CC BY
44
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982
№ 4
УДК 533.6.011.8:533.6.013.12
ОБ ОДНОЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
В. Н. Гусев, Ю. В. Никольский
Обсуждаются экспериментальные возможности аэродинамического эксперимента в области малых чисел Рейнольдса при использовании дозвуковых потоков разреженного газа, полученных с помощью пористых сред. На основании аналитического решения для течения в цилиндрических каналах сформулированы условия реализации дозвукового потока на выходе из пористой вставки и дано их экспериментальное подтверждение. Приведены результаты экспериментальных исследований по обтеканию сферы и взаимодействию двух сфер при числах М =0,45; 0,3 и 3,5<Неоо<80. Проведено сопоставление полученных данных с эмпирическими зависимостями по сопротивлению сферы, обтекаемой дозвуковым потоком разреженного газа.
1. Движение отдельных частиц относительно жидкости или газа, в которых они находятся, встречается в широком круге явлений. Химическая технология, фильтрация, загрязнение атмосферы, движение крови, диагностика потоков в связи с развитием лазерной техники—вот далёко не полный перечень приложений, которые в той или иной мере связаны с гидродинамикой дисперсных систем. Разумной основой для их теоретического исследования служат уравнения Стокса. К настоящему времени с помощью этих уравнений получено достаточно много сведений по взаимодействию отдельных частиц или групп частиц с потоком вязкой жидкости (см., например, [1]). Значительно меньше в этом направлении ведется экспериментальных исследований. Они, как правило, проводятся со свободнопадающими частицами в вязкой жидкости и не могут охватить всего многообразия задач, возникающих при исследовании дисперсных систем. Пути расширения экспериментальных возможностей при исследовании таких течений обсуждаются в данной работе.
Казалось бы, что наиболее пригодными установками для экспериментальных исследований в области гидродинамики дисперс-
ных сред при малых числах Рейнольдса могли бы стать вакуумные аэродинамические трубы. Однако их непосредственное использование здесь оказывается не всегда возможным. Дело в том, что в вакуумных аэродинамических трубах, использующих сопло, при малых числах Рейнольдса невозможно получить равномерное поле скоростей в рабочей части. Из-за тормозящего действия стенок сопла, на которых скорость U— 0, влияние вязкости распространяется на все поле течения, и при числах М 1 распределение скорости в выходном сечении сопла будет всегда близко к параболическому.
Экспериментальные возможности вакуумных аэродинамических труб при дозвуковых скоростях могут быть существенно расширены при замене сопла пористой вставкой. В этом случае на непроницаемых участках границы такой вставки скорость фильтрации уже не будет обращаться в нуль (граничное условие непротекания для фильтрационной скорости dUjdn. = 0), и возникающая при фильтрации сила сопротивления при постоянной проницаемости будет равномерно распределена по всему пористому объему. Поток на выходе из такой вставки при постоянной ее толщине будет равномерным. Это было проверено экспериментально на осесимметричных пористых вставках, выполненных из различных материалов [2]. Исследования показали, что, несмотря на малые значения числа Рейнольдса, поток на выходе из таких вставок напоминает хорошо изученное течение на начальном участке свободной струи. Передача импульса окружающему газу происходит в зоне смешения. Течение в ядре струи остается неизменным. Его размеры при существующих производительностях вакуумных станций становятся достаточно большими. Это следует из непосредственного рассмотрения уравнения расхода. При постоянном объемном расходе откачивающей станции
Q р = z R-U — const,
где Q — массовый расход газа, р—-плотность газа, радиус ядра струи R будет тем больше, чем меньше скорость U. Например, при U = 10 м/с метровый размер R может быть достигнут с помощью вакуумной станции с объемной производительностью Q/p = = 3,14 -104 л/'с.
При реализации равномерных дозвуковых потоков разреженного газа с помощью пористых вставок потребные перепады давления на них оказываются достаточно большими (в проводившихся экспериментальных исследованиях они доходили до 102). В этих условиях силы инерции в газе при его движении в пористой среде могут стать соизмеримыми с объемными силами сопротивления Скорость газа на выходе из такой вставки может стать сверхзвуковой. Определим условия, при которых течение на выходе из пористой вставки при больших перепадах давления остается дозвуковым.
