О локальном моделировании течения в окрестности критической точки обтекаемого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗА ПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1

№ 5

УДК 533.6.011.8:532.526

О ЛОКАЛЬНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ тачки ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА

В. Н. Гусев, Ю. В. Никольский

Рассматривается экспериментальная возможность локального моделирования течения в окрестности критической точки обтекаемого тела. Формулируются условия такого моделирования. Предложен способ получения дозвуковых потоков разреженного газа с задант ным распределением завихренности с помощью пористых сред. Приведены результаты экспериментального исследования теплопередачи при локальном моделировании течения в окрестности критической точки при гиперзвуковом обтекании затупленного тела.

При установившемся обтекании геометрически подобных тел термодинамически совершенным газом критериями подобия являются: число Моо, число Рейнольдса Кею, число Прандтля Рг, отношение температуры поверхности тела Tw к температуре торможения Т0 (так называемый температурный фактор tw = TJT0), а также константы, определяющие свойства газа (отношение удельных теплоемкостей т, показатель степени <в в законе изменения коэффициента вязкости от температуры ^ — Тю). При умеренных скоростях моделирование натурных условий полета летательного аппарата будет выполнено при постоянстве перечисленных выше критериев подобия. Реализация этих условий в аэродинамических трубах, как правило, приводит к значительному уменьшению характерных размеров испытуемых моделей. Изучение локальных особенностей течения при таком моделировании становится невозможным. В то же время именно эти особенности могут играть не последнюю роль в таких явлениях, как переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, зарождение срывных зон, взаимодействие скачков уплотнения и т. д.

Для решения этих задач необходим способ увеличения масштаба течения. В некоторых случаях для этой цели используются вакуумные аэродинамические трубы. Среди задач, которые экспериментально исследовались в них, можно указать исследование

3—.Ученые записки ЦАГИ* № 5.

33

гиперзвукового течения вблизи передней кромки пластины [1], исследование структуры ударной волны [2] и другие. Однако не всегда непосредственное использование таких установок в качестве „увеличительного стекла* [3] для исследования деталей течения оказывается возможным. Дело в том, что характерные размеры реализуемых в них сверхзвуковых потоков разреженного газа являются крайне малыми из-за. вытесняющего действия пограничного слоя, развивающегося вдоль стенок сопла.

я

Рис. 1

Более перспективным при локальном моделировании является путь создания потоков с заранее известными свойствами, характеризующими течение в исследуемой локальной области. Так, например, экспериментально была решена задача Крамерса при измерении профиля скорости в кнудсеновском слое [4]. Для определения скорости скольжения газа на поверхности пластины в установке предварительно, с помощью перфорированной вставки, перпендикулярной ее поверхности, вне слоя Кнудсена было получено однородное течение сдвига со скоростным отношением, много меньшим единицы.

Во всех рассмотренных выше задачах характерный размер исследуемых течений /* был одного порядка с характерной длиной свободного пробега молекул X*. При локальное моде-

лирование течения вблизи поверхности обтекаемого тела будет соответствовать течению в пристеночной области пограничного слоя. Сформулируем для этого случая необходимые условия подобия таких течений.

1. Рассмотрим в качестве примера задачу локального моделирования ламинарного течения совершенного газа в окрестности круговой критической точки 5 = 0 (рис. 1). Пусть и 7% — характерные значения давления и температуры газа, а Тт — температура поверхности тела. Так как скорость газа 0 и ее нормальная

ди в критической точке обращаются в нуль, в ка-

д2 р

производная

честве определяющего параметра задачи возьмем величину ^2-

при 5 = /г = 0. Физические свойства газа определим заданием коэффициентов вязкости р*, теплопроводности и теплоемкости ср, а также значениями ч и ш. Тогда движение газа в окрестности круговой критической точки будет полностью определено следующей системой определяющих параметров

~(№~ ’ Р*’ ^*’ ^Р' №' 0-1)

Подобие течений в этом случае будет при равенстве следующих критериев подобия

3

Кп t■ до - , --- ~у ' > ** * А ' 1 Т) • (^*2)

Г-? ^2т

д3 р

дя2

Безразмерные зависимые и независимые переменные задачи запишутся в виде

£/=*//«/«; р=р1р*\ р = р/р*; г =7/7’*; ^ = н-/н-«=;

5 = 811*-, п — пЦЛі* = />Ц/2

д2 р

дя2

-1/2

игт = 2срТ*

(1.3)

где р — плотность.

