CC BY
11
Раздел IV
Раскраски гиперграфов
УДК 519.112.7 + 519.174 + 519.179.1
Д. А. Шабанов
Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ;
Кафедра теории вероятностей механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова;
Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»
Об одном обобщении задачи Эрдеша—Ловаса
Исследуется обобщение классической задачи Эрдеша-Ловаса, связанное с раскрасками неоднородных гиперграфов. Пусть Н = (V, Е) — произвольный гиперграф с минимальной мощностью ребра п и обхватом не меньше 4. В работе получено новое достаточное условие г-раскрашиваемости гиперграфа Н в терминах ограничения на функцию /г(Н) = ^ееЁ г1-|е|.
Ключевые слова: раскраски гиперграфов, задача Эрдеша-Ловаса, гиперграфы с большим обхватом.
1. Введение и история задачи
В работе исследуется обобщение классической задачи Эрдеша-Ловаса, относящейся к экстремальной теории гиперграфов. Сначала мы напомним основные определения.
Гиперграфом называется пара множеств Н = (V, Е), где V = V(Н) есть некоторое конечное множество, называемое множеством вершин гиперграфа, а Е = Е(Н) есть совокупность подмножеств множества V, и эти подмножества называются ребрами гиперграфа. Гиперграф является и-однородным, если каждое его ребро содержит ровно п вершин. Простым циклом длины в в гиперграфе Н = (V, Е) называется последовательность (А0, ь0, А1,..., А3-1, ь3-1, А3), где А0,..., А3-1 — различные ребра Н, ребро А3 совпадает с А0, а ь0,... , ь3-1 — различные вершины Н, причем ь £ А^ П А^+1 для всех г = 0,... , в — 1. Обхватом гиперграфа Н называется длина минимального простого цикла в Н. Обхват гиперграфа Н мы будем обозначать через дгг1Н(Н).
Раскраска множества вершин V гиперграфа Н = (V, Е) называется правильной, если в этой раскраске все ребра из Е(Н) не являются одноцветными. Хроматическим числом гиперграфа Н называется минимальное число цветов, требуемое для правильной раскраски вершин этого гиперграфа. Мы будем обозначать хроматическое число гиперграфа Н через х(Н). Если х(Н) ^ г, то говорят, что Н является г-раскрашиваемым.
Одной из центральных проблем теории раскрасок гиперграфов является экстремальная задача Эрдеша-Хайнала. В 1961 году П. Эрдеш и А. Хайнал поставили (см. [1]) вопрос о нахождении величины т(п), равной минимально возможному количеству ребер гиперграфа в классе п-однородных гиперграфов с хроматическим числом больше двух. Формально определение т(п) можно записать так:
т(п) = шт {|Е(Н)| : Н — п-однородный гиперграф, х(Н) > 2} .
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант е 12-0100683), Программы поддержки ведущих научных школ (грант е НШ-2519.2012.1) и гранта Президента РФ МК-1122.2012.1.
Первые нетривиальные результаты о величине т(п) были получены самим Эрдешем (см. [2, 3]) в 1963—64-м гг. Он показал, что выполняются неравенства
2П-1 ^ т(п) ^ е(1п2)п22п-2(1 + о(1)). (6)
Исследованию проблемы Эрдеша-Хайнала о величине т(п), а также ее обобщениям для различных классов однородных гиперграфов посвящено огромное количество работ. Подробнее об известных результатах в этой области можно прочитать, например, в обзорах [4, 5]. Мы же в свою очередь отметим, что верхняя оценка Эрдеша из (6) так и остается асимптотически наилучшей на сегодняшний день.
Нетривиальное обобщение задачи Эрдеша-Хайнала для неоднородных гиперграфов было предложено Эрдешем и Л. Ловасом в 1973 году в работе [6]. Пусть Н = (V, Е) — произвольный гиперграф. Обозначим через е(Н) минимальную мощность ребра в этом гиперграфе, т.е.
е(Н) = шт {|е| : е € Е} , а также введем функцию / (Н) по правилу
/ (Н ) = £ 2-м.
