CC BY
6
Вестник Самарского университета,. Естественнонаучная серия. Том 25 № 2 2019
МАТЕМАТИКА
УДК 517.982.27 Дата поступления статьи: 6/1/7/2019
DOI: 10.18287/2541-7525-2019-25-2-7-20 Дата принятия статьи: 15/777/2019
С.В. Асташкин
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФУНКТОРОВ1
© Асташкин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой функционального анализа и теории функций, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
E-mail: astash56@mail.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8239-5661
АННОТАЦИЯ
Как хорошо известно, конструкция Густавссона — Петре, использующая понятие безусловной сходимости в банаховых пространствах, позволяет получить важный класс интерполяционных функторов. В данной статье определена новая близкая конструкция, основанная на применении так называемой случайной безусловной сходимости. Найдены необходимые и достаточные условия на порождающую функцию, при которых она определяет интерполяционный функтор на категории банаховых пар. Показано, что вычисление последнего на паре пространств Орлича приводит к "естественной" интерполяционной теореме. Кроме того, получены условия, гарантирующие совпадение этого функтора с соответствующим функтором Густавссона — Петре, а также с методом Кальдерона — Лозановского.
Ключевые слова: интерполяционное пространство, интерполяционный функтор, функтор Густавссона — Петре, метод Кальдерона — Лозановского, функции Радемахера, банахова решетка, неравенство Хинчина, пространство Орлича.
Цитирование. Асташкин С.В. Об одном классе интерполяционных функторов // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2019. Т. 25. № 2. С. 7-20. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-2-7-20.
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
1 Работа подготовлена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ (проект № 1.470.2016/1.4), а также поддержана грантом РФФИ (18-01-00414-а).
UDC 517.982.27 Submitted: 6/1/7/2019
DOI: 10.18287/2541-7525-2019-25-2-7-20 Accepted: 15/777/2019
S.V. Astashkin
ON SOME CLASS OF INTERPOLATION FUNCTORS2
© Astashkin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, Head of the Department of Functional Analysis and Function Theory, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
E-mail: astash56@mail.ru. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8239-5661
ABSTRACT
As it is well known, the Gustavsson — Peetre construction, using the concept of unconditional convergence in Banach spaces, provides an important class of interpolation functors. In this paper, we define a new close construction, based on the use of the so-called random unconditional convergence. We find necessary and sufficient conditions, which being imposed on a generating function give us an interpolation functor defined on the category of Banach couples. It is shown that calculating the latter functor for a couple of Orlicz spaces results in the "natural" interpolation theorem. Moreover, we obtain conditions that guarantee the coincidence of this functor with the corresponding Gustavsson — Peetre functor, as well as with the Calderon — Lozanovskii method.
Key words: interpolation space, interpolation functor, Gustavsson — Peetre functor, Calderon — Lozanovskii method, Rademacher functions, Banach lattice, Khintchine inequality, Orlicz space.
Citation. Astashkin S.V. Ob odnom klasse interpolyatsionnykh funktorov [On some class of interpolation functors]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2019, Vol. 25, no. 2, pp. 7-20. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-2-7-20 [in Russian].
Введение
Пусть р — квазивогнутая функция на [0, то), А = (Ао, А1) — произвольная банахова пара. Множество (А,р) = {А0,А1,р) состоит из всех а € А0 + А1, для которых существует последовательность {ип}^==_00, ип € Ао П А1, такая, что
а ип (сходимость в Ао + А1), (1)
мп
п= — 00
а также для некоторого С > 0, произвольных конечного множества Е С ^ и последовательности вещественных чисел (ап)пеР, \ап\ ^ 1, справедливы неравенства
X > апип
^ р(2п) neF'
а.п2пщ
^ р(2п)
neF
< C
Ао
< C.
Ai
{-А, р) — линейное пространство, на котором функционал
11а11<А1)9> := М С
где точная нижняя грань берется по всем допустимым С, является полунормой.
Описанная конструкция была введена и изучена в работе Ж. Густавссона и Ж. Петре [1]. В частности, там доказана "естественная" интерполяционная теорема для пространств Орлича: если р € В+ , а функции Орлича Мо и М1 удовлетворяют Д2-условию в бесконечности, то
(Ем0 ,Ьмх ,р) = Ем,
2The work was prepared in view of accomplishment of state assignment of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project № 1.470.2016/1.4) and was also supported by the grant of the Russian Foundation for Basic Research (18-01-00414-a).
и
где М 1 = М0 1 р(М1 1 /М- (Ж 1 — функция, обратная к N; все остальные определения см. в следующем параграфе).
Нетрудно показать, что замена чисел ап, п £ ¥, таких, что
^ 1, на "знаки", т. е. 9„
±1,
n £ F, в определении выше приведет к тому же самому пространству {А, р) с эквивалентной нормой [2, lemma 2.4.6]. Более "радикальным" оказывается изменение максимума по "знакам", которое фактически присутствует в этом определении, на усреднение по ним. Эта операция приводит к следующей конструкции, изучение которой и составляет содержание данной статьи.
Определим множество Rp(A), состоящее из всех a £ Ао + Ai, для которых существует последовательность {un}'^L-00, un £ Ао П Ai, такая, что имеет место (1), а также для некоторого D > 0 и любого конечного F
справедливы неравенства !■ 1 ,,
о
EUk
p(2k) keF'
Гк (t)
dt < D
(2)
^ 2kuk
^ p(2k)
keF
rk(t)
At
dt < D.
(3)
Как и в случае конструкции Густавссона
— Петре, функционал 11а11ддА) :=inf D,
где точная нижняя грань берется по всем допустимым В, является полунормой на линейном пространстве Ир(А).
