О сильных раскрасках 4-однородных случайных гиперграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.179.1

А. Э. Хузиева

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

О сильных раскрасках 4-однородных случайных

гиперграфов

В работе рассматривается проблема о поиске пороговой вероятности сильной раскрашиваемости случайного 4-однородного гиперграфа в биномиальной модели Н(п, 4,р). Раскраска множества вершин гиперграфа называется сильной, если любым двум вершинам и = V, лежащим в одном ребре, присвоены различные цвета. Оценивается точная пороговая вероятность существования сильной раскраски Н(п, 4,р) в г-цветов. Этому порогу отвечает так называемый разреженный случай, ко-гдар = сп/(") для фиксированного с > 0. Доказано, что при с < — 36 г — 1 — г~1/9

(сп \

п, 4, является сильно раскрашиваемым в г цветов с ве-

и/

роятностью, стремящейся к ^и п ^ <х.

Ключевые слова: случайные гиперграфы, раскраска гиперграфов, сильная раскраска, сильное хроматическое число, метод второго момента.

A. E. Khuzieva Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

On the strong colorings of a random 4-uniform hypergraph

The paper deals with the problem of estimating the probability threshold for the property of the strong colorability for a random 4-uniform hypergraph in the binomial model H(n, 4,p). A coloring of the hypergraph vertex set is said to be strong if any two vertices u = v that are contained in the same edge, are given different colors. We estimate the probability threshold of the existence of a strong coloring with r colors for H(n, 4,p). The threshold corresponds to the so called sparse case when p = for fixed c > 0.

We prove that for с < — Ц ln r — 6 — r 1/9 the random hypergraph H j n, 4, | is

6 36 6 ' " ( ^

strongly r-colorable with r colors with probability tending to 1 as n ^ <x.

Key words: random hypergraphs, coloring of hypergraphs, strong coloring, strong chromatic number, second moment method.

1. Введение и история задачи

В работе рассматривается задача об асимптотическом поведении сильного хроматического числа в случайных гиперграфах. Напомним основные определения.

1.1. Основные определения и изучаемая модель

Пусть Н = (V., Е) — некоторый гиперграф. Раскраска множества вершин гиперграфа V называется правильной, если она не порождает одноцветных ребер в Е. Если существует правильная раскраска гиперграфа Н в г цветов, то Н называется г-раскрашиваемым.

© Хузиева А. Э., 2019

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019

Хроматическим числом гиперграфа Н, х(Н) > называют такое минимальное г, что Н являВ данной работе мы концентрируемся на изучении сильного хроматического числа. Раскраска множества вершин гиперграфа называется сильной, если любые вершины и = V, лежащие в одном ребре, имеют различные цвета. Если существует сильная раскраска ги-

Н Н

Сильным хроматическим числом гиперграфа Н, Хя^ (Н), называется такое минимальное Н

и правильной, а потому Хвгг(Н) ^ х(Н)•

Н(п, к,р) в биномиальной модели, в которой каждое ^-подмножество некоторого множества из п вершин включается в Н(п, к,р) в качестве ребра независимо от других с вероятностью р € (0,1). Целью работы является получение асимптотических результатов относительно Хвгг(Н(п, к, р)) при фиксированном к ^ 3 Р = р(п) и растущем п.

1.2. История результатов

Н( п, к, р)

века. Асимптотическое поведение х(Н(п,к,р)) изучал, например, Э. Шамир [1]. Им были получены результаты для фиксированного к > 2 и р > п-£ для произвольного фиксированного е > 0. Его результаты были дополнены М. Кривелевичем и Б. Судаковым для почти всех остальных значений р = р(п) [2]. Суммируя эти результаты, можно заключить, что если р = р(п) ^ 0 с ростом п, при этом пк-1р ^ то выполнен следующий закон больших чисел:

х(Н (п-к-р»\кт)"11А1

при п ^ где й = (к — 1)(^Т_\)р- Указанный выше результат не распространяется лишь на так называемый разреженный случай, когда р = сп/(^) для фиксированного с > 0. Оказывается, в разреженном случае хроматическое число случайного гиперграфа ограничено, и здесь можно получать очень точные результаты, связанные с оценками пороговых

Изучение хроматического числа разреженного случайного гиперграфа началось в неопубликованной работе И. Алона и Дж. Спенсера (текст доступен на личном сайте И. Алона), в которой они рассматривали пороговую вероятность для свойства

Н( п, к, )

первого момента доказали, что при

ь 1 , 1п2

с> 2к-11п 2 — — + 0к(1)

