Равенство норм Амемии и Орлича в пространствах Орлича, порожденных параметризованными функциями Юнга векторного аргумента Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.2(6)

УДК 517.51

Равенство норм Амемии и Орлича в пространствах Орлича, порожденных параметризованными функциями Юнга векторного аргумента

И. В. Шрагин

Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 is. shragin@mail .ги; +49-221-708568

Вводится понятие строгой функции Юнга Ф :Т х X ^ [0, да ] ((т,?>) - пространство с мерой, X - банахово пространство) и дополнительной к Ф функции Юнга ¥ :Т х У ^[0, да], где У = X . С помощью функции ¥ определяется норма Орлича ||-|| в

пространстве Орлича LФ и доказывается, что Ц0 = ||| , где ||| - норма Амемии.

Рассматривается линейный функционал / : Lф ^ R, где /(р) = |(у, , а у :Т ^ У

Т

- фиксированная функция из пространства L¥. Доказано, что если пространство LФ снабжено нормой Люксембурга, то |\/1| = ||у || .

В приложении приводится пример (предложенный П. Г олицким) каратеодориевой функции, которая не является суп-измеримой.

Ключевые слова: строгая функция Юнга; дополнительная функция Юнга; пространство Орлича; нормы Орлича; Амемии; Люксембурга; норма линейного функционала; условия Ка-ратеодори; суп-измеримость.

Введение Орлича доказывалось при различных услови-

ях в работах [4-9]. Из этих работ наиболее Предлагаемая статья является продол- общая ситуация (когда пространство LФ по-

жением статьи [1] и основана, как и [1], на рождается параметризованной функцией

анонсе [2]. Ф :Т х[0, да)^ [0, да]) рассмотрена в [6] (к со-

Исторически первой нормой в про-

^ ^ ^ ^ жалению, эта статья была неизвестна авторам

странстве Орлича LФ , порожденном функци- работ [7] [8] [9])

ей Юнга Ф, была введенная Орличем [3] в "векторном" пространстве LФ, поро-

норма, определяемая с помощью дополни-

„ , т„ 1Т, „ _ жденном функцией Юнга Ф Т х X ^10, да|

тельной функции Юнга ¥ . Эта норма обыч- . .

но называется нормой Орлича. Но, как позд- (где Т,Т,Я> - пространство с мФой, X -

нее выяснилось, норма Орлича совпадает с банахово пространство), равенство норм

нормой Амемии, определяемой без помощи Амемии и Орлича анонсировано в [2]. Дока-

дополнительной функции. зательство этого результата излагается в на-

В "скалярных" пространствах Орлича стоящей работе.

(т.е. состоящих из вещественных или ком- В п1 приводятся необходимые сведения

плексных функций) равенство норм Амемии и из [1] и вводится понятие строгой функции

Юнга Ф :Т х X ^ [0, да].

© И. В. Шрагин, 2011

В п.2 определяется функция ¥ :Т х У — [0, да], где У = X*, дополнительная к функции Юнга Ф , и приводится доказательство того, что если Ф - строгая функция Юнга, то и ¥ является таковой.

В п.3 в "векторное" пространство Орли-ча LФ мы вводим норму Орлича и доказываем ее свойства.

В п.4 приведено доказательство ряда вспомогательных предложений, приводящих к равенству норм Амемии и Орлича. С помощью этого равенства получено выражение для нормы линейного интегрального функционала на пространстве Орлича с нормой Люксембурга.

Отметим, что рассмотрение "векторной" ситуации, в отличие от "скалярной", требует привлечения сведений из выпуклого анализа. В свою очередь, зависимость функций Юнга ф и Ф от параметра I е Т повлекла за собой необходимость применения нетривиальной теоремы об измеримости проекции и измеримом выборе.

В конце работы приведен пример функции, удовлетворяющей условиям Каратеодо-ри, но не суперпозиционно измеримой.

1. Строгая функция Юнга

Пусть (Т,Т,и) - пространство с и -конечной полной мерой, где цТ > 0, а X -вещественное сепарабельное банахово пространство с нормой |-| и нулем 0, причем

X Ф {0} (|-| и 0 будут обозначать также модуль числа и числовой ноль).

Измеримость функций, определенных на множестве Т или его подмножествах, будем понимать как измеримость по отношению к и -алгебре Т , т.е. Т -измеримость [1]. Обозначим через X (X ) множество всех измеримых функций р :Т — X , отождествляемых при равенстве /и -п.в. В силу сепарабельности пространства X X (X) является вещественным векторным пространством с нулевым элементом в (в() = 0 и-п.в).

Приведем определение функции Юнга, данное в [1].

