Об одной бифуркации трехмерных кусочно-гладких векторных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

ББК 22.161.6

Р 65

Ройтенберг В.Ш.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей .математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]

Об одной бифуркации трехмерных кусочно-гладких векторных полей

(Рецензирована)

Аннотация

, , -сти скользящих движений, получает дугу вне этой поверхности.

Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля, бифуркации замкнутой траектории.

Roytenberg V.Sh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]

On a bifurcation of thee-dimensional piecewise smooth vector fields

Abstract

We consider a bifurcation under which the closed orbit belonging to the surface of sliding motions receives an arc outside of this surface.

Keywords: piecewise smooth vector fields, bifurcations of closed orbits.

1. Введение. Кусочно-гладкие векторные поля (дифференциальные уравнения с разрывными кусочно-гладкими правыми частями) являются математическими моделями релейных систем автоматического управления. Устойчивые замкнутые траектории, соответствующие периодическим решениям, описывают автоколебания. Поэтому представляет интерес изучение бифуркаций, при которых появляются или видоизменяются такие траектории. Некоторые локальные бифуркации описаны в книге А.Ф. Филиппова [1] в основном для случая двумерного фазового пространства. Ряд нелокальных бифуркаций при размерности фазового пространства п > 3 изучен в работах автора [2-6].

В работе М.М. Шумафова [7] рассматривались бифуркации на поверхности скользящих движений. В работе автора [4] изучалась бифуркация перерождения замкнутой траектории, при которой менялось число участков скользящих движений, в частности, замкнутая траектория без участков скользящих движений получала такой участок. Здесь мы опишем ситуацию, в определенном смысле противоположную: замкнутая траектория, целиком принадлежащая поверхности скользящих движений, приобретает дугу, не лежащую на этой поверхности.

2. Кусочно-гладкие векторные поля на трехмерном многообразии. Пусть М -

компактное трехмерное С ^-многообразие, D - разбиение М на компактные трехмерные С ^-подмногообразия Мь i Е {1,2, такие, что М = Мг U М2 U , U Us,

Afj П Mf = ЭМ, П dMj при 1 < i < j < s. Если M, П 0 при i — /, to fl Mj являет-

ся замкнутым двумерным С °с -подмногообразием в М.

Пусть ЗС111 (М;3 - множество С“-векторных полей тта ie{l,2,

Элементы X G ЗЕ” (М, D) будем называть кусочно-гладкими векторными полями на многообразии М с разбиением D. Кусочно-гладкое векторное поле

■' -Е Г можно отождествить с классом векторных полей

Х*:М —* ТМ, где Х*{х] = X'"z:(A'j при дt Векторные поля X*. вообще говоря,

имеют разрывы на поверхностях дМ{. Траекториями векторного поля

X = (X'1'Г...Х'■-■') е£”(М,1>), следуя [1, с. 95], будем называть траектории дифференциального включения х е М, где Х(д:) = } при х Е йт£М1 и -

выпуклая оболочка векторов Х'':'(х) и л"-м [V) при х Е М. п Л/, =±0, I j.

Однопараметрическим семейством кусочно-гладких векторных полей назовем отображение (—и,и) Э в —* X. = ... (Л/.,О), для которого отображения

£ е {1,2, принадлежат классу С"11. Будем его обозначать {^Лы-^

или просто {Хг}.

3. Поверхность скользящих движений. Пусть для кусочно-гладкого векторного поля X = (х1"1-';... XЕ Хж(М, О) вектор Х''1'(хс) касается то есть принадлежит ТеШ;. Будем говорить, что это простое касание, если в окрестности и точки можно выбрать локальные координаты (х-рд;:1д:33 так, что точка хс имеет нулевые координаты, ЭМ1 Л и задается уравнением х3 = О1 при .г £ V

Л' = л'_ л': : Т1- _ л'_ л': -Ч л'_ л': -Ч Т-,

где Р3 (0) = О, (ЗР3 (0)/дх^)- — (дР3 (0)/дх2ф О. Нетрудно проверить, что это определение не зависит от произвола в выборе координат.

Пусть все точки касания векторных полей ХЛ:.! £ (1,2..........5} с дМ. - простые. Тогда множество 5,;;, состоящее из точек х £ дМь в которых вектор направлен из

А/, или касается 3М., является компактным С ^-многообразием с краем

^ = {.V ^ 5,Л/. .V ■ € Г..Л'” ].