Следует отметить однозначную связь введенного выше критерия /Со с локальным числом Кнудсена Кп*:

*0 =

РІ р2I2 г * * I2 1

,,2 иі /я д2 р ■ю ?-2и1 * ^ ҐП I2 * Кп2 *

Выясним, насколько точно выполняется сформулированный выше закон подобия при рассмотрении обтекания окрестности критической точки сферы в двух предельных случаях: при малых дозвуковых и болыних сверхзвуковых скоростях потока. Предполагая дозвуковые условия обтекания известными, определим по ним теплопередачу в критической точке сферы, обтекаемой гипер-звуковым потоком совершенного газа.

Коэффициент теплопередачи Сй = ^ т -, где # — тепло-

ср Р* К1 * 1 ни)

вой поток, в этих двух случаях будет одним и тем же при постоянстве указанных выше критериев подобия (1.2). При малых дозвуковых скоростях потока размерными определяющими параметрами рассматриваемой локальной задачи будут величины, соответствующие параметрам газа на бесконечности. В дальнейшем они будут обозначаться штрихом. Для распределения давления на поверхности сферы в окрестности критической точки можно воспользоваться известным решением для идеальной несжимаемой жидкости

' 2 (Аш—/О

рт —

р' и'2

гоо оо

1 —эт2 0',

где 9' = в'//?', Л!' —радиус сферы, откуда

д2р’

дя2

4 Я'2 ’

и после замены для критерия К0 получим следующее выражение:

Не'2

Ко

2 (Т — 1) 97з

М

'4

Аналогичным образом устанавливается связь между коэффициентом теплопередачи С* и числом Стантона 5^:

При выводе локальных критериев моделирования (1.2) диссипативные процессы предполагались существенными во всем поле течения. В этом случае механические процессы не отделяются от тепловых, и при Моо -*■ 0 величина £/1 -> 0. Предельное состояние, соответствующее течению несжимаемой жидкости, реализуется здесь при сколь угодно малых, но конечных значениях Мм. Например, из последних двух соотношений следует хорошо известная функциональная связь между числами Стантона и Рейнольдса:

1

Уяе

При Моо> 1 скорость иоо = ит, и в качестве определяющих параметров задачи естественно взять параметры торможения за прямым скачком уплотнения'

(7 + I)2

4Т

Роо Vт ! - Т'о» 1^3: ----------Н’О"

Распределение давления, которое в данном случае является необходимым дополнительным условием при локальном моделировании, можно определить из соотношения Ньютона. Тогда

д2 р 4 Г(7 + 1)2] 1 — * Роо ит

дя2 !Ш 7 + 1 1 47 ’

и из (1.2) получается следующее выражение для критерия подобия:

«•=тШЧТ7Ке* (Ке°=

Аналогичным образом

г = 1+1

н 2 [(ТГ + 1)2]

Роо УтК 1*0

Т

и-1

Б!.

(1.4)

(1.5)

Окончательно условия локального моделирования теплопередачи в окрестности критической точки сферы для рассмотренных двух предельных режимов обтекания запишем в виде (при одних и тех же физических свойствах газа):

Рр — 1 + 1 1/ 7— 1 Г 47 ] Т-1 Несо

Де° 37 V Т I. (т + I)2 ] М^2

(1.6)

Известно, что при дозвуковом обтекании число Стантона в критической точке сферы определяется следующим соотношением:

т Ч, - 0,763 Рг-°'6

=/т

V' к---,'

St = 0,763 Pr-0.6 F (т) -І=- , F(-i) =

V Re0

Используя его, определим из (1.6) теплопередачу в критической точке сферы при Моо>1:

т+1

4 V'4 Г(Т+1)П4(т-1)

При 7=1,4 и Рг = 0,7 эта зависимость приведена на рис. 2 штриховой линией. На нем представлены также взятые из [5] результаты экспериментальных и теоретических исследований по теплопередаче в критической точке сферы при ее гиперзвуковом обтекании. При Не0^>10 согласие между полученной зависимостью и приведенными данными вполне удовлетворительное.