Определение 1.1. Функция Ф :Т хX —

— [0, да] называется функцией Юнга (с па-

раметром t е Т), если при каждом х е X функция Ф(-, х) :Т — [0, да] измерима, а при каждом t е Т функция Ф^, •): X — [0, да] удовлетворяет следующим условиям:

(a) Ф^, 0)= 0;

(b) (Ух е X) Ф^, - х) = Ф^, х);

(c) выпуклость, т.е.

У(х1, х2 е X, а е (0,1)) ф(^ ах1 +(1 - а)х2 )< аф(t, х1 )+(1 - а)ф(^ х2); ^) полунепрерывность снизу, т.е.

Ух0 е X Ф^, х0) = Пт шГ ф(t, х);

х—х0

(е) Ух Ф 0 (За > 0) ф(t, ах) > 0;

(£) функция ф(t, •) ограничена в некоторой окрестности точки 0.

Усилив условия (е) и (£), имеем следующее.

Определение 1.2. Функция Юнга Ф называется строгой, если Уt е Т функция ф(^ ^ вместо условий (е) и (£), удовлетворяет условиям:

(е^ НтшГ |х| 1 ф(t, х) > 0;

|х| —да

(£;) limsup| х| 1Ф^, х)<да.

х—0

Из условия (е^ вытекает, что (Уt е Т) Нт ф(t, х) = да . Отметим, что функция Юнга

|х| —да

1

Ф : С [0, 1] —> [0, да), где ф(х)=||х (([1],

0

пример 3.1), не является строгой, так как Нт^ ф( х)= 0 .

|х| —да

Замечание 1.1. Функция Юнга Ф :Т х Я — [0, да] является строгой. Действительно, в этой ситуации из условий (а) и (с) вытекает, что Уt е Т отношение х~'Ф^, х) является неубывающей функцией на (0, да). Поэтому существуют

г := Нт х~'Ф^, х) и s := Нтх~'Ф^, х),

х—да х—0

причем из условий (е) и (£) следует, что г > 0, а s <да, т.е. выполняются условия (е^ и (£!).

Напомним о некоторых свойствах функции Юнга [1].

При каждом t функция Ф^, •) непрерывна на М ^от Ф^, •)), где

dom ф(t, •):= {хеX :Ф^, х)<да}.

Отсюда, в частности, следует, что (Vt) lim 0(t, х) = 0.

х—0

Функция Ф (Т ® B (X)) - измерима (здесь B (X ) - совокупность всех борелевских множеств в пространстве X, а T ® B(X) -и -алгебра на T х X , порожденная семейством {A х B : Л е Т, B е B (X)}). Отсюда следует суперпозиционная измеримость (сокращенно суп-измеримость) функции Ф, т.е. при любой измеримой функции р: T — X суперпозиция Ф(, р(-)): T — [0, да] измерима.

Мы будем неоднократно пользоваться следующей теоремой об измеримости проекции и измеримом выборе (см. [1]).

Теорема А. Пусть Z - полное сепарабельное метрическое пространство. Тогда если непустое множество C еТ ® B(Z), то prTC е Т (где prTC:={tеТ: (3zеZ) (t,z)eC}),

и существует измеримая функция

о : prT C — Z, график которой содержится в C, т.е. {(t,o(t)): t е prTC}c C.

2. Дополнительная функция Юнга

Пусть Y := X* - пространство, сопряженное к пространству X . Через ^у, х} обозначим значение функционала у е Y в точке х е X . Так как X Ф {о}, то ([10], следствие

II.3.14) Y ф{ 0*}, где 0* - нулевой элемент в Y , т.е. нулевой функционал на X . Напомним также ([10], следствие II.3.9), что Y - банахово пространство с нормой

|у| := sup {|(у, х)|: |х| = 1}. (2.1)

Пусть Ф :Т х X — [0, да] - функция Юнга (вообще говоря, не строгая). Положим при (t, у)еТ х Y

¥(t, у) := sup {^у, х) - Ф(t, х): х е X}. (2.2)

Так как (у, 0 -Ф^, 0) = 0, то ¥(t, у)> 0.

Определение 2.1. Функция ¥ :Т х Y —

—— [0, да], определяемая равенством (2.2), называется дополнительной функцией к функции Ф .

Из (2.2) и условия (b) (определение 1.1) вытекает неравенство Юнга:

У^ е Т, х е X, у еУ)

\(у, 4 <Ф^, х) + ¥^, у). (2.3)

Рассмотрим свойства функции ¥ .

Лемма 2.1. При каждом у е У функция

¥(•, У) измерима.

