Об одной аддитивной задаче с дробными долями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ

А.В. Шутов

Владимирский государственный университет пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Ui + ... + nk = n c дополнительными условиями на слагаемые {nia} €

Ключевые слова: аддитивные задачи, дробные доли, теорема Вейля.

Введение. В работе рассматривается задача об асимптотике для числа решений линейного диофантова уравнения

П1 + ... + пк = п (1)

с дополнительными условиями на слагаемые

(пга) € 1г,1 = 1,... , к . (2)

Здесь а - иррациональное число, {•} - дробная доля и 1г С (0; 1) - множества с

интегрируемой по Риману характеристической функцией.

В.Г. Журавлев [3] рассмотрел бинарную аддитивную задачу для так называемых четно-фибоначчевых чисел. Напомним, что любое натуральное число п разлагается по жадному алгоритму в систему счисления Фибоначчи

E^i(n)Fi:

п =2^ £г(п)

г>1

где Г0 = Г1 = 1, Гг+1 = Г + Гг-1 и £г(п)ег+1(п) = 0. Число п называется четно-

фибоначчевым, если £1(п) = 0. Оказывается, что условие четно-фибоначчевости эквивалентно попаданию дробной доли {пт}, т = ^---в некоторвш интервал.

Условие попадания дробной доли пт в некоторый интервал описывает также множества Г(^1,... , 8т) = (п : £1(п) = 81,. . . , £т(п) = 8т} . Бинарная задача для чисел из Г(0,..., 0) с любым количеством нулей рассмотрена в [4].

К условию (2) сводится также описание аналогов множеств Г(^1,... , 8т), связанных с разложениями натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям второго порядка, а также с разложениями натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к иррациональности а (разложение Островского-Цеккендорфа).

Гриценко и Мотькина рассмотрели тернарную проблему Гольдбаха и проблему Хуа-Логена с дополнительными условиями типа (2) [1], [2].

Обозначим через г к (а, 1\,..., 1к ,п) число решений уравнения (1) с дополнительными условиями (2). В случае 1\ = ... = 1к = (а, Ь) будем обозначать число решений просто Гк(а,1,п). В работах [1], [2] фактически доказан следующий результат

Теорема 1. Пусть а - квадратичная иррациональность. Тогда справедлива асимптотическая формула

гк(а, I, п) ~ ак(а, Ь, п)пк-1, где ак(а,Ь,п) - особый ряд, вычисляемый по формуле

Ok (a, b, n) = e

|m|<<^

2ттіт(ап-0МІа+Ь)) SmA 7Г)П,(Ь — a)

nk mk

При этом остались открытыми вопросы об явном вычислении особого ряда, а также об условиях, при которых данный особый ряд отличен от нуля.

В настоящей работе будет получена альтернативная асимптотическая формула для Гк (a, I1,... , Ik,n), дающая ответы на эти вопросы.

Автор выражает свою благодарность Владимиру Георгиевичу Журавлеву, благодаря которому возникла рассматриваемая задача, а также Сергею Александровичу Гриценко за стимулирующие обсуждения.

2. Бинарная задача

Вначале рассмотрим случай к = 2. Для любого е введем отображение

i£ : x ^ 1 — x + е (mod 1).

Теорема 2. Справедлива асимптотическая формула

r2(a, h,h, n) ~ |Ii П I2({nia})ln,

где 12 (е) = ^(h).

□ Действительно,

(3)

Г2(а, І1, І2, n)

E

Пі + n2 = n, {n1a] Є І1, {ща] Є І2

E

n1 = 1, [n1a] Є I1, {(n - ni)a] Є І2

1

1

E

n1 = 1 ,

{n1a] Є І1,

{n1a] Є 1{піа}(І2)

E

n1 = 1 ,

{n1a] Є І1 П ^({ща])

1 = N (a, n, І1 П 12({n1a])),

1

Согласно теореме Вейля о равномерном распределении [7], справедлива асимптотическая формула

используя которую немедленно получаем требуемый результат. I

Рассмотрим теперь вопрос об остаточном члене формулы (3). Ясно, что он выражается через остаточный член формулы (4). Однако, хорошо известно, что без дополнительных предположений об а и X остаточный член формулы (4) неулучшаем. Тем не менее, улучшение возможно при некоторых дополнительных предположениях.