веБ
Задача, предложенная Эрдешем и Ловасом, состоит в том, чтобы найти минимальное значение функции /(Н) в классе гиперграфов Н, удовлетворяющих условиям е(Н) = п, х(Н) > 2. Искомое значение они обозначили через /(п). Таким образом,
/(п) = шт {/(Н) : Н — гиперграф, е(Н) = п, х(Н) > 2} .
Поймем, как величина /(п) связана с задачей Эрдеша-Хайнала. Если Н = (V, Е) — п-однородный гиперграф, то для него /(Н) = |Е|2-п. Значит, имеет место следующее соотношение между /(п) и классической величиной т(п):
/(п) ^ т(п)2-п.
Используя это соотношение, из оценки (6) Эрдеша для т(п) мы получаем верхнюю оценку для /(п):
/(»)« ^рп2(1+о(1)).
Эрдеш и Ловас отметили, что простейшее применение вероятностных соображений дает нижнюю оценку /(п) ^ 1/2, и поставили следующий вопрос: верно ли, что /(п) ^ то при п ^ то?
Положительный ответ на этот вопрос был получен Й. Беком в 1978 году (см. [7]), однако доказанная им нижняя оценка является весьма слабой. Введем последовательность функций: д0(х) = ж и дк (ж) = к^2(дк-1(х)) для всех к ^ 1. Для любого положительного ж положим
^*(ж) = шт {к : дк(х) ^ 1} .
С помощью введенной функции 1og*(ж) оценка Бека может быть записана следующим образом:
Я») > ‘Ое’(1~10°. (7)
Данное неравенство, безусловно, положительно отвечает на вопрос Эрдеша и Ловаса, но сама оценка очень медленно растет, ведь, по сути, 1og*(n) — это функция, обратная к функции, сопоставляющей натуральному числу п башню из п двоек.
Качественное улучшение оценки (7) было получено Л. Лю (см. [8]), который обосновал следующую теорему.
Теорема 1. (Л. Лю, [8]) Для любого є Є (0,1/16) существует такое п0 = п0(є), что для всех п > п0 выполняется неравенство
/(п)^(і"є) Ш' (8)
Ясно, что неравенство (8) улучшает результат Бека (7). Кроме того, Лю в своей работе [8] рассмотрел естественное обобщение задачи о величине f (п), связанное с г-раскрашива-емостью неоднородных гиперграфов для произвольного г ^ 2. Он доказал следующее утверждение.
Теорема 2. (Л. Лю, [8]) Для любых г ^ 2 и є Є (0, (г — 1)/4г2) существует такое п0 = п0(є,г), что для всех п > п0 и любого гиперграфа Н = (V, Е) с условиями е(Н) = п и
У>Че|« гГ-
V 4г2 / ІПІПп
еЄЕ
выполнено х(Н) ^ г.
В настоящей работе получено существенное усиление теоремы 2 для гиперграфов с большим обхватом. Точная формулировка звучит следующим образом.
Теорема 3. Пусть п ^ 3, г ^ 2, а Н = (V, Е) — произвольный гиперграф с условиями е(Н) = п и дгг£Л,(Н) > 3. Если, кроме того, выполняется неравенство
\^гі-|е| < 1 ( п \2/3
2
еЄЕ
то Н является г-раскрашиваемым.
Сравним результаты теорем 3 и 2. Фактически, в теореме 2 сказано, что если е(Н) = п и сумма ^ г1_|е| имеет порядок роста О () > то гипеРгРаФ Н является г-раскраши-
ваемым. В нашей же теореме 3 утверждается, что если есть дополнительное ограничение на обхват гиперграфа, дгг£Л,(Н) > 3, то сумма г1-|е| может уже иметь гораздо больший
еЄЕ
порядок роста: О ^ > — а гиперграф Н по-прежнему будет г-раскрашиваемым.