гиперграф Н (п,к,сп/(1^)) с вероятностью, стремящейся к 1, не является 2-раскрашиваемым. А при с = 0(2к/к2), наоборот, хроматическое число Н(п,к,сп/(^)) равно двум с вероятностью, стремящейся к 1. Их результаты были в дальнейшем улучшены в работах [3] Д. Ахлиоптаса, М. Кривелевича, Дж. Кима и П. Тетали, а также Д. Ахлиоптаса и К. Мура [4]. Последние показали, что при

с< 2к-11п 2 — 1П22 — 1 + (1)

гиперграф Н(п, к, сп/ ) является 2-раскрашиваемым с вероятностью, стремящейся к 1. Тем самым им удалось найти пороговую вероятность свойства 2-раскрашиваемости как

станты. А. Коджа-Огланом и Л. Здеборовой в [5] нижняя граница 2-раскрашиваемости

была усилена до 2к-11п 2 — 1п 2 + о&(1), также они предположили, что пороговая константа должна равняться 2к-11п2 — — 1 + (1).

В последние годы активно шли исследования по поиску пороговой вероятности г-раскрашиваемости случайного гиперграфа Н(п, к, р) для заданного г ^ 3. Так, М. Дайер, А. Фриз и К. Гринхилл в работе [6] получили следующие результаты:

1) если к ^ 3, г ^ 2,к,г € Ми с > 0 фиксированы, р = сп/ то пр и с > гк-11пг —1п г/2 выполнено Рг(х(Н(п, к,р) ^ г + 1)) — 1 при п — те;

2) если же с < гк-11пг — ■1 (1 + 1пг) — 0(^^), то, наоборот, выполнено Рг(х(Н(п, к,р)) ^ г) — 1 при п — те.

Вышеприведенные результаты были в дальнейшем усилены в работах П. Эйра, А. Коджа-Оглана, К. Гринхилл [7] и Д. А. Шабанова [8], в которых авторы уменьшили интервал неопределенности для параметра с до 1п2 + ог (1) при фиксированном к и г — те (работа [7]) и до 1 + ок(1) при фиксированном гик — те (работа [8]).

Исследования сильного хроматического числа случайного гиперграфа также велись весьма активно. В неразреженных случаях асимптотическое поведение хвгг(Н(п,к,р)) было изучено в уже упоминавшихся работах Э. Шамира [1], М. Кривелевича и Б. Судакова [2]: пусть й = (к — 1)(пк-1^р и й = о(п), но й — +те с ростом п, тогда выполнен следующий закон больших чисел:

х^(Н(п,к,р)) •(^— 1

при п — +те. Но снова данный результат неприменим в разреженном случае, когда р = сп/(^) для фиксированного с > 0. В разреженном случае известно гораздо меньше. Единственный содержательный результат был получен в недавней работе А. Е. Балобанова и Д. А. Шабанова [9], где авторы рассмотрели частный случай к = 3. Они показали, что

г1пг 5 , 1 _1/6

с <---1п г---г /

6 18 3

сильное хроматическое число Н(п, 3,сп/[) с вероятностью, стремящейся к 1, не превос-

1п 5

с >---1пг + 0(1п г/г)

6 18 V / ;

к > 3

исследовался.

1.3. Новый результат

Основной результат настоящей работы состоит в получении нижней оценки пороговой вероятности для сильной г-раскрашиваемости случайного гиперграфа Н(п, к,р) при к = 4.

Теорема 1. Существует такое Го, что для любого г > г0 и любого с > 0; удовлетворяющего неравенству

г1пг 13, 1 _1/9

с <---1пг---г 1/9, (1)

6 36 6 ' 1 ;

выполнено

Рг (^хэгг (^Н (п, 4, сп/ ) ) ^ Г) — 1 ПРИ п — те.

Заметим, что наш результат весьма близок к максимально возможному. Так, из следствия 3.2 работы [2] следует, что с вероятностью, стремящейся к 1, при р = сп/выполнено

(Н(п, 4,р)) > —

при й = 3(га31)р. Тем самым (Н(п, 4,р)) ^ -Ще > г Уже ПРИ с > ^тР(1 + °г (1)) Для подходящей функции ог (1).

В следующем разделе мы докажем теорему 1.

2. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы основывается на применении метода второго момента и следует идеям и структуре работ [6], [8], [9].

2.1. Точная пороговая вероятность

Существование точной пороговой вероятности для свойства сильной г-раскрашиваемости случайных гиперграфов является одним из основных моментов нашего доказательства. Напомним, что функция рг,к = (п) € [0,1] называется точной пороговой вероятностью для свойства сильной г-раскрашиваемости случайного гиперграфа Н(п, к,р), если для любого фиксированного е > 0 выполнено:

хэ (\ ] 0, если р = р(п) ^ (1 + е)рг,к для всех достаточно болыпих п; Щ(п,к,р)) 4 г)

I 1, если р = р(п) 4 (1 — е)рг,к для всех достаточно б олыпих п.