в случае алгебраических а. Более подробную информацию о современных оценках А(а, п) можно найти например в работе [6]. Используя введенное определение, можно переписать теорему 2 в следующем виде.

Теорема 3. Пусть множества 1\, 12 являются интервалами. Тогда справедлива асимптотическая формула

Замечание 1. Формула (5) справедлива также в случае, когда множества 1\, 12 являются объединением не более, чем I интервалов. При этом константа в 0(А(а,п)) умножается на I.

Теорема 4. Пусть все множества 1\,... ,1^ являются интервалами. Тогда справедлива асимптотическая формула

где Ск(1\,..., Ік,є) - периодическая с периодом 1 функция, вычисляемая по формуле

где

N (а, п,Х) = §{к : 1 < к < п, {ка} Є X}.

N (а, п, X) ~ п|Х | + о(п),

(4)

Пусть

Д(а,п)= вир ^(а,п,І) — (Ь — а)п|.

!=(а;Ь)

В частности, известна оценка

Д(а, п) = 0(1п п)

в случае, если а - квадратичная иррациональность, а также оценка

Д(а, п) = 0(п£)

т2(а, І\,І2, п) ~ |Іі П 12({піа})|п + 0(Д(а, п)).

(5)

3. Случай произвольного числа слагаемых

Гк(а, Іі,...,Ік ,п) ~ Ск (Іі,...,Ік-, {па})пк 1 + 0(пк 2Д(а,п)),

(6)

114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ [¿Д Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 Здесь

1к (е) = 1£(1к)

и функция с1(11,е) задается на периоде [0; 1) условием:

1 е € 1\;

С1(/‘-е)- ' 0, е € Л;

□ Доказательство формулы (6) будем проводить индукцией по к. Для к = 2 формула (6) эквивалентна (5), что проверяется непосредственным вычислением интеграла (7). Рассмотрим переход к ^ к + 1.

Заметим, что

Гк+1(а,11,... ,1к+1,п) = ^2 Гк(а,11,... ,1к ,П1) .

П1+П> =п

Обозначим через х.(х) характеристические функции интервалов I.г, продолженные по периодичности с периодом 1 на всю числовую прямую. Тогда имеем

Гк+1(а, 11,..., 1к+1, п) = ^ Гк (а, 11,..., 1к, п1)хк+1({(п - П1)а}) .

п1 =1

Используя предположение индукции, получаем

п

Гк+1(а, 11,..., 1к, п) = ^ Ск (11, ...,1к, {п1а})п\-1Хк+1({(п - т)а}) + 0(пк-1А(а, п)) .

п1=1

Воспользовавшись формулой суммирования Абеля, находим

п- 1

Гк+1(а, 11,..., 1к ,п) = пк-1Вп - ^ Ш + 1)к-1 - *к-1) + 0(пк-1А(а, п)) , (8)

г=1

где

г

Вг = ^ Ск (11,...,1к, 0'а})Хк+1({(п - 3 )а}) .

3 = 1

Далее воспользуемся следующей теоремой Коксмы-Главки [5].

Теорема 5. Пусть f - функция с ограниченной вариацией и а - иррационально. Тогда

п р 1

1^ f ({га}) I f (х)^х| < у^)А(а,п), (9)

г=1 Л

где V(f) - вариация функции f на (0; 1).

Оценка (9) дает асимптотическую формулу

В. = г / Ск (11,..., 1к, х)хк+1({па} - х)йх + 0(А(а,г)).

./о

С учетом (7), асимптотика для Вг запишется в виде

В. = гкск+1(1ь ...,1к, {па}) + 0(А(а, г)) .