ю'

л

10

4-1Q1

ж1

10°

_1_

10 1 Рис. 2

101

Ее о

Таким образом, задача локального моделирования течения в окрестности критической точки тела, обтекаемого гиперзвуко-вым потоком совершенного газа, сводится к соответствующей задаче дозвукового обтекания. Переход к дозвуковому обтеканию позволит существенно увеличить масштаб исследуемого течения. Например, при условии

?[ д2 р )2

■А ds2 W )

д2 р

ds2

= const

характерный размер течения I* может быть увеличен за счет снижения характерного давления р* или увеличения характерной температуры Т%. Тот же эффект может быть осуществлен и при изменении формы поверхности обтекаемого газа за счет уменьше-д2 р

ния величины

ds2

При таком моделировании станет возможным экспериментальное изучение местных особенностей течения, которые не могут быть выявлены при моделировании обтекания в целом. Для этого необходимо разработать способ получения дозвуковых потоков разреженного газа с достаточно большим характерным размером течения. Анализ возможного использования пористых сред для этой цели дан ниже.

2. Выше отмечалось, что непосредственное использование в задачах локального моделирования вакуумных аэродинамических труб при сверхзвуковых скоростях не всегда возможно из-за малых размеров изоэнтропического ядра потока. Характерный раз-, мер течения в таких установках может быть увеличен при переходе от сверхзвуковых к дозвуковым скоростям потока. Это следует из непосредственного рассмотрения уравнения расхода. Однако и в этом случае из-за тормозящего действия стенок канала, на которых скорость £/= 0, влияние вязкости при малых числах Ие будет определяющим во всем поле течения. Управлять такими течениями будет крайне затруднительно, так как распределение скоростей в поперечном сечении таких каналов всегда будет близко к параболическому.

Картина течения существенно меняется при переходе к пористым средам. В этом случае на непроницаемых участках границы скорость фильтрации уже не обращается в нуль (граничное условие для фильтрационной скорости здесь будет ^~) = 0, а возникающая при фильтрации сила сопротивления будет распределена.по всему пористому объему. В общем случае эта сила будет зависеть от физических характеристик пористой среды и числа Ие.

/ Теоретической основой изучения течения в пористой среде является хорошо развитая теория фильтрации. Закон сопротивления при ламинарном течении в такой среде описывается уравнением Дарси, связывающим линейной зависимостью скорость фильтрации и перепад давления:

й=------с-~ gтadp,

Г

где с — коэффициент проницаемости, который зависит только от геометрических свойств проницаемой среды и имеет размерность площади.

В простейшем случае, когда пористая среда состоит из цилиндрических каналов, среднее значение скорости в них

где е — характерный поперечный размер канала, /—коэффициент, учитывающий его форму.

При постоянной длине каналов I поток на выходе из пористой вставки будет одномерным. При нулевой толщине стенок каналов его скорость будет определяться соотношением (2.1). В этом случае коэффициент проницаемости с = /е2. В общем случае он будет зависеть еще и от пористости среды.

Для получения потока с заданным распределением скорости пористая вставка должна быть профилированной. Например, в рассмотренном частном случае цилиндрических каналов линейный профиль скорости £/~г может быть получен на вставке, образующая которой выполнена по гиперболе I — г-1 [см. соотноше-о ния (2.1)].

Экспериментальная проверка высказанных соображений была проведена на осесимметричной вставке, набранной из медных трубочек постоянной длины / = 50 мм, внешний диаметр которых был 1 мм, внутренний — 0,6 мм. Коэффициент пористости такой вставки 0,3.

В эксперименте использовался воздух при температуре торможения на выходе из вставки Т0 = 295 и 395 К. Скорость потока определялась по перепаду давления Др, измеренному насадками полного и статического давления. При малых значениях числа М

м-т/ХЖ

У 1 Р

При измерении Др использовался дифференциальный метод измерения малых перепадов [6]. Статическое давление р измерялось предварительно протарированными лампами ПМИ-10. С учетом поправок на показания насадков давления при малых числах Ие [7] суммарная погрешность в определении скорости потока составляла +5%.

г •

х=1

а)

1,0-

0,5-

3" о

I? § !

015 М

Ю

р Х = 1 г х=2

1,5 1.5 XX»

о. о *

0«. о • в

I О » • О О .г-л о О •в0

Ж ’ •. “о • 0

Ч 1

% °’5- 3 00 < •

1 • ° А о

1 ■ • 2 I : .1*1 1 •

х О

0,25 0,5 М О Рис. 3

_1£_1

0,25 0,5 М

Результаты измерений приведены на рис. 3, а. На нем представлено распределение чисел М в зависимости от поперечной координаты г = г/г0, где г0 — радиус пористой вставки, в сечении х = х/г0=1 (сплошные точки — Т0 = 295 К; полые — Г0 = 395 К). Соответствующие этим температурам числа Ие = СЦкг0 [х0 = 85 и 64, где С1 — расход газа через вставку, р.0-—коэффициент вязкости при температуре торможения.

