Условия правильности квазинормированных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

© И.В. Шрагин

Ключевые слова: ограниченное множество; квазинорма; правильное пространство; генфункция; пространство Муселяка-Орлича.

Рассматриваются квазинормированные пространства, порождаемые генфункциями. Для этих пространств получены необходимые и достаточные условия их правильности, т. е. равносильности двух понятий ограниченности множеств: в смысле метрики и в смысле топологии векторного пространства.

§1. Введение

Понятие правильного квазинормированного пространства (КНП) введено в [1] , где приведены (без доказательств) некоторые условия правильности КНП, порождаемых генфункциями (в частности, пространств Муселяка-Орлича). В [2] дано полное изложение результатов из [1] и некоторых дополнительных результатов.

В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия правильности указанных пространств и приведены примеры применения этих условий. Для удобства чтения излагаются также основные результаты из [2] .

§2. Предварительные сведения

Пусть X - векторное пространство (X = {0}) над полем скаляров K = R или C . Всюду в дальнейшем а,5,е - положительные, а k,n - натуральные числа; через 0 обозначается нулевой элемент как в X , так ив K .

Определение 1. Функция M : X — [0, то] называется генфункцией при выполнении условий:

(a) M(0) = 0 ;

(b) V(A £ K,x £ X)M(Ax) = M(|A|x) (в частности, M(-x) = M(x));

(c) V(x, y £ X, a £ (0,1))M(ax + (1 - a)y) < M(x) + M(y);

(d) (Vx = 0) lim M(ax) > lim M(ax) = 0 .

Заметим, что из (a) и (с) (при y = 0) вытекает неубывание функции M на каждом луче {ßx : ß ^ 0}(x = 0) , а значит - существование пределов в (d) .

При данной генфункции M равенство

11x11м := inf {a > 0: M(a-1x) < a} (1)

определяет ([3]) в X квазинорму (иначе, F -норму). Это значит ([4]) , что 0 ^ ||x||m < то ; 11x11м = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; || — xHm = HxUm ; Hx + уЦм ^ HxUm + ЦуЦм ; (VA £ K)||Xx||m — 0 при x — 0 (т. е. при HxHM — 0); (Vx £ X)Ax — 0 при А — 0 . Отметим, что, как следует из (b), ||Ax||M = |||A|x||M .

Через Xm обозначим пространство X, наделенное квазинормой ||.||м • Ясно, что квазинорма \\.\\м порождает в X метрику d, где d(x,y) = Цх — уЦм • Но так как в пространстве Хм линейные операции непрерывны ([3], Theorem 1.5), то оно является топологическим векторным пространством (ТВП). Поэтому к КНП Хм применимы два понятия ограниченности множества: в смысле метрики d (d-ограниченность) и в смысле ТВП (ТВ-ограниченность). Напомним, что множество A в ТВП называется ТВ-ограниченным [5] при выполнении условия:

если (Vk)xk € A,Xk € K, причем Xk — 0, то Xkxk — 0. (2)

Нетрудно показать, что в ситуации КНП Хм условие (2) равносильно условию:

lim sup{||Xx||M : х € A} = 0, (3)

А^0

т. е. Xx — 0 при X — 0 равномерно по х € A. Известно (см., например, [2]), что в произвольном КНП из ТВ-ограниченности множества вытекает его d -ограниченность. Докажем это утверждение для КНП Хм . Для этого нам потребуется Лемма 1. Если |X| ^ 1, то (Vx)||Xx||M ^ |X| ||x||м .

Доказательство. Очевидно, можно считать, что X = 0. Тогда если a > 0 и M(a-1Xx) ^ a, то M(a-1Xx) ^ a|X|-1. Так что в силу (1)

WXxWm > inf {a > 0 : M(a-1|X|x) < a|X|-1} = X^nf {b > 0 : M(b-1x) < b},

где b = a|X|-1. Тем самым лемма доказана. □

Теорема 1. Если множество A в КНП Хм ТВ-ограничено, то оно и d -ограничено. Доказательство. Пусть 0 < |X| ^ 1. Тогда в силу Леммы 1

(Vx € A^xWm < ^^sup^^xH м : x € A}.

