6)' ( '

Действительно, (4) сводится к неравенству

(1 + а+Ь+с)(1 + 2а+Ь)-(2+ а+с)(1 + а+Ь+ас) = (Ь-1)(1 + Ь-ас-а2) > 0.

Итак, а1 > 0. Осталось показать выполнение неравенства а^ - аз >0. Его можно представить так:

а а - а х2 - Ь х2 - ас а х2 Ь х2 - х2 > .

Пусть -2 + ас+а2 ^ 0. Тогда неравенство выполняется, если (1 + Ь)х2 -

х2 >

условии

аЬс

< к.

аЬ

а а - а > - ас а <

а>

- Ь - а с - ас а

(1 - Ь2)а - (1 + Ь)(-2 + ас+ а2)

< к.

С другой стороны, мы можем показать выполнение неравенства 1-Ь2 - (а + с)(-2 + ас + а2) 1 + а + Ь+с

- Ь а - Ь - ас а а Ь

ибо

- ас а а с а Ь - Ь а Ь с

с - а Ь

ас а - - Ь Ь > .

- Ь а а Ь с - а Ь

Итак, а2 > 0. Тогда

Я1Я2 — аз = [(1 — Ь2)х^2 + (—2 + ас + а?)х\Жд

+ (1- Ь)2хд2][(1 + Ь)хд — хд] >0.

а а — а >

яние равновесия М асимптотически устойчиво. Теорема 2. Если

а Ь с а с

Ъ < 1, 1 + о — ас — а" < 0, - < к < —-—-— < ---,

а (1 + а)(1 + Ь) 1 + Ь

то существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно неустойчиво.

Доказательство. Если выполняется неравенство

ас

_ /с <С _

а ^ 1 + 2а + 6'

то а1 ^0. Если

а с Ь а с ас а

< к <

а Ь — Ь а — Ь — ас а

то а2 ^ 0 и а1а2 — аз < 0. А если

Ь а с ас а а Ь с

< к <

— Ь а — Ь — ас а а Ь

а а — а <

одно из условий Рауса — Гурвица, и состояние равновесия неустойчиво. Теорема 3. Если

а Ь с а с о < 1, 1 + Ь - ас - а" < и, - < —-г—-- = к<---,

а (1 + а)(1 + Ь) 1 + Ь

то существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно устойчиво.

Доказательство. Так как ^а2 - а3 = 0, ^ > 0, а2 > 0, то характеристическое уравнение имеет корни

= (Ь — 1 А1 = ±вь

где

в2 = (1 + Ь)( —1 — ^ а^ , Жд = (1 + ^ж^.

Сделаем следующее преобразование для системы уравнений (2):

1 + 6 /3

Х = У1~У2, У= -У2 + УЗ, 2 =---у2-

а ахх

Тогда получим систему уравнений

л 9 а(1 — Ь)

х = Л\х — х" — аху Н----х,хг,

Р

хд

у = — (Зг + у2 — х2 + [(1 + Ь)( 2 + а) — ас — а?\—^уг

Р

+ (х + х((\у + ¿2г),

Ыз

г = (Зу — (1уг Н--х — Ьхг.

а

(, ( , ( х

кость и на ней лежат замкнутые траектории, то по известным критериям [1,2] состояние равновесия М устойчиво. Теорема доказана.

Теорема 4. Если

о а + с 1

Ь > 1, 1 + Ь - ас - а" > 0, ---<к<~,

Ьа

М

та ми и оно неустойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что координаты М

ство

а с а с

ТТь < к < ТТ^Тб' (5)

то а1 > 0. Если справедливо неравенство — 2 + ас + а2 ^ 0, то ^ < 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Пусть а2 > 0, т. е. выполняется неравенство

Ь — а с —

(1 + Ь)[(Ь — 1)а — 2 + ас+а2 С другой стороны, имеем

2 + а+с Ь2 — 1 + (а+с)(—2 • <

< к. (6)

а Ь Ь Ь — а — ас а

Действительно, из этого неравенства вытекает, что

— ас а Ь а с — а с а Ь

+ (Ь2 — Щ2 + а + с)а — 1 — 2а — Ь]

— — Ь ас а Ь — — — — Ь ас а < .

Отсюда следует, что неравенство (6) противоречит неравенству (5). Тогда а\а2 — аз < 0 и состояние равновесия М неустойчиво.

Ь — ас — а <

а с а с

а < 2(1 +а)

М

та ми и оно устойчиво.

Доказательство. При выполнении условий теоремы х* > 0, 2 + а + с — 2к(1 + а) 2 + а + с

«1 = -о-5- > 0 ПРИ 0М , ч < ^

— ас — а а

а — ас а хдхд >

^^ — аз = (а2 + ас — 2)(2х* — х*)х*х* > 0.

а

корень и два корня с отрицательными частями. Из системы уравнений (2) получаем, что на прямой

+ У2 + ауз = 0, ау! + су2 + Уз = 0 М

скпй случай одного нулевого корня и этот случай А. М. Ляпунов назвал особенным случаем. Тем самым состояние равновесия устойчиво.

Теорема 6. Если выполнено одно из условий:

а с а с

1) о = 1, 2 - ас - а", - < к < ———- < ——;

аа

2) Ъ = 1, 2 - ас - а2 > О, < к < -,

а

М

ентами и оно неустойчиво.

Доказательство. В первом случае из неравенства

2 + а+с К 2(1 +а)

а < а <

М

Ь — ас — а <

а с а с

¡<2(Т^)=К- (7)

то существует состояние равновесия М с положительными коэффициентами и оно неустойчиво.

Доказательство. Сделаем преобразование для системы уравнений (2):

х = рУ1 + У2), У = У1 + У2 + ау3, г = У1 — у2,

где

р = —(1 + ав, (8)

ас а — ^ = 2(1 +а)2 =й2' а1=0' С учетом (7), (8) получим систему уравнений

х = ву — ху,

ас а — — а

у = —рж--ж" Н—у" Н--ж у

а а 2ар

х а \ а — с

(9)

г = — уг

Для системы уравнений (9) г = 0 есть интегральная плоскость, на которой лежат замкнутые траектории. Кроме этой интегральной плоскости существуют интегральные поверхности вида

На этих поверхностях лежат особые точки типа фокус (неустойчивый и

с

М

Замечание. Если в системе уравнений (1) в третьем уравнении са

центром.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А. м. Общая задача об устойчивости движения. м.; л.: Гостехиздат, 1950.

2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. м.; л.: Гостехиздат, 1947.

3. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических случаях. Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

10 декабря 2007 г.