Модулярные локально ограниченные пространства Фенхеля - Орлича и конусы в них Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2000, Том 2, Выпуск 4

УДК 517.98

МОДУЛЯРНЫЕ ЛОКАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФЕНХЕЛЯ ОРЛИЧА И КОНУСЫ В НИХ

В. Г. Фетисов, Н. П. Безуглова

Изучено поведение конуса неотрицательных функций в обобщенных пространствах Ор-лича, как известно, не являющихся в полной мере метрическими пространствами при соответствующем выборе определяющей фундаментальной функции. Рассматривается ряд основных свойств конусов в векторнозначных пространствах Фенхеля — Орлича.

В работе [1] было изучено поведение конуса неотрицательных функций в обобщенных пространствах Орлича, как известно, не являющихся в полной мере метрическими пространствами (при соответствующем выборе определяющей фундаментальной функции). Здесь мы рассматриваем ряд основных свойств конусов в векторнозначных пространствах Фенхеля — Орлича (см. [2], там же содержится и обширная библиография).

1. Основные определения и некоторые вспомогательные результаты

Допустим, что X — вещественное линейное нормированное пространство; обозначим R+ = [0, оо[ (соответственно, R+ = [0, оо]). Всякая функция Ф : X —^ R+ называется функцией Орлича (в частности, если Ф — выпукла, то функцией Юнга), если Ф(0) = 0 и, если элемент х е X, х Ф 0 (© — ноль пространства X), то lim Ф(Хх) = оо, где А е 1.

Л—^оо

Примерами функций Орлича могут служить скалярная 92-функция Ф^и) = Ыр (0 < р < оо) (определяющая классическое пространство Лебега Lp), /Y-функция Фг(и) = е'и' — 1 и т. д.

Определение 1. Пусть (fi, Е, //) — измеримое пространство с сг-конечной сепарабельной неатомической полной мерой //. .V — линейное нормированное пространство, Ф — функция Орлича на X. Пространством Фенхеля — Орлича //''(//. .V) называется множество всех таких классов эквивалентности измеримых функций и : fi —^ X, что существует А > 0 такое, что J Ф(Аu)dp < +00.

п

Можно заметить, что пространство Фенхеля — Орлича представляет собой линейное пространство.

© 2000 Фетисов В. Г., Безуглова Н. П.

Определение 2. Функционал р : X —^ R+ называется модуляром [3], если выполняются условия: (а) (р(х) = 0) ^ (х = О); (в) р(-х) = р(х);

(c) p(ax + ßy) < p(x) + р(у) (х, у е X; а, /3 > 0; a + ß = 1). Если условие (а) заменить условием

(d) р(в) = 0,

то функционал р называется псевдомодуляром.

Пусть М — линейное пространство всех ограниченных /¿-измеримых

функций а : il —» .V. Функционал Гф : Л/ —» R ' вида Гф = f &(u(s))dp, есть

п

пример интегрального модуляра на Л/. удовлетворяющего условиям (а) (с).

Определение 3. Пространство /¿-измеримых функций, определяемое интегральным модуляром Г# формулой

Х) = {хЕ Ьф(/х, X) : lim Гф(Аж) = 0}, (1)

Л—>-0

называется модулярным пространством Фенхеля — Орлича.

По поводу модулярных пространств подробнее см. монографию [3].

Определение 4. Функционал ||-;Ф||? называется F-нормой, если он подчиняется условиям:

1. ||и; Ф|| = 0 -ФФ- и = © (0 — ноль пространства);

2. || - «; Ф|| = ||и; Ф||;

3. ¡¡и + v; Ф|| < ||и; Ф|| + H«; Ф||;

4. если А/,: —> А и ||«fe — «; Ф|| 0 при к —^ оо, то ЦА^м^ — A«; Ф|| —^ 0, к —^ оо. Если Ф — некоторая функция Орлича, Гф(«) — интегральный модуляр,

определенный этой функцией, то с помощью формулы вида

H«; Ф|| = inf |е > 0 : Гф (^j < е J (2)

можно на модулярном пространстве Фенхеля — Орлича задать /-'-норму, превращающую его в /''-нормированное модулярное пространство Фенхеля — Орлича.

Определение 5. Говорят (см. [3]), что функция Орлича Ф : X —^ R+ подчиняется Д2-условию, если существуют постоянные к > 0 и ujq такие, что Ф(2х) < кФ(х) при \\х; Ф|| > (jüq и зир{Ф(ж) : \\х; Ф|| = о;} < +со.