Множество

является С ^-многообразием с краем. Назовем его устойчивой поверхностью скользящих движений поля X Е I™ (А'1 В), Для любой точки х Е 5Х в Х{х\ имеется единственный вектор X5 (V) е 7^5^, при этом Xs (■ ) Е С111. Тем самым на 5,- задано векторное поле ХБ класса С"11. Дуги траекторий поля X5 (скользящие движения) являются и дугами траекторий поля X.

4. Гиперболические замкнутые траектории, содержащие участки скользящих

движений. Пусть Ь: * = £(£), 4 е 1 замкнутая (периодическая) траектория поля X Е ^ (А/, £>) периода Т, и существуют числа £]_<■■■< £2т < £2та+1 = t-L — Т такие, что дуга £2,], ! £ {1,...,т}, принадлежит 5Л- и пересекается с 55,- в единственной точке причем это пересечение трансверсально; дуга £0^,

1 £ {1,.,, ,тп}, состоит из дуг траекторий векторных полей Х'к',к Е (1,2, .,,,5], трансвер-сальных ЗМк.

Тогда для любого ; Е {1,...,т} определено отображение /2, по траекториям векторного поля X некоторой окрестности 12! точки <г (£2;) на дБх в окрестность точки ^2:-0, принадлежащую 1п15х Это отображение является С 'с-вложением. Потребуем, чтобы для любого I £ {1, .,,,т} оно было трансверсально в точке £(*21-1-1) вектору Х~* (^г—1 ))• Тогда для любого I £{1, — 1} определен диффеоморфизм /21+1 не-

которой окрестности 12[ +1 ТОЧКИ ^(£21-1) в/:;С^:г)на ОКреСТНОСТЬ ТОЧКИ ?(*2[ + з) в 35^ по траекториям векторного поля X5. Теперь в некоторой окрестности точки р ■= £(*0 на 1± определено отображение последования по траекториям поля X - локальный диффеоморфизм / = /2т ° - ■ ° ° Д, для которого р - неподвижная точка. Если р - устой-

чивая гиперболическая неподвижная точка, то есть |/р (р) I < 1, то Ь - устойчивая гиперболическая замкнутая траектория с т участками скользящих движений.

5. Формулировка результатов. Рассмотрим однопараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей [X.} . Предположим, что векторное поле Хд имеет замкнутую траекторию і 0, пересекающуюся с в единственной точке гс', в которой

векторное поле Х§ имеет простое касание с 35^ Последнее означает, что в координатах (г1,г2) в окрестности V точки на 5^, в которых имеет нулевые координаты, а 5Х П V задается неравенством г: < 0,

Х\

5 _

Р[(г і,гг) — - РЦ?1г =2)—-

&ІГ-

где РпСО; поля Ха

= О, дР%(0,0) /дїі ф 0, Р?

0. Ясно, что является и траекторией

Пусть для определенности г Є Мс. = Мі Л М,

Х

при некоторых

, 5}, ' _ ф г_, а вектор X-' ; (г1*) направлен внутрь М1+. Будем также считать, что Ьа- двусторонне вложена в М0. то есть имеет окрестность, гомеоморфную цилиндру 51 ХЕ,

Мы можем выбрать Сх-вложение 17: [—2,2] —■ трансверсальное траектори-

ям поля Х^, так, чтобы 1?(0)Е 10 и при достаточно малом т > О было определено отображение последования по траекториям векторного поля х£: гт(-и) — (“)),

ие[0,т), /0+(0) = 0, /0+ (

С111 (рис. 1). Предположим, что 0< (/о4)Ч(-0 < 1. Это

условие не зависит от выбора т\.

v=<p; («у

х, = х. /4

Рис. 1. Функции последования

Рис. 2. Траектории поля Атв

При достаточно малом V в некоторой окрестности точки _на М0 для любого £ Е существует единственная точка ^(г) ё <Э5а-_, в которой векторное поле Х%

касается 35А-_, При этом г(■) Е С'"1, г(0) = г1-', положительная (отрицательная) полутра-ектория поля X?, начинающаяся в точке г (г), первый раз пересекает трансверсаль 17[—2,2] в точке 17(“+(*5) (^(и-(£))), где й+(') и+(0)= 0. Обозначим

“(£]: = и+(£))_и-(£))' Потребуем, чтобы и,1(0) Ф 0, Для определенности пусть в дальнейшем &' (О) < 0.

Нам понадобится следующее понятие. Топологическим пределом при е -* 0 семейства множеств ^(е) <= М, зависящих от параметра с £ называется мно-

жество А точек т е М. таких, что для любой ее окрестности У(т) существует такое число 3 > 0, что Г(г) ли(т) ф 0 для всех £ Е (—В, <£)\{0}. Обозначение: 1та^0^00 = А.