Предположим, что течение в пористой вставке эквивалентно течению в круглых цилиндрических каналах, радиусы поперечных сечений которых г0 много меньше их длины х2. Для описания таких течений обычно используются уравнения Навье—Стокса в приближении пограничного слоя. Их численное решение можно найти, например, в работе [3]. При малых дозвуковых скоростях потока, когда поперечным компонентом скорости можно пренебречь, поставленная задача решается аналитически.
В этом случае система уравнений ламинарного движения вязкого газа в длинном цилиндрическом канале преобразуется к виду
— /т ди др
* р и — — -
дх дх
*.о.
дг \
-- ди
Г и, —— дг
дг
дх
П
дх
и[ А
и2
— 8-
- - д Г\1 —
дг \ Рг
(— +-—-и'-
= 0.
(1)
г дг !г =Р1Р
Здесь х — х1, г — г1 — цилиндрические координаты, р=р0р~ давление, р = р0р — плотность, й = Л0Л — энтальпия, 1) = аои — скорость, Рг — число Прандтля, х — отношение удельных теплоемкостей, а0 — V (* — 1)Л0, е = а0 \iJpo г0, 1 — г0/е. Индексом „0“ обозначены параметры торможения газа на входе в канал, индексами „1“ и „2“ — параметры в начальном и в конечном сечениях канала соответственно.
При числе Рг = 1 уравнение энергии допускает частный интег-
_ ^ I ] -
рал к-\--— и2 — ^удовлетворяющий граничному условию тепло-
изолированной стенки. Используя его при С/ С 1, вместо (1) будем иметь
йр
Лх
,1 д I-£2 .---I Г
^(рС/) = 0, р = р.
дх
дг \ дг
Полагая V = <? (г)'!> (х), получим из этой системы
2?
■г2)
V
Ж Щ
ИХ
~ 1/1 16----------
Р = Р= У 1
(2)
(3)
где ц = а0 д/р0 Гд — приведенный расход газа через канал.
При у.= 1,4 полученное выше распределение давления было сопоставлено с точным численным расчетом [3] (рис. 1) [сплошная
линия — формула (3), штриховая — численный расчет]. Исключая окрестность сечения запирания, где профиль скорости перестает быть параболическим, а величина скорости приближается к звуковой, соответствие между приведенными данными вполне удовлетворительное.
Расход газа через цилиндрический канал длиной х2 равен
го I, ~2ч
2тса0 Г г; . РУ [Л\
? =------}\г?и<1г^----—=----------. (4)
А'„о 16 До
При малых перепадах давления Ар = р0—р, из последнего соотношения следует известный закон Пуазейля а == . Из этого
' 8х2
же соотношения определяется предельное значение приведенного
” г\ 7СХ
расхода а при р, и. - .
' 1вХо
В отличие от течения Пуазейля скорость газа по длине канала
в рассматриваемом случае увеличивается (2), достигая своего мак-
симального значения на оси симметрии в выходном сечении. Соответствующее этой скорости число М
мг = -4- (Л-----п V (5)
8 ху\р2
При М2 <С1 течение на выходе из цилиндрического канала будет дозвуковым. В случае р2 -»• 0 это условие будет выполнено при х2 > (8/?2)~\
Полученные выше результаты подтверждаются экспериментальными данными, представленными в работе [4]. Эксперименты проводились с воздухом при комнатной температуре на цилиндрических каналах с различными радиусами поперечного сечения г0. Измерялись давление торможения р0 на входе в канал, статическое давление р2 на его стенке в выходном сечении, расход газа ц.
По последним двум измерениям при условии адиабатичности тече-
ния определялось среднее значение числа М2 на выходе из канала. Результаты этих исследований приведены на рис. 2. Там же штриховыми линиями приведены следующие из формул (4) и (5) теоретические значения <7 и М2 = М~/2 при двух значениях р2 — 0,15 и 0,3, ограничивающих область изменения этой величины в эксперименте.
