Об одной конструкции строго гармонических колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

III. Алгебра и геометрия

УДК 517.11+517.98

ББК 22.12

© В.И. Антонов

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет

ОБ ОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ СТРОГО ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕЦ

В работе приводится одна конструкция построения класса строго гармонических колец.

Ключевые слова: строго гармонические кольца, локальные кольца, булевы алгебры, абелево

регулярные кольца, хорновы свойства.

© V.I. Antonov

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University

ABOUT ONE CONSTRUCTION OF STRICT HARMONIC RINGS

The article is devoted to a model for construction of a class of the strict harmonic rings.

Key words: strict harmonic rings, local rings, Boolean algebras, Abel regular rings, Khorn’s properties.

Введение

В работе [1] рассмотрены разные классы алгебраических систем F^, у которых внутренние объекты F(1)г хорошо изучены, чем исходные алгебраические системы F(1)_ Одним из таких классов является класс строго гармонических колец, а его внутренним объектом является класс локальных колец с единицей. В работе приводится один алгоритм построения строго гармонических некоммутативных колец из класса локальных коммутативных колец.

Строго гармонические некоммутативные кольца

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и B(R) - множество всех его центральных идемпотентов. Множество B(R) является булевой алгеброй относительно операции: ex a e2 = e1 • e2, e1 v e2 = e1 + e2 - e1 • e2, e = 1 - e с наибольшим элементом 1 (единица кольца) и наименьшим элементом 0 (нуль кольца). Здесь и далее буква « e » с индексами или без них обозначает произвольный элемент из B(R).

Определение 1. Ассоциативное кольцо R с единицей называется локальным, если оно имеет единственный максимальный правый идеал. Как известно, свойство «быть локальным кольцом» записывается формулой "к е R $t е R ( k • t = 1 v (1 - k)• t = 1 ).

Определение 2. Ассоциативное кольцо R с единицей называется строго гармоническим, если для любых двух неравных максимальных правых идеалов Ых и M2 существует центральный идемпотент из R, разделяющий их, т.е. e е Mх и e £ M2.

Мы приведем разнообразные классы строго гармонических коммутативных и некоммутативных колец.

Определение 3. Ассоциативное кольцо R называется абелево регулярным, если "г е R е R (г • r • r = r).

Регулярное кольцо R называется абелево регулярным, если все его идемпотенты являются центральными.

Примером абелево регулярного кольца является тело и прямое произведение тел.

Теорема 1. Любое абелево регулярное кольцо R является строго гармоническим кольцом.

Доказательство. Действительно, пусть Я - абелево регулярное кольцо. Легко показать, что любой правый идеал кольца Я является левым идеалом и всякий идеал порождается своими центральными идемпотентами. Следовательно, Я является строго гармоническим кольцом. □

Теорема 2. Любое локальное кольцо Я является строго гармоническим кольцом.

Доказательство. Действительно, следующие условия эквивалентны для кольца Я:

1) Я имеет единственный максимальный левый идеал;

2) Я имеет единственный правый идеал;

3) Я является локальным кольцом.

Известно, что Я является локальным кольцом, если все необратимые элементы образуют двусторонний идеал. Собственный идеал не содержит обратимого элемента. Следовательно, этот идеал является наибольшим собственным идеалом. □

Укажем сейчас одну конструкцию получения нового класса строго гармонических колец, если задан некоторый исходный класс строго гармонических колец.

Теорема 3. Пусть Я - строго гармоническое коммутативное кольцо с единицей, а Я -кольцо всех верхнетреугольных матриц порядка п над кольцом Я, у которых диагональные элементы равны. Тогда Я является строго гармоническим некоммутативным кольцом.

Доказательство. Элементы кольца Я имеют вид:

а

а.

а

, где а,а., є Я.