Доказательство. Зафиксируем у е У и с > 0 и положим /(, х) = (у, х^ - ф(t, х). Тогда (см. 2.2)

^: ¥(t, у)> с} =

= {: (Зх е X)/(t, х)> с }= ргТ Q, где Q = {(t, х):/(t, х)> с}. В силу непрерывности функционала у и (Т ® В (X)) -измеримости функции Ф, Q е Т ® В(X), так что по теореме А ^: ¥^, у) > с}е Т . ■

Зафиксируем t е Т . Тогда из свойств (а) и (Ь) функции Ф^, •) вытекают аналогичные

свойства функции ¥^, •), т.е. ¥^, 0* )= 0 и

¥^, - у) = ¥^, у). Далее, У(у, у2 е У, а е (0, 1))

¥^, ау1 + (1 - а)у2) = sup{а(y1, х) +

+ (1 -а)^у2, х-аФ^, х)-(1 -a)ф(t, х): хеX}<

< а¥(^ у1 )+(1 - а)¥(t, у2 ),

т.е. функция ¥(t, •) выпукла на У .

Лемма 2.2. При каждом t е Т функция ¥^, •) полунепрерывна снизу на У .

Доказательство. Зафиксируем t е Т и у0 е У и возьмем произвольное а < ¥ (^ у0). Тогда (Зх0 е X) ^у0, х0) -ф(t, х0)> а . Так как функционал ^ , х0} непрерывен на У (точнее говоря ([10], текст после леммы П.3.16), ^•, х0} е У*), то для всех у из некоторой окрестности и точки у0 выполняется неравенство (у, х^-Ф^, х0 )> а , откуда (Уу еи)

¥^, у) > а . Таким образом, функция ¥^, • ) полунепрерывна снизу в точке у0 . ■

Замечание 2.1. Как видно из доказательств, выпуклость и полунепрерывность снизу функции ¥^, • ), определенной равенством (2.2), имеют место для любой функции Ф^, • ): X — [0, да].

Пусть теперь Ф - строгая функция Юнга. Покажем, что тогда и ¥ является таковой. С учетом лемм 2.1 и 2.2 и доказанных свойств (а),

(Ь), (с) остается доказать свойства (е) и (£)

Лемма 2.3. При каждом t е Т liminf |у|- ¥(t, у)> 0.

|у—да

Доказательство. Предположим противное. Тогда

3t (Vn еК)(^у„ е Y)

(|у„| > n, ¥(^ уп)< n“1 уп ^. Следовательно, в силу (2.2),

V(n еК, х е X) (уп, х) -Ф^, х)< n_1| уп\ . (2.4) С другой стороны (см. (2.1)),.

Vn (Зхп е X) (| хп| = 1, (уп , хп) > 2-11 уп |) . То-

гда, в силу (2.4), Vn

ф( t, 3п “Ч )>( уп ,3п _'хп) - п _1| уп\ > (2п)-1 уп\ , откуда ф( t , 3п“Ч )| 3п-1хп | > 6-1|уп| > 6-1 п .

Следовательно, limsup |х| 1 Ф(t, х) = да , что

х—0

противоречит свойству (fs) функции ф(t, • ) . ■ Лемма 2.4. При каждом t е Т lim sup Н - ¥(t, у) < да.

у—0

Доказательство. Предположим противное. Тогда

3t (Vn е N) (Зуп е Y)

(° <Ы < пY(t, уп )> п|уп|).

Следовательно,

Vn(Эхn е X) (уп, хп)-Ф(t, хп)> п\уп\.

Но так как (уп , хп) < Н'Ы , то |хп| > п . С другой стороны, так как Ф^, хп )<

<( уп , хп) < Ы'Ы , то Ф(t, хп )| хп|< п что

противоречит свойству (es) функции ф(t, • ) . ■

Таким образом, если Ф - строгая функция Юнга, то дополнительная к ней функция ¥ также является строгой функцией Юнга. При этом, так как Vt е Т функция Ф(^ ) выпукла и полунепрерывна снизу на X, то по теореме Фенхеля-Моро ([11], п.2.6.3) при всех (t, х) е Т х X

Ф^, х) = sup {(у, х) -¥(t, у): у е Y}. (2.5) Это не означает, что функция Ф дополнительна к ¥, так как функция Ф^, • ) определена на X, а не на Y * = X **. Впрочем, если пространство X рефлексивно (в частности гильбертово), то Ф и ¥ можно считать взаимно дополнительными функциями Юнга.

3. Норма Орлича в пространстве Орлича

Пусть Ф :Т х X — [0, да] - строгая

функция Юнга, а ¥ :Т х У — [0, да] - ее дополнительная функция.

Отныне мы предполагаем, что пространство У (как и X) сепарабельно, так что X (у ) является векторным пространством с

нулевым элементом в* .

Замечание 3.1. Если пространство X рефлексивно, то пространство X ** (= У *), будучи изометричным пространству X, является сепарабельным. Но в таком случае и У сепарабельно ([10], лемма 11.3.16). Таким образом, в этой ситуации сепарабельность У имеет место сама собой.