п
Дп п)
Более того, наша теорема выполнена для всех г ^ 2 и п ^ 3,вто время как в теореме Лю требуется, чтобы г было маленьким по сравнению с п (фиксированным в асимптотике). Далее мы приведем доказательство теоремы 3.
2. Доказательство основного результата
Итак, пусть задан гиперграф Н = (V, Е), удовлетворяющий условиям теоремы 3. Нам необходимо доказать существование правильной раскраски в г цветов (г-раскраски) для
Н. Для этого мы построим некоторую случайную г-раскраску и покажем, что в условиях теоремы 3 она является правильной для Н с положительной вероятностью.
2.1. Рандомизированный алгоритм раскраски
Без ограничения общности мы можем считать, что V = {1,... , ад}. Опишем алгоритм случайной раскраски, который состоит из двух этапов: основной раскраски и процедуры перекраски.
Первый этап. Основная раскраска. На первом этапе мы осуществляем случайную равномерную раскраску множества вершин: присваиваем каждой вершине, независимо от всех остальных вершин, любой из г цветов с одной и той же вероятностью 1/г. Полученную случайную раскраску обозначаем через х0 и называем ее основной раскраской.
Раскраска Хо может содержать одноцветные и «почти одноцветные» ребра. Назовем ребро е Є Е почти одноцветным в раскраске Хо, если найдется такой цвет и, что
|{V Є е : V покрашено в цвет и в х0}| = |е| — 1,
т.е. есть ровно одна вершина в ребре е, которая не покрашена в цвет и в раскраске х0. В этом случае назовем цвет и доминирующим в ребре е. Для каждой вершины V Є V и цвета и = 1,..., г введем следующие обозначения:
М(V) = {е Є Е : V Є е, е одноцветно в х0} ,
А М(V, и) = {е Є Е : V Є е, е почти одноцветно в Хо с доминирующим цветом и, V — единственная вершина е, не покрашенная в и в Хо}-
Второй этап. Процедура перекраски. На втором этапе мы попытаемся перекрасить некоторые вершины из ребер, которые были одноцветны в Х0. Пусть {пь ... , Цад} — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 1,... , г с одной и той же вероятностью р (это параметр нашей конструкции) и значение
0 с вероятностью 1 — гр. Процедура перекраски будет состоять из ,ш шагов. Мы рассмотрим все вершины гиперграфа Н по одной, согласно произвольной фиксированной нумерации о множества вершин V (например, мы можем взять естественный порядок вершин
V = {1, 2,-..,ш}).
Шаг № к процедуры перекраски. Пусть раскраска Хк-1 уже построена. На к-м шаге мы рассматриваем вершину V Є V, имеющую номер к согласно нумерации о, т.е. о^) = к. Предположим, что выполнены следующие два условия.
• Нашлось некоторое ребро е Є М(V), в котором в течение всех предыдущих шагов процедуры (с 1 по к — 1 ) ни одна из вершин не сменила свой изначальный цвет.
• Не нашлось таких и Є {1,..., г} и f Є АМ(V, и), что
1. Цо = и;
2. V все еще остается единственной вершиной ребра f, которая не покрашена в цвет и (т.е. V является единственной вершиной ребра f, которая не покрашена в цвет и в раскраске х&-і). Другими словами, f все еще почти одноцветно (т.е. почти одноцветно в Хк-1) с доминирующим цветом и и ни одна из вершин этого ребра не сменила свой цвет на шагах процедуры с 1 по к — 1 .
Тогда мы случайным образом перекрашиваем вершину V в соответствии со значением случайной величины цо:
• если цо = 0, то не перекрашиваем V,
• если цо = 0, то присваиваем V цвет цо.
Во всех других ситуациях, т.е. когда одно из условий не выполнено, мы не меняем цвет V. Обозначаем через Хк случайную раскраску, получающуюся после рассмотрения вершины V.
Всего мы совершаем w шагов процедуры перекраски, поэтому раскраску х^ естественно назвать финальной раскраской. Нам необходимо оценить вероятность события
& = {Н содержит одноцветные ребра в х™} •
Далее мы приведем формальную конструкцию случайной раскраски х™.