В этой статье найдены необходимые и достаточные условия на функцию р, при которых отображение А ^ Др(А) является интерполяционным функтором. Кроме того, будет доказано, что для любой пары максимальных банаховых решеток X = (Хо,Х1) условие р £ В+ гарантирует выполнение равенства:
Др(х ) = (XX, р) = р(Х),
где р(Х) — пространство Кальдерона — Лозановского. Отсюда, в частности, следует, что сформулированная ранее интерполяционная теорема для пространств Орлича верна также для функтора Яр(^).
Автор благодарен К.Е. Тихомирову за участие в начальном этапе работы над вопросами, рассматриваемыми в этой статье.
а
n
A
0
и
i
о
1. Предварительные сведения
1.1. Банаховы решетки измеримых функций и квазивогнутые функции
Подробнее о банаховых решетках измеримых функций см. книги [3-5].
Говорят, что банахово пространство X функций, измеримых на пространстве (5, Я, р) с а-конечной мерой р, является банаховой решеткой, если из того, что функция х(в) измерима, у £ X и |х(в)| ^ |у(в)| для п.в. в £ 5, вытекает: х £ X и ||х||х ^ \\у\\х.
Банахова решетка X называется максимальной (или имеет свойство Фату), если условия: хп £ X, п = 1,2,..., вирп=12 ||хп||х < то и хп ^ х п.в. на 5 гарантируют, что х £ X и ||х||х ^ < ИтМп^ж ЦхгМх■
Важным примером банаховых решеток являются пространства Орлича [6; 7]. Предположим, что М — возрастающая выпуклая функция на [0, то), М(0) = 0. Тогда пространство Орлича Ьм состоит из всех измеримых на пространстве (5, Я, р) функций х(в) таких, что для некоторого А> 0
1\(х) := I М ^¿р(3) < то
с нормой
ЦхЦьм = 1М {А > 0: 1х(х) < 1} .
Пространство Ьм является естественным обобщением Ьр-пространств, а именно Ьр = Ьм , где Мр(и) = = ир, 1 ^ р < то.
Функция р(Ь), определенная на [0, то), называется квазивогнутой, если р(0) =0, р(Ь) не убывает и р(t)/t не возрастает. В частности, всякая неотрицательная вогнутая на [0, то) функция, равная в нуле нулю, квазивогнута. Функцию
Мр(5):=8пр ^, в> 0, >о р(Ь)
называют функцией растяжения функции р. Так как Мр(в) полумультипликативна, т. е. Мр(в1в2) ^ ^ Мр(в1)Мр(в2), в1, в2 > 0, то существуют числа
1пМр(в) х . г 1пМр(в)
7р = бир ——!-- и др = ——!--,
0<8<1 1п в 8>1 1п в
которые удовлетворяют неравенству: 0 ^ 7р ^ др ^ 1.
Через В+ (соотв. В-) обозначим множество всех квазивогнутых функций р(г) таких, что 7р > 0 (соотв. др < 1). Как легко проверить, р € В+ (соотв. р € В-) тогда и только тогда, когда Мр(в) =
= 0 (соотв. Мр(в)/в = 0). Пусть также В+ := В+ П В-.
Напомним, что функции Радемахера определяются следующим образом:
гк (г) = signsin(2k пг) (0 < t < 1), к = 1, 2,...
Наконец, выражение вида / х д далее означает, что С-1/ ^ д ^ С/ для некоторой константы С > 0, не зависящей от всех или части аргументов функций (квазинорм) / и д.
1.2. Интерполяционные пространства и функторы
В дальнейшем будут использоваться понятия и результаты теории интерполяции операторов (подробнее см. монографии [4; 8-10].
Пусть А = (А0, А1) — банахова пара (т. е. А0 и А1 — банаховы пространства, линейно и непрерывно вложенные в некоторое хаусдорфово топологическое векторное пространство). Тогда А0ПА1 и А0 + А1 — пересечение и алгебраическая сумма А0 и А1 с нормами
||а|ЦоПА1 := шах {||а|Цо , ||а|Ц1 }
и
||аУло+А1 := inf {Уа0^Ао + ||а1П^1 : а = а0 + аиа^ € Аг,г = 0,1} соответственно. Банахово пространство А называется промежуточным между А0 и А1, если А0 П А1 С С А С А0 + А1 (в дальнейшем запись А С В, где А и В — линейные нормированные пространства, означает, что для некоторого С > 0 и всех х € А имеет место неравенство ||а||_в ^ С||аЩ). Говорят, что линейный оператор Т действует из пары А в пару В (Т : А ^ В), если Т : А0 + А1 ^ В0 + В1 и Т ограничен из Аг в Вг для г = 0,1.
Предположим, что А и В — промежуточные пространства относительно пар А и В соответственно. Пространства А и В называются интерполяционными относительно банаховых пар А и В, если всякий линейный оператор Т такой, что Т : А ^ В, ограничен из А в В. В этом случае существует С > 0, не зависящее от Т, такое, что
ЦТ||Л^в < С тазе ЦТЦ^^.
Если последнее неравенство выполнено с С =1, то А и В называются точными интерполяционными пространствами.
Пусть Е — функтор, действующий из категории банаховых пар в категорию банаховых пространств. Его называют интерполяционным, если для любых банаховых пар А и В пространства Е(А) и Е(В) интерполяционны относительно этих пар. В том случае, когда это точные интерполяционные пространства, говорят, что функтор Е точный.
Характеристическая функция ф(в,г) интерполяционного функтора Е определяется соотношением:
I(вК,гм) = ф(в,г)м, в,г> 0,
где вК — это прямая К с нормой ||х||8к = в\х\, х € К. Если функтор Е точный, то функция ф(в,г) не убывает по каждому аргументу, а также положительно однородна первой степени, т. е. ф(ав, а.г) = = аф(в,г), а> 0. Отсюда, в частности, следует, что функция ф(1,г) квазивогнута на [0, то).