Доказательство существования точной пороговой вероятности для классического свойства г-раскрашиваемости было произведено в работе [6] в лемме 1.2. Аналогичные рассуждения дают нам доказательство существования точной пороговой вероятности для свойства сильной г-раскрашиваемости.

Существование точной пороговой вероятности позволяет нам проверять, что вероятность Рг(х^г(Н(п, 4,сп/(^))) 4 г) отделена от нуля при выполнении условия (1):

ИшМРг хзы Н\п, 4, -- 4 г > 0. (2)

п^<х>

Кп- 4-§))4 г)

Если (2) выполнено, то (Н(п, 4, (Ух)) 4 т) ^ 1 для всех с' < с. Таким образом, для

(4)

доказательства теоремы 1 достаточно показать выполнение (2) при условии (1).

2.2. Равномерная модель

Нам понадобится также другая модель случайного гиперграфа: Н(п, 4, т), в котором т ребер выбираются случайно и независимо. Четыре вершины в каждом ребре также выбираются случайно и независимо с равномерным распределением на множестве всех вершин. Подобный гиперграф Н(п, 4, т) может содержать повторяющиеся ребра с одинаковым набором вершин и неправильные ребра с повторяющимися вершинами. В [6] авторы показали, что достаточно доказать выполнение неравенства (2) для гиперграфа Н(п, 4, \сп\) вместо Н(п, 4, (щ) для классического хроматического числа гиперграфа. Доказательство данного

факта использует два свойства рассматриваемого события: монотонность и асимптотику математического ожидания числа ребер в двух моделях. Данные свойства выполнены и для события сильной г-раскрашиваемости.

2.3. Сбалансированная раскраска

Мы будем искать сильную раскраску во множестве сбалансированных раскрасок. Напомним, что раскраска гиперграфа на п вершинах в г цветов называется сбалансированной, если количество вершин каждого цвета равняется \^] или |_ ^ ].

п

делится на г. В частности, они доказали, что если £ = |_п/г\, то

Рг(х(Н(п,к, [сп])) < г) ^ Рг(х(Н(гг, к, [сп])) < г) — о„(1). (3)

Данная лемма дословно переносится на наш случай сильного хроматического числа. Таким образом, нам достаточно доказать неравенство

ИшИ Рг(х^г(Н^г, 4, [ф + 1)г])) < г) > 0.

Пусть п делится на г, обозначим через Хп число сильных сбалансированных раскрасок в г цветов случайного гиперграфа Н(п, 4, [с(п + г)]). Несложно заметить, что

Рг(х^(Н(п, к, [с(п + г)])) < г) > Рг(Хга > 0). (4)

Если мы покажем, что Ншт1Рг(Хга > 0) > 0 при условии (1), то неравенства (4) и (3) обеспечивают выполнение (2). Далее,

раз Хп неотрицательная случайная величина с целыми значениями, то согласно неравенству Пэли-Зигмунда получаем

(Е х )2

Рг(Хга > 0) = Рг(Хга ^ 1) ^ .

ЕХп

п

нено

ЕХ2 = Ог ((ЕХп)2) (5)

п

2.4. Вычисление первого и второго моментов

Напомним, что Хп — это число сильных сбалансированных раскрасок Н(п, 4, т) в г цветов. Тогда при т = [с(п + г)] имеем

п! /г(г — 1)(г — 2)(г — 3) ^г(г —1)(г —2) юг(г — 1) 1У г/г)!)г \ г4 г3п г2п2 п3/

= в, (п<1/2-/2)г» ( Г( ^ 1)(Г~ 2)(^ 3) У") =

= вг (п(1/2-^/2) ехр [п( 1пг + с1п ((Г —1)( Г—3 2)(Г —3)) )]) .

Используя метод из работы Д. А. Шабанова [8], посчитаем второй момент Хп с помощью

г

'-,3 =

суммы по матрицам А = Ца^||£ в которых а^ ^ 0 € 2, и сумма по любой строке и

любому столбцу равна ^

/ \

ЕХ^ = Е

п!