2.2. Формальная конструкция случайной раскраски
Напомним, что V = {1,... , ад}. Пусть на некотором вероятностном пространстве задан следующий набор независимых в совокупности случайных величин.
1. £1, • • •, £™ — одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения
1, 2,..., г с равной вероятностью 1/г.
2. Пъ • • •, П™ — одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 1, 2,..., г с одной и той же вероятностью р, а также значение 0 с вероятностью
1 — гр.
Случайный вектор £ = (£1, • • •, £™) можно интерпретировать как случайную г-раскрас-ку множества вершин V с равномерным распределением (мы присваиваем цвет £ вершине г). Она соответствует основной раскраске хо из нашего алгоритма. Случайная же величина Пи в свою очередь соответствует результату случайного перекрашивания вершины V во время ее рассмотрения. В течение процедуры перекраски мы будем использовать естественную нумерацию множества вершин V.
Пусть е € Е — произвольное ребро гиперграфа Н. Для каждого и = 1, • • • , г введем обозначения М(е,и) и АМ(е,и) для следующих событий:
М(е,и) = Р|{£« = и}, АМ(е,и)= К]I{£« = и} = 1 > •
«е е к «е е )
Ясно, что событие М(е, и) состоит в том, что ребро е является одноцветным цвета и в раскраске £, а событие АМ(е,и) — в том, что е почти одноцветно в £ с доминирующим цветом и.
Для каждой вершины V и каждого цвета и обозначим через В^^,и), В^(V) и &(V) следующие события:
В^^,и)= |^) (АМ(е,и) П {£и = и, = и}), В^(^ = и ^,а),
ее Е: ие е а=1
& (V) = и и Л{е, и) П < < V, г)3 ф {0, и}, В^{з)| = 0 1 | . (10)
Легко понять, что событие В^(V, и) состоит в том, что потенциальная перекраска вершины V в цвет и «запрещается» некоторым почти одноцветным ребром, в котором V является единственной вершиной, не покрашенной в цвет и в основной раскраске £. Событие же &(V) состоит в том, что вершину V следует попытаться перекрасить: есть некоторое одноцветное в основной раскраске £ ребро е, содержащее V, в котором до рассмотрения V не произошло никакого перекрашивания, т.е. не нашлось такой вершины в, что в < V, ее перекраска не была запрещена (не выполнено событие В^(в)) и она действительно изменила свой цвет (п« € {0,£«}).
Введем случайные величины £г, г = 1,... , ад, по следующему правилу:
(г = £г11^(0 и = 0} и Л5^(г) | + ??;/ |^(г) П {щ ф 0} ГШ^(г) | . (11)
Ясно, что случайные величины принимают только значения из множества {1, 2,...,г}. Следовательно, мы можем интерпретировать случайный вектор £ = (Съ • • •, С™) как случайную г-раскраску множества вершин V (вершине г мы присваиваем цвет £г). Обозначим через Ж событие, состоящее в том, что £ не является правильной раскраской для гиперграфа Н:
Г
Ж =ии ГИ<' = “}■ (12)
е€ Еи=1«€ е
Наша задача состоит в том, чтобы при некотором выборе параметра р в условиях теоремы
3 обосновать неравенство Р(Ж) < 1.
2.3. Анализ плохих событий
Любое ребро е € Е может стать одноцветным в финальной раскраске £ тремя различными путями.
1. Оно было одноцветным цвета и в основной раскраске £ и стало одноцветным другого цвета а в финальной раскраске £. Обозначим такое событие через А(е,и,а).
2. Оно было одноцветным цвета и в основной раскраске £ и осталось таковым в финальной раскраске (. Обозначим такое событие через В(е,и).
3. Оно не было одноцветным в основной раскраске £ и стало одноцветным цвета и в финальной раскраске (. Обозначим это событие через С(е,и).
Следовательно,
Г / Г \
Ж = ии и А(е,и,а) и В(е,и) и С(е,и)| . (13)
е£ Е и=1 \а=1,а=и /
Мы рассмотрим эти три события по отдельности.
