Пространства Орлича, порожденные параметризованными функциями Юнга векторного аргумента Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 1(5)

УДК 517.51

Пространства Орлича, порожденные параметризованными функциями Юнга векторного аргумента

И. В. Шрагин

Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 shragin@mail.ru; +49-221-708568

Рассматривается пространство Орлича L0, порожденное функцией Юнга Ф : T х X —— [о, ((T, T /л) - пространство с мерой, X - сепарабельное банахово пространство) и состоящее из Т - измеримых функций р: T — X , для которых

I (ар) := , ap(t))dл < да

T

при каком-либо а = а(р)> 0 . В пространстве Lф определяется норма

||р|| = inf а 1 (1 +1(ар)) :а > о}, называемая нормой Амемии, и доказывается полнота пространства (ЬФ, ||-||).

Ключевые слова: функция Юнга; пространство Орлича; норма Амемии.

Введение

Как известно, пространство Орлича Lф состоит из измеримых функций р, определенных на каком-либо пространстве с мерой (T, T и). и порождается неотрицательной функцией Ф, обладающей рядом свойств. При этом, если мы рассматриваем векторные функции р: T ^ X , где X - нормированное пространство, то естественно считать, что порождающая функция Ф определена на X .

Впрочем, функция Ф (как это часто принято) может быть определена на [о, да), но тогда в определении пространства L<5 непосредственно участвуют не значения P(t) самих функций р, а нормы p(t) этих значений

в пространстве X. Очевидно, такой подход сводится к предыдущему путем замены функ-

ции Ф на Ф1 = ф(|-|) (например, если ф(и) = иР , и > 0 , где р > 1, то Ф1 (х) = IXр

и Lф = и).

На самом деле мы будем рассматривать еще более общую ситуацию, когда порождающая функция Ф определена на Т х X . Такую функцию мы называем параметризованной функцией Юнга (роль параметра играет аргумент t е Т, который в то же время является переменной интегрирования по мере ц). В подобной ситуации пространства Орлича изучались в [1] и [2], но при более жестких ограничениях на функцию Ф .

В основе настоящей работы лежит заметка [3], не содержащая доказательств.

Статья состоит из трех параграфов. В §1 введены исходные объекты: пространство с мерой (Т, Т ц) и банахово пространство X . Дано определение функции Юнга Ф и рас-

© И. В. Шрагин, 2011

смотрены ее свойства, необходимые для дальнейшего изложения.

В §2 определяется пространство Орлича Lф . В него вводится норма Амемии и доказываются некоторые ее свойства, из которых важнейшими являются критерии сходимости и фундаментальности последовательности функций фп еLф.

В §3 доказывается полнота пространства Орлича Lф , снабженного нормой Амемии.

В отличие от "скалярного" случая (когда функция Юнга определена на Т х Р ) "векторная" ситуация требует привлечения нетривиальных сведений из выпуклого анализа.

У читателя статьи предполагается знание основ теории нормированных пространств, а также основ теории меры и интеграла.

§1. Функция Юнга и ее свойства

Всюду в дальнейшем (Т,Т ц) - пространство с и -конечной полной мерой, где цТ > 0, а X - вещественное сепарабельное банахово пространство с нормой |-| и нулем 0, причем X Ф {о} (|- и 0 будут использоваться

также в "числовом" смысле).

Пусть В - совокупность всех борелев-ских множеств в X . Функция р: Т ^ X называется Т -измеримой, если (уВ е В) р- (В ) е Т (как известно, в качестве множеств В в этом определении достаточно брать замкнутые или открытые множества). Обозначим через S множество всех Т -измеримых функций р : Т ^ X , отождествляемых при равенстве ц -п.в. При обычном определении векторных операций над такими функциями (сложение и умножение на скаляр) S является вещественным векторным пространством с нулевым элементом в (в^) = 0 ц -п.в.).