Примерами конструкций, результатами которых являются семейства интерполяционных функторов, являются как конструкция Густавссона — Петре, определенная в §1, так и метод Кальдерона — Лоза-новского.
Пусть (Е0,Е1) — пара банаховых решеток на пространстве (Б, р) с а-конечной мерой р, а ф(в,г) — функция, которая определена при в,г > 0 и не убывает по каждому аргументу, а также положительно однородна первой степени. Тогда пространство Кальдерона — Лозановского ф(Е0,Е1) состоит из всех измеримых функций х(в) таких, что
\х(в)\ = ф(\х0(в)1,1х1(в)|). где хг € Хг, г = 0,1. При этом норма на ф(Е0,Е1) определяется следующим образом:
||х||0СЕо,-Е1) := inf ^ахОЫЬо, ЬЛк )},
Хо,Х1
где точная нижняя грань берется по всем хо,х1, для которых |х(в)| = ф(|хо(в)|, |х1 (в)|). Известно, что ф(Ео, Е1) — банахова решетка, при определенных условиях имеющая интерполяционные свойства относительно пары (Ео,Е1) [11, §8.2].
2. Основные результаты
Начнем с определения условий, при которых пространство Др(А) является банаховым пространством. Теорема 1.
Для того чтобы отображение А ^ ДР(А), определенное на категории банаховых пар, действовало в категорию банаховых пространств, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
(a) 12Г=о р2(2-к) < то;
(b) £Г=о р2(2к)22к < то. ^
Кроме того, при выполнении условий (а) и (Ь) для любой банаховой пары А = (Ао, А1) пространство Др(А) промежуточно относительно нее, т. е.
Ао П А1 С Др(А) с Ао + А1.
Идея доказательства этой теоремы заключается в следующем вспомогательном утверждении. Лемма 1.
Пусть р — произвольная квазивогнутая функция на [0, то). Тогда с некоторой константой, не зависящей от целых М ^ N ^ 0, выполнено:
I ^Ок: ак £ Ж,Т.ак = 1} £ р2(2к))
к=-М р( ) к=-М к=-М
и
и1 | м к м м _ 1/2
| Е ^(ф : ак £ К,£«к = 1} * ( £ р2(2к)2-2к) 7 .
к=Л р( ) к=Л к=Л
При этом первый из минимумов достигается (с точностью до эквивалентности) при ак = р2(2к)(£-Лм р2(2'))-1, -М < к < -Ж, а второй — при ак = 2-2кр2(2к)(£р2(^)2-2
N < к < М.
Доказательство.
Так как оба соотношения доказываются одинаково, мы докажем только первое из них. Прежде всего, в силу неравенства Хинчина [12, теорема 1.4] с константой, не зависящей от Ж,М, получим
Г1 -Л -Л
' Е О)"<'>!**( Е
2 \ 1/2 ^ х ( V ^КгЛ
'о >~м р(2к) " Кк^м р2(2к);
-Л 2
а2
Найдем минимум функции
¥({ак}) := £ р2цГ)
к=-м
при условии £-=^м ак = 1 с помощью метода Лагранжа. Так как функция Лагранжа имеет вид
-Л 2 -Л
Ь = Ь({ак },А)= ¿2 рОг)+ Ч £ ак - ^ ,
к = -м к=-м
то
2ак
Ьак = ¿¡Щ + А = 0
откуда
—Ар2(2к) . _;
ак =-^- и А =
2 £-=-м р2(2к)
2
Следовательно, нужный условный минимум Е({ак}) достигается при
ак = р2(2к) ( Е р2(2')) , -М < к < —М.
г=-М
При этом
{ -М } -М р2(2к) , -М )-1
шш{Е({ак}): ак € * £ ак = ^ = £ -/ (2 } = £ ^0 ,
к=-м к=-м ( к=-м р (2 )) к=-м
и лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.
Начнем с доказательства необходимости условий (а) и (6). Предположим, например, что не выполняется (а), т. е. пусть
]Гр2(2-к ) = то. (4)
к=0
Покажем, что тогда из условия ||а||д ц = 0, вообще говоря, не следует а = 0. Тем самым в этом случае пространство Кр(А) не является даже нормированным.
Пусть а € А0 П А1 и М € N произвольны. Тогда а = ^°к=_м ака, где ак = р2(2к0=_м р2(2г))-1,
—М ^ к ^ 0. Поэтому, применяя лемму 1, а затем (4), получим, что
„10 о -1,2
Е аО) Гк (г) ц Л х||а|Цо( Е р2(2к)) ^ 0 при М ^ +то.
к= м 0 к= м
Кроме того, в силу неравенства Хинчина при тех же ак
"1 0 2к а п , 0 а2 22к ч Е (,С * х Е Цк))
Ц1 р2
к=-м 1 к=-м
0 1/2 0 _ 1 = ЦаЦц^^ р2(2к)22к) ( Е р2(2к0 .
к=-м к=-м
Так как р возрастает, то р(2к) ^ р(1), если к ^ 0. Поэтому, опять ввиду (4) правая часть этого неравенства стремится к нулю при М ^ +то. Таким образом, из определения нормы в пространстве Др(А) следует: ||а||д ц = 0 для любого элемента а € А0 П А1.
Так как случай, когда не выполняется условие (6), рассматривается совершенно аналогично, необходимость доказана.
