Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

IV. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

УДК 517.11+517.98 © В.И. Антонов

СТРУКТУРНЫЙ ПУЧОК И БУЛЕВЫ ОЦЕНКИ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП

В работе строятся пучки F( •), представляющие l-группы и определенные на полных булевых алгебрах В, связанных с исходной алгебраической системой. Изучаются семантические оценивания, соответствующие этим пучкам.

Ключевые слова: булевозначный анализ, оценки, пучки, предпучки, решеточно упорядоченные группы, ортополные В-группы, ортополные проективные l-группы.

V.I. Antonov

STRUCTURAL BEAM AND THE BOOLEAN EVALUATION OF LATTICE-ORDERED GROUPS

In the work beams of F (•) are constructed. They represent the l-group, defined at complete Boolean algebras B, and connected with an initial algebraic system. The semantic evaluations, correspondent to these beams,are studied.

Keywords: Boolean valued analysis, evaluation, beams, pre beams, lattice-ordered groups, orthocomplete B-groups, orthocomplete projective l-groups.

Введение

Гейтинговозначный анализ, и в частности булевозначный анализ алгебраических структур, представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности для доказательства независимости от аксиом теории множеств некоторых ее гипотез, например континуум-гипотезы. Примеры таких результатов можно найти в работах П. Вопенка, Д. Скотта, Р. Соловея, Г. Такеути, В.А. Любецкого и Е.И. Гордона. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализы могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем, например, в фундаментальных работах С.С. Кутателадзе и А.Г. Кусраева [1; 3]. Для алгебраических

75

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

структур метод гейтинговозначного анализа эффективен, если удается построить такой содержательный пучок F (•) на полной гейтинговой (или

булевой) алгебре Q, что K = F(1) (пучок F(•) называется представляющим систему K). В этой связи важен вопрос о наличии такого пучка F(•) . Примеры таких пучков можно найти в работах Р. Пирса, К. Кайме-

ла, Ж. Даунса, К. Гофмана, Ф. Борсо, Х. Сименса, Ван Де Боша; однако все эти пучки заданы на полных гейтинговых алгебрах-топологиях т некоторых топологических пространств, связанных с исходной системой K . Такому пучку F(•) соответствует следующая оценка [*]т, определенная

на множестве всех формул ф(k1,...,kn) с параметрами k1,...,kn е K. А именно, [k = t] = sup |u е Q|p:u (k) = p:u (t)} и аналогично для других атомарных формул; и [фл у] = inf |[ф], [у]}, [Зхф] = эир{[ф(k)] |k е к} и аналогично для других связок. Эта оценка замкнута относительно только интуиционистской выводимости (это означает: если [ф]^ = 1 и у интуиционистски выводима из ф , то [у]^ = 1). Поэтому особый интерес представляют пучки F(•), определенные на полных булевых алгебрах B. В этом случае мы имеем: если [ф]в = 1, и у выводима из ф , то [у]в = 1, т.е. соответствующая пучку оценка замкнута относительно классической выводимости. Оценка [•], определенная в связи с алгебраической системой K , называется еще семантическим оцениванием в алгебраической системе K . В работе строятся пучки F(«), представляющие /-группы и определенные на полных булевых алгебрах B, связанных с исходной алгебраической системой. Изучаются семантические оценивания (оценки) [*]в, соответствующие этим пучкам F(«). На этой основе изучаются хорновы и другие теории разных классов /-групп.

Структурные пучки решеточно упорядоченных групп

на полных булевых алгебрах

Пусть G - решеточно-упорядоченная группа (/-группа). Обозначим B(G) множество всех ее дополняемых /-идеалов. Это множество является булевой алгеброй относительно операций: N1 лИ 2 =N1 nN 2, N1 v N2 = N1 + N2, " N = N1, причем наибольшим элементом lG является вся /-группа G и наименьшем элементом 0G (нулевой /-идеал), где

В.И. Антонов. Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп

N1 = {x е G| Vn е N (|n| л |x| = 0)}. Буква N с индексом или без него везде

обозначает произвольный элемент алгебры B(G).

l-группу G назовем B-группой, если булева алгебра B(G) является полной. l-группа G называется ортополной, если существует sup M для любого ортогонального множества M положительных элементов группы G. l-группа G называется проективной, если выполняется G = g1 + g 11 для

всех g е G, где g1 = {x е G | |x| л |g| = о} и g11 = (g1 ^ . l-группа G называется квазирегулярной, если выполняется G = (gj n g1 и (g n g 1= 0 для всех g е G, где (g - главный l-идеал, порожденный элементом g е G.