Можно видеть, что, если функция Орлича Ф удовлетворяет Дг-условию, то класс Ь*ф(р,,Х) совпадает с /-'-нормированным пространством Фенхеля — Орлича. Отметим, что, если р — модуляр в смысле X. Накано [4], то

||и; Ф||дг = inf{a > 0 : р{и/а) < а} (3)

есть /-'-норма в пространстве X с константой Л > 0 в неравенстве треугольника (3), т. е. выполняется ||и + t>: Ф | < А(||«;Ф|| + \t>: Ф |) для любых элементов п. г Е .V.

Пусть X — вещественное банахово пространство. Как известно, множество /\ С .V называется конусом, если выполнены следующие условия (см. [5]):

(а) множество К замкнуто;

(б) из w, v Е К вытекает, что aw + ßv Е К при всех a, ß > 0;

(в) из каждой пары элементов х, —х по крайней мере один не принадлежит К, если х / 0.

Всякий конус К является выпуклым множеством в X. Конус называется воспроизводящим, если каждый элемент жб! можно представить в виде х = и — v, где u,v Е К.

По аналогии с работой [1] будем называть положительный, не обязательно линейный функционал Г(и) (и Е X), обусловленный интегральным модуляром, строго растущим, если для любых ип Е К (п = 1, оо), где К — конус неотрицательных функций un(s) > 0 из пространства X, из \ип: Ф | > е > 0 следует,

что lim Г ( ^ щ ) = оо.

п^юо Vj=x /

Лемма 1. Интегральный модуляр Tp(u) = / \u(s)\pdß является строго

растущим функционалом при каждом 0 < р < оо.

< Доказательство леммы 1 можно посмотреть в работе [1]. >

Определение 6. Элемент u е Ь*(Ф,р) называется элементом с абсолютно непрерывной F-нормой, если lim I ¡'¡уч- D I = 0, Рд — оператор умноже-

0)

ния на характеристическую функцию измеримого подмножества I) С il (т. е. Pdu = Xdu, где Xd(s) = 1, если s е D С О и, соответственно, Xö(s) = 0, если s е il\D).

По аналогии с нашей работой [6] можно получить следующие предложения, носящие вспомогательный характер для дальнейших построений.

Лемма 2. Функция u(s) £ L*(Ф, ß) имеет абсолютно непрерывную F-норму тогда и только тогда, когда u(s) Е Е{Ф,р), где Е{Ф,р) означает замыкание в Ь* (Ф, // ) совокупности всех ограниченных на множестве Ü функций.

Лемма 3. Совокупность Ьц(Ф, р) всех элементов из L*(Ф, р) с абсолютно непрерывной F-нормой является сепарабельным замкнутым подпространством пространства Ь*(Ф, р).

Лемма 4. Если определяющая функция Орлича Ф(и) подчиняется Д-2-условию, то справедливо равенство Ь*(Ф, р) = ^(Ф, р).

Отметим еще несколько утверждений, носящих прикладной характер в теории нелинейных операторов.

Лемма 5. Пусть /¿(О) < оо я хп 6 Ь*(Ф,//,). Тогда Ь*(Ф,//,) сепарабельно

< Наметим идею доказательства. Если предположить, что //'(Ф. // ) / Ьц(Ф,/х), то можно указать элемент хо Е Ь*(Ф, /х)\Ьц(Ф, //.), где ж > 0 почти везде на /¿-измеримом множестве П. По заданной функции жо(*) можно найти ео > 0 и последовательность измеримых подмножеств {11,} д' С О такие, что íliПílj = 0 и ||хп^о;Ф|| > ео (в силу условия хо ф Ьд(Ф,//.)). Обозначим через /е./ = V ххак, где ./ N. Если наборы / ,! >■ где ,1\. .! > С N.

тогда — > ео- А так как {«/:«/ С М} — несчетное множество наборов, то пространство Ь*(Ф,//,), очевидным образом, является несепарабельным модулярным пространством Фенхеля — Орлича.

Обратный факт: Предполагая теперь, что Ь*(Ф,//,) сепарабельное модулярное пространство Фенхеля — Орлича и хо, £ возьмем некоторую функцию «(«) > 0, «(«) Е Е(С1). Аппроксимируя ее последовательностью непрерывных функций (хп)пем и? используя теорему Егорова, можно с помощью аппроксимации рассмотреть произвольную функцию х(в) е Ь*(Ф, ц) и убедиться, что х(з) Е //,). >

Банаховы пространства Фенхеля — Орлича достаточно полно исследованы в докторской диссертации Тюррета [2]. Что же касается модулярных пространств Фенхеля — Орлича Ь*(Ф, // ). определяемых вогнутыми функциями Орлича, то к настоящему времени мало что известно в этом направлении. Используя идеи работ [7] и [8], можно рассмотреть локально ограниченные модулярные пространства Фенхеля — Орлича (т. е. пространства, которые обладают ограниченной окрестностью нуля 0). Ясно, что такое пространство имеет базис окрестностей 0, состоящий из ограниченных множеств. В частности, лебеговы пространства Ьр (0 < р < оо) локально ограничены.