Проведенные экспериментальные исследования охватывают в основном сверхзвуковые режимы истечения газа из цилиндрического канала: полученные в эксперименте средние значения числаМ.,, как правило, были сверхзвуковыми. Принятые в теоретическом исследовании допущения здесь не выполняются. Лишь при максимальных значениях х2, когда средние значения числа М2 становятся меньше единицы, экспериментальные значения <7 и М2 приближаются к теоретическим. Близкими к теоретическим на этих режимах становятся и измеренные значения статического давления р2 на стенке канала в выходном сечении (см. рис. 1). Согласие последних экспериментальных данных с теоретическими свидетельствует о достоверности сформулированного выше условия, определяющего режим дозвукового течения газа в длинном канале при больших перепадах давления.
По мере уменьшения длины канала дг2 приведенный расход газа <7 будет стремиться к своему предельному значению, определяющему расход газа через круглое отверстие
<7о
у СІ - Р2* ) ПРИ (ггт)
* + 1
При произвольном х2 зависимость ц (х2) достаточно хорошо описывается соотношением
— 1
Хо
і *•
16 ' 7і <
При * = 1,4 и £>о — 0 она показана на рис. 2 (сплошная линия).
Согласие с приведенными здесь же экспериментальными данными, полученными при р2 < 0,3, оказывается вполне удовлетворительным.
Используем полученные результаты при рассмотрении движения вязкого газа в пористой вставке. Как и прежде, будем предполагать, что течение в ней эквивалентно течению в цилиндрических каналах, радиус поперечного сечения которых 8 существенно меньше толщины вставки /. При постоянной пористости т расход
газа через единицу площади поперечного сечения такой вставки равен (5/5 = тд'г-Л2, и сформулированные выше условия, определяющие режим течения на выходе из цилиндрического канала, могут быть перенесены на случай пористой вставки. Неизвестные геометрические параметры эквивалентной вставки при этом можно определить экспериментально. Например, при больших перепадах давления, когда давление перед вставкой р0 существенно больше давления рс в окружающем пространстве за ней,
ао 9 -■ т п т* — Ро (ги
Ро$ -• 4 167 1б/оо[х0’ *■ '
и величина то* для конкретной вставки определяется по экспериментальной зависимости расхода С? от давления р0.
Последующие экспериментальные исследования проводились в дозвуковом потоке воздуха на выходе из осесимметричнои пористой вставки, набранной из 30 листов металлических сеток, собранных в обойму радиуса к = 31,5 мм. Толщина вставки / = 12 мм.
Диаметр проволочек в сетке был 0,2 мм, расстояние между ними — 0,5 мм. В эксперименте использовался воздух при температуре торможения ^ = 295 К.
Экспериментальные значения расхода <3 через вставку, полученные при изменении давления р0, даны на рис. 3. Там же сплошной линией приведена теоретическая зависимость (6) при /по2 = = 0,05 мм2. При 28 = 0,5 мм, соответствующем шагу проволочек в сетке, пористость эквивалентной вставки с цилиндрическими каналами будет /я — 0,8. При этом значении т среднее значение числа М, на выходе из пористой вставки в исследованном диапазоне изменения р0 оказывается всюду дозвуковым
М, = М2“ 2 = -4^ = — = —<1,
‘^Уоо шРо
Л*2 •
Число Моо в ядре потока за пористой вставкой было измерено с помощью насадка полного давления. Размеры последнего были выбраны из условия исключения поправок, обусловленных влиянием вязкости [5]. Статическое давление во всем поле течения за пористой вставкой оказалось всюду постоянным и равным давлению р^ в окружающем пространстве.
Полученные экспериментальные значения числа М» представлены на рис. 3. В выбранном диапазоне изменения давления 4 тор< </70<;7тор (0,15 тор<0,35 тор) число Мэо^0,45. Следует отметить, что при малых дозвуковых скоростях
Роо ^со а® _ ^оо
тРоо т
и определенная из этого соотношения пористость т эквивалентной вставки по измеренному значению числа Мот оказывается близкой к указанной ранее величине 0,8.
2. Рассмотрим некоторые возможности использования полученных с помощью пористых сред дозвуковых потоков разреженного газа в аэродинамическом эксперименте при малых числах Рейнольдса.