Из неравенства Юнга (2.3) следует, что У^ е Т, ре X(X), у е X(У))

Р(0)| < ф(^ Р(0Н¥(^ У(^. (31)

В силу сепарабельности У , функция ¥ (Т ® В (У )) - измерима ([1], лемма 1.1), откуда следует [1] ее суп-измеримость. Таким образом, У(ре X(X), у е X (У )) функции Ф(, р(.)) и ¥(•, у (•)) измеримы.

Далее мы намерены доказать измеримость функции (у (• ), р() . С этой целью рассмотрим произвольную функцию

g :Т х X — Я, удовлетворяющую условиям

Каратеодори: Уt е Т функция g(^ • ) : X — Я непрерывна, а Ух е X функция g(•, х) :Т — Я измерима. Такую функцию будем называть С -функцией.

Лемма 3.1. С-функция g (Т ® В (X )) -измерима и суп-измерима.

Доказательство. Пусть счетное множество Z плотно в X. Возьмем произвольное с е Я и покажем, что {(^ х): g(^ х)< с}= ис, где

ис := П и {: g(^ г)<с+п~1}х

х{х: \г - х| < п- }].

Итак, пусть g (t, х )< с. Тогда, в силу непрерывности функции g (t, • ),

Уп е N (зд е (0, п-1 ])

[(| г - х| < д)^ (g (t, г)< с + п-)].

Отсюда следует, что (^ х)е ис. Пусть, обратно, (^ х) е ис. Тогда

Уп е N (Згп е Z)

(|гп - х < пg(t, гп)< с + п- ),

откуда g (t, х)= Нт g (t, гп )< с .

п—да

Таким образом, { ^, х): g(t, х) < с } = ис. Так как ис е Т ® В (X), то функция g (Т ® В (X )) -измерима. Отсюда следует (см. [1], текст после следствия 1.1) ее суп-измеримость. ■

Следствие 3.1. Для любых ре X(X) и

уе X(У) функция (у( ), р() : Т — Я измерима.

Доказательство. Зафиксируем

уе X (У ) и рассмотрим функцию

g : Т х X — Я, где g (^ х) = (у(), х). Покажем, что g является С -функцией. Действительно, Уt е Т функция g (^ • ) = у(:) непрерывна на X, так как у(^ )е У = X *. А Ух е X функция g(• , х) = {у (• ), х) представляет собой композицию / о у , где / = (• , .

Так как функция у : Т — У измерима, а функция / : У — Я непрерывна (точнее говоря, / е У *), то функция g(•, х) = / о у измерима.

Из условий Каратеодори, по лемме 3.1, вытекает суп-измеримость функции g . Поэтому У(ре X(X), у е X (У )) функция

(у() р()) измерима. ■

Далее через | будем обозначать |.

Т

Из неравенства (3.1) и следствия 3.1 вытекает, что У(ре (x), у е X (у))

ррёи< 1ф(Р)+1¥(у) , (32)

где

' Р-/ " Г^,

IФ (p) = jф(^ p(t))dH, Iт(у)= = JТ(t, у (t))dH .

пространств

Напомним определение Oрлича Lф и LT :

Lф :={ pє S(X): (3a > 0)Iф(ap)<да}, LT := { у є S(y): (зр > 0) ^ру^ да}. При этом равенство ||p|| := inf {a-1 (1 +1 (ap)) :a > 0}

определяет норму Амемии в Ьф (аналогично определяется норма Амемии в ). Так как Ііт ф(ґ, х) = Ііт Р(ґ, у) = да, то пространства

|х| ^да |у| ^да

(ьф, ||-||^) и (ьр, ||-|^) полны ([1], теорема 3.1).

Лемма 3.2. При любых ре Ьф и у е Ьр функция (у(), р(- ) ц -интегрируема на

множестве Т.

Доказательство. Пусть ре Ьф,

у є , т.е.

3(а, Р > 0)(/ф (ар) < да, Iр (Ру) < да). Тогда, в силу (3.2), ||(у, рр|^и<да . ■

Введем в пространство Ьф норму Орлича, определяемую равенством

НІ о := яир{/ у-> р)й^ : Iw(у)< 1{. (33)

у

Для функции Юнга Ф : R ^ [0, да] доказательство основных свойств нормы Орлича проведено в [12]. Но в нашей ситуации требуется иной подход, в частности, приходится применять теорему А.

Теорема 3.1. Равенство (3.3) определяет норму в пространстве Ьф .

Доказательство. Так как (Уґ) Ііт Р(ґ, у) = 0, то по теореме Лебега о пределе

у^0

интеграла (У у є ) Ііт Iр (Ру) = 0 , так что

Р^о

{у е Ьр : 1р (у) < 1}ф 0 .