Так как множество A ТВ-ограничено, то в силу (3) (Vx € A)||x||м ^ |X|-1 при достаточно малом X , т. е. A d -ограничено. □

Определение 2. КНП называется правильным, если в нем всякое d -ограниченное множество является и ТВ-ограниченным, т. е. оба понятия ограниченности равносильны.

Очевидно, всякое нормированное пространство (это частный случай КНП) правильно. С другой стороны, так как ненулевые подпространства в ТВП не являются ТВ-ограниченными ([6], §1.29), то КНП, содержащее d-ограниченное подпространство E (E = {0}) , не правильно. Примером такого пространства служит КНП, порожденное генфункцией M : R — [0,1) , где M(x) = |x|(1 + |x|) 1 , так как в этом случае {x € R : ||x||м < 1} = R.

§3. Свойства генфункции, порождающей правильное КНП

Следующая теорема содержит необходимое условие правильности КНП Хм . Теорема 2. Если пространство Хм правильно, то

(Vx = 0) lim M(ax) = то. (4)

Доказательство. Предположим, что a := lim M (ax0) < то при некотором x0 = 0,

и рассмотрим подпространство E := {Xxo : X € K} . Оно, как указанно выше, не является ТВ-ограниченным. С другой стороны,

(Vx € E)M(a-1x) = M(a-1|X|xo) < a,

так что (Vx € E)||x||m ^ a, т. е. E d -ограничено, что противоречит правильности КНП Хм .□

В §4 будет показано, что условие (4), вообще говоря, не достаточно для правильности КНП Xm , в отличие от следующего частного случая.

Пусть X - нормированное пространство с нормой |.| (обозначаемой так же, как и модуль в K). Пусть, далее, (Vx € X)M(х) := Ф(|х|) , где Ф : [0, то) — [0, то] - неубывающая функция, для которой

lim Ф(а) > lim Ф(а) = 0.

Очевидно, M является генфункцией, которую назовем простейшей генфункцией. Условие (4) для простейшей генфункции означает, что Ф(а) — то при а — то.

Далее нам потребуется критерий сходимости в КНП Хм ([3], Theorem 1.6):

lim llxkИм = 0 тогда и только тогда, когда (Уа) lim M(axk) = 0. (5)

k^-rx k^-rx

Теорема 3. Если для простейшей генфункции M выполняется условие (4), то КНП Хм правильно.

Доказательство. Положим при r > 0

Br := {х € Х : ЦхЦм < r} (6)

и покажем, что br := sup{|x| : х € Br} < то . Действительно, в противном случае 3(хп € Br ,n = 1, 2,...) : — то , откуда M (r-1xn) = Ф(г-1|хп|) — то , что противоречит неравенству: (Vn)M(r-1xn) ^ r (см. (1)).

Далее, пусть (Vk)xk € Br,\k € K и \k — 0 . Тогда

(Va)M(aXkxk) = Ф(а|ЛkЫ|) < Ф(a|ЛkЬ) — 0,

т.е., в силу (5), Лkxk — 0 .

Итак, любой шар Br С Хм ТВ-ограничен, так что КНП Хм правильно. □ Таким образом, в силу Теорем 2 и 3, в случае простейшей генфункции M , условие (4) необходимо и достаточно для правильности КНП Хм .

Следствие 1. Если dim Х = 1, и генункция M удовлетворяет условию (4), то КНП Хм правильно.

Доказательство. Пусть е € Х, е = 0. Тогда равенство |x| := |Л| , где х = Ле, определяет норму в Х . Положим Ф(0) = M(ße), ß ^ 0, так что (Vx € Х)M(х) = Ф(|х|) , т.е. M — простейшая генфункция. Остается применить Теорему 3. □

Неизвестно, верно ли утверждение Следствия 1, если 1 < dim Х < то . Вернемся к произвольной генфункции M . Очевидно, в определении правильности КНП Хм в качестве d -ограниченного множества можно рассматривать произвольный шар Br (см. (6)).