Эксперименты показали, что при реализации дозвуковых потоков разреженного газа с помощью пористых вставок потребные перепады давления на них оказываются достаточно большими. В проведенных исследованиях, например, отношение давлений на вставке при Т0 = 295 К равно 45, а при Г0 = 395 К — 75. В этих условиях силы инерции в газе при его движении в пористой среде станут соизмеримыми с объемными силами сопротивления. Об этом, например, свидетельствует несоответствие измеренной величины скорости в ядре потока теоретическому значению (2.1).

Кроме того, при больших перепадах давления течение на выходе из пористой вставки может стать сверхзвуковым, переходящим в дозвуковое в примыкающем к пористой поверхности слое. При больших числах Re эта область может оказаться достаточно обширной [8]. В наших экспериментах при малых значениях числа Re если этот слой и возникал, то его протяженность была незначительной. Во всяком случае при д;>0,5 поток во всех исследованных- вариантах всегда был дозвуковым и достаточно однородным. '

Исследование дозвукового течения вниз по потоку было проведено на осесимметричной пористой вставке, набранной из 30 листов металлических сеток, собранных в обойму. Шаг проволочек в сетке был 0,5 ммХ0,5 мм, а их диаметр — 0,2 мм. Коэффициент пористости такой вставки то ^0,5, ее структура была достаточно однородной. В эксперименте использовался воздух при температуре торможения ^ = 295 К.

Результаты измерений приведены на рис. 3,6. На нем представлено распределение чисел М в зависимости от поперечной координаты г в двух сечениях л: = 1 и 2 при двух значениях числа Re = 96 (темные точки) и 270 (светлые точки).

Несмотря на малые значения числа Re, исследованное течение по своим свойствам напоминает хорошо изученное течение на начальном участке свободной струи. Передача начального импульса окружающему газу происходит здесь в быстро расширяющейся зоне смешения. Течение же в ядре струи в пределах точности экспериментов остается неизменным.

В проведенных опытах скорость -газа U в ядре потока изменялась незначительно. Здесь это связано с тем, что объемная производительность откачивающей станции в этих экспериментах менялась слабо, а площадь поперечного сечения пористой вставки была постоянной

QIр = ■кг2 U = const.

Вычисленные по измеренному расходу соответствующие этим скоростям числа М совпадают с приведенными на рис. 3уб.

Для получения неоднородных потоков в эксперименте использовались осесимметричные пористые вставки с конической и гиперболической образующей. Их профилировка выполнялась со стороны форкамеры. В качестве пористых материалов использовались поролон для вставки с конической образующей и винипор — с гиперболической образующей. Средний диаметр пор поролона был^0,1 мм, винипора^0,5 мм. Условия эксперимента следующие: Г0 = 295К, Re = 143 и 112 соответственно. Отношение давлений на поролоновой вставке равно 70, на винипоровой — 15.

Результаты измерений приведены на рис. 4. Они показали, что так же, как и в однородном потоке, течение на выходе из профилированной вставки разделяется на ядро и зону смешения. При этом для вставки с гиперболической образующей (темные точки на рисунке) распределение чисел М в ядре потока оказывается близким к линейному. По мере удаления от вставки полученная завихренность потока незначительно уменьшается.

В целом проведенное экспериментальное исследование со всей очевидностью подтвердило возможность использования пористых сред для получения однородных и с заданной завихренностью дозвуковых потоков разреженного газа.

3. Как уже отмечалось, переход к дозвуковому обтеканию разреженного газа позволяет существенно увеличить масштаб исследуемого течения.

Рассмотрим эту возможность на примере обтекания круглого диска. Эксперименты проводились в дозвуковом потоке разреженного газа, полученном с помощью круглой вставки, перфорированной медными трубами. Ее описание было дано ранее.

х= 1

о •

Л____Л_

Х=*1,5

0,25 М

Рис. 4

Модель круглого диска радиуса /?' = 0,75 г0 помещалась в сечении л: = 3,2 перпендикулярно оси потока. Сначала на ее поверхности измерялось давление. Для р'т/р», где рг — давление в критической точке, результаты этих измерений представлены на рис. 5. При экспериментальной погрешности т] = 0,05 по этим данным была построена сглаженная кубическая сплайн-функция. Соответствую-

щая ей величина

д2 р

Для сравнения на

оказалась равной 0,2/>'//?'2.

эис. 5 сплошной линией дано распределение давления на сфере, соответствующее гиперзвуковому случаю

2р%1К2). Отчетливо виден эффект увеличения масштаба

течения: при р*= р* радиус сферы R, на которой распределение давления в окрестности критической точки соответствует полученному на диске, будет в раз больше радиуса диска /?'.

