Об абсолютно кальдероновых элементах банаховой пары (L1,c0) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982

ОБ АБСОЛЮТНО КАЛЬДЕРОНОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ БАНАХОВОЙ ПАРЫ (/1,

С0)

ON ABSOLUTE CALDERON'S ELEMENTS OF BANACH PAIR (/1, C0)

В.И. Дмитриев, Л.И. Студеникина, Т.В. Шевцова V.I. Dmitriev, L.I. Studenikina, T.V.Shevtsova

Юго-Западный государственный университет, Россия, 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

Southwest State University, 94, 50 years of October street, Kursk, 305040, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация

Назовем элемент банаховой пары абсолютно кальдероновым, если его интерполяционная орбита в любой (относительно полной) банаховой паре совпадает с его А"-орбитой. Мы исследуем

абсолютно кальдероновы элементы "стандартной" банаховой пары (i j, С3) . Найдены семь

различных характеризаций таких элементов. Сформулированы нерешенные задачи.

Abstract

We determine an element of Banach pair to be absolute Calderon's if its interpolation orbit in any (relatively complete) Banach pair coincides with its K-orbit. We study the absolute Calderon's elements

of the "standard" Banach pair (i j, C0) . We have found seven various characterizations of such

elements. Several unsolved problems are formulated.

Ключевые слова: банахова пара, K — функционал Петре, интерполяционная орбита элемента, пространства i p .

Keywords: Banach pair, Peetre's K- functional, interpolation orbit of element, spaces i p .

Пусть A = (A0, A1) — пара банаховых пространств (банахова пара, см. [1-2]) K — функционал Петре элементов a е A0 + A1 определяется формулой

K(t, a; A) = inf{ a0||a + t|a1|a : a0 + a1 = a},

где t > 0 . При фиксированном a Ф 0 функция K(t) = K(t, a; A) является положительной вогнутой функцией на (0; го), характеризующей, в некотором смысле, местоположение элемента а в паре A . Функция K(t) имеет обратную: K_1: (K(0+),K(го)) ^ (0,го).

Если A и B — две банаховы пары, a е A0 + A1 , то множество всех таких элементов b е B0 + B1, для которых K(t, b; B) < c K(t, a; A) при всех t > 0 с некоторой постоянной с (зависящей от b) , образует т.н. K-орбиту элемента а в паре B : К — orb (a; A ^ B ). Просто орбитой Orb (a; A ^ B) элемента а называется множество {Ta}, где T пробегает

совокупность всех линейных ограниченных операторов из пары A в пару B (см.[1-3], [6]). Всегда Orb а с K — orb a.

Проблема эффективной характеризации орбит элементов является одной из центральных задач теории интерполяционных пространств (см. [1-5]); дело в том, что если А и В - промежуточные пространства пар A и B , то действие любого линейного оператора T : A ^ B «на краях пар» влечет его действие T : A ^ B «между краями» (интерполяция оператора), только если а е А влечет orb (a; A ^ B) с В . Первый фундаментальный результат в этом направлении был получен Митягиным Б.С. (частично) и Кальдероном А.П.: если А = (L1? Ьж), B = (L1? Ьж), то Orb a = K - orb a для любого a е L1 + Ьж (отметим, что описание орбит вида Orb a = K - orb a является эффективным). Однако для многих других банаховых пар аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места, что означает, что найдутся элементы a е А0 + Ai, для которых вложение Orb а с K - orb a оказывается строгим, по крайней мере, в некоторых банаховых парах

В (см.[3], [6]). В такой ситуации представляют интерес те элементы а заданной пары А , с которыми подобного случиться не может.

Элемент a е А0 + А1 назовем абсолютно кальдероновым, если Orb(a; A ^ X) = K - orb(a; A ^ X) для любой банаховой пары X (с несущественным

ограничением: X должна обладать свойством т.н. относительной полноты ([1-2])).

Сформулируем основную задачу: охарактеризовать все абсолютно кальдероновы элементы заданной банаховой пары А . Разумеется, в такой общей формулировке задача весьма трудна. В настоящей заметке мы исследуем эту задачу для канонической пары пространств последовательностей А = (£ 1? с0) .

Всюду ниже термин «оператор» значит «линейный непрерывный оператор». Мы используем далее понятие «орбитально эквивалентные элементы», объясним его: если A и B банаховы пары, то элементы a е A0 + A1 и b е Bo + Bi называются орбитально эквивалентными, если

Orb(a; A ^ X) = Orb(b; B ^ X)

для любой банаховой пары X . Легко понять, что а и b орбитально эквивалентны только лишь в том случае, если существуют операторы T: A ^ B и S: B ^ A, такие, что Ta = b и Sb = a .

Теперь сформулируем наш основной результат.

