ОБ ОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ СИЛЬНО ВЛОЖЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32

УДК 517.982.22 Дата: поступления статьи: 11.03.2021

после рецензирования: 15.04.2021 принятия статьи: 28.05.2021

С.И. Страхов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2905-9124

ОБ ОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ СИЛЬНО ВЛОЖЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ1

АННОТАЦИЯ

Показано, что наличие нижней р-оценки с константой 1 в симметричном пространстве E достаточно для того, чтобы условие эквивалентности сходимости по норме и по мере на подпространстве H пространства E выполнялось тогда и только тогда, когда числовая характеристика г/е (H) < 1. Последний критерий справедлив также для симметричных пространств, "близких "к Li, точнее, для которых справедлив аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности. В частности, показано, что пространства, "близкие "к Li, обладают свойством бинарности: характеристика пе(H) принимает лишь два значения, 0 и 1. Тем самым получен пример бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Lp.

Ключевые слова: симметричное пространство; пространство Орлича; норма Люксембурга; норма Орлича; нижняя р-оценка; сильно вложенное подпространство; эквивалентные нормы; сходимость по мере.

Цитирование. Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Т. 27, № 2. С. 25-32. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

© Страхов С.И., 2021

Степан Игоревич Страхов — аспирант кафедры функционального анализа и теории функций, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.

Введение

В работе изучается следующая числовая характеристика подпространства H симметричного пространства (с. п.) E:

fus у \\х*Х[0,т ]\\е m

Пе(Я) = lim sup-—-, (1)

хен \\х\\е

где x*(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), в неявном виде впервые появившаяся в работе Кадеца — Пелчинского [1] для Li, позже для произвольного с. п. у Токарева в [2]. Нас будут интересовать значения этой характеристики на подпространствах, в которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере (т. е. на сильно вложенных подпространствах). Один из критериев сильной вложенности подпространства H говорит о том, что в сепарабельном случае она

1 Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).

эквивалентна отсутствию в нём почти дизъюнктных последовательностей. В то же время, если Н содержит почти дизъюнктную последовательность, то пе(Н) = 1. Если для любого подпространства с. п. Е верно также и обратное утверждение, то мы будем говорить, что Е имеет г/-нормальную структуру. Как показано в [3], сепарабельные пространства Орлича с нормой Люксембурга имеют п-нормальную структуру. С другой стороны, при некоторых условиях на индексы Бойда в несепарабельном с. п. можно ввести эквивалентную норму так, чтобы п-нормальная структура отсутствовала [4]. В данной работе показано, что с. п. Е имеет п-нормальную структуру, если Е удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1 для некоторого р < ж.

Характеристика (1), вообще говоря, не инвариантна относительно эквивалентных перенормировок, поэтому возникает вопрос, когда п-нормальная структура сохраняется при такой перенормировке. В частности, этим свойством обладают бинарные пространства, т. е. такие, в которых характеристика (1) принимает лишь два значения, 0 и 1. Симметричные пространства, в которых верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, бинарны (см. теорему 3). С помощью этого результата мы получим примеры бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Ьр.

1. Предварительные сведения

Банахово пространство Е измеримых на [0,1] функций называется симметричным (кратко с. п.) или перестановочно-инвариантным, если

1) оно идеально, т. е. из ^ \у(£)\ для п. в. £ € [0,1], измеримости х и у € Е следует: х € Е и

ые < \\у\\е;

2) из равноизмеримости функций х и у, т. е. равенства

ц({г € [0, 1] : \у(г)\ > и}) = ц({г € [0,1] : \х(г)\ > и}), Уи > 0,

где ¡л(е) — мера Лебега множества е С к, и у € Е вытекает х € Е и \\х\\е = \\у\\е.

В частности, любая измеримая на [0,1] функция х(£) равноизмерима со своей невозрастающей непрерывной слева перестановкой

х*(г) := Ш{и > 0 : /л({в € [0,1] : ¡х^) > и}) <г}, 0 <г < 1.

Хорошо известно, что всякое с. п. является промежуточным между Ь2 и т. е. Ь2 С Е С Ь±. Также будем считать, что в с. п. выполнено условие нормировки:

\\Х[0,1] \\е = 1,

где Хе — характеристическая функция множества е С [0,1].