ЕаЧП а^232 а030 аЧ 34 + О(^)

|Г „ п4 +0(п)

А П ^.-2.-0.-4, ,

г,3=1 \|{Л,^2,^0,^4}|=4 /

Применяя выражение для первого момента и формулу Стирлинга для факториалов, получаем

/ \

ЕХ;2 = Ог

(ЕХп)2пг-1/2 £ --1-ехр[п(д(А) — /(А))]

А П л/Чз + 1 V ^,з=1 /

СП

где

f (А) = Е v ^^

i,3 = 1

д(А) = с ln

(г - 1)(г - 2)(г - 3)

]2 Е

ailjl ai232 ai333 ai434

1{ч,г2,гз,ч}1=4; 1{31,32 J3J4}| =4

П

4

J

Введем е^ = ^ — г,] = 1,... ,г. Тогда для матрицы Т = (е^ : г,] = 1,...,г) выполнено: сумма по любой строке и любому столбцу равна нулю, при этом каждое € [—1/г2,1/г — 1/г2}. Тогда

f (А) = f (т) =¿2 ^ ч^чо =j2 (¿i + e«) ln(1 + 5

:;j = 1

:;j = 1

3

г

2

г] Л

g(A)= g(Т)= с In

_Ч)) ^ ( 7-2 + £iljl )( 1 + Si2]2 )( г2 + £гз]з )( г2 + Si4]4 )

(_

(т - 1 )(г - 2)(г - зу ^ -г

V П ;v ' |{il,i2,i3,i4}|=4;

\ |{j1, j2 ,j3 ,j4 }|=4

/

(6)

В условиях теоремы 1 верна следующая лемма (доказательство будет представлено в разделе 3).

Лемма 1. Существует такая функция Ъ = Ь(г) > 0; что для любой матрицы Т = (е^ : г,] = 1, ..,г) с указанными свойствами выполнено следующее неравенство:

f (Г) - д(Г) > b £ ei

i,3=1

Завершим доказательство теоремы, используя лемму 1.

(

EX2n 4 ог

(EXn )2nr-1/2^

-Ьп J2

-e i,j=1

A П VaH + 1

= Or

(EXn)2nr-l/2

i,3=1

1

\

-bn E (^-t2)2

, j=1

V

A П Van +1

i,j=i

/

Несложно заметить, что (а+1) 1/2е Ьп(а/п 1/r)2 = Or(п 1/2) для всех а = 0,..., n/r. Оценим таким образом соответствующий множитель для а^- при max(i, j) = г:

(

EX2n 4 Or

\

1

(E Xn)2nr-1/2n~ (r2-(r-1)2)/2Y]

A n y^+i

T-1 „

-in e (^-t2)2

, j=1

i,3 = 1

(

= Or

\

(EEXn)2 E

T 1

-bn - (^ - ¿2)2

, j=1

r-1

A

П Vav +1

i, 3 = 1

3

1

e

1

e

= О г

г-1 п/г

\

(ЕХп)2 Е £

-Ьп - (^ - ¿2)2

:,3 = 1

Г- 1

ъ,з=1 а1]=о п уа^т+г

, =1

= о г

Для а ^ п/2г2 выполнено

п/г

(г-1)2\

(ЕХга)2 I Е

=0 л/а + 1

е Уп г

а 1 \2 )

а=о

п/2г 2

£

а=о

у/а + 1

г™ / а 1 \ 2 Ьп

-К^-72) = ог(п • е-4и) = Ог(1).

Оставшаяся сумма может быть оценена следующим образом:

Т 1

-Ьп( ± -1 )2 г,

г п = Ог

Е

- ы( ± -1 )2

^ V п г2 '

2г-

2

= о,

/ 1

- ы( * - ^ )2йх) = Ог

) л/п!-00

Ьх2

е « ах

= ог (1).

Таким образом, получаем, что Равенство (5) выполнено, и теорема 1 доказана

ЕХ2 = Ог ((ЕХп)2).

1

1

1

а=

2

3. Доказательство леммы 1

Рассмотрим сумму под логарифмом в (6) подробнее:

У! („2 + £*1Л )(™2 + 6*232 )( о + £ПЗо)( „2 + 6*434 )

|{г 1,12, го, м}|=4; |{л, 32, Зоо, л}|=4

_ г2(г — 1)2(г — 3)2( г —3)^ ^ ^ (г — 1)2(г — 2)2(г — 3)2

1 , 1=1

^ (г — 2)2(г — 3)2л^ (г — 3)2

|{г 1, »2 }|=2; |{г1,г2,Ы|=3;

|{л,л}|=2 |{Л,Л, .7 0 }|=3

+ Е

£Ч31 £Ъ232£гоЗ3£Ч34 . |{г 1, %2, го, ¿4>|=4; |{л,32,30,34 }|=4

Несложно понять, что (подробное доказательство мы приведем в приложении)

