Об одном классе пучковых ассоциативных колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгебра и геометрия

УДК 517.11 + 517.98 ББК 22.14

© В.И. Антонов

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ

Об одном классе пучковых ассоциативных колец

В работе изучаются хорновы свойства класса полупервичных рационально полных ассоциативных колец.

Ключевые слова: полупервичные кольца, первичные кольца, рационально полные кольца, булевы алгебры, хорновы свойства.

©V.I. Antonov

Buryat State University, Ulan-Ude

About one class of sheaf associative rings

In the article khorn properties of the class of semi-prime complete rational associative rings are studied.

Key words: semi-prime rings, prime rings, rational complete rings, Boolean algebras, khorn properties.

Введение

Булевозначный анализ алгебраических структур представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Для алгебраических структур метод булевозначного анализа эффективен, если для алгебраической системы K удается построить такой содержательный пучок F(•) на полной булевой алгебре B , что K = F(1) (пучок F(•) называется представляющим систему K ). В связи с этим важен вопрос о возможности построения такого пучка F (•).

В работе строятся пучки F(•), представляющие полупервичные рационально полные кольца на полных булевых алгебрах и изучаются семантические оценки формул в языке колец.

Оценки в рационально полных кольцах

Пусть R ассоциативное кольцо с единицей, а B = B(R) булева алгебра его центральных идемпотентов. Тогда естественным образом определяется предпучок F(•) на B . А именно

полагаем F(e) = eR , где e g B, а также если e1 < e2, то p^2 (r) = e^ , где e1, e2 g B и

e1

r g F (e2 ). Этот предпучок называется каноническим предпучком на B .

Напомним, что ассоциативное кольцо называется полупервичным, если пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Идеал I называется первичным, если I Ф R и Wj,

VI2 (I1 • 12 £ I ^ I1 £ I V 12 £ I ), где I1 , I 2 произвольные идеалы в R . Правый идеал I кольца R называется плотным, если для каждого элемента r g R левые аннуляторы множеств {s g R|r • s g I} равны нулю; кольцо R называется рационально полным, если

для любого плотного правого d идеала D и любого гомоморфизма f g Homr (D, R) найдется элемент r g R, такой, что Vd g D ( f (d ) = dr ).

Пусть Я полупервичное кольцо, I идеал кольца Я. Тогда известны следующие свойства:

1. Левый аннулятор идеала I равен его правому аннулятору, т.е. I = I *.

2. I плотный идеал тогда и только тогда, когда I * = {0}.

3. I п I '={0}, I +1 • плотный идеал кольца Я .

Предложение. Если Я полупервичное рационально полное кольцо, то любой аннуляторный идеал выделяется прямым слагаемым.

Доказательство. Пусть I идеал кольца Я, I* правый аннулятор идеала I в Я. Определим отображение к : I +1 Я по правилу к(а + Ь) = Ь, где а е I, Ь е I*.

Отображение к корректно определено, так как I +1* прямая сумма. Легко проверить, что к есть гомоморфизм Я -модулей. По условию кольцо Я рационально полное, значит, Бы е Я такой, что к(с) = ы • с , где с е I +1*. Покажем, что ы центральный идемпотент кольца Я . Пусть Ь е Я , Ьыс = Ьк(с) = к(Ьс) = ыЬс . Следовательно, (Ьы - ыЬ)• с = 0 для всех с е I +1 *. Из плотности идеала I +1 * следует Ьы = ыЬ. Осталось показать, что ы2 = ы . Итак, ы2с = ык(с) = к(ыс) = ыс, так как ыс е I*. Действительно, так как с е I +1*, то Бс1 е I, Бс2 е I *, что с = с1 + с2. Выполнены ыс1 = 0, ыс2 = с2. Значит, ыс = ыс1 + ыс2 = ыс2 е I*. Следовательно, (ы2 - ы)• с = 0 для всех с е I +1*. Докажем, что I * = ыЯ. Действительно, ыга = 0 для всех а е I. Если г • I = 0, то г е I * и ыг = г . □ Определение 1. Кольцо Я называется В -кольцом, если В(Я) полная булева алгебра. Определение 2. Кольцо Я называется пучковым, если оно В -кольцо и канонический предпучок ^ (•) на В является пучком.

Мы приведем широкий класс пучковых колей, а именно класс полупервичных рационально полных колец.

Для любого пучкового кольца Я определяется отображение Я (Я )^ В(я) , где Я (Я) -множество всех предложений в языке колец с множеством Я в качестве множества параметров. Это отображение называется В -оценкой и обозначается [[•]]В . Для атомарного предложения г = я оценка определяется следующим образом:

[[г = я]]В ^ е В(Я)ег = ея}. Если г, я - полиномы, то они заменяются на их значения,

вычисленные в кольце Я. Затем это отображение продолжается на все множество Я (я) обычны образом: [[^Д И]в ^ Мв Д Ив , [[Б*И]в ^ Кг)]]в |г еЯ} и аналогично для всех других пропозициональных связок и квантора V. Оценка [[]]В замкнута относительно классической выводимости в теории колец.