Стандартный пример симметричного пространства — пространство Лебега Ьр, р € [1, ж]. Естественным обобщением Ьр служат так называемые пространства Орлича. Функция ф : к+ ^ к называется функцией Орлича, если она строго возрастает, непрерывна, ф(£) = ж, ф(0) =0 и ф(1) = 1.

Пространство Орлича Ьф состоит из всех измеримых на [0,1] функций х = х(£) таких, что норма Люксембурга

inf j и> 0: J' ф( И) dt < l}

\\х\\ф = f и> 0: I ф[ lx(^)dt конечна. Часто пространство Ьф рассматривают с нормой Орлича

1 1

\\х\\°ф =sup{ У \x(t)y(t)\dt : J ^(\y(t)\)dt < l},

00

где ф(Ь) := вири^о(п£ — ф(и)) — сопряженная функция к ф. Введенные нормы эквивалентны:

\\х\\ф < \\х\\0ф < 2\\х\\ф.

Определение 1. Функция Орлича ф удовлетворяет Д^-условию (ф € Д2°), если существуют константа К ^ 2 и ¿о ^ 0 такие, что

ф(2£) ^ Кф(Ь) для всех £ ^ ¿0.

Если это неравенство имеет место для всех £ ^ 0, то говорят, что ф удовлетворяет Д2 — условию (ф € Д2).

Более полную информацию о функциях Орлича и пространствах Орлича можно найти в книгах [5-7]. Определение 2. [8, определение 6.4.4] Подпространство Н симметричного пространства Е называется сильно вложенным, если на Н сходимость по норме Е эквивалентна сходимости по мере.

Легко показать, что подпространство H сильно вложено тогда и только тогда, когда для некоторого £ > 0 имеем H С Me,e, где Me,£ — множество Кадеца — Пелчинского:

Me,s = {x € E, ii(t : \x(t)\ > £\\x\\e) > £}.

В данной работе в основном изучается числовая характеристика (1). Очевидно, что 0 ^ r/E (H) ^ 1 для любого подпространства H. Более того [9, предложение 3], nE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH := {x € H : \\x\\e ^ 1} имеет равностепенно непрерывные нормы, т. е. если

lim sup \\xXe\\E = 0. (2)

eC[0,1],M(e)^0 xeBH

С. п. E удовлетворяет нижней р-оценке с константой M, если для всякой последовательности попарно дизъюнктных функций {xi}n=i из E выполняется

n n 1

m||£xi\\E > (Е\ы\е)р.

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть Е — симметричное пространство и Н С Е — подпространство. Рассмотрим следующие 3 условия: (1) ПЕ (Н) < 1;

(И) существует е > 0 такое, что Н С Ме<£; (ш) существует 6 > 0 такое, что Н С ИЕ,з, где

ИЕ,5 = {х € Е : УЕ С [0,1] : ^(Е) > 1 - 6 выполнено: \\x\f\\Е > 6\\х\\Е}.

Тогда (гг) ^^ (ггг), (г) ^ (гг). Более того, если Е удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1 для некоторого р < ж, то (гг) ^ (г).

Доказательство. Покажем справедливость импликации (гг) ^ (ггг). Пусть Н С Ме}Е, то есть для всякого х € Н мера ^ е, где

Ql := {г : |х(г)| > е\\х\\}.

В данной теореме мы работаем только с нормой с. п. Е, поэтому индекс у нормы опускаем. Пусть Е С [0,1] и ¡л(Е) ^ 1 — 2. Заметим, что П Е) ^ |. Таким образом, если х € Н, то

\\х^\\ > \\хХ^пд1)\\ > е\\х\\\\Х^пд1)\\ > е\\Х[0,|]\\\\х\\.

Отсюда х € ИЕ,$, где 6 := шт(|,е\\х[0,2]\\). Следовательно, Н С ИЕ,$.

Докажем обратную импликацию (ггг) ^ (гг). Предположим, что (гг) не выполняется, т. е.

е е

Уе> 0, Зх € Н : ц(г € [0,1] : |х(г)| > -\\х\\) < -.

Обозначим

е

Q2 := {г € [0,1]: |х(г)| > 2\\х\\}.

Тогда ^([0,1] \ Q2) > 1 — 2 и для каждого I € [0,1] \ Q2

е

|х(г)| < 2\\х\.

Отсюда

е

\\хХ[0,1]\Ц2\\ < -\х\\Х[0,1]\д2\\ < е\\x\\,

т. е. х € Ле,£. Так как х € Н и е произвольно, то получено противоречие с условием (ггг).