Подставив в (8), имеем

Гк+1(а, 11,..., 1к, п) = пк кск+1(Л, ...,1к, {па})-

п- 1

-кск+1(11,... ,1к, {па}) ^2 г ((г + 1)к-1 - гк-1) + 0(пк-1А(а, г)).

г=1

Далее,

п- 1 п- 1

]Т г((г + 1)к-1 - гк-1) = X] г((к - 1)гк-2 + 0(гк-3)) =

г=1 г=1

п- 1 к 1

= (к-1}У2{//' 1 + °{/ф2]] = I + °(»к'1) >

к

г=1

откуда и следует требуемый результат. I

Замечание 2. Аналогично можно доказать аналог теоремы 4 для произвольных множеств 11,... , 1к, характеристические функции которых интегрируемы по Риману. В этом случае остаточный член в асимптотической формуле будет иметь вид о(пк-1).

Следствие 1. Для функции Ск (11,..., 1к ,е) также справедлива формула

ck (I1 ■ ■ ■ ■ ■ Ik ■ e)

Xl(xi)X2(x2 - Xi) ■ ■ ■ Xk-l(xk-1 - Xk-2)Xk(e - Xk-l)dxi ■ ■ ■ dxk-1 ■

(k 1)! Л) J 0

□ Доказательство получается многократным применением формулы (7). I

Теорема 4 может быть также обобщена на более общий случай. Пусть ■ф1, ■ ■ ■ ,ÿk -интегрируемые по Риману функции. Рассмотрим задачу об асимптотической формуле для суммы

k

N(а,фі, ■ ■ ■ ,ÿk■n)= ^2 ({nio}) ■

ni+...+Пк =n i=1

В случае, когда фі = хі - характеристические функции множеств I1 ■ ■■■Ik, данная задача превращается в задачу (1) с дополнительными условиями (2).

Аналогично теореме 4 и следствию 1 доказывается следующий результат.

Теорема 6. Справедлива асимптотическая формула

N(a, фі,, 4’к, n) ~ l—c*({/?.Q'})'/?k_1,

(k - 1)!

где

c*(e)= ■■■ ^i(Xi)^2(X2 - Xi) ■■■^k-i(Xk-1 - Xk-2)^k (є - Xk-i)dXi ■ ■ ■ dXk-1 ■ (10)

00

Замечание 3. В предположении, что все функции ф1,...,фк имеют ограниченную вариацию, можно получить аналог теоремы 6 с остаточным членом порядка 0(пк-2А(а, п)).

4. Свойства функции Ск(11,..., 1к,е)

Теорема 7. Пусть С(е) = Ск(11,..., 1к,е). Тогда

1) С(е) непрерывна при к > 2;

2) С(е) является кусочным многочленом степени к - 1;

3) существует Я = Як(11,... ,1к ,е) такое, что с(Я - е) = С(е).

□ Доказательство теоремы получается простым вычислением, основанном на индукции по к. I

Теорема 8. Пусть 11,..., 1к - интервалы и

рк (11, ...,1к) = |{е € [0; 1) : Ск (11, ...,1к,е) > 0}| .

Тогда

рк (11, ...,1к) = шт{1; |1х| + ... + |1к |} .

□ Доказательство проведем индукцией по к. Для к =1 утверждение очевидно. Рассмотрим переход к ^ к + 1. Пусть

■1к = {е € [0; 1) : Ск (11, ...,1к,е) > 0} .

Тогда | Зк| = рк(11,... , 1к). Кроме того, из (7) вытекает, что Зк+1 = {е : ЗкП 1к+1(е) = 0}. Далее нужно рассмотреть два случая:

1) и| + |1к+11 > 1. Тогда |,1к П Iк'+1(е)| = |,1к| + |1к‘+1(е)| - |,1к и Iк'+Че)|. Поскольку |1к+1(е)| = |1к+1| и .1к и Iк+1(е) С [0; 1), имеем | Зк ПIк+1(е)| > | Зк| + | 1к+1| - 1 > 0, то есть Зк и Iк+1(е) пересекаются для всех е и .]к+1 = [0; 1).