Для любой l-группы G определяется предпучок F(^) на булевой алгебре B(G). А именно F(N)=N; если Nj <N2, то pN (g)-»N1g для всех

g е N2, где g = N1 (g) + N1L(g), N1 (g)е N1 и N1L(g)eN1 . Этот предпучок F(^) назовем каноническим предпучком.

Теорема 1. Пусть G - любая ортополная B-группа. Тогда канонический предпучок F(^), представляющий G является пучком на полной булевой алгебре B(G).

Доказательство теоремы разобьем на четыре леммы. Предварительно докажем одно предложение.

Определим отображение (pN : G ^ N, положив (pN (a) = a1, если

a = a1 + a2, где a1 е N, a2 е N1. В силу дизъюнктности множеств N и N1 такой a1 однозначно определяется по а.

Предложение 1. Выполняются следующие свойства:

1) ((a + b) = ((a) + ((b) для любых a, b е G.

2) (a > b) ^ (N(a) > (N (b)) для любых a, b е G.

3) (N (v aa) = v(N (aa), если v aa существует в G.

Если N = vNa , Ме B(G), {Na}— B(G), то ((a) = v(N(a) для любого a е G +.

В дальнейшем будем обозначать N(a) = ((a) для всех N е B(G) и a е G.

Лемма 1. Для всех N, H е B(G) и aе G выполняется (N л H)(a) = N(H(a)) = H(N(a)).

Пусть N, H е B(G) и N — H. Обозначим через (NJ ограничение отображения на H, где : G ^N.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

Следствие. Пусть N с Н с R и N, Н, Яе B(G). Тогда ^ = • <рН , т.е. У а е Я (^ (а) = <рН (а) • (а)). Другими словами, ^а) = ^Н(а)) для всех ае Я.

Определение. Из этого следствия получаем, что по произвольной /группе G однозначно определяется предпучок F(•) на булевой алгебре В=В(О), представляющий G (т.е. G=FB(1)). А именно, предпучок F(•) на

В определяется следующим образом: F(N)=N и если N с Н, то ^ (а)= N(a) для любого аеН и для любых N Н еВ. В дальнейшем этот предпучок F(•) будем называть каноническим предпучком.

Лемма 2. Предпучок F(•) является отделимым, а именно У^^с В(G) У] е В (G) Уа1 е F(N) Уа2 е F(N)

(] = У^ л (Уа(а1) = N (а2))) ^ а1 = а2.

Лемма 3. Пусть G - ортополная В-группа. Тогда у] , N а е В (о) (^тлУа^;УapеN +р Шал^Хаа)М^ал Np)( ар))^3!аеЯ+(Уаел( Ща)=аа)))

Лемма 4. Пусть О - ортополная В-группа. Тогда у], N а е В (о)

(]=УЫ^ лУаа е^ У^ е^ ((Na л^)(аа) л^)(ар)

3!а е^УЦкД а)= ая))

Доказательство. Пусть аа еNa, ар еNр и (^ л^)

(^Н^ )(ар). Тогда легко показать, что К ^И=Н )(ар) и

(^ л N )(а;)= (^ л^ )(ар). Из леммы 3 имеем 3 ! Ь е N Уа еЛ

(^ (Ь ) = а*) и 3 ! с е N Уа еЛ (^(с) = аа ). Возьмем за а=Ь-с, а еN.

Тогда N (а) = N (Ь) (с) = а* - а- = аа . Единственность такого элемента а следует из самого доказательства леммы. Мы доказали теорему 1.

Булевы оценки в структурном пучке решеточно упорядоченных групп

Для любой ортополной В-группы О определим отображение Я(О) ^ В(О), где Я(О) - множество всех предложений в языке /-групп с множеством О в качестве множества параметров. Это отображение называется В-оценкой и обозначается [*]В. Для атомарного предложения g=h оценка определяется следующим образом:

= Ь]В = У^е В(О) Ng) = N(Ь)} . Затем это отображение продолжается

В.И. Антонов. Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп

на все множество Я(() обычным образом [фл у]в = [ф]в л[у]в, [3 х ф] = V |[ф(g)]в | g е G| и аналогично для всех других пропозициональных связок и для квантора V. Оценка [*]в замкнута относительно классической выводимости в теории /-групп, т. е. выполняется, во-первых, [ф]в = 1( для всех классических аксиом ф ; и, во-вторых, если

[Ф]в = 1( и [у]в = 1(, а и получается из р, у по одному из правил вывода, то [и]в = 1( . Поэтому |-ф 01 ааа е 01 ёие! 01 ааа, е1 ааа [ф]в = 1(, ааа | - обозначает классическую выводимость (в некоторой подразумеваемой теории).