Импликация (г) ^ (гг) хорошо известна [3], для удобства читателя приведём доказательство. Пусть Н не содержится в Ме,£ для любого е > 0, т. е. для произвольного е > 0 существует х € Н такое, что №^1) < е. Из этого условия получим следующую оценку:

\\х*Х[0,£]\\ > \\х*Х[0,мМ1)]\\ > \\хХЧ1 \\ > \\х\\ — \хХ[0,1]\«1 \\ > \\х\\— е\х\\х[0,1]\ > (1 — е)\\х\\.

Отсюда

ПЕH) > lim > lim(1 - £) = 1,

и импликация доказана.

Предположим, что Е удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1 для некоторого р < ж. Покажем, что тогда из (и) следует (1,). Если (,) не выполняется, то существует е > 0 такое, что Н С Ме}£ и Пе(Н) = 1. Отсюда, по определению характеристики пе(Н) существуют последовательности {хп}^=1, \\хп\\ = 1, {¿п}~=1, 5п ^ 0 такие, что

\\х*пХ(0,6п)\\ > 1 -

Пусть 6п ^ 2. В силу условия Н С Ме}£ имеем

\\хПх(й„,1)\\ > \\хПх(|,£)\ > е\\х(о,§)\\.

Так как пространство удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1, то в силу полученных выше неравенств, при 5п ^ 2,

1

1 = W<W > (w<x(0,5n)Wp + W<x(SnA)Wp)р > ((1 - n)p + f)Г

что невозможно, так как при достаточно большом п правая часть последнего неравенства строго больше 1.

В связи с доказанной теоремой введём

Определение 3. Симметричное пространство имеет /-нормальную структуру, если ге(Н) < 1 для всякого сильно вложенного подпространства Н С Е.

В [3] показано, что пространство Орлича с нормой Люксембурга при ф € имеет /-нормальную структуру. Приведем другое (более короткое) доказательство этого результата в случае, когда ф € Д2.

Следствие 1. Пусть ф — функция Орлича, ф € Д2 и (Ьф, \\ • — пространство Орлича с нормой Люксембурга. Тогда (Ьф, \\ • имеет /-нормальную структуру.

Доказательство. Покажем, что для некоторого конечного р пространство (Ьф, \\ ^ф) с нормой Люксембурга удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1. Для этого достаточно в силу [10, следствие 3.4] показать, что отношение ф(-)/Ьр при - ^ ж убывает. Действительно, пусть 0 < в <Ь и

г := ^ К,

где К — константа из Д2-условия. Если - € [2т-1в, 2тв] для некоторого т ^ 2, то, применяя неравенство из Д2-условия т раз, получим

Ф(t) < Km ФМ < Km ф(s) = КФ(Я) tr < tr < 2r(m-1)sr sr '

Отсюда

Ш < K& < (Г=Gf•

Если же - € (в, 2в), то - = (1 — в)в + в • 2в, где в := | — 1 и тогда

ф(-) < (1 — в)ф(в) + вф(2в) < (1 — в + Кв)ф(в), откуда, так как К ^ 2, по неравенству Бернулли,

ф-) < 1 + (К — 1)в < (1 + в)к-1 = (-)к-1. ф(в) в

Следовательно, отношение ф(-)/-р убывает, если р = max(2log2 К; К — 1). Для завершения доказательства осталось лишь воспользоваться теоремой 1.

С помощью аналогичных рассуждений этот результат можно доказать для нормы Орлича. Следствие 2. Пусть ф — функция Орлича, такая, что ф € Д2 и сопряжённая функция ф € Д2. Тогда пространство Орлича {Ьф, \\ • \\ф) с нормой Орлича имеет /-нормальную структуру.

Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно показать, что для некоторого конечного р пространство (Ьф, \\ • \\ф) удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1.

Так как функция ф € Д2, то существует такое конечное р > 1, что отношение ф(-)/-р, при - ^ ж, убывает. Заметим, что отношение ф(-)/-9 убывает тогда и только тогда, когда ф(-1/р)/- убывает (аналогично для возрастания). Покажем, что ф(в1!^ )/в возрастает, где 1/р + 1/ц = 1. Действительно, по определению

р

= 1 SUp {ts1/q - = (sv) Vp] = SUp {v{v-1/q -

s s t^o L J sv

Отсюда видно, что ^(s1/q)/s возрастает, следовательно, и ф(s)/sq возрастает. Согласно [10, следствие 3.4] пространство (L^, У • с нормой Люксембурга удовлетворяет верхней g-оценке с константой 1.