Далее, если ре Ьф, т.е.

(3 а > 0) Iф(ар)<да, то, в силу неравенства

(3.2),

(У у е Ьр ) Л (у, р) < а-1 (I ф (ар)+1 р (у)),

откуда 0 < ||р|| < а-1 (Iф(ар)+1) < да .

Легко проверяются свойства:

М о = ^

(уАер) ||Яр||о = |А|-||р||о,

Цр: +р2| о < N1 о +1 N1 о.

Остается показать, что если р Ф в , то ||р|| > 0 . Положим Т+ ={ґ е Т : р(ґ) Ф 0}, так что цТ+ > 0. Тогда Уґ е Т+ (3у е У)

р(ґ)) > 0. При этом, задавшись каким-либо а > 0, можно считать, что Р(ґ, у) < а .

Отсюда следует: ргТ Q = Т+, где

Q := {(^ у) е Т+ х У: (У, P(t)) > 0 ¥(t, у) < а}.

Так как функция / :Т х У — Я, где

/(t, у) = (у, р(t^ , является С-функцией (см.

доказательство следствия 3.1), то она, по лемме 3. 1, Т ® В (У ) -измерима. Функция ¥

также (Т ® В (у )) -измерима. Следовательно, Q е Т ® В (У). Тогда по Теореме А существует такая измеримая функция у0 : Т+ — У , что

(у е Т+ ) у (t), р(t^ > 0 и ¥(t, у0 ()) < а .

Возьмем теперь (мера и и -конечна) такое Т0 с Т+, что 0 < иТ0 < да . Тогда

1П , у0 (t)) Ф < да, и так как (у е Т)

то

lim Ф(t, ау0 (t)) = 0 ,

а—0

(За0 > 0) , а0у0 (t))ёи < 1.

Тс

Положим у(t) = а0у0 (t) при t е Т0 и у(t) = 0* при t е Т \Т0. Тогда 1¥(у)< 1и

| (у, ррёи= = а01(у0, р)ёи> 0,

¥ '

так что

Ы\О > 0 . ■

4. Равенство норм Амемии и Орлича

Рассмотрим в пространстве Орлича Lф , порожденном строгой функцией Юнга, нормы Амемии и Орлича с целью доказать их равенство.

Пусть ре Lф . Тогда если (у)< 1, то,

в силу не

равенства (3.2), У а > 0 |(у, р)ёи < а-(Iф(ар)+1).

Отсюда следует, что ||р||0 < ||р|| . Для

доказательства противоположного неравенства нам потребуется несколько вспомогательных предложений.

Лемма 4.1. Для любой функции ре Lф

Iф(р) = 8ир{|(у, р)ёи-!т(у): у е £у}.(4.1)

Доказательство. Зафиксируем ре Lф. Из неравенства (3.2) и леммы 3.2 следует:

(У у е ) 1ф (р) > |(у, р)Ф - 1ф (у). (4.2)

Поэтому если Iф (р) = 0, то, полагая в

(4.2) у = в*, получим (4.1).

Пусть 1ф (р) > 0. Возьмем произвольное с е (0, 1ф (р)) и докажем, что при некотором ус е LФ

|(Iус, р)ф- 1ф ('ус )> с , (4.3)

откуда, в силу (4.2), следует (4.1).

Положим q(t) = ф(^ р()) и

Т+ = { е Т : q(t)> 0}. Так как Iф (р) > 0 , то иТ+ > 0 . Положим далее У(п е N t е Т)

/ч [п, если q(t ) = да,

Рп [(1 - 2-п)q(t), если q(t)<да.

Так как (по теореме Б.Леви) М ГРпёи = ^ (р), то (З«) ГРтёи =

п—да » »

Т+

= Г ртёи> с . Положим р = рт и покажем, что ргТ Q = Т+ , где

Q = {(^ у) е Т+ х У : (У, р^ - ¥(t, у) > Р()}.

Действительно, при t е Т+, в силу (2.5), шр^ р(^}-¥(^ у): у е У}= q(t)> p(t), так что (зу)(^ у)е Q , т е. t е РrтQ.

Так как е Т ® В (У), то по теореме А существует такая функция И е X (У), что (yt е Т+ ) (^ И()) е Q, т.е.

(И (t), р (t)) - , И (t)) > Р (t),

откуда (У е

(Уt е Т+ ) ¥^, И(t)) < да . Найдем

теперь

такое множество А с Т+ , что 0 < иА < да, Г Рёи > с и Бир{ф^, И^)): t е А} < да.