Покажем, что при выполнении условий (а) и (6) пространство Др(А) банахово. Прежде всего, функционал ||а||д (Ц), очевидно, является полунормой и А0 П А1 С Др(А). Докажем, что имеет место также непрерывное вложение
Яр(А) С А0 + А1. (5)
Пусть а € Ир(А). Тогда по определению существует последовательность {ип}ТО=-то, ип € А0 П А1, такая, что а = ^ТО=-оо ип (сходимость в А0+А1), а также выполнены неравенства (2) и (3) с константой Б = 2||а||Др (Ц). Пусть также ак = ^кп=-к ип, где к € N выбрано так, что Цак Ц+ц > 1 ||aНц0+Цl. Если
теперь и := ^п=_к ип и и1 := ^п=0 ип, то ак = и + и1. Для доказательства (5) достаточно показать, что для некоторой константы С > 0, не зависящей от а, выполнено:
||и°|Цо < С||а||Др(ц) и Нu1Нцl < С||а|| ц). (6)
Действительно, тогда в силу предыдущих соотношений
||а|Цо+ц < 2|ак|цо+ц1 < 2(Ни0Нцо + Ни1Нц1) < 4С||а||Дрц),
откуда следует (5).
Докажем лишь первое из неравенств в (6) (второе доказывается совершенно аналогично). По теореме Хана — Банаха существует функционал / € А0 такой, что /(и0) = ||и0|Цо и \/(х)\ ^ ||х|Цо для всех х € А0. Тогда, если ап := / (ип)/||и0|Цо, п = —1,..., —к, то в силу равенства ^ -=-к / (ип) = ||и0|Цо
имеем: £п=_к ак = 1. Поэтому по лемме 1 и условию (а)
»1 ,, -1
2Мяр(Л) >
Е
п= -»11 -1
'о к р(2п)
Л)
1 , -1
<И >
о и о
I К?,рип)-п«>)
п= к
<И =
= Г I Е ^'^Ог гп(^) | < > С-1||и°|и0 ( Е р2 (2п))-1/2 > С-1 |ио | Ао ■
о п=-к р(2 ) п=-1
Тем самым первое из неравенств (6), а вместе с этим и (5) доказаны.
В силу (5), в частности из условия ||а||д г = 0, вытекает, что а = 0. Таким образом, Др(А) —
нормированное пространство. Осталось установить полноту Др(А). Для этого достаточно показать, что любой абсолютно сходящийся ряд сходится в этом пространстве. Итак, пусть
Е ^тЬрА) < то■
т=1
(7)
Во -первых, ввиду (5) и (7) £ж=1 ||ат||Ло+Л1 < то. Поэтому, так как пространство Ао + А1 банахово,
ряд £т=1 ат сходится в нем. Покажем, что
Ит II
к^ж
т=к
ЯР(Л)
0.
(8)
Так как ат £ Др(А), т £ М, то ат = £^=^00 ит (сходимость в Ао + А1), где ит £ Ао П А1, причем
^т £ ' £ ^ ^ ^т п= —оо п
для каждого т = 1, 2,... и любого конечного ¥ С Ъ справедливы неравенства
1 ит
Е^пт^ Л л ^ УМп^Л)
/о -р(2п) " Л
1 2пит / ||Е рф) ^ Л1 Л < ^тЬМ).
пеР 1у ' 1
(9) (10)
Отсюда вытекает, что для всех т = 1, 2, . . . и п £
||ит||лопЛ1 < 2||ат||„(Л) тах(р(2п),р(2п)2-п).
-"тП Др(Л) -
Значит, в силу (7) для фиксированного к £ N и каждого п £ Ъ имеем: ^2<Ж=к и-т = ип, ип £ Ао П А1 (сходимость в Ао П А1). Кроме того, для любого конечного множества ¥ С Ъ из (9) и (10) следует:
г 1 ,, ж „ 1
Е
/о р(2п) '~*' Ло
(*) Л. Л II Е ^ гп(^ Л_ ^ < 2Е ИатМ^Л)
ио 11 — р(2п) ^ ' Ло
т=к о пер / у '
и аналогично
2пип
Е рф) -п() Л1 Л < 2 Е ^тЬ^А).
(11) (12)
Если теперь показать, что
^^ ат = ^^ ип (сходимость в Ао + А1), (13)
т=к п=-ж
то из (7), (11), (12) будет следовать (8), и мы получим нужный результат.
Для доказательства (13) достаточно проверить, что для любого е > 0 существует такое I ^ к, что при всех достаточно больших N справедливо неравенство
I Л
ат - ип
т=к п=-Л
Ло + Л1
< е.
Заметим, что
Ы
I
Л оо
ат -т=к п=-Л
ат -
т=к п=-Лт=к
I Л
Е (ат - Е ит)
уат - ^ ип) +
т=к п=-Л
жж
+ Е ат - Е Е 1
т=г + 1 т=г+1 \п\>Л
и
п
а
о
а
т
и
п
к
1
п
п
Так как первая из сумм при каждом I ^ к стремится к нулю при N ^ то, а вторая стремится к нулю в А0 + А1 при I ^ то, то остается показать, что для любого е > 0 существует I ^ к такое, что для всех достаточно больших N
£ Е ^
т=г + 1 \п\>Ы
Ц 0 + Ц 1
< е.
В свою очередь, из представления
со — со
со со
Е Е ит = Е Е ит + £ £
т=г+1 \п\>Ы т=1 + 1 п=-Ы-1
вытекает, что последнее неравенство выполнено, если
т=1+1 п=М +1
оо —оо
т=г + 1 п=-Ы
И л <е/2 и | Е Е
оо оо
т=г+1 п=Ы+1
Ц1
< е/2.
Так как эти неравенства доказываются одинаково, проверим лишь первое из них.