Теорема 4. Пространство Хм правильно тогда и только тогда, когда при любом r>0

lim sup{M(Лх) : х € Br} = 0, (7)

А^0

т.е. M(Лх) — 0 при Л — 0 'равномерно по х € Br .

Доказательство. Пусть Vr > 0 имеет место (7), и пусть при произвольном r > 0 (Vk)xk € Br, Лk € K, причем Лk — 0 . Тогда

(Va) Mxk) ^ sup{Mx) : x € Br} — 0,

k

так что Лkxk — 0 (см.(5)). Это значит, что шар Br ТВ-ограничен, т.е. КНП Хм правильно.

Предположим теперь, что при некотором r > 0 условие (7) не выполняется. Тогда существует такое е , что (Vk)3(xk € Br, Лk € K) : Лk — 0, a M(Лkxk)

> е , т.е. Лkxk не стремится к нулю в Хм . Это значит, что шар Br не ТВ-ограничен, т.е. КНП Хм не правильно. □ Применим этот критерий правильности к некоторым классам генфункций.

1) Если генфункция M р-однородна на X при некотором p > 0, т.е. У (а, x)M (ах) = арM(х) , то КНП Xm правильно.

Доказательство. Зафиксируем r > 0. Тогда У(х £ Br ,Х £ K)M (Хх) = (\X\r)pM(r-lx) ^ \X\prp+l, откуда следует (7). □

2) Если генфункция M выпукла на X, то КНП Хм правильно.

Доказательство. Пусть r > 0 и \Х\ ^ r-1 . Тогда Ух £ Br , в силу выпуклости функции M , M(Хх) ^ \X\rM(г-1х) ^ \X\r2 , откуда следует (7). □

b

Пример 1. Пусть X = C[a,b],M(х) = f \х(Щр^ (p > 0) .Так как M является ген-

a

функцией, р-однородной на X , то КНП Xm правильно. Заметим, что данная генфункция не является простейшей (при норме \х\ = тах{\х(^\ : t £ [a,b]} ).

§4. Условия правильности секвенциального пространства Муселяка-Орлича

Пространство Муселяка-Орлича lM порождается функцией M : N х X — [0, то] , где (yn)M(п, ■) является генфункцией на X. Такую функцию M будем также называть ген-функцией.

Рассмотрим векторное пространство XN последовательностей ф : N — X. Обозначим через в нулевой элемент в XN , т.е. (Уп)в(п) = 0 . Положим

те

Im(Ф) = ^2 M(п,ф(п)),ф £ XN,

n=l

Im = {ф £ XN : (За)1м(аф) < то}.

Нетрудно проверить, что 1м - ненулевое подпространство в XN , а функционал Im : 1м — [0, то] является генфункцией. Следовательно, равенство

\\ф\\м := inf{a > o : Im(а-1ф) ^ a}

определяет квазинорму в 1м .

Теорема 5. Если КНП 1м правильно, то

У(п,х = 0) lim M(п,ах) = то (8)

а^-те

(если M не зависит от п, то (8) совпадает с (4)). Доказательство. Согласно Теореме 2

(Уф £ 1м\{в}) limi Im(аф) = то.

а^те

Возьмем п0 £ N и хо = 0 и положим ф(п0) = х0 , а (Уп = п0)ф(п) = 0 .Тогда ф £ lM\{в} , откуда lim M(п0,ах0) = lim IM(аф) = тоД

а^-те а^-те

Приведем примеры генфункций, показывающие, что условие (8) не достаточно, вообще говоря, для правильности КНП 1м (даже если (yu)M(п, ■) является простейшей генфункцией).

Пример 2. Пусть X = R, M(п, х) = Пх , так что (y^M(п, ■) - простейшая генфункция, обладающая свойством (8).

Пусть (Ук)фк(к) = 1, а (Уп = к)фк(п) = 0. Тогда (Ук)1м(фк) = 1, так что \\фк\\м = 1.

В то же время IM(к-1фк) = Vк-1 — 1. Это значит, что сфера {ф £ lM : \\ф\\м = 1} не

к

ТВ-ограничена, так что КНП 1м не правильно.