А

Положим ус = хАИ . Тогда ус е X(У) и I ¥(ус ) < да, так что ус е . Кроме того,

Г у¥ с, р) ёи- (у с ) =

= Г [ (И (^), р (t)) - ¥(t, И^)) ]ёи > Г Рёи > с,

АА

т.е. выполняется неравенство (4.3). ■

В силу леммы 3.2, при фиксированной функции ре Lф корректно определен линейный функционал / : LФ — Я, где

/(у)=Гу рУи. (44)

0

Лемма 4.2. Если ре L0 \ {в}, то (зу е L¥)f(у)ф 0.

Доказательство. Так как р Ф в, то (ЗТ0 с Т) 0 < Т < да и (Vt е Т0 ) Р(0Ф 0.

Тогда Vt е Т0 (Зу е Y) ^у, p(t) > 0. Следовательно, ргт D = Т0, где

D ^ у)еТ0 х Y : (^ p(t)) > 0}.

Так как D е Т ® B (Y), то З у0 е S (Y )

(Vt е Т0) у(t). P(th > °.

Положим при каком-либо a > 0 и п = 1, 2, ...

ТW = {t е Т0 : ¥(t, п“V0(t))< a }.

Тогда Тс Тс ..., и так как (Vt е Т0) ¥ (t, п 1у0 (t))— 0 при п — да, то Т0 = У Т(п^ . Следовательно, (Зт)цТ(т^ > 0 .

п

Положим у = хТ(m)у0. Тогда

I¥(m~'у)< a • цТ<да , т.е. у е L¥ . При этом

/ W= j (Уо, р)Ф> 0. ■

Т (m)

Лемма 4.3. Если ре Lq,, то для каждого Л е (0, 1) существует такая функция уЛ е L¥, что I¥ (у Л ) < 1 и

j(УлР)dM = Л||р||A .

Доказательство. Зафиксируем ре L,^ . Если р = в, то в качестве уЛ можно взять в*. Пусть р Ф в . Положим

A = { у е Ly : j (у, р)dц = 0}, т.е. A - ядро линейного функционала f (см. равенство (4.4)). В силу леммы 4.2, A ФL¥ . Тогда [13] фактор-пространство L¥ / A линейно изоморфно R . При этом изоморфизме каждому смежному классу A + у соответствует значение f (у). Исходя из этого, определим функцию N :R — [0, да], полагая

N(p) =inf {Iw (у): у е Lw, f (у) = p }, и покажем, что N обладает всеми свойствами функции Юнга (без параметра t ), кроме, быть может, полунепрерывности снизу.

Очевидно, N(0) = 0 и (Vp е R) N(-p) = N(p). Далее, если N(pk)<да , к =1,2 то Ve > 0 (у) (f(ук) = pk,

I¥ (ук )< N(pk ) + е), к = 1, 2.

Тогда (Va е (0, 1))

/'(ау1 +(1 - а)у2 ) = од +(1 - a)p2, так что

N(ap1 + (1 - a)p2 ) < 1 ¥ (a у 1 + (1 - a)у 2 ) <

< aN (pi )+(1 - a )N (p2 )+ £.

Отсюда следует неравенство

N (m +(1 - a)p2) < aN (p1 )+(1 - a )n (p2 ),

справедливое и в случае, когда N (p1 ) или N (p2) бесконечно.

Покажем, что N(p) Ф 0 . Предположим противное. Тогда (Vk е N) N (к )= 0, так что

зук(f{ук) = к, I¥(ук)<к-1).

Следовательно,

1 = f (к у ) =

= j ^к, к~р)ф< 1ф(к_1р)+1¥ (ук ).

Но так как ре LФ, то lim 1Ф(к 1р)= 0,

к—да

и мы приходим к противоречию. Тем самым доказано свойство (е) из определения 1.1.

Докажем свойство (f). С этой целью возьмем у0 е L¥ \ A, так что f (у0) = p0 Ф 0 . Так как (З^ > 0)I¥ (Ру0) < да, причем f (Ру0)= = PPо, то n(Pp0)<да . Отсюда следует свойство (f), так как N(p) < N (fip0) при

\p\ < p0 .

Рассмотрим дополнительную к N функцию M , определенную также на R , т.е. (Vq е R) M (q) := sup {pq - N(p): p е R}. Покажем, что (Vq е R ) M (q ) = I ф (q р). Действительно,

M (q) = sup

pеP

= sup

= sup

у

pq - inf {i¥(у): f (у) = p}

уеL¥

p{pq -1¥ (у): f (у)=p}

r

p{pq -1¥ (у): f (у)=p}

= sup

= sup[ qf (у)-1¥ (у)]=

у

|j(у, q^d^-1¥ (у)] = Iф(qр),

в силу леммы 4.1.

p

p

У

Заметим, что, доказывая в п.2 свойства функции ¥(t, •), мы не пользовались полуне-прерывностью снизу функции Ф^, •). Поэтому M является функцией Юнга; в частности, она полунепрерывна снизу, что равносильно следующему условию: если

dM := sup {q: M(q) < да } < да, то M(dM - 0) = M(dM ). В то же время функция N может этим свойством не обладать. В этом случае N не является дополнительной функцией к M . Поэтому мы "подправим" функцию N, а именно положим

(Vp еР) N (p )= lim N (Л).