Определение 1.1. Функция

Ф : Т х X ^ [0, да] называется функцией Юнга (с параметром t е Т), если при каждом х е X функция Ф (-, х): Т ^[0, да] Т -измерима, а при каждом t е Т функция Ф(t, -) : X ^ [0, да] удовлетворяет следующим условиям:

a) Ф(^ 0) = 0 ;

b) четность, т.е.

(Ух е X) Ф , - х) = Ф (^ х);

c) выпуклость, т.е. для любых х,у е X и а е (0,1);

Ф^, ах + (1 - а)у) < аФ(^ х) + (1 - а)ф, у) ;

d) полунепрерывность снизу, т.е. Ух е X

Ф (^ х ) = Нт^ Ф (^ у);

у ^ х

e) Ух Ф 0 (За > 0) Ф( ,ах)> 0;

/) функция Ф(^-) ограничена в некоторой окрестности точки 0.

Пусть дана (до конца статьи) функция Юнга Ф : Т х X ^ [0, да]. Установим некоторые свойства функции Ф (^-) при фиксированном t е Т .

Из условий с) и /) вытекает ([4], пункт 2.6.2, предложение 3б), что функция Ф(^-) непрерывна на Ш ^от Ф ^, -)), где

ёот Ф(^ -) := {х е X : Ф(^ х) < да }, а Ш А обозначает внутренность множества А. В частности, так как (см. /))

0 е Ш (dom Ф^,-)), то, в силу а),

Нт Ф (^ х) = 0. (1.1)

х ^0

Отметим, что множество dom Ф (^ -), как очевидно, выпукло.

Рассмотрим поведение функции Ф (^-) на произвольном луче, выходящем из точки

0 е X , т.е. на множестве {ах : а > 0}, где х Ф 0 . С этой целью зафиксируем t и х Ф 0 и положим

£ (а):= Ф ^, ах), а > 0 .

Так как функция £ : [0, да) ^ [0, да] выпукла и £ (0) = 0 , то отношение £ (а)/а является неубывающей функцией от а е (о, да) (тем более, сама функция £ - неубывающая на [0, да)). Следовательно, существует

г(^х) := Пт а Ф(^,ах), (1.2)

а^да

причем, в силу условия (е), т($, х) > 0. Отсюда, в частности, следует, что

Нт Ф^,ах)= да.

а^да

Положим далее (по-прежнему при фиксированных t и х Ф 0)

d(ї, х):= sup{а > 0 :Ф(ї,ах)< да}, так что 0 < d(ї, х) < да (см. /)). Ясно, что (0, d(ї, х)) е ІП {а : g(а) < да}.

Следовательно, функция g непрерывна на [0, d (ї, х)) (см. выше ссылку на [4] и (1.1)). При этом, если d(ї, х) < да , то, в силу условия d),

я ^ )0 £ (я)=£(а (^ х)).

|3^d (ї, х)—0

Таким образом, при любом а > 0 (с учетом равенства ф(ї, ах) = да при

а > d(ї, х))

Ііш Ф(ї, Ях) = Ф(ї,ах). (1.3)

Я^а—0

Обозначим через Т ® В произведение 7 -алгебр Т и В, т.е. 7 -алгебру на Т х X , порожденную совокупностью {А х В : А є Т В є В}.

Лемма 1.1. Функция Юнга Ф (Т ® В) -измерима.

Доказательство. Пусть счетное множество У плотно в X. Возьмем произвольное с є [ 0, да) и покажем, что {(ї,х):ф(ї,х)< с } =

= ис, где

ис := Пи[{ї :ф(^ у)<с+г~1}х

пєИуєУ

х {х :у — х| < г—}].

Тем самым лемма будет доказана, так как очевидно, что ис є Т ® В.

Итак, пусть ф(ї, х) < с, так что х є dom ф(ї, •). Рассмотрим два случая.