Остановимся на обтекании сферы. Определению ее сопротивления посвящено множество экспериментальных и теоретических работ. Из них, в частности, следует, что область применимости закона сопротивления Стокса
8Л" 24 р Рос Ц» с1
~х = ~ ,,2 Квот— -
-<'<»- ос “ ' 1 р‘-
оказывается весьма ограниченной. Более того, при некоторых значениях числа М„ этот закон вообще не выполняется ни при каких значениях числа Рейнольдса. Для этих режимов течения необходимо учитывать влияние инерционности, сжимаемости и разреженности газа.
В предельном случае течения несжимаемой жидкости поправку к закону Стокса, учитывающую инерционные силы, можно найти в работе [6]. С ее учетом коэффициент сопротивления сферы
С^ = -^(1+°’15Ке”87)-
Ие
Эта и соответствующая закону Стокса зависимости вместе с опытными данными (черные точки), неоднократно повторенными в эксперименте со свободно падающими шариками в вязкой жидкости [6], приведены на рис. 4. Применительно к несжимаемой жидкости закон Стокса оказывается справедливым лишь при числах Несо< 1.
Поправка к закону сопротивления Стокса, учитывающая влияние разреженности газа, была определена в классических опытах Милликена. С ее учетом коэффициент сопротивления сферы имеет вид [6]:
-1
-,+ 24
'х- ~ Re,
СО
1 + (3,82 + 1,28 e-1-25Re“/M«)
В общем случае значение коэффициента сопротивления сферы в свободномолекулярном потоке при полностью диффузном отражении молекул от поверхности определяется соотношением
IS; MS'—1 2S1+-J _л-2
C*rf Sea 4-----^------е 3
2S_,. 1 | -
где Tw — температура поверхности, Soo — i/*/2Мет.
Рис. 4
При Моо С 1
Сх
а
»
При двух значениях числа Моо = 0,45 и 0,1, Tw—T0 =
мыми линиями слева. Сопоставляя эти данные с зависимостью С* (Ивоо), заключаем, что режим обтекания, при котором справедлив закон сопротивления Стокса, может быть реализован лишь при <0,1-
Приведенные выше соотношения широко используются в качестве исходных при получении различных корреляционных формул для коэффициента сопротивления сферы во всем диапазоне возможных режимов обтекания.
Укажем здесь на простую формулу Шермана [7]
При указанных выше значениях числа Ми = 0,45 и 0,1 приведенные выше зависимости для иллюстрации даны на рис. 4.
Очевидно, что достоверность таких, равно как и аналогичных других представлений может быть установлена только после их сопоставления с экспериментальными данными. К сожалению, последние в представляющем интерес диапазоне изменения чисел Маэ и Re^o в настоящее время практически отсутствуют (см., например, работу [8], в которой собраны наиболее подробные экспериментальные сведения о сопротивлении сферы). Необходимо широкое
значения Сх показаны на рис. 4 пря-
привлечение различных экспериментальных методов для получения такой информации. Весьма перспективным здесь представляется использование дозвуковых потоков разреженного газа, получаемых с помощью пористых сред. Результаты первых экспериментальных исследований в этом направлении приведены ниже.
Эксперименты проводились в дозвуковом потоке воздуха на выходе из исследованной в [4] осесимметричной пористой вставки, набранной из металлических сеток, при числе Л4Ж) = 0,45 и 0,3. Диаметр сферических моделей не превышал d— 15 мм, их температура Tw = Т0 = 295 К. Исследованный диапазон изменения чисел Рейнольдса составлял 3,5 Re»-<80. Для измерения аэродинамических сил использовались магнитоэлектрические весы, чувствительность которых составляла десятые доли миллиграмма. Относительная погрешность измерения сил не превышала, как правило, + 2%. Для исключения подпора потока на показания весов измерения проводились на различных расстояниях модели от среза пористой вставки. На расстояниях, превышающих радиус выходного сечения вставки, измеряемые величины оставались неизменными, и весы регистрировали действующую на сферу силу сопротивления.