Л—1-0

Если dN := sup {p : N(p) < да } = да, то функция N непрерывна на R, так что N = N. Пусть dN < да. Покажем, что и в этом

случае N - функция Юнга. Действительно, свойства (а), (b), (с) легко проверяются. Далее, при |p| > dN N(p) = N(p) = <x>; а при |p| < dN

N(p) = N(p)(<да), так как функция N непрерывна на (- dN, dN ). Следовательно N удовлетворяет условиям (e), (f). Из этого рассуждения, в частности, следует, что d ~ = dN .

При этом

N (dN - 0) = N (dN - 0) = lim N (^N ) = N (dN ),

Л—1-0

так что функция N полунепрерывна снизу.

Итак, N - функция Юнга. Покажем, что ее дополнительная функция M совпадает с M . С этой целью зафиксируем q е R. Тогда, так как (vp ) N(p )< N (p), то

M (q )> M (q). С другой стороны,

V(p е R, Л е (0, 1)) Лpq - N (Л )< M (q), откуда pq - N (p) < M (q ), так что

M (q )< M (q ).

Так как функция N выпукла и полунепрерывна снизу, то по теореме Фенхеля-Моро (см. (2.5)), с учетом равенства M (q )=1ф (яр), имеем (Vp е R) N(p) = sup {pq - 1ф ^р): q е R}. В частности,

N (HI A )= sup {q| HI A - 1ф (qр): qе r}.

Но так как (Vq > 0) ||р||A < q- (1 + IФ(qр)), то (Vq е R) q||р|| - 1Ф (qр) < 1. Отсюда вытекает, N(рА )< 1, т.е. lim N(Л|р||л )< 1. Тогда

что

^Ле(0, 1)) N(лЦр )< 1,

откуда следует ут-

верждение леммы. ■

Следствие 4.1 (равенство норм Аме-мии и Орлича). Для любой функции ре Lф

N1 о = N1 а.

Доказательство. Пусть ре Дф . Тогда (см. начало пункта) ||р||0 < ||р|| . С другой стороны, из равенства (3.3) и леммы 4.3 вытекает, что (УА е (0, 1)) А||р|| < ||р||г , так что

\т\а <\т\о. ■

В п.2 отмечалось, что функция Ф , вообще говоря, не является дополнительной к ¥ . Тем не менее, как легко убедиться (при принятом нами условии сепарабельности пространства У ), равенство

И 0 := 8ир {|| ^ р): и (р)<1}

определяет норму в пространстве Ь¥, которую естественно также называть нормой Ор-лича. При этом в леммах 4.1, 4.2 и 4.3 можно поменять ролями Ф и ¥, так что и в нормы Амемии и Орлича совпадают.

Применим это наблюдение к вопросу о норме линейного функционала в пространстве

L

определяемого

равенством

f (р) : = jу, при фиксированной функ-

ции у е L¥ . С этой целью введем в L,^ норму Люксембурга (см. [1], замечание 2.1), т.е.

||р||^ := inf {а > 0: 1ф (а ~'р)< 1}, (4.5)

так что ||f || := sup {| f (р)|: ||р|| < 1}.

Следствие 4.2. ||/|| = .

Доказательство. Заметим, что

(У р е Дф ) ||р|| < 1 тогда и только тогда, когда

I ф (р) < 1. Действительно, если I ф (р) < 1, то, в силу неравенства (4.5), ||р|| < 1. Обратно, пусть 0 < ||р|| < 1 (случай р = в тривиален). Тогда

^п еК) 1ф (р|L + п 1) 1

р

< 1

и, по теореме Б.Леви, Iф (p|Lp)< 1, откуда

I ф (p) < 1. Поэтому

\\f II = sup {|j (у, p)dU : h (p) < 1}=

= \\У\\O = 11У11A •

Пример не суп-измеримой функции, удовлетворяющей условиям Каратеодори

Пусть Т - непустое множество, Т -и -алгебра на Т (т.е. (Т, Т) - измеримое пространство), X - метрическое пространство с метрикой ё . Рассмотрим С-функцию g :Т х X — Я (см. п.3). В лемме 3.1 фактически доказано, что если пространство X сепарабельно, то функция g (Т ® В (X)) - измерима (в доказательстве леммы 3.1 надо лишь заменить |г - х| на ё(г, х)), а следовательно, суп-измерима.