1) х є ІП (doш ф(ї, •)). Тогда, в силу непрерывности функции ф(ї, •) в точке х, для любого г є N существует такая окрестность точки х, что ф(ї, у)< с + г-1 для всех у из этой окрестности. Отсюда следует, что

^ х )єис .

2) х - граничная точка множества dom ф(ї, •) (значит, х Ф 0). Тогда ([5], теорема У.2.1, доказательство)

(Уає(0,1)) ах є ІП (doш ф(ї, •)), так что функция ф(ї, •) непрерывна в точке ах . При этом (Уає (0,1)) ф(ї ,ах)< с . Исходя из этого при произвольном г є N возьмем аг > 0 в интервале 1 — (2 г|х| ) ', 1) и найдем

такое у еY, что |у -апх| <(2п)-1 и

ф(t, у )< с + п-. Тогда

|х - у < (1 -ап )|х| + |у -апх| < п-.

Это значит, что (t, х) е ис.

Пусть теперь Ф^, х)> с. Тогда

Ф^, х) > с + п- при достаточно большом п е N . Согласно условию (ф существует такое 5 > 0, что если |у - х| < 5 , то Ф^, у) > с + п-1.

При этом можно считать, что п- < 5 . Отсюда следует, что (^, х) ё ис.

Следствие 1.1. Функция

г : Т х^ \ {0})^ ^(0,да], определенная равенством (1.2), Т ® В — измерима.

Доказательство. Положим (при а > 0) Фа(^ хЬФ^ ах) . Так как функция Ф (Т ® В) - измерима, то, как нетрудно показать, при каждом а > 0 функция Фа также (Т ® В) - измерима. Остается заметить, что г(^ х)= Нт п_1Ф^,пх).

п^да

Из леммы 1.1 вытекает ([6], теорема 1, [7], пункт 1.4, [8], §2, предложение 1) супер-позиционная измеримость функции Ф , т.е. Т - измеримость суперпозиции Ф(-, р(-)) при любой функции ре S . Для удобства читателя приведем несложное доказательство этого утверждения.

Итак, пусть ре S. Положим р(t)), те. ^: Т ^Т х X является

соответствующей график-функцией. Тогда если А е Т, В е В, то

Gр1(A х В)= ^ е А: р()е В }= А пр-1(В)е Т. Поэтому (У© е Т ® В) Gрl (©) е Т .

Положим далее © = Ф"^([0,с]), где с е [0, да). Тогда по лемме 1.1 © е Т ® В, так что ^:Ф^, р(0)<с }= Gр1(©)еT .

Таким образом, функция Ф(-,р(-)) Т -измерима.

Аналогично в силу следствия 1.1 функция г суперпозиционно измерима.

§2. Пространство Орлича и норма Амемии

Рассмотрим интегральный функционал I: S ^ [0, да], где I(р) := |Ф^, р(:))dЦ .

Т

Из условий а), Ь), с) определения 1.1 вытекают аналогичные свойства функционала 1: 1(в) = 0; (Уре S)I(- р) = 1(р);

У(р, ^е S, а е(0,1))

I(ар + (1 - аV) < а1 (р) + (1 - а)1 V). (2.1)

Определение 2.1. Пространство Орлича Lф определяется равенством

Lф :={ре S :(З а> 0) I (ар) < да}.

Из указанных выше свойств функционала I вытекает, что Аф является векторным подпространством в £. Действительно, пусть ре Аф , т.е. (За > 0) I(ар)<да. Тогда

(УАеР \ {0}) I((а|А| 1 )р)= I(ар)<да , т.е. Ар е Аф . Далее, пусть р, р2 е Lф , т.е. (З а > 0) I(ар ) < да, / = 1,2. Положим

а = тт (а1,а2). Тогда

I (2-1 а (р + р2 )) < 2-1 (/ (ар1) +I (ар2)) < да,

т.е. р + р2 е Lф .

Далее нам понадобится следующая терема об измеримости проекции и измеримом выборе [9], [10], [11].