Теорема. При сделанных выше предположениях существует такое число о > 0, что для всех £ *Е ( —о, <У)\{0} векторное поле Хг имеет единственную замкнутую траекторию £(«■), для которой: При этом Ц :-) является устойчивой гиперболиче-

ской замкнутой траекторией. Если £ Е (—5,0), то МУ) ;= ш.!"5;г-_, если г Е (0. о), то Ь(е) состоит из двух дуг, одна из которых принадлежит 5А-_, а другая - нет.

6. Доказательство теоремы. Так как точка 2е £ д5:.: , то в некоторой ее окрестности и в М мы можем выбрать координаты (г1,г:,г3) так, чтобы имела нулевые координаты, М. _ п и задавалась неравенством > 0, 5^ п и задавалась условиями

-з = ^ г: —

X,

с-

= г_ г: г: ТГ _ г. г: г: ТГ г. г: г: 7Т> э^(я„о.(й ,_.= д _^С. ^ ^ то (г0) = ^‘“^(г1'). Поэтому из

где Рэ (г» 0/

того, что £.-0 имеет в -1у простое касание с д5х^ вытекает, что /^(ОДО) — 0, Р:(0Д0) = 0, дР2 (0,0,0)/д ф 0. Отсюда, согласно [6] и [1, с. 206], следует, что в окрестности точки г (г) можно выбрать координаты (х1гх2,х3\ гладко зависящие от £ Е (—о.о ), так, что г(£) имеет нулевые координаты, а

XI

Пусть

Так как вектор Х^~‘ (г ) направлен внутрь М[+, то мы можем считать, что в выбранной окрестности уЦх, е) > 0.

Поверхность 5Х в рассматриваемой окрестности задается условиями х2 < I,,

*э = 0

Возьмем числа с_ < 0 < ег+, достаточно близкие к нулю. Обозначим ( С_, ГТ+) —■ (соответственно ^£: [0,2(Т+) —* 5д-_) - отображение, ставящее в соот-

ветствие числу и точку с координатами х1 = иг х2 = и~ (соответственно, с координатами х± = и, х2 = и2 /4). Пусть

= С =Ы0><гЛ £

Векторное поле Х^ в координатах х1,х2 имеет вид

х* С^ц^г) =

где

л у Л , 1-а(рсл,х3,,а,е)

(?! \Х1гХ2, Е)= 1---7----------Г--[ДС2 — XI) ~ Г^Х^Х^Е),

(?2(х1,х2,^) =

:г,хг,0, £)

с^х^О.е)

(х2 — 1^) — г2 {х1гх2, е),

0, с)

а \г^х^,х^,е)\ < Лг(д_п - д'{)" с некоторой постоянной Лг > 0. Мы можем считать, что векторные поля X5. доопределены по формулам (1) и на некоторую окрестность точки г"' в М0. Обозначим Я := С2/(?1. Из (1) следует, что найдется такое число К > 0, что

| А (х±, х2ге) | < Кх^ при х^/4<х2<х^, (2)

Но тогда можно считать <т_, сг+ и о выбранными столь малыми, что векторное поле (—а,о), трансверсально дугам IГ. 17 и !Г в точках, отличных от При

достаточно малом ё_ £ ( 0., сг+ ] определено отображение по траекториям поля Х^: <с (и) —* ^(й(и)), где в: [0, <г_] —■ [0,2 ег+) - непрерывная функция, непрерывно дифференцируемая на промежутке (0., ст_], в ' (и) > О, (9(0) = О.

Лемма 1. Функция й(и) непрерывно дифференцируема при всех и е [0, <г+];

Доказательство. Уравнение дуги траектории поля между точками (и, и2) и (и), 82 (и)/4) имеет вид х2 = £(*1). Так как х' 0*1) = Я 0), то

S2(uJ

= ,'.г - F: х_ ■. л-_ Z лл_.

(3)

В силу оценки (2)

б:»

4т К

\вЦи)-А^\ <АК | x*dxi <— 9ЪЫ1

Отсюда последовательно получаем

1 +(4/3) 0(h)

и

, = < в (li) < Vl+(4/3) в Си)

Мы можем считать а, столь малым, что

1-(4/3) 01»

.'1-(4/э)ед

.'1-С4/3 Ж'-О

= < В. Тогда

0 < в{ц) С Зи.

(4)

(5)

Из (4) следует, что 2 (-=?=

1 III <

2и < 2

1 iu.