Результаты проведенных измерений представлены на рис. 4. Полученные данные лежат ниже стандартной зависимости CjMReco), соответствующей течению несжимемой жидкости. Влияние разреженности и сжимаемости газа на обтекание сферы здесь еще проявляется. Лишь при RecD=102 его можно считать пренебрежимо малым. Что же касается достоверности указанных в настоящей работе корреляционных зависимостей, то в исследованном диапазоне изменения чисел Моэ и Re*, ближе к экспериментальным данным находятся значения С°ь
Использование пористых сред в аэродинамическом эксперименте при малых числах Рейнольдса открывает большие возможности при исследовании взаимодействия отдельных взвешенных в потоке частиц между собой. В этом случае увеличение масштаба течения за счет уменьшения плотности потока позволит в таких исследованиях использовать аэродинамические весы. С их помощью станет возможным определение сил и моментов, действующих на взаимодействующие друг с другом частицы. Пример такого исследования описан ниже.
Эксперименты проводились в том же дозвуковом потоке на выходе из пористой вставки, набранной из металлических сеток. В поток помещались две сферические модели, одна из которых находилась на аэродинамических весах. Прямая, соединяющая центры сфер, была перпендикулярна вектору скорости. В одном случае диаметры этих сфер были одинаковыми (d=D), в другом случае диаметр d сферы, находящейся на весах, был в три раза меньше диаметра D другой сферы. Числа М и Re составляли Моо = — 0,45 и Re0O = p0ef/00rf/jiee = 2l.
Экспериментально полученные значения коэффициентов аэродинамических сил Сх — 8Х ~paj и^. d* и Су — SY/r.p^U^d2, действующих на одну из двух сфер вдоль и поперек потока, в зависимости от расстояния л: между ними приведены на рис. 5 (круглые точки). Здесь же даны заимствованные из работы [1] теоретические зависимости Ct(x/d)(Cy = 0) при аналогичном взаимодействии двух сферических частиц при медленном („ползущем") течении вязкой
жидкости (сплошные линии на рис. 5). При с1 — й они дополнены экспериментальными данными [1], полученными при свободном падении двух сферических частиц в вязкой жидкости при числах Ивоо < 0,05 (крестики на рис. 5).
Обращает на себя внимание существенное различие в характере взаимодействия сфер друг с другом на рассматриваемых здесь двух режимах. При медленном течении вязкой жидкости их взаимное влияние распространяется на расстоянии 10. Предель-
ное значение Сг(оо) в этом случае, соответствующее обтеканию одиночной сферы, показано на рис. 5 прямой линией справа. По мере увеличения числа 1х!еоо область взаимного влияния между частицами уменьшается. В нашем случае при числе Неоо = 21 она уже составляет несколько калибров. Зависимость Сх {х/сГ) становится здесь немонтонной и за исключением близких расстояний между сферами лежит выше своего предельного значения Сх(оо). Между сферами возникает сила отталкивания.
Полученные в работе первые экспериментальные данные позволяют надеяться на существенное расширение возможностей аэродинамического эксперимента в области малых чисел Ие при использовании дозвуковых потоков разреженного газа, получаемых с помощью пористых сред.
ЛИТЕРАТУРА
!. X а п л е л ь Дж., Бреннер Г. Г идродинамика при малых числах Рейнольдса. М., „Мир“, 1976.
2. Н и к о л ь с к и й Ю. В. Получение дозвукового потока разреженного газа с помощью пористых сред. Труды ЦАГИ, вып. 2111. 1981.
3. Б ы р к и н А. П., М е ж и р о в И. И. О расчете течения вязкого газа в канале. ,Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 6.
4. Никольский Ю. В. Экспериментальное исследование течения разреженного газа в цилиндрическом канале и через пористую вставку. .Ученые записки ЦАГИ“, т. Х111, .№ 1, 1982.
5. С h u е S. Н. Pressure probes for fluid measuremeni. Progress in Aerospace sciences, vol. 16, N 2, 1975.
6. Carlson D. J., H о g 1 u n d R. F. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles. „А1АА' J., vol. 2, N 1 1, 1964.
7. Sherman F. S. A survey of experimental results and methods for the transition regime gas dynamics. Rarefied Gas Dynamics, vol. II, Acad. Press. N. Y. — Lnd, 1963.
8. В a i I e у А. В., H i a 11 J. Sphere drag coefficients for a broad range of Mach and Reynolds numbers. „А1АА" J., vol. 10, N 11, 1972.
Рукопись поступила Щ1 198/