Теорема. Пусть Я полупервичное рационально полное кольцо. Тогда Я пучковое кольцо и [[Я первичное кольцо]] = 1В , где 1В наибольший элемент булевой алгебры В(Я).

Доказательство. Пусть Я полупервичное рационально полное кольцо. Тогда по предложению имеем В(Я) = В*(Я), где В*(Я) полная булева алгебра аннуляторных идеалов кольца Я . Проверим, что канонический предпучок ^(•) на В(Я) является пучком. Пусть {еа} разбиение единицы и еа • яа е ¥(еа). Тогда д(1 -еа) = 0, так как Vеа = 1.

а а

( V

Значит, е«Я I =п(1 - еа)Я = 0, т.е. 2 е„Я плотный идеал в Я . Эта прямая сумма,

V а ) а а

так как по дизъюнктности семейства {еа} из е1г1 +... + епгп = 0 следует, что е1г1 = 0, ...,

епгп = 0. Положим / (е1г1 + . + епгп ) = е1я1г1 + ••• + епяпгп . Тогда / е НотЯ (2 еаЯ . Из

V а

рациональной полноты кольца R следует существование элемента s е R такого, что e1s1r1 + ... + ensnrn = s(e1r1 + ... + enrn). Отсюда имеем Va(easa = eas). Такой элемент s

определяется однозначно. Действительно, если Va (easa = eas). Тогда Va (eas = eas).

Значит, (i e„R j( s - s) = 0 . Отсюда s = s . Осталось показать, что

[[R первичное кольцо]] = 1. Для этого нам необходимо проверить, что оценка [[Vr е R(arb = 0) ^ a = 0 v b = 0]] = 1, которая равносильна

Vr е R [[arb = 0]] < [[a = 0]] v [[b = 0]]. Пусть e е B(r) и e • arb = 0 для всех r е R. Покажем, что [[a = 0]] v [[b = 0]] > e . Рассмотрим I = (b) главный идеал, порожденный

элементом b кольца R , I * аннулятор идеала I. Тогда I +1 * плотный идеал кольца R и I n I* = 0. Определим отображение h : I +1 * ^ R по правилу h(r1 + r2) = r1, где r1 е I, r2 е I *. Отображение корректно определено, так как I +1 * прямая сумма. Непосредственно проверяется, что h гомоморфизм R -модулей. Следовательно, существует элемент и е R , такой, что h(s ) = us для всех s е I +1 *. Покажем, что и е R является центральным идемпотентом кольца R . Пусть r е R, то rus = rh(s) = h(rs) = urs для всех s е I +1 *. Значит, (ru - ur )• s = 0 для всех s е I +1 *. Из плотности идеал I +1 * следует ur = ru . Далее, u2s = uh(s) = h(us) = us , так как us е I. Действительно, из s е I +1 * следует, что 3s1 е 1, 3s2 е I * (s = s1 + s2). Значит, us = u (s1 + s2 ) = us1. Из определения отображения h следует ub = b. По условию eaRb = 0. Значит, ea е I *. Следовательно, u • ea = 0. Тогда [[b = 0]]> 1 - u , [[ea = 0]]> u . Значит,

[[b = 0]]v[[ea = 1]] = 1 (*). Проверим следующее соотношение: e[[ea = 0]] = e[[a = 0]].

Действительно, по определению оценки [[•]] и из пучковости кольца R имеем: [[ea = 0]] • ea = 0 , [[a = 0]] • a = 0 . Отсюда получим e • [[ea = 0]] < [[a = 0]],

e • [[ea = 0]] < e • [[a = 0]]. Очевидно, что [[a = 0]] < [[ea = 0]]. Значит, e • [[ea = 0]] = e[[a = 0]]. Соотношение (*) умножим на e. Имеем e([[b = 0]]v[[ea = 0]]) = e, e • [[b = 0]] v e • [[ea = e]] = e, e • [[b = 0]] v e • [[a = 0]] = e , [[a = 0]] v [[b = 0]] > e . □

Поскольку все известные теоремы о первичных кольцах могут быть доказаны в ZFC , то их булевы оценки равны 1в. Данное обстоятельство позволяет в силу доказанной теоремы переносить некоторые результаты о первичных кольцах на полупервичные рационально полные кольца. Здесь приведем лишь простейшее следствие.

Следствие. Хорновы теории классов полупервичных рационально полных колец и первичных колец совпадают.

Заключение

Раньше автором был изучен V3 - хорновы теории следующих классов колец: строго гармонических нормальных, бирегулярных, абелево регулярных и p - колец. Основным методом изучения является гейтинговозначные оценки в чистых пучках ассоциативных колец.

Литература

1. Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа // УМН. - 1989. -Т. 44, № 4. - С. 99-153.

2. Антонов В.И. Об одной конструкции строго гармонических колец // Вестник БГУ. Математика и информатика. - Вып. 9. -2009. - С.106-108.

3. Ламбек И. Кольца и модули. - М., 1971.