Исследование одной математической модели с четырьмя параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ЧЕТЫРЬМЯ ПАРАМЕТРАМИ

Е, Т. Софронов

В статье рассматривается система дифференциальных уравнений

где а, Ь, с, г — положительные постоянные. Нашей задачей является исследование состояния равновесия М с положительными координатами на устойчивость по А. М. Ляпунову. Данная система уравнений (1) может быть математической моделью взаимодействия трех популяций, из них первые два вида суть биомассы жертв, а третий вид — биомасса хищника.

М

ся х\, ¿2, ¿2, их найдем из системы уравнений

вида

Ж = ж (1 — х\ — Ьж — ах з), ¿2 = Ж2(1 — Ьх 1 — Х2 — ах), х — х г — сх — сх — х ,

(1)

х Ьх ах ,

Ьх х ах ,

СХ1 + СХ2 + ¿3 = г.

Тогда

,

© 2009 Софронов Е. Т.

где

Д! = Д2 = (1 - Ъ)(1 - ат), Д3 = (1 - Ъ)[(1 + Ъ)т - 2с], Д = (1 - Ъ)(1 + Ъ - 2ас). Отсюда х* > 0, если выполняются неравенства

(1 - ат)(1 + Ъ - 2ас) > 0, [(1 + Ъ)т - 2с](1 + Ъ - 2ас) > 0. (2)

Таким образом, состояние равновесия М имеет положительные координаты

* _ * _ 1 ~ аг * _ (1 + Ь)г - 2с Х1 ~ Х2 ~ 1 + Ъ - 2ас' Жз " 1 + Ъ - 2ас ' Поэтому в дальнейшем предполагаем выполненными неравенства (2) и

рассмотрим следующие случаи:

а) Ъ < 1, 1 + Ъ - 2ас < 0;

б) Ъ > 1, 1 + Ъ - 2ас > 0; Ъ

Ъ - Ъ - ас < >

М

Поэтому будем рассматривать указанные три случая.

М

М

Ж = х* + х, ж = х* + у, ж = х* + г. Тогда система уравнений (1) примет вид

X = (ж* + х)(-х - Ъу - аг),

у = (х* + у)(-Ъх - у - аг), (3)

г = (х* + г)(сх + су + г). Составим характеристическое уравнение для соответствующей системы уравнений:

А3 + а1А2 + агА + аз = 0,

где

а х* - х* , а - Ъ х* ас - х* х* , а - х* х* .

Теперь рассмотрим первый случай и докажем следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть Ь < 1,1 + Ь — 2ас < О и 1 1 + Ь + 2с 2с

< 77-777-Г7 < Г <

а (1 + а)(1 + Ь) 1 + Ь'

М

датами и оно асимптотически устойчиво.

Доказательство. Покажем, что ^ > 0, т. е.

9 *_ , _ 2 + 2с-(1 + 2а+6)г ^ п 1 2" 1 + 6 — 2ас >и'

Последнее неравенство следует из неравенства

2(1 + с) 1 + Ь+2с

< 77-777-77" < Г.

а Ь а Ь

Эти неравенства верны, ибо

2(1 + с)(1 + а)(1 — Ь) — (1 + Ь+2с)(1 + 2а+Ь) = (1 — Ь)(1 + Ь — 2ас) < 0.

Проверим еще одно условие Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения ^ а — аз > .

а!а2 — а3 = [(1 + Ь)х2 — ¿2][2( 1 — Ь)(х2)2 + 2(ас — 1)х2х^.

Здесь

м * * (1 + Ь)(1 — аг) — (1 + Ь)г + 2с п

(! + *)*! "*5 = "- 1 + 6 — 2ас - >0

Ь — ас < , Ь с — Ь а Ь г < ,

выполнении условий теоремы. Далее, если ас — 1 ^ О, то ^^ — аз > 0. ас — < . а >

— Ь — аг ас — Ь г — с < .

Отсюда получим

(1 — Ь2) — 4с(ас — 1)

а(1 — Ь2) + 2(1 + Ь)(1 — ас)

< г.

Можно показать, что

(1 - Ь2) -4с(ас - 1) 1 + Ь + 2с --------- < - < г

а(1 - Ь2) + 2(1 + Ь)( 1 - ас) (1 + а)(1 + 6)

Действительно,

(1 - ас) [2(1 + Ь + 2с) - 4с(1 + а)] + (1 - Ь)

х [а(1 + Ь + 2с) - (1 + а)(1 + Ь)] = (1 + Ь - 2ас)2.

Тогда

а1а2 - аз = [(1 + Ь)х\ - - Ь2)х^2

+ 2(ас - 1)х*х* + (1 - 2Ь + Ь2)х*2] >0.

Теорема доказана полностью.

Теорема 2. Пусть Ь < 1, 1 + Ь - 2ас < 0 н

1 1 + Ъ + 2с 2с

а < Г < (1 + а)(1 + Ь) < 1 + 6'

Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно неустойчиво.

а<

Гурвица отрицательности действительных частей корней характери-

а>

9* * 2(1 + с) — (1 + 2а + Ъ)г ^ п

й! = ¿Хл - I, = ---;--- > У

Ь - ас

или

2(1 +с) 1 + Ъ + 2с

1 + 2а + Ь <Г < (1 + а)(1 + 6)' ( ]

Ясно, что при выполнении условий теоремы

(1 + Ь)х\ - х*3 <0.