Теорема А. Пусть (Т,Т ц) - пространство с и -конечной полной мерой, X - полное сепарабельное метрическое пространство. Тогда если непустое множество С е Т ® В, то ргТС е Т (где

ргТС := {t е Т: (Зх е X)^, х)е С}), и существует Т -измеримая функция р: ргТС ^ X, график которой содержится в С, т.е. {(^р(^): t е ргТС }е С.

Лемма 2.1. Аф Ф {в}.

Доказательство. Из условия ф следует, что Уt е Т (Зх Ф 0) Ф^, х) <да, т. е. ргТС = Т , где С := {(^ х):х Ф 0,Ф^,х) < да}. В силу леммы 1.1, С е Т ® В . Тогда, по теореме А, существует функция ре £, график которой содержится в С , т.е. (Уt е Т) р() Ф 0 и Ф( t, р($)) < да .

Пользуясь счетной аддитивностью и и -конечностью меры ц , найдем такое Е е Т , что 0 < цЕ <да и sup{ф(t, р(t)): t е Е }<да .

Тогда р0 := %ЕрФ в (хЕ -характеристическая функция множества Е) и I(р0)<да, т.е.

р0 е АФ .

Для введения нормы в пространство Аф положим при ре Аф и а > 0

^а,р) := а -1 (1 +1 (ар)).

Теорема 2.1. Равенство

||р|| := шГ{h(а,р) :а > 0}

определяет норму в пространстве Аф , называемую нормой Амемии.

Доказательство. Очевидно, (УреАф)

0 <||р|| <да, причем ||в|| = 0. Ясно также, что

У (р е Ьф, А е □ ) ||Ар|| = |А| -1|р||

Докажем неравенство треугольника. С этой целью для произвольных р,у е Аф и е > 0 найдем такие а,р > 0, что ^а,р)< ||р|| + е и ^р,у~)< VI + е . Тогда ||р +VI < (а/)-1 (а + /)х

х [1 +1(а/ (а + /)-1 (р + !//))].

Но, в силу (2.1),

I(а/ (а + /)-1 (р + <//■))< /(а + /)-11(ар) +

+ а(а + /)-11 (/V)

Поэтому

||р +V <а- + / + а-11 (ар) + /1/)<

<| |р|| ++ 2е ,

откуда следует требуемое неравенство.

Докажем наконец, что если р Ф в, то

р|| > 0 . Действительно, так как цА > 0, где

А :={t :P(t) Ф 0}, то, в силу теоремы Б.Леви и

(1.2),

с := Пт к(а, р) = [ г (^ р^))dЦ > 0.

а^да

А

Возьмем такое / > 0, что (Уа > /)

h(а,р)> с/2. Но так как (Уа е (0,/])

^а,р)> 1//, то ||р|| > тт(с /2, 1/ /) > 0.

Рассмотрим некоторые свойства нормы Амемии.

Лемма 2.2. Если ре АФ \ {в}, то

1 (р1р)<1.

Доказательство. Пусть сначала ||р|| < 1. Тогда (За > 0)к(а, р) < 1, т.е. 1 +1(ар) < а , откуда а > 1. Поэтому, в силу (2.1),

I(р)<а-1(ар)< 1 -а- < 1. (2.2)

Возьмем теперь произвольное ре АФ \ {в}. Тогда, с учетом (2.2),

(Уп е ((1 - п- )р|| 1 р)< 1.

Переходя здесь к пределу при п — да, получим, в силу (1.3) и теоремы Б. Лени, требуемое неравенство.

Если

р| < 1,

то

Следствие 2.1.

I(р) < ||р| .

Доказательство. Достаточно считать, что р Ф в . Тогда, в силу (2.1) и леммы 2.2,

I (р)< И-1 (р| р)< и.

Теорема 2.2 (критерий сходимости по норме). Если рп е Аф , п = 1,2,..., то ||рп|| — 0 при п — да тогда и только тогда, когда (У а > 0) Пт I(арп ) = 0.