Первое плохое событие. В силу своего определения событие А(е,и,а) представляется в виде
А(е,и,а) = р| {£з = и, = а} .
е
Для каждой вершины в из неравенства ^ = £« следует, что ^ = П«. Значит, имеет место вложение
А(е, и, а) С {£« = и, п = а} .
е
Вероятность же последнего события легко считается:
Р (А(е, и, а)) ^ Р ( р| = и, г]8 = а}\ = Д р (& = и, ц8 = а) = '. (14)
\«€е / «€е
Второе плохое событие. В силу своего определения событие В(е,и) формально записывается следующим образом:
В(е, «) = р| {£« = и, С = и} .
и,
«€ е
Несложно понять, что из события В(е,и) вытекают события & (в) для всех в £ е. Действительно, пусть V — это первая вершина (согласно естественной нумерации множества вершин) в ребре е с условиями: п^ £ {0, и} и выполнено событие В^(V). В этой ситуации, конечно, выполнено событие &(V) (см. (10)), но в силу определения случайной величины (см. (11)) мы получаем соотношения = г]г„ ф и = что противоречит событию В(е,и). Таким образом, из В(е,и) вытекают события {п« £ {0,и}}иВ^(в) для всех в € е. Значит, из него следуют и все события & (в) для каждого в £ е.
Когда происходит событие & (в), равенство ^ = £« = и может получиться только двумя способами: либо п« £ {0,и}, либо п« £ {0,и} и произошло событие В^(в). Во втором случае должно существовать такое ребро / £ Е, что, во-первых, в £ / П е, во-вторых, / является почти одноцветным в основной раскраске £ с доминирующим цветом а = и, в-третьих, в — единственная вершина /, которая не покрашена в цвет а в £, и, наконец, в-четвертых, мы должны перекрасить в именно в цвет а, т.е. п« = а.
Предположим, что в точности £ вершин г>1,...,V ребра е удовлетворяют условию £ {0,и}. Тогда в силу предыдущих рассуждений мы получаем, что существуют такие ребра /1,..., /4, что
• /г, г = 1, . . . , £, почти одноцветно в £ с доминирующим цветом аг = и,
• /г пересекает е по единственной вершине (напомним, что дгг£Л,(Н) > 3, а значит, этот гиперграф простой, т.е. любые два его ребра имеют не более одной общей вершины),
• = аг для всех г = 1,..., £,
• п« £ {0, и} для всех в £ е \ {^1,..., V*}.
Следовательно, выполнение В(е,и) влечет выполнение для некоторого £ и некоторого набора ребер {/1, ...,/*} следующего события:
В(е, и, /1, ...,/*) = М (е, и) П Р| {пз £ {0, и}} П
(
П
У Р|{АМ(/г, «г) п {п^ = аі}}
аі,...,ас і=і ,
\ аі =и /
(15)
где VI,... , V — различные вершины ребра е и V — единственная вершина в пересечении е и /г. Заметим, что в силу ограничения дігіЛ,(Н) > 3 ребра /1,..., / вообще не имеют общих вершин, а потому вероятность события В(е, и, /і,... , /) легко вычисляется. В силу (15) получаем:
Р (В(е,и,/і,...,/)) =
= Р (М(е,и)) Д Р (П« є {0,и}) ^ Д Р (I П {^5 = «г}П{П^ = аі}
«Є е\{^1,...,^(} «1,...,а4: і=1 \ I /Д{^} I
а^ =и 44 '
= г-|е| (1 - (г - 1)р)|е|— (г - 1)У-^=1 |Л|р = г-|є|г*-Е‘=і |Л|(1 - д)|є|-У. (16)
Здесь мы использовали обозначение д = (г — 1)р.
Осталось оценить вероятность события В(е,и). Напомним, что из него вытекает, для некоторого Ь ^ 0 и некоторого набора ребер /ь ..., /*, событие В(е, и, /1,... , /*). Следовательно,
|е|
В(е,и) С У У В(е, и, /1,..., /*).