2) | Зк| + |!к+11 ^ 1. Выберем е0 так, чтобы правый конец интервала Iк+1(е) совпал с левым концом интервала Зк. Тогда легко видеть, что Зк+1 = (е0; е0 + |Зк| + |!к+1|)

(множество Зк и операция сложения здесь рассматриваются по модулю 1). I

Теорема 8 позволяет дать необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (1) с дополнительным условием (2).

Теорема 9. Пусть |Д| + ... + |^| > 1. Тогда уравнение (1) с дополнительным условием (2) разрешимо для всех достаточно больших п. Если же |Д| + ... + |^| < 1, то плотность множества натуральных п, для которых уравнение (1) с дополнительным условием (2) разрешимо, равна рк(^,..., ^)■

□ Согласно теореме 4, число решений уравнения (1) с дополнительным усло-

вием (2) больше нуля для всех достаточно больших п, удовлетворяющих условию Ск (^...^к, {па}) > 0. С учетом теоремы 8 нам остается доказать, что при условии ^ + ... + | < 1 множество п для которых уравнение (1) с дополнительным условием

(2) неразрешимо имеет плотность не менее 1 - (|Д| +... + |!к|). Для доказательства этого

факта достаточно заметить, что уравнение (1) с дополнительным условием (2) неразрешимо при {па} € ^ + ... + ^, где ^ + ... + ^ - сумма по Минковскому множеств

Далее мы будем предполагать, что 1\ = ... = І к = І = (а,Ь). Соответствующую функцию Ск(І1,... ,Ік,є) обозначим через Ск(І, є). Рассмотрим оценки сверху и снизу для Ск(І,є).

Индукцией по к легко получить следующий результат.

Теорема 10. Справедливо неравенство

□ Действительно, для к =1 утверждение очевидно, а переход к ^ к +1 следует из неравенств

□ Заметим, что в силу теоремы 8 Сг(^е) > 0 для всех е, поскольку 1111 > 1. Поэтому можно выбрать постоянную <с(!) так, чтобы неравенство (11) выполнялось для к = I. Далее остается воспользоваться методом математической индукции аналогично доказательству теоремы 10. I

Рассмотрим теперь среднее число решений уравнения (1), удовлетворяющих условию (2)

Здесь І (є) = ІЄ(І). ■

Следствие 2. При фиксированных І, є ск(І, є) ^ 0 при к ^ то.

Вопрос об оценке Ск^, е) снизу является более сложным, так как для любого к можно подобрать /, е так, чтобы ск(/,е) = 0. Например, можно выбрать / = (0; д^-) и е > ^¡-. Тем не менее, можно получить следующий результат.

к

/с+1 *

Теорема

числа. Тогда существует

постоянная с(!) такая, что для всех к > I справедливо неравенство

ІІ к—1

(11)

5. Среднее число решений

І=1

Теорема 12. Пусть 11,...,4 - интервалы. Тогда справедлива асимптотическая формула

гк(а, 4, • • •, 4, п) = + 0(пк~2А(а, ??.)) . (12)

к!

С учетом теоремы 4,

1 п

гк(а, Л......4, /г) = - са.(/ь ..., 4, {//<•»} )//л 1 + 0(пк~2 А (а, /г)) .

п

'1=1

Используя преобразование Абеля, получим

п— 1

/7Лп. 4, • • •, 4, П) = Пк~2вп - - V //,:■:/• + \)к 1 - г*),

п

'1=1

где

Ві = ^ Ск(І1,..., 4, {па}) .

3 = 1

Пусть

Ск = Ск(І1,... ,Ік,х)(іх .

.70

Поскольку функция Ск (І1,..., І к ,є) представляет собой кусочный многочлен, она имеет ограниченную вариацию. Следовательно, по неравенству Коксмы-Главки,

Ві = Ск і + 0(А(а,і)).