п—да

Доказательство. Если ||рп|| — 0 при п — да, то У а > 0, в силу следствия 2.1,

I (арп ) — °.

Пусть (У а > 0) I(арп ) — 0 . Тогда (Уе > 0) (Зп0) (Уп > п0) I(е_1рп )< 1, откуда

(Уп > п0) |рп| < е(1 +I(е - рп )) < 2е .

Аналогично доказывается критерий фундаментальности: если рп е АФ , п = 1,2,..., то

||рт - рп || — 0 при т, п — да тогда и только тогда, когда

(Уа > 0) Пт I(арт - рп)) = 0. (2.3)

т, п—да

Замечание 2.1. В теории пространств Ор-лича используется также так называемая норма Люксембурга ||р|| , представляющая собой

функционал Минковского выпуклого множества {ре Аф :I(р)< 1}, т.е.

:= inf {a > 0: I (a p)< 1}.

При этом нормы Амемии и Люксембурга эквивалентны, а именно:

(Vpe Lф ) ||р|| _ < ||р|| < 2||р|| L.

§3. Полнота пространства Орлича

Следующий пример [12] показывает, что пространство (ьф, |||) может быть неполным.

Пример 3.1. Пусть множество Т состоит из одной точки t0 (так что и -алгебра Т = {0,т }), причем цТ = 1 . Пусть, далее, X = С[0,1] - пространство непрерывных функций х: [0,1] —> Р с нормой

х = maxi х1

{| хМ: ое[0,1]}.

Как хорошо известно, это пространство полно и сепарабельно. Наконец,

1

Ф^, х) :=||х(о)do .

Очевидно, данная функция

Ф : Т х С [0, 1] — — [0, да) удовлетворяет всем условиям из определения 1.1 (в частности, функция Ф^, -) непрерывна на С[0,1]) , так что Ф - функция Юнга.

Так как Т = {^}, то любая функция р: Т — X Т -измерима и пространство £ фактически совпадает с X = С[0,1]. И так как цТ = 1 , то

1

(Уре Я У (р) = ||х(ст)dи < да,

0

где х = р(^ ). Таким образом, Аф = Я, причем

1

||р| = inf \ — а

1 + а|| х(о) do

:а > 0 > =

(о) do

т.е. пространство (Lф, |||) изометрично пространству непрерывных функций х: [0,1] —Р с нормой

j = || х(о)|do .

1х11 =

Но, как хорошо известно, это пространство неполно. Значит, и пространство ^ф, |||) неполно.

Теорема 3.1. Если функция Юнга Ф удовлетворяет условию

(Vt е T)liminf Ф(t, х)> 0, (3.1)

то пространство Орлича (Ьф, |||) полно.

Замечание 3.1. Очевидно, из (3.1) вытекает условие е) из определения 1.1. Отметим ещё, что для функции Юнга Ф из примера 3.1 условие (3.1) не выполняется. Действительно, возьмем непрерывные функции

х„ :[0, 1] — [0, да), „ = 1,2,..., такие, что

(V„) х„ (о)= 0 при „- < о < 1 и |х„| = 4„ .

Тогда |х„ | — да при „ — да , но

„-1

lim Ф^, х„ ) = lim [ х„ (o)do = 0,

„—да „—да *

0

так что lim inf Ф^, х) = 0.

|х|—да

Доказательство Теоремы 3.1. Пусть {р„} - последовательность Коши в пространстве Lф , так что выполняется условие (2.3). В частности, (vk е N) lim 1 (2 k (рт - р„ )) = 0 ,

и так как

I (2 ‘ (р„ - р„ ))>

> к-|ц{t ф^, 2рт(t)- рп(t))]> к}, (3.2)

то У к правая часть неравенства (3.2) стремится к нулю при т, п — да . Поэтому найдется такая подпоследовательность рпк } (далее ук := рщ ),

что (Ук )цАк < 2 к , где

Ак := {t :Ф\, 2к{ук(t)-У+1(t))]>к-}.