Для произвольных г > I ^ к и М > N, применяя те же рассуждения, что и при доказательстве вложения (5), получим
2 £ ЦаЦд,(Ц) > Е / || Е
0
1 , -Ы-1 ит
ип Гп(г)
т=1+1
т=1 + 1 п=-м
г-1 -М-1 тг^г
1 V — ^ р(2п)
п=-м
р(2п)
¿г >
ит
т=1 + 1 ип
Гп(г)
¿г >
> С
1
-ы-1
т=1 + 1 п=-м
Ц0
N-1
Е £ ит||А ( £ р2(2п))
-1/2
Таким образом,
откуда
г -Ы-1 то -ы-1 1/2
£ £ ит а <2С Е цац я р (А) £ р2(2п) ,
т=1 + 1 п=-м -Ы-1
п=-м
-Ы-1
т=1+1
п=-м -Ы-1
£ £ ит А < 2С е НИ я Р (А) £ р2(2п)
т=1+1 п=-то
1/2
п=
т=1+1
Так как А0 полно, то в силу условия (а) и (7) в последнем неравенстве можно перейти к пределу при г ^ то. Поэтому
то " 1 то " 1 1/2
оо -Ы-1
-Ы-1
Е Е ит|А <2С Е ИаИя,ц)( £ р2(2п0 ,
т=1+1 п=-то т=1+1
и ввиду того, что правая часть этого неравенства может быть сделана сколь угодно малой при достаточно больших I и N, соотношение (13), а с ним и теорема доказаны.
Замечание 1.
Легко видеть, что ни одно из условий (а) и (6) не является следствием квазивогнутости функции р. В то же время каждое из них выполнено для функций класса В+-. Обратное неверно: существуют функции, удовлетворяющие и (а), и (6), но не принадлежащие к классу В+-. Таковой, например, является функция р(х) = х, если 0 ^ х ^ 1, и р(х) = х/ 1п(ех), если х > 1.
Более того, при выполнении условий (а) и (6) рассматриваемая конструкция задает на категории банаховых пар точный интерполяционный функтор.
Теорема 2.
Пусть банаховы пары А = (А0,А1) и В = (В0,В1) произвольны. Если Т : А ^ В — ограниченный линейный оператор из пары А в пару В, то Т : Нр(А) ^ Ир(В) и
НТНяр(А)^яр(В) < ^ (НТНц^М) . (14)
Более точно,
НТ Н яр (А)^яр (В) ^ С НТ Н А о ^Во МР(НТ НА1^В1 /НТ Н А о ^Во ),
(15)
т
п
т
и
п
т
и
п
А
о
где Мр — функция растяжения функции р.
Таким образом, если выполнены условия (а) и (Ь), то отображение А ^ Др(А) является точным интерполяционным функтором.
Доказательство.
Пусть а £ Др(А) и ||а||д а < 1. Тогда по определению пространства ДР(А) существует последовательность {ик}ж=-оо, ик £ Ао П А1, такая, что выполнены условия (1), (2) и (3) с Б = 1.
Пусть Т : А ^ В. Для фиксированного ] £ Ъ положим := Т(ик+з), к £ Ъ. Так как оператор Т ограниченно действует из пары А в пару В, то Та = £Ж=-оо ук и ряд сходится в Во + В1. Заметим, что для любого банахова пространства X, каждого конечного множества ¥ С Ъ и произвольных хк £ X, к £ ¥, и ] £ Ъ векторнозначные функции
г ^ Е хк гк (г) и г ^ Е хк -к+з (г)
keF
keF
одинаково распределены на [0,1]. Кроме того, из определения функций Радемахера (см. также [12, предложение 2.2]) вытекает, что последовательность {хкгк}кер безусловна с константой 1 в пространстве Бохнера Ь1^). Следовательно,
л 1 _ j 1 __1 _
I И£pfc^LЛ * M°l I£<"ILdt=4 I£Pfr«<«
dt *
* M0Mp(2j) / I V
./0 11
Uk
0 P(2k)
'k(t)
dt,
где F' := {k + j : k G F}. Отсюда по условию
E
(2k)'k(t) D dt * MoMp(2j). 70 "~f p(2 ) bo
Совершенно аналогично
E
keF
2k vj
-2)rk (t) dt * Mi2-jMp(2j).
(16)
(17)
В частности, если в (16) и (17) взять j = 0, мы получим
Е
/о . '~F p(2k )
rk (t)
dt * M0 и
Bo Jo II" p(2k)
2kv0 E 2 Vk
keF
rk (t)
dt * M1 ,
откуда следует (14).
С другой стороны, выбирая j G Z так, что 2j х Mi/Mo, и применяя неравенства (16) и (17), получаем (15).
Займемся теперь соотношением между введенным ранее функтором A ^ Rp(A) и функтором Гу-ставссона — Петре A ^ (A,p). Начнем с простой леммы.
Лемма 2.
Для любой квазивогнутой функции р и каждой банаховой пары А = (Ао, А1) справедливо вложение (А,р) с ДР(А) с константой 1.
Доказательство.
Если а £ (А, р) и ||а||^Ар) < 1, то существует последовательность {ип}Ж=-ж, ип £ Ао П А1, такая, что а = £Ж=-оо ип (сходимость в Ао + А1), и для произвольных ак £ К, ^к | ^ 1, а также любого конечного множества ¥ С Ъ выполнено:
Е
keF
ak Uk
p(2k)
* 1 и
2kakUk
p(2k) keF '
Ai
* 1.
Полагая ак = -к(г), 0 ^ г ^ 1 и интегрируя по г £ [0,1], получаем неравенства (2) и (3) из определения пространства Др(А) с Б = 1. Следовательно, а £ Др(А) и ||а||д (Л) ^ 1.
A
o
A
o
1
j
1
0
1
1
0
v
k
в
A
o
Теорема 3.