Если ас - 1 ^ 0, то а^ - аз <0. Тогда нарушается условие Рауса — Гурвица, и теорема доказана. Если а± > 0 и а ^ 0, то аналогичным

а>

— ас >

1 -Ь2 + 4(1 -ас) 1 + 6 + 2с

а(1 - Ъ2) + 2(1 -Ь)(1- ас) < Г < (1 + а)(1 + Ь)' Такие неравенства возможны. Тогда аха? — аз < 0, так как

2(1 — Ь)хд2 + 2(ас — 1 )ждх2 = (1 — Ь2)хд2 + 2(ас — 1)хдх^ (1 — Ь)2хд2 > 0.

Теорема доказана полностью.

Теорема 3. Пусть Ь < 1, 1 + Ь — ас < 0 я

Ь с с

<

г<

а (1 + а)(1 + Ь) 1 + Ь'

Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно устойчиво.

Доказательство При выполнении условий теоремы имеем *_ *_ ^ *_(-] | *

- Хсу — -----т"Г ? — ^ А ~Т" О^Ж-^,

аЬ

а х2 х2

Ь

аЬ

а

-1 - 6 + 2ас (1 + а)2(1 + Ъ)'

^^ — аз = 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет корни

А1 = — = (Ь — 1 )х2, А2^з = ±в«, где в2 = а2.

Сделаем следующую замену переменных для системы уравнений (3):

/3 1 + 6

У1=х-у, У2 = --2/, Уз = -У +

Тогда система уравнений (3) примет вид

т = Ат —

У1

(1 ~Ь)с

Р

-У2 + а,уз

У,

У2 = —вУз — ау2уз —

Ьв

ЬУ У ,

Уз = вУ2 — У2 + Уз + ^у2у3

сУ

(1 + 6)(6 + с)х2

/3

~У2

У.

(6)

Здесь — постоянные. Для системы уравнений (6) у1 = 0 — интегральная плоскость, на которой лежат замкнутые траектории [1]. Поэтому из работы А. М. Ляпунова [2] следует, что состояние равновесия М устойчиво.

Ь > Ь - ас >

с

< г < -.

Ьа М

датами и оно неустойчиво. Доказательство. Если

^ 2(1 +с)

у _

^ 1 + 2а + 6'

то

2(1 + с) -(1 + 2а+Ь)г «1 = -:- ^ 0.

Ь - ас

Тогда состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому пусть % > 0 и

сс

<г < —Ц--'— < -.

1 + Ь 1 + 2а+Ь а

Если ас-1 ^ О, то а2 < 0 и состояние равновесия М также неустойчиво. а > ас - > .

Ь2 -1 + 4с(ас - 1) 2(1 +с)

< г <

а Ь - Ь ас - а Ь

Это неравенство возможно, если

ас- Ь с - с а Ь Ь - а с - а Ь >

или

Ь - ас ас - - Ь > .

Но

4(ас - 1) + (1 - Ь2) = 2(2ас - 1 - Ь) - (Ь - I)2 < 0.

Поэтому неравенство (7) невыполнимо и а2 < 0. Тогда а!а2 - аз < 0 и,

М

Ь - ас <

с

- < -- < г < с.

аа

М

датами и оно устойчиво.

М

1 - аг „ г - с

хг — Xсу — _ .. . ^ х3 —

- ас - ас

и положительны. В этом случае

с - а г ас - - аг г - с аз =0, ах = ---, а2 =

- ас - ас

В силу условий теоремы ^ > 0, а2 > 0 и характеристическое уравнение имеет нулевой корень, а два корня имеют отрицательные действительные части. Кроме того, имеем состояния равновесия, определяемые из системы уравнений

х\ + ж2 + ах = 1, сх + сж2 + ^з = г. Поэтому этот случай называется особенным случаем [2] и состояние М

Теорема 6. Пусть выполнено одно нз следующих условий:

с

1) Ь = 1, 1 - ас < 0, - < г < -- < с;

аа

2) Ъ = 1, 1 - ас > 0, с < г < -.

а

М

ординатами и оно неустойчиво.

Доказательство. В случае 1 ^ < 0, аз = 0, следовательно, соМ

а>

с

с < г < -- < -.

аа

а < М

Теорема доказана.

Ь - ас <

с

- < -- = г < с.

аа

М

датами и оно устойчиво.

Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем

ас —

хх = х2 = —г-г, ж, = --, ах = и, аз = и, а2 =

а а а

Характеристическое уравнение имеет корни А = О, А,з = ±в®> гДе в2 = а2. Для системы уравнений (3) применим преобразование вида

У1=х-у, у2 = х + у + аг, у3=р(х + у), где р = у/ ас - 1.

Тогда получим следующую систему уравнений:

Ш = — У1У2,

12 2 2 + а — ас

У2 = РУз + -(У2~Уз)--УзУз ?

а ар

Уз = —вУ2 — ЙШ-

Для этой системы уравнений существуют два интеграла 7Г~ = С1 ; у| + Уз + р(У2,Уз) = с2,

вУ

где ^(у2, Уз) — сходящиеся ряды, начинающиеся с членов не ниже треМ

устойчиво. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

3. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических случаях. Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

12 декабря 2008 г.