Отсюда следует, что цВ = 0, где

в=пи Ак.

п>1 к > п

Зафиксируем t еТ \ В . Нетрудно проверить, что

1т Ф|^, 2 к (у к(t)

к ^да

Отсюда и

к

/к+1

(t ))]=0.

из

(3.1) следует, что За > 0 (Ук) 2к \ук ) - ук+1 (t) < а. Но тогда

последовательность {у (t)} фундаментальна в X и, в силу полноты X, сходится. Положим, р(^)= Пт ук ^) при t е Т \ В и р(t) = 0 при

к—да

t е В . Тогда ре Я . Остается показать, что

ре Аф и ук -р|| — 0 при к — да .

Возьмем произвольные а > 0 и е > 0 .

В силу (2.3)

(Зр е ^У(к, I > р)I(2а(ук -у)) < е . (3.3)

Так как при любых t е Т и х, у е X (в силу выпуклости функции Ф^, •))

Ф(г, у) < 2 1 [ф(t, 2(у - х)) + Ф(г, 2х)] и Ф(t, 2(у - х)) — 0 при х — у, то Ф(t, у) < 2 1 lim inf Ф(t, 2 х). Отсюда следует,

у

что Vt є T \ B и Vk

ф[, а{/к(t)- p(t))]<

< 2-1 lim inf ф[t, 2а//к (t) - / (t))].

l ^да

Поэтому, в силу теоремы Фату ([5], теорема III, 6.19) и (3.3),

(vк > p)I (а(Щк - р))<

< 2-1 lim inf I (2a(wk - wl)) < s / 2 .

l—да

Следовательно, (Vk > p) Wk - р е LФ (откуда и ре Lф) и ||wk - р\ — 0 при к — да .

Тем самым полнота пространства (l$, , |||) доказана.

Список литературы

1. Kozek A. Orlicz spaces of functions with values in Banach spaces //Commentationes Ma-thematicae, 1977. Vol.19, №2. P.259-288.

2. Kozek A. Convex integral functionals on Orlicz spaces // Comment.Mathem., 1979. Vol.21, № 1. P.109-135.

3. Шрагин И.В. Пространства Орлича, порожденные функциями векторного аргумента // Функционально-дифференциальные уравнения / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1985. С.64-69.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

5. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

6. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость // Известия высш. учебн. завед. Математика. 1975. № 1 (152). С.82-92.

7. Appell J., Zabrejko P.P. Nonlinear superposition operators // Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

8. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость и оператор суперпозиции. Одесса: Феникс, 2006.

9. Левин В.Л. Измеримые сечения многозначных отображений и проекции измеримых

множеств // Функц. анализ и его прилож., 1978. Т.12, №2. С.40-45.

10. Левин В.Л. Измеримые сечения многозначных отображений в топологические пространства и верхние огибающие интегран-тов Каратеодори // Докл. АН СССР, 1980. Т.252, №3. С.535-539.

11. Shragin I. V. On some theorem on measurable selection // Comment. Mathem. 2007. Vol.47. №2. P.221-225.

12.Путиевский Б.Г., Шрагин И..B. Пространства векторных функций, порождаемые функциями векторного аргумента // Краевые задачи / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1977. С. 123-125.

Orlics spaces generated by parameterized Young functions of the vector argument

I. V. Shragin

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 is. shragin@mail .ru; +49-221-708-568

We consider the Orlics space L0 generated by Young function O : T x X ^ [0, ro].

((T, T, u) is a measure space, X is a separable Banach space). This space LO consists of T -measurable functions p : T ^ X for which

l(ap) := ap(t))du < ro

T

by some a = a (p) > 0 . In the space LO we define the Amemiya norm ||p|| := inf {a-1 (l + /(ap)): a > 0 } and prove the completeness of the space (LO, |||).

Key words: Young function; Orlics space; Amemiya norm.