Пусть р £ B+ и X = (Xo,Xi) — пара максимальных банаховых решеток. Тогда с эквивалентностью норм
RP(X ) = (Х,р) = р(Х),
где р(Х) — пространство Кальдерона — Лозановского. Доказательство.
Прежде всего, в силу [11, lemma 8.2.1] и леммы 2 имеют место вложения:
р(Х) с(Х,р)с RP(X).
Следовательно, осталось доказать, что
RP(X) с р(Х). (18)
Как и ранее, полагая, что x £ RP(X) и ||х||д ^) < 1, найдем последовательность {un}'^==_Xl, un £ £ Хо П Xi, такую, что имеют место соотношения (1), (2) и (3) (с D = 1). Отсюда в силу неравенств Минковского и Хинчина (см. [13] или [12, теорема 5.4]) следует, что для любого конечного F С Z выполнено
'2kiuk )2) V2
keF
Так как пространства Хо и Xi максимальны, то тем самым
< V2, i = 0,1.
Xi
/v^/ 2kiUk \2)1/2
(ЕЫО) Ixi ^ i = 0,1
к« ^р(2кV } X
Нетрудно проверить (см. также [4, леммы 11.1.4 и 11.1.5]), что условие р € В+ гарантирует выполнение с некоторым С > 0 неравенства
( (\ 1/2 ( J (min(1, s/t)p(t))2 dt/tJ < Cp(s), s > 0.
(тш(1, s/t)p(t^2
/0
Поэтому, применяя неравенство типа Карлсона [1, proposition 3.1], получим следующую поточечную оценку:
2 }
£ «k h сэ({ £( у/2.{ : 2т У2)
kez \ kez ' kez 7 /
где p(s,t) := sp(t/s).
Отсюда по определению нормы пространства Кальдерона — Лозановского следует, что ) ^
\p2C. Таким, образом, вложение (18), а с ним и теорема доказаны.
Так как всякое пространство Орлича максимально и p(LMo ,LMl ) = LM, где M-1 = M-1p(M- 1/M-1) [11, example 2, p. 459], то, применяя теорему 3, получаем
Следствие 1.
Если p G B+ , а M0, M1 — возрастающие выпуклые функции на [0, œ), Mo(0) = M1(0) = 0, то
Rp(LMo , Lmi ) = Lm,
где M-1 = M-1p(M-1/M-1). Предложение 1.
Пусть и — характеристические функции функторов A ^ Rp(A) и A ^ {-A, p) соответ-
ственно. Тогда Ф1 (s, t) х ф2(., t), s,t > 0, если и только если p G B+ .
Доказательство.
В силу леммы 2 Ф1 (s, t) ^ s,t > 0, для любой функции p. Кроме того, простые вычисления
(см. также [11, theorem 8.3.2]) показывают, что
ф2(М) х 1/p(1/t), t> 0. (19)
Найдем эквивалентное выражение для функции Ф1 (1, г), г > 0. Так как по определению Ф1 (1, г)
= У1 Ур^ш), то
{ Г1 1 м 2ыа м }
Ф1(1,г) = 8пр| тохг / I Е -к(в) <в : £ ак = 1, N £ .
1 ' к=-М р( ) к=-М
Отсюда, применяя в очередной раз неравенство Хинчина [12, теорема 1.4], получим:
Л 2 1/2 Л о2к 2 1/2 Л ф1(1,г) х -ир{тах(( Е А Е : Е ак = 1, N £ м}
р2(2к)) ' V ^ р2(2к),
или
Ф1(1г) х -ир {(Е )1/2: Е »к = 1 N £ М}
к = -Л к=-Л
с универсальной константой. Исследуя функцию
" (1 + г222к )акк
¥({ак}) - Е
к=-М
на условный максимум стандартным образом с помощью метода Лагранжа, находим, что
Л
, _ р2 (2к) ) -1/2 ф,(1,()х £ (1+уку) ,
Ф1<М> х( Е -1/2' 1 > 0.
откуда
(ж
Ф (1 г) ^ (
Следовательно, в силу (19) эквивалентность Ф1 (1,г) х Ф2(1,г), г > 0, имеет место тогда и только тогда, когда с некоторым С > 0
Ж р2(2к)
кЕ (Г+кЦ ^ CP2(1/г), г > 0.
Так как функция р квазивогнута, это эквивалентно выполнению следующих неравенств:
-ж
Ер2(2к) < Ср2(2п), п £ Ъ, (20)
к=п
и
ж
Ер2(2к)2-2к < Ср2(2п)2-2п, п £ Ъ, (21)
к=п
где С > 1.
Покажем сначала, что (20) справедливо, если р £ В+. Действительно, так как р(2к)/р(2п) ^ ^ Мр(2к-п), к,п £ Ъ, то по условию с некоторыми е > 0 и С' > 0
-ж ж ж
Ер2(2к) < ЕМр(2-3)2р2(2п) < С' Е2-зер2(2п) = 1--,
к=п 3=о 3=о
и мы получаем (20) с С = С'/(1 — 2-е).
Докажем обратное утверждение. Предполагая (20) выполненным и обозначая левую часть этого неравенства через 5п, получим: 5п ^ С(5п — 5п-1) или
1
Су
Итерация этого неравенства дает нам:
1 )т <
С) откуда
( 1 ) т/2
р(2п-т) < С1/2 ( 1 - ^ р(2п), т £ М,п £ Ъ.
Так как 1 - 1/С < 1, то отсюда следует, что Итя^о Мр(в) = 0, т. е. р £ В + . В итоге (20) имеет место, если и только если р £ В+.
5п-1 < - с)5п, п £ Ъ.
( 1 ) т
5п-т < (1 - с) 5п, т £ М, п £ Ъ,
Совершенно аналогично можно показать, что условие р € В необходимо и достаточно для справедливости неравенства (21). Так, например, если предположить, что (21) выполнено, то
1 \ т/2
/ I \ т/ 2
р(2п+т) < С1/2 (1 - с) 2тр(2п), т € М, п € Z.