*=0 /1,...,/(€ Е
Отсюда с учетом начального условия (9) и неравенства (16) получаем следующую верхнюю оценку вероятности события В(е,и):
|е|
Р (В(е,и)) £ Р (В(е,и,/1
*=0 /!,...,/(€ Е
Третье плохое событие. Нам осталось рассмотреть только событие С(е, и). Согласно своему определению это событие формально записывается следующим образом:
С(е, и) = У М(е, а) П Р] {(з = и} ,
а=1 зЄе
т.е. в основной раскраске ребро е не было одноцветным, но стало таковым цвета и в финальной раскраске £. Это означает, в частности, что ребро е содержало вершины других цветов, кроме и, и все эти вершины перекрасились в и во время процедуры перекраски. Сколько таких вершин могло быть? Если такая вершина V была бы ровно одна, то ребро было бы почти одноцветным с доминирующим цветом и. Тогда мы не смогли бы перекрасить V в цвет и, потому что было бы выполнено событие (V), в результате которого ^ = и. Таким образом, подобных вершин должно было быть по крайней мере две. Пусть Т = {в Є е : = и}. Тогда для каждого в Є Т будет выполнено равенство
Пз = и, а также событие &(V). Пусть v1,..., vt — все элементы Т. Из события &(^) в свою очередь вытекает одно из событий М(/г, а), где /г — некоторое ребро Е, содержащее V и отличное от е (т.к. е не является одноцветным в £). В итоге мы получаем следующее соотношение для события С(е,и):
с м с у и и
і=2 /і,...,/£Є Еаі,...,а£ = 1 а^=и
(18)
где V — вершина из пересечения / с е. В силу условия дігіЛ,(Н) > 3 каждое из ребер /1,...,/ имеет ровно одну общую вершину с е, а потому V однозначно определяется ребром /г и мы не берем объединение по ним в формуле (18). Кроме того, из условия на обхват следует, что ребра /1,..., / попарно не пересекаются. Значит, из (18) мы получаем следующую оценку вероятности события С(е,и):
Р (С(е,и)) ^ ^ ^ ^ г*-|е| р Д г-|Л|.
£=2 /і,...,/і€ Е аі,...,а£ = 1: г=1
а^ =и
П {& = и} П р| {П = и} П П М(Уг? аг)
зЄ е\{VI
г=1
|е|
...,/*)) X! г-|е|г*-Е І=і |Л|(1 - д)|е|-У ^
і=0 /і,...,/іЄ Е |е| / 2/3 \ ^
<х;гЧ"(і (і Ш ) • <і7>
і=0 4 У
Данное неравенство, с учетом начального условия (9), дает окончательную верхнюю оценку величины Р (С(е,и)):
|е| * / \ |е| / 2/3\ *
Р (^(е, и)) ^ г-'е' £ д* П ( 5] г1-^ ) ^ г-'е' £ дЧ \ ] . (19)
*=2 г=1 \/г€ Е / *=2 ' /
2.4. Выбор параметров и завершение доказательства
В предыдущем параграфе мы оценили вероятности событий А(е,и,а), В(е,и) и С(е,и). Вспоминая про соотношение (13), мы получаем следующее неравенство для вероятности события &:
Г / Г \
Р (&) «ЕЕ Р (В(е,и)) + Р (С(е,и)) + Е Р (А(е.и.«)М ■
е^Е и=1 \ а=1: а=и /
1 / П \ 2/3
Для удобства и сокращения записи введем обозначение I/ = ^ ) • Тогда, используя
начальное ограничение (9), а также обоснованные ранее оценки (14), (17) и (19), имеем следующее неравенство:
е€Е м=1
Х)г-1е1(1-д)|е|-‘(дЬ)Ч + ^ ^Л'е|
*=0 / \ *=2 / а=1: а=и
(20)