Лемма 6. Если /¿(О) < оо и существует р > 0 такое, что

v Ф (uw)

lim -Ьгт^т > 0, (4)

иР • Ф(w)

w—>-+00

то модулярное пространство Фенхеля — Орлича L*(Ф, // ) будет локально ограниченным.

< Пусть выполнено условие (4) (без ограничения общности можно считать, что существует р > 0 такое, что lim ^ф?^) = 00• Тогда существует t > 1

и—>-+00

W—>■+оо

такое, что

Ф(и-ш) > ирФ(ги) (5)

при uw > w > to- Зададим функцию Ф следующим образом: Г #(i0) • (j-Y, если te [0, t0), [ Ф(^+1) • (-фт) , если t e]iß,io+ ] (n Е N).

Можно заметить, что Ф(£) есть функция Орлича, непрерывная при t > 0. Учитывая условие (5), при t^Kt получим Ф(t) > Ф(^о). Кроме того, функция Ф(£) подчиняется условию

Ф(и ■w) > ур ■ Ф(w) (6)

при uw > w > 0. Действительно, пусть Щ<ы< ig < uw < ¿о+1> гДе

s = п + г > п. Тогда

Ф(^) > Ф(0 • t? ■ t^jY = и? ■ Ф^1) • = • фи.

го го

Аналогично, Ф/Ф(7) < ig и Ф/Ф(£о) < 1, а это означает, что пространства Ь*(Ф,р) и Ь*(Ч!,р) топологически эквивалентны. Но пространство Ь*(Ч>,р) является локально ограниченным. Значит, и Ь*(Ф,р) — локально ограниченное пространство.

Можно заметить, что {Vr = г • £?ф(г)}г>о образует базу окрестностей нуля 0 в модулярном пространстве L*(Ф, р). Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 3 из работы [7], и мы его не приводим. >

Лемма 7. Если /i(il) < оо и для всех р > 0 выполняется условие lim = 0, то модулярное пространство Фенхеля — Орлича Ь*(Ф, р)

и—>-+оо W—>-+оо

не является локально ограниченным.

< Доказательство леммы 7 аналогично доказательству теоремы 7 из работы [7], поэтому мы его не приводим. >

Лемма 8. Пусть Ь*(Ф, р) — модулярное пространство Фенхеля — Орлича и 0 < a < 1. Тогда для каждого элемента щ Е L*(Ф, р), минорированного почти всюду на О и для каждого подмножества С С L*(Ф, р), удовлетворяющего соотношению

lim sup (IPDua(x,h)x; ФИ = 0, (7)

л^оо хеС 0

существует возрастающая функция (р : R + —^ R + такая, что

г ^(и) lim -= оо, sup

хес

Uo(s)

«о00;Ф

< +оо. (8)

< Так как lim sup \\Pd. (жЛ)ж;Ф|| = 0 (вытекает из условия (7)), то существует функция ф(А) такая, что

\\Ропп(х,х)х;Щ < Ф(Х), Ухе С, где lim ^(А) = 0.

и Л—>оо

Если (/-(Л) —^ 0 при Л —^ оо, то существует последовательность (Х„ )п(Х„ f

со

Ad 0 такая, что V ф(Хп) < +оо, и также можно утверждать, что существует

п=0

некоторая возрастающая функция 6 : R ^ R , 5(A) ^ оо при Л —^ оо,

со

$(Хп) = Мп G N, Vn е N такая, что Мпф(An_i) < оо.

п=1

Обозначим Dn(x) = {s е О : An_iu0(s) < x(s) < Xnuo(s)}. Пусть </?(A) = 5(A) • Аа. Ясно, что функция </?(А) возрастает. Кроме того,

f

_u0(s)

Ф

<

Е

п=1

Р\

Dn(x)<P

_u0(s)

Так как А„ | и «о(^) минорирована положительным числом, то существует Щ е N такое, что при п > Щ выполнено |ж(«)| > Ап_1«о(8) > 1 почти везде на множестве Оп{х).