По [11, предложение 1.f.5], если с. п. E удовлетворяет верхней g-оценке с константой M, то сопряжённое пространство E* удовлетворяет нижней р-оценке с константой M. По условию ф € Д2, а значит,

L, ||| г = (Lф, н|°),

см. [5, теорема 9.1]. Таким образом, (Lф, || • ||ф) удовлетворяет нижней р-оценке с константой 1.

В [4, предложение 3] показано, что для произвольного с. п. (E, ||^||Е) норма |||x||| := ||x||E + ||x||Li эквивалентна исходной норме ||x||e и пространство (E, |||-|||) имеет ^-нормальную структуру. Иными словами, всякое с. п. можно эквивалентно перенормировать так, чтобы в новой норме оно имело ^-нормальную структуру.

С другой стороны, несепарабельное пространство, у которого индексы Бойда удовлетворяют условию 0 < а.Е ^ вЕ < 1/2, при соответствующей перенормировке не имеет ^-нормальной структуры [4, теорема 3].

Определение 4. Симметричное пространство E называется бинарным, если характеристика пе(H) принимает лишь два значения, 0 и 1.

Теорема 2. Пусть симметричное пространство (E, 11 • |е) имеет n-нормальную структуру и бинарно. Тогда пространство (E, 11 • | е) сохраняет n-нормальную структуру при любой эквивалентной перенормировке.

Доказательство. Пусть || • ||i — норма, эквивалентная норме || • ||е, и H — сильно вложенное подпространство (E, || • ||i). Так как нормы эквивалентны, то H будет также сильно вложенным подпространством пространства (E, | • | Е). Отсюда, применяя условия теоремы, получаем

П(Е , IHU )(H) = 0.

Напомним, что пе (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH имеет равностепенно непрерывные нормы (см. (2)). Но равенство (2) инвариантно относительно перенормировок, и, значит, оно имеет место и для (E, || • ||i). Тогда

п(е , |H|i)(H) = 0,

и теорема доказана.

В частности, условиям последней теоремы, удовлетворяют пространства Lp, р € [1, 2). Действительно, они бинарны [3, теорема III.2] и по следствию 1 имеют n-нормальную структуру. Следующий результат показывает, что с. п., в некотором смысле "близкие "к Li, бинарны. Более точно, если в с. п. верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности (такие с. п. в [12] охарактеризованы как пространства с (^т)-свойством), то оно будет бинарным.

Определение 5 [12]. Говорят, что симметричное пространство E на [0,1] имеет (Wm) - свойство (E € (Wm)), если из слабой сходимости и сходимости по мере следует сходимость по норме, т. е., если из условий [xn}^=1 С E, xn -А 0 и xn 0 следует: ||xn||E А 0.

Теорема 3. Если симметричное пространство E € (Wm), то E — бинарное пространство.

Доказательство. Пространство L1 € (Wm) [12, теорема 5.5] и [8, теорема 5.2.9] и, как было сказано выше, бинарно. Пусть теперь E = Li, H С E — подпространство и г/е(H) < 1, и, значит, нормы Li и E эквивалентны на H. Легко видеть, что для любого т € [0,1] отображение

i

*(t) А J x*(t)x[o , T](t)dt

где х*(Ь) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), порождает линейный ограниченный функционал на Е. Используя этот факт и эквивалентность норм на Н, получим

i

||Х*Хо ТЦЬ 0 x'(t)X[0, T](t)dt

Vbi(H) = lim sup-,, [0,'T 1 Ll = lim sup 0-—- <

T xeH mLi t^0 xeH mLi

< lim suP -и и - < C lim HX[0,T 1 yE* .

TxeH ||x|Li T

Так как Е = Ь1, то Е* = Ьж, откуда Итт\\х[0,т]\\е* =0 и пьг (Н) = 0. Отсюда шар Вн имеет равностепенно непрерывные нормы в Ь1, и по теореме Данфорда — Петтиса [8, теорема 5.2.9] Вн относительно слабо компактно в Ь1 , что равносильно рефлексивности подпространства.