V/1 + (4/3)003 Отсюда и из (5) при достаточно малом ег+ получаем оценку

|£(it) — 2и\ < a1(u)li

с а.г (ii) = max

(6)

г\ 1 — 4и — 1:1 — 1/V1 — 4и). Так как Игп^ _0 а± (-и) = 0, то Дифференцируя равенство (3), имеем

и потому при и Ф 0

д, , -V ^ _ 411-20 (1^^4И[вад/4,о)-2и(и^и2,в)

^ * еад-гядаи),^ (10/4.0) ■

Используя (2), (5) и (6), отсюда получаем

ЮЧи) 21 < |0н/ 2| < _ :дЛц)-зекц

1 д(„)—2КР=(и) ^ ^ и-1г*Гиа 1—гаягц 1

Поэтому НгПщ_^+с. в'(и) = 2 и в' непрерывна в нуле. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. При фиксированном ст+ число о_ можно выбрать так, что траектория

п 0

векторного поля Хд, доопределенного в окрестности точки г , начинающаяся в точке £„03, и Е [а_, 0] , первый раз пересекают дугу в точке ^(?(и)), где ?(■) -

Доказательство. От координат х1гх2 в окрестности точки 2 е" на М0 перейдем к координатам х1 = = л- — х\. Тогда

л'_ л': = ". л'_ л': Т~_ :: ТТ",

где <ЭЖ(0,0) = 1, 02(0,0) = 0, -рг$2 (0,0) = —2 < 0. Согласно [1, с. 175] в этом случае

траектория векторного поля Х„, начинающаяся в точке дуги с координатами £ (и., 0], = 0, первый раз пересекает дугу ^ в точке с координатами

5! = ?(и), х2 = 0, где с(') - С^-функция, ?(0) = 0, £*(0) = — 1, что нам и требовалось установить.

Обозначим т}Е(и) =т]{и + ) При достаточно малом 6 для с £ (—ото-

бражение ч* (0 определено на отрезке [— 1Д]. При достаточно малых с_, а+ и 5 для -т ■= - -■ -■ определены отображения

К э О) -»VЛV; 00) Е VЛ~ Ь°] и 1+ Э (и) -+17. (фЕ (и)) Ё т). [-1,0], соответственно, по траекториям векторных полей — X* и Ат:, где р£(и) и Ск-

С ) О/й С ) , О,) С ) (Ю С ) ^

Доказательство. Обозначим х(х1,и,гіг) - решение уравнения — = И(хж,х, с),

& X г '

удовлетворяющее начальному условию х(и>^ и. г) = у. Из (1) следует, что

(7)

Ясно, что | £СК. Утверждение леммы 3 не зависит от произвола в выборе транс-версали 17, поэтому при доказательстве свойств (ха) можно считать, что (и) - точка с координатами х1 = г1, х2 = х(А> 0,0., г) — и при достаточно малом сЕ > 0. Тогда

Из уравнений в вариациях следует, что

хХ*!*™,!?, е) >0 (9)

Из (8) получаем

и

ди

ІІ

Д і (и, ид; (_и, V, є) - 7

(11)

Из (7)-(11) вытекает, что [^£] (О) = О, (^.)"(0) < О.

Аналогично доказывается, что (^)'(^) = 0, (^г)"(0)<0.

При достаточно малом р > 0 отображение / = фа о Я о ^ о ф^1 определено на отрезке [—р,0] и является функцией последования по траекториям векторного поля Х$

ОО/ОрсУМ где 1? = <ръж(и)

(рис. 1). При и Ё [—/>,0) ^(и) = (1рсУ(9(<;(и))6

Используя свойства трс, ф0, в и сформулированные в леммах 1-3, и правило Ло-питаля, получаем

[111

^ ' ' ~~~ 11 ^ ^ _ _

Так как 17(1/) -> 17 (/о~ (“)) - отображение последования по траекториям векторного

По условиям теоремы

поля на трансверсалн 17 [I

С - С < I, следовательно,

0 <

■)’

< 1.

(і;

Непосредственным вычислением проверяется, что траектория векторного поля

начинающаяся в точке С (10, “ ё (сг_, 0)., следующий раз попадает на 5Х^ в точке ^£(—2и). Поэтому при достаточно малых р > 0 и о для любого £ £ (—о, а) функция /.“(■): = фж (—2 ° ^Г1 (■)) определена на отрезке [-/»,о] и является функцией последования по траекториям векторного поля Х£. При и е [—р., 0)

где v = <р-1 (и).

Так как и ( фЕ)' (V) непрерывно дифференцируемые функции от (г, г) и

где и г2 - непрерывные функции, г, (0,0) = г3 (0,0

ІІШ I и-*-о

(1З)

Вследствие (12) можно считать рио выбранными столь малыми, что

При достаточно малых р и 5 для е £ (—о,о) определены отображения по траекториям векторного поля Х^: г}.(и) гДе /Ё+: [О.р] -* [ОД], (и,є) -* /“(и) -

0 < (^+)'(и) < 1 при и Є (0, р\, є Е (—6,6').