В работе [14] (п.3, пример 7) приведен пример не (Т ® В (X)) - измеримой С-функ-ции (при несепарабельном X), которая, тем не менее, суп-измерима. Там же поставлен вопрос о существовании не суп-измеримой С-функции. О примере такой функции сообщил автору профессор Пражского университета П.Голицкий. Далее приводится этот пример.

Пусть Т = X = Я . Введем в X дискретную метрику ё, а именно положим ё ( х, у) = 1 при х Ф у . Так как Я несчетно, то пространство (X, ё) несепарабельно. Положим далее

Т = {А с Я : А \ (- А) счетно}.

Здесь -А: = ^ е Я : -1 е А}, и конечные множества (в частности пустое) считаются счетными. Иначе говоря, Т состоит из множеств, "несимметричная" (относительно нуля) часть которых счетна. В частности, если А симметрично относительно нуля, то А е Т, так как А \ (- А) = А \ А = 0.

Покажем, что Т - и -алгебра на Я. Ясно, что Я еТ . Далее, нетрудно проверить, что У А с Я

(Я \ А)\ [-(Я \ А)]=(- А) \ А = -[А \ (- А)].

Так что если А е Т, то Я \ А е Т . На-

U An \ - U A

V п у V п

\ ( ^

с

U An \ U (- An) с U [An \ (- An)].

nn

n

n

конец, если

(Vn є N) An с R

Так что если (Vn) An є T , то U An 6 T '

n

Рассмотрим функцию g : R x X ^ R, для которой g (t, x) = 1 при x = t > 0 и g ^ x) = 0 в остальных точках (t, x). Так как пространство (X, d) дискретно, то Vt є R функция g(t, •) непрерывна на X. Далее, если х < 0, то (Vt є R) g(t, x) = 0 . Если же x > 0, то g(•, х) = Х\х), так что {t: g(t, х) = 1} = {х}є T . Следовательно,

Vx є X функция g(•, х) измерима.

Таким образом, g является С-функ-цией. Покажем, что она не суп-измерима. Пусть (Vt є R) p(t)= |t. Так как VB с X

p-(b )=-p 1 (b ), то p -l (В)є T, так что функция p измерима. В то же время функция g(% pQ)= *[0,«) и, как очевидно, не измерима. Следовательно, функция g не суп-измерима.

Список литературы

1. Шрагин И.В. Пространства Oрлича, порожденные параметризованными функциями Юнга векторного аргумента // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып.1(5). 2011. С.26-32.

2. Шрагин И.В. Пространства Oрлича, порожденные функциями векторного аргумента //Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. поли-техн. ин-т. Пермь, 1985. С.64-69.

3. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Rau-men vom Typus B // Bull. Intern. Acad. Polon. Sc., Ser. A. 1932. №8-9.P.207-220.

4. Luxemburg W.A.J., Zaanen A.C. Conjugate spaces of Orlicz spaces // Indag. Mathem. 1956. 18. P.217-228.

5. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Oрлича. М.: Физматгиз, 1958.

то

■

6. Шрагин И.В. Норма Амемии в пространстве Орлича-Накано // Уч. зап. Кишинев. унта. 1967. Т.91. С.91-102.

7. Maligranda L. Orlicz spaces and interpolation // Seminars in Math. 5. Univ. of Campinas. Campinas SP, Brazil, 1989.

8. Rao M. M., Ren Z. D. Theory of Orlicz spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1991.

9. Hudzik H., Maligranda L. Amemiya norm equals Orlicz norm in general // Indag. Ma-them. 2000. 11(4). P.573-585.

10.Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

11.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

12.Luxemburg W.A.J. Banach function spaces. Thesis, Delft Techn. Univ., 1955.

13.Райков Д.А. Векторные пространства. М.: Физматгиз, 1962.

14. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость и оператор суперпозиции. Одесса: Феникс, 2006.

Equality of Amemiya and Orlicz norms in Orlicz spaces generated by parametrized Young functions of the vector argument

I. V. Shragin

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 is. shragin@mail .ru; +49-221-708568

We introduce the notion of the strong Young function O : T x X ^ [0, ro] ((T, T, u) is a measure space, X is a separable Banach space) and define the complementary Young function W T x Y ^ [0, ro], where Y = X . With the help of W it is defined the Orlicz norm ||-|| in

Orlicz space L0 and it is proved that ||-|| = ||-|| where ||-|| is Amemiya norm.

We consider the linear functional f : LO ^ R where f (p) = J |, p^ du and ye LW . It

T

is proved that if L0 is equipped with Luxemburg norm, then 11/|| = ||y|| .

In appendix we present an example (suggested by P. Holicky) of Caratheodory function which is not sup-measurable.

Key words: strong Young function; complementary Young function; Orlicz space; Orlicz (Amemiya, Luxemburg) norm; norm of linear functional; Caratheodory conditions; sup-measurability.