Теорема. Пусть f е £1 + Co = Co. Положим K(t) = K(t, f, £ 1, c0). Пусть 1 < p < да . Нижеследующие утверждения равносильны:

1) элементf представляет собой абсолютно кальдеронов элемент пары (£ с0);

2) (для f Ф о) существует постоянная у, О < у < 1, такая, что

^ K-1(y(K(n)) <

> -!-< да •

^ П2

n =1 "

3) элемент f пары (£ 1? с0) орбитально эквивалентен некоторому элементу

r„w0 .W<\ II II II II

«весовой» пары вида (£ 1 , £p ) ; поясним: ш w = w • x £ , где вес w - это

£ q q

положительная последовательность;

4) существует вес w е £ 1 (а, значит, пространство £w з £ ), такой, что элемент f пары (£ 1,Со) орбитально эквивалентен элементу f как элементу пары (£ £w);

5) существует оператор из пары (£ 1, С0) в пару (£ 1, с0) , абсолютно суммирующий из С0 в С0 , для которого элемент/ является неподвижной точкой;

6) существует оператор из пары (£!, С0) в пару (£!, С0), ядерный из С0 в С0,

оставляющий элемент / на месте. При доказательстве теоремы нам понадобится следующий факт, (см.[4]). Лемма. Пусть В = (В0, В1) - банахова пара. Если / е С0, В е В1 и Ь = Т/, где Т -

оператор из пары (£ 1, С0) в пару В , абсолютно суммирующий из С0 в В1, то найдется вес

wе £ 1 (равносильно £7 з £ ), такой, что Ь е ОгЬ(/; (£ 1, £^ В ) .

Доказательство. Норму оператора Т как оператора из £ 1 в В0 обозначим через к0 , а абсолютно суммирующую норму оператора Т как оператора из С0 в В1 - через к1. Пусть (еп) - стандартный базис пространства С0 . Имеем

XI Фп I \Теп\В =Х1Т(Фпе:

п^п\\в

<

1

в силу абсолютной суммируемости

< к1 тах

8п =±1

X гпфпеп

п

= к18ир| Фп 1

п

для любой последовательности (фп), имеющей конечное число ненулевых членов. Следовательно,

XI\Теп\В <к1-

- ) е £ 1

Положим шп = ЦТе^В , если Теп ^ 0, и шп = 1/п2 , если Теп = 0. Имеем ш = (ш

Рассмотрим теперь ряд Х^пТеп ( Хп - числа).

п

Если X = (Хп ) е £ 1, то этот ряд сходится абсолютно в В0 :

XI МТеп|1в0 <Х1 *-п1Ч

еп||£. = 1£, •

п п

Если же X = (X п ) е £7, то указанный ряд сходится абсолютно в В1:

X1 хп Теп\\В <Х| хп 1 wп= ||Х

Для X е £ 1 + £7 определим

SX = XKTen .

Б - оператор из пары (£ 1?£7) в пару В . Учитывая, что (еп) - шаудеровский базис

в С0 , а Т непрерывен из С0 в В0 + В1, находим

( \

Sf = X /пТеп = Т X /пеп

п V п

Лемма доказана. Доказательство теоремы.

= Т/ = ь.

п

С

0

п

£

п

п

п

3) ^ 6). Пусть элемент / пары (£ 1? С°) орбитально эквивалентен элементу х пары

(£7°,, 1 < Р <ю, т.е. Т/ = х, где Т : (£ 1,Со) ^ (£7°,, и Бх = /, где

(£Г°,£^(£ 1,С°) . Положим Я = БТ . Имеем Я: (£ 1,С°) ^(£ 1,С°) и Я/ = /.

Предположим, что 1 < р < 2 . По теореме Гротендика оператор Т как оператор из с° в £7 является абсолютно 2-суммирующим. Следовательно, оператор Я абсолютно 2-суммирует из С° в С°. Поскольку, как известно, произведение двух абсолютно 2-суммирующих

операторов представляет собой ядерный оператор, то оператор Я2 - ядерный из С° в С° .

Кроме того, Я2 : (£ 1,с°) ^(£с°) и Я2/ = / .

Предположим теперь, что 2 < р <<х>. Оператор Т как оператор из С° в £7 является

абсолютно г-суммирующим при любом г > р . То же справедливо для Я: С° ^ С° . Возьмем

г = 2п с натуральным п. Поскольку, как известно, произведение абсолютно а-суммирующего и абсолютно в-суммирующего операторов есть абсолютно

у-суммирующий оператор, где — +1 = — < 1 , то оператор Я2 абсолютно 2п 1 -суммирует

ару

из С° в С° , (Я2)2 = Я2 абсолютно 2п 2 -суммирует из С° в С° , ... Я2 абсолютно

2П 2П (п \

2-суммирует из С° в С° . Значит, Я - ядерный из С° в С° . Кроме того, Я : (£ 1, С°)

^ (£ !, С° ) и Я27 = /.

6) ^ 5). Тривиально, так как ядерный оператор является абсолютно суммирующим. 5) ^ 4). Пусть Т : (£!, С°) ^ (£ 1, С°) , Т - абсолютно суммирующий из С° в С° .