£ = О получаем, что для некоторого

(14)

При fo С-«о) >

числа Ид е

-и

L L

С-

,, (ищ) <% Выбрав 6 достаточно малым, будем иметь /_4 (мщ) < для всех £ £ (—6,6). Так как по предположению

£ (-^о) >

_) < 0, то можно считать, что єдп й(ї) = — £дп £ Учитывая, что /Г (0) = [Г [ 0) = й(с), получаем, что /._ при є Е {—6,0) и при г € (0, о) имеет неподвижную точку и^(с). Вследствие (13) и (14) и:. (г) - единственная неподвижная точка /” ( /Г), она является устойчивой гиперболической. Нетрудно убедиться, что

чивой гиперболической замкнутой траекторией, £(0) = Ь

Ііт. _^о і (О = І0-

Докажем единственность 1(£). Пусть х° С^,*), ;г7(г' 0 и х7 (^, * ) - траектория, соответственно, векторного поля Х%, и начинающаяся в точке г. Обозначим

„и/г) = 0. Траектория L(г), проходящая через точку г),(-иJY)), является устой-

топологический предел

и* - множество, состоящее ИЗ точек Х£ Ск*(Ч*(и)^)'^) и

І І І І ТҐ

|и| < ііщ, | ґ0| < т, — г < Ь_ < О. При достаточно малом т иа точки і70 (О) = її(0). Если £'Е (<

£ Е (—6',6'). Пусть £(е), £ Е (—6,>

при

является окрестностью

6) достаточно мало, то ис '~ а Щ при всех

), - замкнутые траектории ХЕ и Итг_0Л(с) = £0.

Тогда при некотором ё" <Е (0, £') для всех ег Е (—б",б1Г) в [/; " и тем более в I?' есть

точки, принадлежащие -£(0- Но тогда £(*) пересекается с дугой и о, и0) и потому

совпадает с 1(е)

Примечания:

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

2. Ройтенберг В.Ш О рождении устойчивых замкнутых траекторий разрывных векторных полей // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2002. С. 1922.

3. Ройтенберг ВЛ. О рождении устойчивых замкнутых траекторий динамических систем,

- -

References:

1. Filippov A.F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. M.: Nauka, 1985. 224 pp.

2. Roytenberg V.Sh. On the generation of stable closed orbits of discontinuous vector fields // Mathematics and mathematical education. Theory and practice: inter-higher school coll. of scient. works. Iss. 3. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2002. P. 19-22.

3. Roytenberg V.Sh. On the generation of stable closed orbits of dynamical systems defined by piecewise smooth vector fields // Bulletin of Yaro-

лями // Вестник ЯГТУ. 2004. Вып. 4. С. 206208.

4. Ройтенберг ВЛ. О бифуркациях перерождения замкнутых траекторий кусочно-гладких век//

образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 5. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2004. С. 75-81.

5. Ройтенберг ВЛ. О рождении устойчивых замкнутых траекторий кусочно-гладких век//

образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 5. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2006. С. 37-49.

6. Вишик СМ. Векторные поля в окрестности

// -сударственного университета. Сер. Математика и механика. 1972. № 1. С. 21-28.

7. Шумафов М^. Топологическая классификация особенностей на поверхности разрыва правых частей системы трех дифференциальных

//

. . . .: - , 1984. . 123-130.

slavl State Technical University. 2004. Iss. 4. P. 206-208.

4. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of regeneration

of closed orbits of piecewise smooth vector fields // Mathematics and mathematical education. Theory and practice: inter-higher school coll. of scient. works. Iss. 4. Yaroslavl: YaSTU Publishing

House, 2004. P. 75-81.

5. Roytenberg V.Sh. On the generation of stable

closed orbits of piecewise smooth vector fields // Mathematics and mathematical education. Theory and practice: inter-highter shool coll. of scient. works. Iss. 5. Yaroslavl: YaSTU Publishing

House, 2006. P. 37-49.

6. Vishik S.M. Vector fields in the neighborhood of the border of manifold // Bulletin of Moscow State University. Ser. Mathematics and Mechanics. 1972. No. 1. P. 21-28.

7. Shumafov M.M. Topological classification of singularities on the surface of discontinuity of right-hand sides of a system of three differential equations // Differential equations and its applications. Coll. of papers. M.: MGU Publishing House, 1984. P. 123-130.