Тем самым Мр(в)2 я = 0, т. е. р € В .
В итоге предложение доказано.
В заключение покажем, что при определенных условиях результат теоремы 3 относительно функторов Кр и {•,р) может быть обращен.
Напомним, что банахова пара (Ао,А1) называется вырожденной, если пересечение АоПА1 замкнуто в сумме А0 + А1. Кроме того, говорят, что банахова пара (Ао, А1) вложенная, если Ао с А1 или А1 с Ао.
В следующей теореме Ф1(в,Ь) и Ф2 (в, по-прежнему характеристические функции функторов А ^ ДР(А) и А ^ {А, р) соответственно.
Теорема 4.
Предположим, что Др(А) = {X, р) (с эквивалентностью норм), где А = (Ао,А1) — невырожденная банахова пара. Тогда Ф1 (в,;) х Ф2(в,;), по крайней мере, на одном из множеств: 0 <Ь ^ в или 0 < в ^
Если дополнительно известно, что (Ао,А1) — невложенная пара и Ао П А1 всюду плотно в каждом из пространств Ао и А1, то Ф1 (в,;) х Ф2(в,для всех в,; > 0.
Доказательство.
Так как пара А не вырождена, существует последовательность [ап}^=1 С Ао П А1 такая, что ||апЩопл1 =1, п = 1, 2,..., и \\ап||л0+л1 ^ 0 при п ^ ж. Далее (возможно, после перехода к подпоследовательности) имеет место хотя бы одно из следующих утверждений: (а) ||ап||л0 = 1, п = 1, 2,..., или (Ь) НаЩл! =1, п = 1,2,... Рассмотрим подробно первый случай.
Итак, предположим, что ||ап||л0 = 1, п = 1, 2,..., и ||ап||л0 +л1 ^ 0. По определению нормы в сумме Ао + А1 найдется такое представление ап = а{п + ап, агп € Ао П А1, г = 0,1, что
ЦаЩло + ЦаШ^ ^ 0 при п ^ ж.
Так как
ЬпНло > ЬпНло - Н^Лло = 1 - №Уло ^ 1 пРи п
то || ап | л0 х 1 при достаточно больших п. Таким образом, не ограничивая общности, можно предположить, что для некоторой последовательности [Ьп}^=1 С Ао П А1 выполнено: ||Ьп||л0 = 1, п = 1, 2,..., и ЦЬпЦл1 ^ 0 при п ^ ж.
Пусть ЦЬп||л1 = ¿п, п = 1, 2,.... Для любых а, в € М определим вектор сп(а, в) := аЬ1 + /ЗЬп. Тогда
|сп(1,0)|л1 = ,1 и МЫЖ = ,п. (22)
|сп(1,0)^0^ " |сп(0,1)||л, " Зафиксируем ко € М, ко > 1оё2 (1/^1). Так как ¿п ^ 0, то для каждого к € N такого, что к ^ ко (и, значит, 2-к < ¿1) найдется п € М, для которого 5п < 2-к. Тогда в силу равенств (22) и непрерывности нормы существуют такие ак , вк € М, что
Нсп(ак ,вк)Нл1 = 2-к
Исп(ак ,вк)||у
В итоге существуют ск € Ао П А1, к ^ ко, такие, что Цск ||л0 = 1 и Цск ||л1 = 2-к, к = 1, 2,...
Далее, если а — произвольный вектор банахова пространства А (над полем М), то через Ма обозначим одномерное подпространство в А, порожденное вектором а. Для фиксированного к € N рассмотрим подпространство Нк := Мск пространства Ао + А1. Применяя теорему Хана — Банаха, можно показать, что существует ограниченный проектор Р : Ао + А1 ^ Ао + А1 такой, что ||Р|| = 1, Р(Ао + А1) = Нк и Р ограниченно действует в Ао и А1. Отсюда легко следует [14, теорема 1.17.1], что для произвольного интерполяционного функтора Е выполняется изометрическое равенство:
Е(Ао П Нк,А1 П Нк) = Е(Ао,А1) П Нк, к € N
(этот простой результат иногда называют теоремой Бауэнди —Гулауика). С одной стороны, ввиду условия теоремы
Яр(Ао П Нк,А1 П Нк) = {Ао П Нк,А1 П Нк,р), к € N. С другой стороны, пара (Ао П Нк,А1 П Нк) изоморфна паре (М, 2-кМ) с константой, не зависящей от к. Тем самым предыдущее равенство может быть переписано в виде
ЕР(М, 2-кМ) = {М, 2-кМ,р)
с эквивалентностью норм, константа которой не зависит от к £ N. Отсюда и из определения характеристической функции (а также ее квазивогнутости) следует, что ^i(1,t) х ф2(1^), 0 < t ^ 1. Так как функции ф1(в,t) и ф2(в^) положительно однородны первой степени, то в итоге Ф1 (s,t) х ф2^,Ь), 0 <t < s.
В случае (b) точно такие же рассуждения показывают, что х ф2(s,t), 0 < s ^ t.
Тем самым первое утверждение теоремы доказано. Кроме того, если выполнены оба условия (a) и (b), то х для всех s,t > 0. Тем самым осталось показать, что если Ao П Ai всюду плотно
в каждом из пространств Ao и Ai, то из невыполнения одного из условий (а) или (b) следует, что (A0,A1) — вложенная пара.
Предположим, например, что не выполнено (b). Значит, если [an}^=1 С A0 П A1 и ||an|A0 +a1 ^ 0, то ||an | a1 ^ 0. Отсюда для некоторой константы C > 0 имеем:
||a||Al < C||a|a0 для всех а £ A0 П A1.