Отсюда можно получить оценку:

Е

n>N0

Р\

Dn(x)<P

Uo(s)

и0(«);Ф

Е

n>N0

Р,

Dn(x)i

_«o(s)

|rc(s)|a; Ф

< Е 11^п(х)^)|®(в)Г;Ф||< Е \\Рпп(*)Мп\хШ;Ф\\

п>Л?о п>Н0

< ^ Мп\\Р0ио{ХгХп_1)х(8):1Щ < Е Мп ■ ф(Хп.1) < Съ

п>2У0 п>Л?о

где (\ — некоторая постоянная. Аналогично оценивается часть ряда для п < Щ:

\Ф)\

Е

n<N0

Р,

Dn(x)<P

UQ(S)

u0(s); Ф

<

n<N0

^ Е \\PDn(x)MNoXNo(XQ + И0)(«);Ф|| 1 <n<N0

< No ■ MNo ■ E[XNO + 1] • [||хп;ф|| + IK; Ф||] < c2,

где С2 — некоторая постоянная. >

2. Структурные свойства конусов в модулярных пространствах Фенхеля — Орлича

Сначала мы рассмотрим вопрос о том, какие дополнительные условия гарантируют существование предела у монотонной последовательности (х„ )п(;; элементов модулярного пространства Фенхеля — Орлича, полуупорядоченного конусом К положительных элементов. Без ограничения общности можно рассмотреть случай неубывающей последовательности х\ < х-> < ... < х„ < ... Последовательность (хп)пем называется ограниченной, если существует элемент у такой, что хп < у (Уп е М).

Существуют пространства, в которых из монотонности и ограниченности (х„ )„( д- вытекает сходимость по Р-норме. Например, если пространство X = Ьр упорядочено при помощи конуса неотрицательных функций, то для каждой неубывающей ограниченной последовательности (х„ ),и д- функция = йир жп(«) (« е О) также принадлежит Ьр.

п

Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, будем называть в дальнейшем правильно упорядоченным. Соответственно, конус К, который порождает правильную упорядоченность в пространстве, будем называть правильным. Последовательность (х„ )„( д- ограничена по /-'-норме, если ||жп;Ф|| < Л/, где М Е Ш. Наконец, конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по /-'-норме последовательность (жп)педг сходится по /-'-норме к некоторому пределу.

Теорема 9. Пусть na конусе К неотрицательных функций из модулярного пространства Фенхеля — Орлича Ь*(Ф,р) определен строго растущий и ограниченный на каждом шаре в пространстве L*( Ф, р) функционал Г (и), тогда конус К обладает свойством вполне правильности.

< Предположим противное. Тогда найдется такая расходящаяся по F-норме (2) последовательность элементов (wn)neN £ К такая, что

< U)2 < ■■■ < wn < ... (9)

Будем считать для определенности, что ||и?1;Ф|| > ео, ||tüi+i — «'.,: Ф | > бо > 0 (г = 1, оо), так как в противном случае всегда можно перейти к подпоследовательности (wnk) в Ь*(Ф,р), обладающей указанным свойством. Тогда

Г 71-1 1

lim T(iun) = lim Г wi + £ (wi+1 ~ щ) = со, а это уже противоречит огра-

п—>оо п—>оо L J

ниченности функционала Г(и) на шаре ||«;Ф|| < Л/. Отсюда вытекает, что последовательность (wn)neN £ К сходится по /-'-норме (2) и, значит, конус К обладает свойством вполне правильности. >

Следствие 10. Конус К неотрицательных функций из р-однородного модулярного пространства Lp(íí) (0 < р < оо) обладает свойством вполне правильности.

Теорема 11. Пусть на конусе К неотрицательных функций из модулярного пространства Фенхеля — Орлича L*(Ф, ц) определен монотонный строго растущий функционал. Тогда конус К обладает свойством правильности.

< Доказательство аналогично доказательству теоремы 9, предоставляем провести его читателю. >

Литература

1. Фетисов В. Г. К теории конусов в обобщенных пространствах Орлича // Дифференциальные и интегральные уравнения.—Орджоникидзе: Изд-во СОГУ, 1978,— С. 78-86.

2. Turett В. Fenchel-Orlicz spaces // Dissertationes Mathemat.—1980.—V. 181.— P. 1-60.

3. Musielak J. Przestranie modularne i ich zastosowanie // Spraw. PTIW.— Wydz. mat.—przyr.—1982 (1984).—V. 100. P. 47-54.

4. Nakano H. On concave modulars // Math. Soc. Japan.—1956.—V. 5, № 1.— P. 29-49.

5. Красносельский M. А. Положительные решения операторных уравнений.— M.: 1962,—394 с.

6. Фетисов В. Г. Некоторые вопросы теории операторов в пространствах Орлича.—ЛГПИ, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1968.— 109 с.

7. Hernandez R. F. Sobre espacios de Orlicz localmente acotados // Rev. Real Acad. Cieñe, exact.—Madrid.—1980,—V. 74, № 2. P. 321-327.

8. Kalton N. J. Transitivity and quotients of Orlicz spaces // Comment, math. Tom. spec, honor Ladislaw Orlicz.—Warszawa. —1978.—V. 1.—P. 159-172.

9. Randriananja R. R. Sur la théorie des opérateurs dans /-'-espaces. These doc-torielle du III-sieme Cycle. Université de Madagascar, 12 Juliet 1988.

г. Poemoe

Статья поступила 26 ноября 2000 г.