ПримерЗ. Пусть X = R, M(0) = 0, M(x) = -(ln\x\)-1 при \x\ € (0,1) и M(x) = то при \x\ ^ 1, так что для простейшей генфункции M выполняется (4) и, следовательно, (8).

Пусть (Ук)фк (n) = e-k при n ^ к и фк (n) = 0 при n > к. Тогда (Ук) IM (фк) = 1, так что \\фк\\м = 1 . Кроме того, (Ук)1м (е-кфк) = 1/2 . Отсюда следует, как и в Примере 2, что КНП im не правильно.

Из этих примеров также следует, что условие (4), вообще говоря, не достаточно для правильности КНП Xm . Действительно, пусть роли пространства X и генфункции M : X ^ [0, то] играют 1м и, соответственно, Im . Так как в Примерах 2 и 3 (Уф = Q)Im(аф) ^ то при а ^ то, то условие (4) (с заменой x на ф, а M на Im ) выполняется. В то же время КНП 1м в обоих случаях не правильно.

Заметим далее, что если (Уп) генфункция M(n, ■) р-однородна на X(p > 0) или выпукла на X , то таким же свойством обладает Im на 1м . Следовательно, в этих ситуациях КНП 1м правильно.

Из Теоремы 4 вытекает следующий критерий правильности КНП 1м .

Пространство 1м правильно тогда и только тогда, когда Im (Лф) ^ 0 при Л ^ 0 равномерно по ф на каждом шаре Br := {ф € 1м : \\ф\\м < r} .

Применим этот критерий в следующей ситуации.

Теорема 6. Пусть X - нормированное пространство, и M -простейшая генфункция, т.е. M(x) = $(\x\) (см. §2). Тогда если Ф(£) ^ то при £ ^ то и c := sup{£ : Ф(£) =0} > 0, то КНП 1м правильно.

Доказательство. Зафиксируем r > 0. Если ф € Br , то

те

Im(г-1ф) = J2 Ф(г-1\ф(п)\) < r,

n=1

так что

(Уп)Ф(г-1\ф(п)\) ^ r.

Далее, так как Ф(£) ^ то при £ ^ то , то b := sup{£ : Ф(£) ^ r} < то. Следовательно, (Уп)\ф(п)\ ^ br . Кроме того, Ф(\Л\Ьг) = 0 при \Л\ < d := c(br)-1.

Следовательно, (Уф € Br)IM(Лф) = 0 при \Л\ < d. Таким образом, IM(Лф) ^ 0 при Л ^ 0 равномерно по ф € Br . Значит, КНП 1м правильно. □

Замечание 1. Было бы полезно найти критерий правильности пространства 1м в терминах самой генфункции M .

В заключение отметим, что в настоящей статье не рассмотрены условия правильности функциональных КНП lm (см. [1] и [2]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Шрагин И.В. Об ограниченности множеств в пространствах Муселяка-Орлича // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естеств. и техн. нуки. 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1227- 1228.

2. Shragin I.V. On the boundedness of sets in Musielak-Orlicz spaces // Comment. Math. 2013. V. 53. N 2. P. 405-412.

3. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces. Berlin: Springer, 1983.

4. Иосида K. Функциональный анализ. M.: Мир, 1967.

5. Kolmogoroff A. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes // Stud. Math. 1934. T.S. P. 29-33.

6. Рудин У. Функциональный анализ. M.: Мир, 1975.

Поступила в редакцию 3 марта 2015 г.

Shragin I.V. RIGHTNESS CONDITIONS OF QUSINORMED SPACES

We consider the quasinormed spaces, which are defined with the help of gen-functions. For these spaces we estabilish the necessary and sufficient conditions of rightness, that is of equvialence of two notions of set boundedness: in the sense of metric and in the sense of topology of vector space.

Key words: bounded set; right quasinormed space; gen-function; Musielak-Orlicz space.

Шрагин Исаак Вениаминович, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected]

Shragin Isaak Veniaminovich, Perm state national research university, Russian Federation, Perm, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, e-mail: [email protected]