Так как Ao П A1 всюду плотно в Ao, то это неравенство стандартным образом распространяется на все пространство Ao [4, лемма II.3.4]. Таким образом, Ao С A1, т. е. пара (Ao, A1) — вложенная. Если не имеет место (а), точно так же можно показать, что A1 С Ao. Таким образом, теорема доказана.
Из теоремы 4 и предложения 1 вытекает Следствие 2.
Если RP(A) = {А, р) (с эквивалентностью норм), где A = (Ao,A1) — невырожденная и невложенная банахова пара такая, что Ao П A1 всюду плотно в каждом из пространств Ao и A1, то р £ B+ .
Из доказательства теоремы 4 следует, что равенство Rp(A) = {А,р) вместе с существованием последовательности векторов ak £ AoПA1, к £ Z, таких, что Hak||a0 = 1, limfc^-то Hak||a1 =0 и limk^TO Hak||a1 = = то, гарантируют принадлежность функции р к классу B + . В силу этого наблюдения и теоремы 3 получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть Eo и E1 — максимальные банаховы решетки двусторонних числовых последовательностей, такие, что Цвк Це€ = 1 для i = 0,1 и к £ Z, где — векторы канонического базиса. Рассмотрим банахову пару (Eo,E1(ak)), где (ak)£=_00 — такая последовательность положительных чисел, что limk^_TO ak = limk^TO 1/ak =0 (E(ak) — "весовое" пространство с естественной нормой ||(xk)||E(afc) := = ||(xk ак )|е ).
Тогда равенство Rp(Eo,E1(ak)) = {Eo, E1(a.k),р) выполнено, если и только если р £ B+ .
Литература
[1] Gustavsson J., Peetre J. Interpolation of Orlicz spaces // Studia Math. 1977. V. 60. № 1. P. 33-59. DOI: 10.4064/sm-60-1-33-59.
[2] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics 233, Springer-Verlag, New York, 2006. 373 p. URL: http://bookfi.net/book/443122.
[3] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с. URL: http://bookre.org/reader?file=443508.
[4] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с. URL: http://bookre.org/reader?file=443528.
[5] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II. Function Spaces. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979. 243 p. URL: http://bookre.org/reader?file=773581.
[6] Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. 271 с. URL: http://bookre.org/reader?file=483833.
[7] Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation. Seminars in Mathematics 5. University of Campinas, Campinas, 1989. 206 p.
[8] Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. 264 с. URL: http://en.bookfi.net/book/443448.
[9] Brudnyl Yu.A., Krugljak N.Ya. Interpolation Functors and Interpolation Spaces. North-Holland, Amsterdam, 1991. 735 p. URL: http://bookre.org/reader?file=581684.
[10] Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Academic Press, Inc., Boston, 1988. 483 p. URL: http://bookre.org/reader?file=459025.
[11] Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory // Math. Reports. 1984. V. 1. № 2. P. 349-516. URL: http://bookre.org/reader?file=580304.
[12] Асташкин С.В. Система Радемахера в функциональных пространствах. М.: Физматлит, 2017. 549 с. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=32753797.
[13] Szarek S.J. On the best constant in the Khintchine inequality // Studia Math. 1976. V. 58. P. 197-208. URL: https://zbmath.org/0424.42014.
[14] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с. URL: http://bookre.org/reader?file=443582.
References
[1] Gustavsson J., Peetre J. Interpolation of Orlicz spaces // (Studia Math.). 60(1977), 33-59. DOI: 10.4064/sm-60-1-33-59 [in English].
[2] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 233. Springer-Verlag, New York, 2006, 373 p. Available at: http://bookfi.net/book/443122 [in English].
[3] Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyi analiz [Functional Analysis]. M.: Nauka, 1977, 742 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=443508 [in Russian].
[4] Krein S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. Interpolyatsiya lineinykh operatorov [Interpolation of Linear Operators]. M.: Mauka, 1978, 400 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=443528 [in Russian].
[5] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II. Function Spaces. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979, 243 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=773581 [in English].
[6] Krasnoselskii M.A., Rutickii Ya.B. Vypuklye funktsii i prostranstva Orlicha [Convex Functions and Orlicz Spaces]. M.: Gos. izd. fiz.-mat. lit., 1958, 271 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=483833 [in Russian].
[7] Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation. Seminars in Mathematics 5. University of Campinas, Campinas, 1989, 206 p. [in English].
[8] Bergh J. and Löfström J. Interpolyatsionnye prostranstva. Vvedenie [Interpolation Spaces. An Introduction]. M.: Mir, 1980, 264 p. Available at: http://en.bookfi.net/book/443448 [in Russian].
[9] Brudnyl Yu.A., Krugljak N.Ya. Interpolation Functors and Interpolation Spaces. North-Holland, Amsterdam, 1991, 735 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=581684 [in English].
[10] Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Academic Press, Inc., Boston, 1988, 483 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=459025 [in English].
[11] Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory. Math. Reports, 1984, Vol. 1, № 2, pp. 349-516. Available at: http://bookre.org/reader?file=580304 [in English].
[12] Astashkin S.V. Sistema Rademakhera v funktsional'nykh prostranstvakh [Rademacher system in function spaces]. M.: Fizmatlit, 2017, 549 p. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=32753797 [in Russian].
[13] Szarek S.J. On the best constant in the Khintchine inequality. Studia Math., 58 (1976), 197-208. Avaialble at: https://zbmath.org/0424.42014 [in English].
[14] Triebel H. Teoriya interpolyatsii, funktsional'nye prostranstva, differentsial'nye operatory [Interpolation theory, Function Spaces, Differential Operators]. M.: Mir, 1980, 664 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=443582 [in Russian].