Нам нужно выбрать значение параметра р. Положим д = 'Чпта. Ясно, что при всех
3П
гг ^ 3 выполнено д < Тогда параметр р = д/{т — 1) будет удовлетворять необходимому условию р € (0,1/г). Далее, нам понадобится пара простых неравенств для величин д и Ь:
дЬ ^ I (^?) ^ I’ И) значит> (х _ яь) 1 ^ (21)
^ 21пЗ 21пЗ ^ 1 Л ^ \~1 а /00Л
^ = — ^ 4’ И’ЗНаЧИТЧ1_Т^; 5‘ ^
Оценим по отдельности слагаемые в правой части (20). Из условий (9) и е(Н) = = ште€Е |е| = п, выбора параметра д, а также (22) получаем оценку первого слагаемого:
ПСг-|е|(1 — д)|е|-* (дЬ)* | ^г1-|е| ПТ(1 — д)|е|-* (д£)Ч «
е€Е и=1 V *=0 У е€Е V *=0 I
С© +\ ->
. , _ . . . ^ / пТ. \*\ / "Т \ -1
\и
(23)
Второе слагаемое оценивается похожим образом, только мы используем (21) вместо (22):
Г ( |е| \ / |е| \ / \
(г-|е| £ (дЬ)*) =5]г1-|е| (£ (дЬ)*) «5]г1-|е| ^ (дЬ)*) «
ееЕ м=1 \ *=2 / ееЕ \ *=2 / ееЕ \*=2 /
« ,2Ь3 (1 - дЫ' = (|) 2 (|)3 (1 - дЬ)~1 < (24)
Осталось рассмотреть третье слагаемое из выражения в правой части (20):
ЕЕ Е (?) < <г-чр"ЕгН"<<ir'L«
e^E u=1 \а=1: / e^E
^ 3т V T\ s' 1 1 (ln n A 1/3 ^ 1 ( ln3 \ 1/3 (Г)Г\
« <7 i = <7 (<7i) « 1б'з(—j «48 h"J ■ <25>
В последней цепочке соотношений мы активно пользовались условием теоремы п ^ 3.
Подведем итоги. Из неравенств (20), (23), (24) и (25) мы получаем окончательную оценку вероятности события &:
Р(^Кт7Г + ^ + 7я(¥У/3<1-
10 + 12 1 48 V 3 )
Следовательно, с положительной вероятностью случайная раскраска £ является правильной г-раскраской для гиперграфа Н. Значит, Н является г-раскрашиваемым. Теорема 3 доказана.
Литература
1. Erdos P., Hajnal A. On a property of families of sets // Acta Mathematica of the Academy of Sciences, Hungary.—1961.—V. 12, N 1—2.—P. 87-123.
2. Erdos P. On a combinatorial problem, I // Nordisk Mat. Tidskrift.— 1963.— V. 11.— P. 5-10.
3. Erdos P. On a combinatorial problem, II // Acta Mathematica of the Academy of Sciences, Hungary.-1964.-V. 15, N 3-4, P. 445-447.
4. Kostochka A. V. Color-Critical Graphs and Hypergraphs with Few Edges: A Survey // More Sets, Graphs and Numbers. Bolyai Society Mathematical Studies, eds. E. Gyori, G. O. H. Katona, L. Lovasz.— V. 15.— Springer, 2006.— P. 175-198.
5. Райгородский А. М., Шабанов Д. А. Задача Эрдеша-Хайнала о раскрасках гиперграфов, ее обобщения и смежные проблемы // УМН. — 2011.— Т. 66, вып. 5.— С. 109-182.
6. Erdos P., Lovasz L. Problems and results on 3-chromatic hypergraphs and some related questions // Infinite and Finite Sets, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, North Holland, Amsterdam.—1973.—V. 10.-609-627.
7. Beck J. On 3-chromatic hypergraphs // Discrete Mathematics.— 1978. — V. 24, N 2.— P. 127-137.
8. Lu L.. On a problem of Erdos and Lovasz on coloring non-uniform hypergraphs.— www.math.sc.edu/~lu/papers/propertyB.pdf.
Поступила в редакцию 31.05.2011