Рассмотрим тождественный оператор I : Е ^ Ь (всякое с. п. вложено в Ь (см. § 2), и поэтому оператор задан корректно). На основании эквивалентности норм Е и Ь на Н сужение I\н — изоморфизм. Как известно из курса функционального анализа, нормированное пространство, изоморфное рефлексивному пространству, рефлексивно. Тогда Н рефлексивно в Е, и Вн относительно слабо компактно в Н по норме Е. Так как Е € (Жт), то в Е выполняется аналог критерия Данфорда — Петтиса [12], и, значит, Вн имеет равностепенно непрерывные нормы в Е, откуда ге(Н) = 0.

Следствие 3. Пусть симметричное пространство (Е, \\ • \\е) € (Жт). Тогда Е имеет /-нормальную структуру.

Доказательство. Пусть \\ • \\1 — норма, эквивалентная \\ • \\е, и такая, что с. п. (Е, \\ • У1) имеет /-нормальную структуру (см. рассуждения после следствия 2). Заметим, что (Жт)-свойство сохраняется при эквивалентной перенормировке, поэтому с. п. (Е, \\ • У1) € (Жт), и, следовательно, оно бинарно. Тогда (Е, У • у1) удовлетворяет условиям теоремы 2 и, значит, с. п. (Е, \\ • \\е) обладает /-нормальной структурой.

Следствие 4. Пусть функция Орлича ф такая, что для сопряженной функции ф выполняется:

Г Ф(С-) ЮЛ

пт , . . = ж (3)

г^ж ф(-) у '

для некоторого С > 0. Тогда пространство Орлича (Ьф, \\ • бинарно.

Доказательство. Если ф удовлетворяет условию теоремы, то Ьф с нормой Люксембурга имеет свойство (Жт) [12, предложение 5.8], а все с. п. со свойством (Жт) бинарны.

Функции Орлича, удовлетворяющие условию последнего следствия, изучались в работах [12-14].

Если для функции Орлича ф выполняется (3), то ф € Д;Г (и, очевидно, ф € Д2), но, как легко показать, (Ьф, У •Уф) будет иметь /-нормальную структуру. Это замечание несколько усиливает следствие 2, так как оно показывает, что условие ф € Д2 не является необходимым в этом следствии. Стоит отметить, что существуют функции ф € Дг° и не удовлетворяющие (3) [14, теорема 4].

Литература

[1] Kadec M.I., Pelczynski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Mathematical, 21 (1962), pp. 161-176. DOI: https://doi.org/10.4064/SM-21-2-161-176.

[2] Токарев Е.В. О подпространствах некоторых симметричных пространств // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский научный сборник. Харьков: Издательство Харьковского университета, 1962-1992. 1975. Вып. 24. С. 156-161. URL: http://dspace.univer.kharkov.ua/ handle/123456789/16387.

[3] Новиков С.Я. Геометрические свойства симметричных пространств: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Воронеж, 1980.

[4] Асташкин С.В., Семенов Е.М. Об одном свойстве симметричных пространств, второе ассоциированное пространство к которым несепарабельно // Матем. заметки, 2020. Т. 107. Вып. 1, С. 11—22. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12365.

[5] Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation // Seminars in Mathematics, 5, University of Campinas, Campinas, 1989.

[6] Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича (Современные проблемы математики). Москва: Физматгиз, 1958. URL: https://knigogid.ru/books/1888340-vypuklye-funkcii-i-prostranstva-orlicha/toread.

[7] Harjulehto P., Hasto P. Orlicz spaces and Generalized Orlicz spaces. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-030-15100-3.

[8] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 233. New York: Springer, 2006. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-31557-7.

[9] Асташкин С.В., Страхов С.И. О симметричных пространствах со сходимостью по мере на рефлексивных подпространствах // Изв. вузов. Сер.: Матем., 2018, № 8, С. 3—11. URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9381

[10] Hao C., Kaminska A., Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, vol. 320, issue 1, pp. 303-321. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.078.

[11] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces, II. Function spaces. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979. URL: https://books.google.ru/books?id=yPPrCAAAQBAJ&hl=ru&source=gbs_similarbooks.

[12] Astashkin S.V., Kalton N.J., Sukochev F.A. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces // Positivity, 2008, vol. 12, pp. 387—406.

[13] Lesnik K., Maligranda L., Tomaszewski J. Weakly compact sets and weakly compact pointwise multipliers in Banach function lattices, 2019. URL: https://arxiv.org/pdf/1912.08164.pdf.