Определение. /-группа ( называется нормальной, если выполняется свойство: V g е ( 3 N е Б(() VN е Б(() (^g) = 0 ^ N с N(5) .

Предложение 2. Выполняется свойство: V g, h е ( ([g = h] е в(()) тогда и только тогда, когда /-группа ( нормальная.

Теорема 2. Пусть G - ортополная В -группа. Тогда выполняется следующее:

а) G - проективная / -группа тогда и только тогда, когда

^ - линейно упорядоченная группа ]=1(, где 1( - наибольший элемент булевой алгебры B(G);

б) G - квазирегулярная / группа тогда и только тогда, когда ^ - / -простая линейно упорядоченная группа ]=1(, где 1е - наибольший элемент булевой алгебры B(G).

Доказательство. а) Пусть G - проективная / -группа. Тогда имеем [§ = 0] = §1 для любого § е G . Действительно, эквивалентны следующие

соотношения N(§) = 0 , § е и N = с §1 для любых N е В^) и § е G. Вычислим оценку ^ - линейно упорядоченная группа ]= П ([х < у]^[х > у ]) = П ([ х - У < 0]и[х - у > 0]) =.

х,иеО х, уеО

= П([§ < 0]^[§ > 0]). Пусть § е G . Тогда

gеG

§ < 0]и § > 0]= § V 0 = 0]и § л 0 = 0] = (§ V 0)1и(§ л 0)1 .Легко показать, что (§ V 0) 1 (§ л 0). Значит § л 0 е (§ V 0)1. Отсюда получаем

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

(g V 0) с с (g л 0) . Следовательно, для любого g е G имеем

g < 0]и[ ж > 0]з( Ж V 0)±и( Ж V 0 )^=( Ж V 0)±+( Ж V 0)11 == О .

Обратно, пусть О - ортополная 5 -группа и [О - линейно упорядоченная группа ]=1^ Проверим, что О - проективная /-группа. Условие «быть проективной /-группой» записывается хорновой формулой, а именно У&,g2 е О Зк1,к2 е О Ук е О ((| к | л | g21= 0)л

л(| к | л | g21= 0 к21 л | к |= 0)л(g1 = к1 + к2)) . Обозначим эту формулу (р. Пусть I// ^ V»! ¡/((а <Л) /(а>Л)). которая выражает свойство, что /группа есть линейно упорядоченная группа. Заметим, что любая линейно упорядоченная группа является проективной /-группой. Тогда по теореме

2 ^ ф]а = 1. и по условию [у]О = 1. Значит, [ф]о = 1. Из предложения

2 получаем С\=ср.

б) Пусть О = <g) + g1 и <g) п g1 = {0} для любого g е О . Отсюда получим g11 = (g) для любого g е О, т.е. О - проективная /-группа. Следовательно, из предыдущего пункта имеем [О - линейно упорядоченная группа ]=1^ Условие «быть /-простой группой» имеет вид Уg е О ((g = 0^У/ е О Зп е N 3^, ..., Зжп е о (|/|< .¿|-а + g + а |)). Вычислим

оценку [Уg е О ((g = 0) vУt е О Зп е N Зж^..., gn е О

(И <£|-а + ж+а|)] = П ([ж = °]^(Пи ( и ([И < <£|-а +*+а|> Пусть

¡=1 ЖеО tеGnеN .....& )еО" ¡=

я, И е О . Проверим, что и ( и [|И <

nеN (й.....Жп )еОп

и ( и И <11- ж- + ж + 4 >[ж * 0]=(ж>. Действительно, по условию

nеN (Ж1.....Жп )еОп -=

О = (Ж) + Ж1 для любого ж е О . Поэтому существуют /1, /2 е О такие, что | / |= / + /2, где / е (ж), /2 е ж 1. Заметим / л /2 = 0. Имеем