7 г', К * К, К Р > Па * * й2 р дз2 Па ’ м2 IV Ко Сн Ие0

1,4 395 302 28,13 9000 6070 0,186 120 0,171

1,4 374 295 16,80 5375 2475 0,216 76,5 0,199

Необходимые для дальнейшего значения остальных определяющих параметров задачи были также определены экспериментально и приведены в табл. 1.

Измерение теплового потока в критической точке диска проводилось с помощью калориметрического датчика, разработанного Ю. Ю. Колочинским. Полученные значения коэффициента теплопередачи даны в табл. 1.

Определим по полученным выше данным коэффициент теплопередачи в критической точке сферы, обтекаемой гиперзвуковым потоком совершенного газа. Для этого воспользуемся соотношениями (1.4—1.5). Полученные из них значения чисел Ие0 и St приведены в табл. 1 и на рис. 2 (светлые квадраты). Согласие с приведенными на этом рисунке экспериментальными данными, соответствующими гиперзвуковому обтеканию сферы, вполне удовлетворительное.

В дальнейшем эффект увеличения масштаба течения был использован для определения теплопередачи в критической точке тела при наличии в ее окрестности цилиндрического углубления или прямолинейных канавок. Испытания проводились на той же модели круглого диска на одном из исследованных режимов при Ко = 2475. Исходное распределение давления на диске предполагалось неизменным, так как поперечные размеры углублений и канавок были на порядок меньше поперечного размера диска.

Для цилиндрического углубления результаты этих измерений приведены на рис. 6. На нем представлено изменение коэффици-

ента теплопередачи Сй на дне углубления в зависимости от относительной глубины /г = Л/Д где £) — диаметр цилиндрического углубления. Обращают на себя внимание значительные изменения Сй при Л < 1.

Таблица 2

Результаты аналогичных измерений для прямолинейных канавок приведены в табл. 2. Испытания проводились для одиночной и взаимно перпендикулярных канавок с постоянной относительной глубиной /г = 3,75(1> в этом случае — ширина канавок). Торцевые сечения канавок на, краях диска в одних экспериментах были закрытыми, в других — открытыми. В последнем случае поток газа через канавки увеличивал СЛ на ее дне на 10%.

Очевидно, что все полученные выше данные о коэффициенте теплопередачи в критической точке тела при наличии неровностей на его поверхности могут быть перенесены на случай гипер-звукового обтекания. В рассмотренном случае число Re0 = 76,5 и соответствующие гиперзвуковому обтеканию числа Стантона St могут быть определены по измеренным значениям Ch по формуле (1.5). Получить на этом режиме аналогичные сведения в ги-перзвуковых аэродинамических трубах будет крайне затруднительно из-за малых размеров моделей.

В заключение авторы признательны Ю. Ю. Колочинскому и Т. В. Климовой за помощь при подготовке экспериментальных исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Becker М. Die ebene platte in hypersonischer stromung gerin-ger dichte experimentelle untersuchungen urn stofiformierungs und iiber-gangsgebiet. DLR FB, 70 — 79, 1970.

2. Бочкарев А. А., Ребров А. К., Тимошенко H. И. Структура ударной волны в смеси Ar+Не. Изв. СО АН СССР (сер. техн. наук) № 3, вып. 1, 1976.

3. Коган М. Н. Некоторые вопросы молекулярной газодинамики. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. БНИ ЦАГИ, 1977.

4. Reynolds М. A., Smolderen J. J., Wendt J. F. Velocity profile measurements in the Kundsen layer for the Kramers problem. Rarefied Gas Dynamics. Proc. 9 th International Symp. Gottingen, 1974.

5: Гусев В. H., Никольский Ю. В. Экспериментальное £ исследование теплопередачи в критической точке сферы в гиперзву-ковом потоке разреженного газа. „Ученые записки ЦАПИ“, т. II,

№ 1, 1971.

6. Никифоров А. П., Омелик А. И. Дифференциальный измеритель удельного расхода для свободномолекулярных потоков.

Труды ЦАГИ, вып. 1853, 1977.

7. Chue S. Н. Pressure probes for fluid measurement. Progress in aerospace sciences, vol. 16, N 2, 1975.

8. Shreeve R. P. Supersonic flow from a porous metal plate.

„AIAA J.% vol. 6, N 4, 1968.

Рукопись поступила 20jV 1980 г.