Подставляя асимптотику для Ві и действуя аналогично доказательству теоремы 4, находим

гк(а, 4, • • •, 4, п) = ~уп'к~1 + 0(пк~2А(а, п)) .

Для доказательства теоремы 12 нам остается доказать, что

г1 Пк ІІІ

ск= ск(і1,...,ік,х)(іх= „г=1' , . (із)

ио (к — 1)!

Формулу (13) будем доказывать индукцией по к. Для к =1 формула очевидно верна.

Заметим, что для перехода к ^ к + 1 достаточно доказать, что

с*+1 = у|/*| . (14)

Имеем,

Ск+1= [ ск+і(Іі,... ,1к,х)с1х = [ (]- [ ск(Іі,... ,1к, у)с1у]с1х .

и 0 ./о 'к и 1к+1(х) '

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К^Я Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 119 Пусть Iк+1(0) = (а; Ь). Тогда

1 г 1 г Ь+х

Ск+1 = - ск(1ъ ..., Д., у)(1у(1х .

к ^ 0 •/ а+х

Сделаем замену переменной х' = х, у' = у — х. Якобиан соответствующего преобразования равен 1, поэтому

Ск+1 = ]: У ^ • • •, 4, у' ~ х')<1у'<1х' .

Поменяем пределы интегрирования местами:

Ск+1 = ^ ^ ^ сА.(/ь ..., Д., у' - х')с1х'с1у' .

Заметим, что в силу периодичности функции Ск (11}..., 1к ,х)

/ Ск(11,...,1к ,х)в,х = Ск (11,...,1к,х + г)^х

00

для всех г. Кроме того, в силу теоремы 7, ск(11,... ,1к,у' — х') = ск(11,... ,1к,у' + х' + Як) для некоторого Як. Отсюда

Ск+1 = 7/ [ ск{1г,... ,1к,у'+ х'+ Я^Лх'Зу'= 7 [ [ ск(/ь ..., 1к,х,)ёх'ёу' =

к з а ,/о к 3 а .70

1 С-*

= —(Ь- а)

ук

к .1, ' '' /г

откуда и следует формула (14). ■

Замечание 3. Можно было бы получить также аналог формулы (12) для среднего числа решений на промежутке (п; п + Н(п)), где к(и) ^ - произвольная функция,

монотонно стремящаяся к бесконечности.

Замечание 4. Используя формулу (10) и действуя аналогично доказательству теоремы 12, можно получить следующую асимптотическую формулу для среднего значения функции N (а, ф1,... ,фк,п)

1 п 1 к г 1

Г 5^ • • • ’ ^ ~ ¿4 П ФЛх)<1х ■ пк~1.

І=1 з=\■

В случае, когда все функции ф\,... ,фк имеют ограниченную вариацию, можно также получить аналог данной формулы с остаточным членом.

Литература

1. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. - -2009. - 52,Вып.6. -С.413-417.

2. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. - 2009. - 52,Вып.7. - С.497-500.

3. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. - 2008. - 20,Вып.3. - С.18-46.

4. Швагирева И.К. Бинарные аддитивные задачи над о-прогессиями Фибоначчи // Материалы VII международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти А.А. Карацубы, Тула, 11-16 мая 2010 года / Тула: ТГПУ, 2010. - С.198-200.

5. Koksma J.F. Een а^ешеепе stelling uit de theorie der gelijkmatige verdeeling modulo 1 // Mathematica B (Zutphen). - 1942/43. - 11. - P.7-11.

6. Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + y} // J.Number Theory. - 1997. - 65. -P.48-73.

7. Weyl H. Über die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. - 1910. - 30. - P.377-407.

ON ONE ADDITIVE PROBLEM WITH THE FRACTIONAL PART FUNCTION

A.V.Shutov

Vladimir State University,

Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The asymptotic formula of the soltion number of the equation n\ + ... + nk = n with the special conditions on summands (nia} € Ii is obtained.

Key words: additive problems, fractional part function, Weyl theorem.