т

| И |= /1 + /2 <К1 + | I -Ж- + Ж + Ж- I + I И2 I для некоторых gl, ..., Жт е О . От-

¡=1

сюда получим 0 <| /1 -1 /1 л(Х | - ж- + ж + ж- |) =

-=1

1

= /| +(-|/l)v-(jL]-Ж- + Ж+Ж-1)=0^/1"(X)-Ж- + Ж+Ж-1))/21= /21= /2 ее Ж1. Следова-

¡=1 ¡=1

тельно, (ы. ( (^ ))1 11 . . . Получим

(|/|-|/|л(Х|-Ж, + Ж + Ж, |))13 Ж =<Ж) ^

В.И. Антонов. Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп

и и + g + аР>(и-Ил(]Г|-& +g + а))1^).

<g,.....g, )еО-

Обратно, свойство квазирегулярности записывается формулой ^ УН ^ Зп 3/ц, ..., Зкп ((|&|л|А|= о) л (|&|<!;|-Н + Н+Н |) л (Я=gl+г2)), где п -

переменная по всем натуральным числам, и, строго говоря, вместо Н1, . .., Нп нужно написать переменную Н нового сорта, пробегающую не G, а множество всех конечных последовательностей из элементов G. По ус-

п

ловию [Уg У И Зп Зgl,...,gn (^ = 0)V(|и|<£|-g, + g + g,|))]= 1о и G - ор-

,=1

тополная 5-группа. Пусть g,t е G. Обозначим ^ =(g1, ..., gn) и дл. (g ) длину кортежа g. Тогда [Зп е N ^ ((дл.

( £)= п) л ((g = 0) V ф| <]Г |- 8, + g + 8,.|)))] = 1G.. Согласно лемме 1 существует кор-

1=1

теж g длины п0 из элементов G такой, что

[ g = о]

V

И <Ё1-gi+g+g

= Пусть [ g = 0] = N

И <Х|- g^ + g + g

= N.. Тогда N + N = G . Отсюда из предложения 5

параграфа 1 имеем N(g) = 0 и ^ (| И |)<£N (| -& + g + & |). Из N + N1 = G имеем

1=1

Л/1. Следовательно, N 1(|и|)<£ (- N ^ (g,) + N N ^ (g,) ) . По

I = 1

свойству главного /-идеала получим N1(| И |)е(N1 (g)) . Значит, N1 (| И |) е <g) . Из N^) = 0 получим g е N1 . Поэтому N с g1. Отсюда имеем N(| И |)е g1. В силу разложения | И |= N(| И |)+ +^(| И |) имеем | И|е g 1+(g) . Значит, G = g 1+(g) . Из предыдущего пункта а) имеем G = g1 + g11. Отсюда следует, что g11 является /-идеалом и по свойству поляр имеем <g) с g11. Значит, <g) п g1 = {0} , так как g1 п g11 = {0} .

Поскольку все известные теоремы о линейно упорядоченных группах могут быть доказаны в ZFC, то их булевы оценки равны 1в. Данное обстоятельство позволяет в силу теоремы 2 переносить некоторые результаты о линейно упорядоченных группах на ортополные проективные /группы. Здесь приведем лишь простейшее следствие.

Следствие. Хорновы теории в языке /-групп следующих пар классов /групп совпадают:

а) ортополных проективных /-групп и линейно упорядоченных групп;

и

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

б) ортополных квазирегулярных /-групп и линейно упорядоченных /-простых групп.

Заключение

Все сказанное без изменений переносится на случай, если язык /-групп расширить новыми предикатными и функциональными символами.

Литература

1. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Булевозначный анализ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С.Л. Соболева, 2003. 386 с.

2. Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа / УМН. 1989. Т. 44. Вып.4.

3. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, 1990. 344 с.

4. Антонов В.И. Связь канонического пучка с пучком Каймела на стоуновом пространстве булевой алгебры прямых факторов решеточно упорядоченного кольца // Вестник БГУ. Математика и информатика. 2008. Вып.9. С. 102-105.

5. Антонов В.И. Булевозначные оценки в канонических пучках, представляющих ортогональные B-кольца. М., 1989. Деп. В.ВИНИТИ, №790-В89.

Антонов Вячеслав Иосифович, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой алгебры Бурятского государственного университета. 670000. г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 а. Е-mail: [email protected]

Antonov Vyaches/av Iosifovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head of department of algebra, Buryat State University.670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a.