0 а

Пусть / - некоторый правый идеал в Я . Определим а/ ) = {а є Я | а является диагональным элементом некоторой матрицы А из J}. Тогда а{/) является идеалом в кольце Я . Действительно, при умножении и сложении матриц такого вида соответствующие диагональные элементы матриц умножаются и складываются. Обратно: пусть / - некоторый

идеал в Я . Определим Ь{/) = {а є Я | диагональный элемент А из /}. Тогда ¡3/) - двусторонний идеал в Я . Это легко проверить. Если / - максимальный идеал в Я, то ${/) -

максимальный идеал в Я . Действительно, только сложение матриц вводит новый диагональный элемент, т.е. расширяет идеал Ь/). Следовательно, расширяется /. Поэтому если Ь{/) немаксимальный, то таким будет идеал / .Пусть М, N - два различных идеала в Я .Тогда существует е є В{Я) такой, что е є М, е Ї N. Рассмотрим матрицу

е =

0 е

Имеем е е Ь(М), е £ /3(Ы) .Проверим, что любой максимальный идеал в Я имеет вид где М - некоторый максимальный идеал в Я .Для этого достаточно доказать, что любой собственный идеал J в Я содержится в некотором Ь(М), где М - максимальный идеал в Я . Пусть J- собственный правый идеал в Я .Очевидно, мы имеем J с )).

Это следует непосредственно из определения операторов а и (. Если а(3) - собственный идеал в Я, то выберем максимальный идеал М в Я такой, что а(3) с М. Отсюда следует J с ((М). Задача заключается в том, чтобы доказать, что а(3) - собственный идеал, если J- собственный правый идеал в Я . Допустим противное, т.е. а(1) = Я или

1 е а(1). Значит, существует некоторая матрица А е J такая, что ее диагональный элемент

0

е

е

есть 1. Обозначим Jij матрицу, где на (/, ]) месте находится 1, а на остальных местах все нули. Для любого ] >1 мы имеем: J1= А ■ J1е J, т.к. J является правым идеалом и

J1 j î R при j >1. Замечание: J11 Ï R . Мы получим B = A — t (J i j • ai; )e J,

так как

j=i

A î J и J1 j • a

a

i j

a

î J для всех j > 2 . По условию матрица A имеет вид:

1 a12 a13 •• a1n

A= 0 1 a22 •• a2n

0 0 0 1

Отсюда имеем B = (bjJ ) и b1= 0 для всех j Ф 1 и B î J, b11 = 1. Аналогично для всех j > 2 имеем J2 j = B • J2 j î J, так как B î J и J2e R и J - правый идеал в R . Используя индукцию по n получим, что все матрицы Jj î J для всех j > i. Отсюда получим

единичную матрицу E î J, так как E = A — t Jj}. • atj î J, A î J, Jj}. î J и J - правый

i< i

идеал в R . Значит, J - несобственный правый идеал, т.е. J = R. Получим противоречие. Значит, a(J ) - собственный идеал в R, если J - собственный правый идеал в R . Тем самым доказали, что R -строго гармоническое кольцо, если R строго гармоническое коммутативное кольцо. Рассмотрим в R множество P всех матриц с фиксированным нулевым столбцом. Отметим, что элементами главной диагонали таких матриц являются нули. Легко проверить, что множество P таких матриц образует левый идеал. Очевидно, P не является правым идеалом в R. Наоборот, пусть N - множество всех матриц с фиксированной нулевой строкой. Элементы главной диагонали таких матриц есть нули. Легко показать, что N является правым идеалом, но не будет левым идеалом. Отсюда следует, что при n > 3 кольцо R является некоммутативным кольцом. □

Заключение

Известно, что любое строго гармоническое кольцо можно представить соответствующим пучком ассоциативных колец с единицей над булевым пространством. Слоями данного пучка являются локальные кольца. Следовательно, все хорновы свойства класса локальных колец истинны в классе строго гармонических колец.

Литература

1. Любецкий В. А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа // УМН. - 1989. -Т. 44, № 4. - С. 99-153.

2. Антонов В.И. Хорновы свойства некоторых классов решеточно упорядоченных групп // Вестник БГУ. Математика и информатика. - Вып. 1. - 2004. - C. 7-13.

3. Ламбек И. Кольца и модули. - М., 1971.

References

1. Lyubeckij V.A. Estimations and sheaves. Some questions of nonstandard analysis // UMN. - 1989. - Vol. 44. - Vyp. 4. - P. 99-153.

2. Antonov V.I. Khorn properties of some lattice-ordered groups classes // Vestnik Buryatskogo gosu-darstvennogo universiteta. - Ulan-Ude. - 2004. - Seriya 13. - Vyp. 1. - P. 7-13.

2. Lambek J. Rings and modules. - М., 1971.

0

0