Тf = / . В соответствии с леммой найдутся вес 7 е £ х и оператор (£ £^ (£ 1, С°)

так, что Б/ = / . С другой стороны, поскольку С° с £7 , имеем {ё: (£!, С°) ^ (£ 1, £,

= / . Следовательно, элемент / пары (£!, С°) орбитально эквивалентен элементу /

пары (£ !, £ Ж).

4) ^ 1). Пусть

ОгЬ(/;(£!, с°) ^ X) = ОгЬ(/; (£ £ Ж) ^ X) (*)

для любой банаховой пары X. Известно, что интерполяция из пары весовых £ 1 -пространств в любую относительно полную банахову пару К-монотонна, (см.[2-4]). Поэтому, если X относительно полна, имеем:

ОтЪ(/; (£!, £ Ж) ^ X) = К - огЬ(/; (£!, £ Ж) ^ X).

Обращаясь к условию (*) и вытекающей из (*) эквивалентности функций К(£,/,£ 1,С°) и К(£,/,££^ ), можем заключить, что

ОгЬ(/;(£ьсо) ^ X) = К - огЬ(/;(£^) ^ X).

1) о 2). Равносильность утверждений 1) и 2) доказана в работе [5].

1) ^ 3). Пусть /- абсолютно кальдеронов элемент пары (£ 1,С°) . Рассмотрим

любую К° -полную, (см.[1-2]), пару

(£ 7°, £ 7 ) . Выберем элемент х е £ ± ° + £71 так

чтобы функция К(Ь,х; ££р1) была эквивалентна функции К (Ь, /, £ 1, С0). Так как

элемент f абсолютно кальдеронов, то х принадлежит Orb( f ;(i 1,c0) ^ (iiР1)).

Остается установить существование оператора из (£ 7°, £ р1) в (£!, С0) , переводящего элемент х в элемент /. Но это вытекает из теоремы о ^-монотонности интерполяции из

пары (£р0,£рр1) в пару (£,£^ ) при Р0 < 40, Р1 < 41, (см. [4] или [3]). р0 р1 40 41

Теорема доказана.

Просматривая доказательство импликации 4) ^ 1), можно заметить, что утверждения 1) - 6) равносильны утверждению

7) элемент/ пары (£ х, С0 ) орбитально эквивалентен некоторому элементу пары вида

(£70, £Ш1).

Заключительные замечания. На нижеследующие вопросы мы пока не знаем ответов. Условие 6) естественно порождает следующую задачу. Для заданной банаховой пары А = (А0, А1) рассмотрим операторы Т, непрерывные из А0 в А0 и ядерные из А1 в

А1. Выражаясь несколько неопределенно, что представляют собой неподвижные элементы таких операторов?

Условие 2) можно переформулировать более удобным образом: найдутся неубывающая последовательность положительных чисел (Ь(п))сда=1 со свойством

^ £(п)

X-< и постоянная С > 1, такие, что имеет место «самооценка» функции К(Ь) :

п=1 п2

К (п) < сК(Ь(п)).

Это неравенство дает сильные ограничения на рост функции К(Ь) на бесконечности. Нетрудно доказать, что К(Ь) = 0(Ь8 ), Ь ^ да, при любом 8 > 0. Мы имеем

(г) 1

пример, в котором функция К(Ь) при Ь ^ да эквивалентна функции Ь ( ), где

lnln t

. Но все-таки, каков максимально возможный (в каком-нибудь смысле) рост таких функций на бесконечности?

Список литературы References

1. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. 1978. Интерполяция линейных операторов. -М.: Наука.

Krein S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. 1982. Interpolation of linear operators, Transl. Math. Monogr., 54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, xii, 375.

2. Брудный Ю.А., Крейн С.Г., Семенов Е.М. 1986. Интерполяция линейных операторов. ВИНИТИ, Итоги науки и техники, сер. «Мат.анализ», 24: 3-163.

Brudnyi Yu.A., Krein S.G., Semenov E.M. 1988. "Interpolation of linear operators", J. Soviet Math., 42:6 : 2009-2112.

3. Ovchinnikov V.I. 1984. The method of orbits in interpolation theory. Math.Reports. v.1, part 2.: 349-516.

Ovchinnikov V.I. 1984. "The method of orbits in interpolation theory". Math.Rep., 1:2 : 349-515.

4. Дмитриев В.И. 1981. Об интерполяции операторов в пространствах Lp . ДАН СССР, 260(5): 1051-1054.

Dmitriev V.I. 1981. "On interpolation of operators in Lp -spaces", Soviet Math. Docl., 24:2: 373376.

5. Дмитриев В.И. 1985. (О=КО)-массив банаховой пары (£Со) /КПИ, Курск: 22. -Деп.ВИНИТИ, №2035-В86.

Dmitriev V.I. 1985. (O=KO)-set of Banach pairs С0) /KPI. - Kursk: 22. - Dep.VINITI, № 2035-В86.

6. Овчинников В.И. 2014. Интерполяционные функции и интерполяционная конструкция Лионса-Петре. УМН, 69 4 (418): 103-168.

Ovchinnikov V.I. 2014., "Interpolation functions and interpolation construction of Lyons-Petre". UMN, 69 4 (418): 103-168.