[14] Асташкин С.В., Страхов С.И. О дизъюнктно однородных пространствах Орлича-Лоренца // Матем. заметки, 2020. № 108:5. С. 643--656. DOI: http://doi.org/10.4213/mzm12694.

Submited: 11.03.2021 Revised: 15.04.2021 Accepted: 28.05.2021

S.I. Strakhov

Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2905-9124

ON A CHARACTERISTIC OF STRONGLY EMBEDDED SUBSPACES

IN SYMMETRIC SPACES2

Scientific article

DOI: 10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32

ABSTRACT

It is shown that the presence of a lower p - estimate with constant 1 in the symmetric space E is sufficient for the condition of equivalence of convergence in norm and in measure on the subspace H of the space E to be satisfied if and only if the numerical characteristic nE (H) < 1. The last criterion is also valid for symmetric spaces "close "to Li, more precisely, for which an analog of the Dunford - Pettis criterion of weak compactness is valid. In particular, it is shown that spaces "close "to Li, have the binary property: the characteristic nE (H) takes only two values, 0 and 1. This gives an example of binary Orlicz spaces different from the spaces Lp.

Key words: rearrangement invariant space; Orlicz space; Luxemburg norm; Orlicz norm; lower p-estimate with constant one; strongly embedded subspace; equivalent norms; convergence in measure.

Citation. Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25-32. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32. (In Russ.)

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

© Strakhov S.I., 2021

Stepan I. Strakhov — postgraduate student of the Department of Functional Analysis and Function Theory, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

References

[1] Kadec M.I., Pelczynski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Mathematical, 21 (1962), pp. 161-176. DOI: https://doi.org/10.4064/SM-21-2-161-176.

[2] Tokarev E.V. Subspaces of symmetric spaces of functions. Functional Analysis and Its Applications, 1979, vol. 13, pp. 152-153. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077255. (English; Russian original)

[3] Novikov S.Ya. Geometric properties of symmetric spaces: Candidate's of Physical and Mathematical Sciences thesis. Voronezh, 1980. (In Russ.)

[4] Astashkin S.V., Semenov E.M. On a Property of Rearrangement Invariant Spaces whose Second Kothe Dual is Nonseparable. Mathematical Notes, 2020, vol. 107, pp. 10-19. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434620010022 (English; Russian original)

2The work was completed as a part of the implementation of the development program of the Scientific and Educational

Mathematical Center of the Volga Federal District, agreement no. 075-02-2021-1393.

[5] Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation. Seminars in Mathematics 5, University of Campinas, Campinas, 1989.

[6] Krasnoselskii M.A., Rutitskii Ya.B. Convex functions and Orlicz spaces (Modern problems of Mathematics). Moscow: Fizmatgiz, 1958. Available at: https://knigogid.ru/books/1888340-vypuklye-funkcii-i-prostranstva-orlicha/ toread. (In Russ.)

[7] Harjulehto P., Hasto P. Orlicz spaces and Generalized Orlicz spaces. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019. 169 p. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-030-15100-3

[8] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 233. New York: Springer, 2006. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-31557-7.

[9] Astashkin S.V., Strakhov S.I. On Symmetric Spaces With Convergence in Measure on Reflexive Subspaces. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, pp. 1-8. DOI: http://doi.org/10.3103/S1066369X18080017 (English; Russian original)

[10] Hao C., Kaminska A., Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, vol. 320, issue 1, pp. 303--321. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.078.

[11] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces, II. Function spaces. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979. Available at: https://books.google.ru/books?id=yPPrCAAAQBAJ&hl=ru&source=gbs_similarbooks.

[12] Astashkin S.V., Kalton N.J., Sukochev F.A. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces. Positivity, 2008, vol. 12, pp. 387--406. DOI: http://doi.org/10.1007/S11117-007-2146-Y.

[13] Lesnik K., Maligranda L., Tomaszewski J. Weakly compact sets and weakly compact pointwise multipliers in Banach function lattices. Available at: https://arxiv.org/pdf/1912.08164.pdf.

[14] Astashkin S.V., Strakhov S.I. On Disjointly Homogeneous Orlicz-Lorentz Spaces. Mathematical Notes, 2020, vol. 108, issue 5, pp. 631—642. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434620110012. (English; Russian original)