= 0' £;Ч31 £Ъ232 У ^ £ 2? ; Уу £П31 £Ъ232 £гоЗ3 = 4 У ] £3;

%3=1 |{»1,»2}|=2; г,3 = 1 |{»1,г2,го}|=3; г,3=1

|{ 1, 2}|=2 |{ 1, 2, 0}|=3

Е

431 £Ъ232 £гз30 °г434

£1

3(Е

4)2 —18

|{ 1, 2, 0, 4}|=4; |{ 1, 2, 0, 4}|=4

Е

1, 0, =1

е2 ■ е2 ■ 1 0

—

£2! £уз + 36 ^2 £Ч31£гз31 £Ч33£гзЗз. (?)

¿,31,33 = 1 г,3=1 Ч,гз,31,3з=1

Тогда

г 4 г

гр _^ /р^ _^

д(Т) =с1п(1+ Ц—^)2 4 + 16(г-1)2(г-2)2 Е е3 +

, =1 , =1

6 г 6 г +3_Г__/ ^ р2 \2 _ 10_Г__ ^ -

+ ((г — 1)(г — 2)(г — 3))2[ 2= Ы ((г — 1)(г — 2)(г — 3))2г V гз>

г,3 —1 гl, гз)3 —1

6 г 6 г 1С_Г___Р2 р2 + 36_Г__ у^ Л +

°((г — 1)(г — 2)(г — 3))2 Ъ&ь + 36 ((Г — 1)(Г — 2)(Г — 3))2 2__ ек +

г,ЛЛз —1 г,'и —1

г6 г

+6Тй~1)й~2)(г—3))2 ^ £чп£ч зз £гз31 £гззз). (8)

г1,гз,31,зз=1

Утверждение 1

1

21

Те2 ■ 4 -=1

Доказательство. Если е^ < 0 т0 I£г^ 4 Таким образом, получаем,

что Е е\1 4 :р4Г = ^ Кроме тог о, Е 4 ^ = 1 — В итоге

3■ ^ <0 j■е^ >0

£ 4 4 ( Е £гз)2 4 (1 — ^ )2 < 1 — ^.Ст^обыть, ¿4 4

3■ >0 3■ ^ >0 3 = 1

Рассмотрим каждое слагаемое в (8) по отдельности:

1) 6 ( 71 Т\2, °гз = 6(1 + г + °(Т1" "гз1

т4 Г Г

2) 116((.Г — 1) « — 2))2 г£414 116(1 + 6 + °<»

3) Используя утверждение 1, получаем 6

3((Г — 1)(г — 2)(г — 3))2 г]=1 ^ ¿1 ^ 4 13(1 + 1 + °( г2 )) г]=1 ^

4) Используя утверждение 1, получаем 6

'((г — 1)(г —2)(г — ' ' '

6

18,, ,, „„ оЛЛ2 Е £11 £1з 1 4 18-1 (1 +12 + °(1)) Е 4;

5) Используя утверждение 1, получаем 6

18((Г — 1)(Г — 2)(г — 3))2 =1 £Ьз418Ъ(1 + Т + °(Т1)) г^=1 Ф

6

6> г|=.4 4 (1 + 12 +°(*»

7) Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем

6

6((г 1)(г 2)(г 3))2 ^ £г1:>1 £г13з £гз31 4 6(1+г+°(г2)) Е £2 Е £2 = ((г — 1)(г — 2)(г — 3)) г1,гз,з1,зз=1 г,з=1 г,3=1

= 61 (1 + ^ + 1) Е 4, =1

Таким образом,

ж?) <с (6+^+°( ^ А ¿4- (9)

, =1

Введем следующие обозначения:

'' 1

МТ) = £ + ^)1п(1 + г2ег]), (Ю)

=1

4

Г , о о I

(Т)=Ф(^Г)2£ 4 + 16(г — 1)2(г — 2)^ 4 +

6 V V 6 г

V ^ > 2 ^ ^ 2 1 о ^ ^ ^ 2 2

+3((г —1)( г — 2)(г — 3))2 ^ ^ + 18((г — 1)(г — 2)(г — 3))2 ^ ^

=1 0, =1 0, =1

6 г 6 г + 18_^_ У^ р2 _2 +36_^_ Ч^И +

+ 8((г — 1)(г — 2)(г — 3))2 ^ + ((г — 1)(г — 2)(г — 3))2^>^

1, 0=1 =1

г6 г

+6((г_1)(г_2)(г_3))2 £ £Ч0£го31 £ПЗо] ■ (И)

0, 1, 0=1

Заметим, что при этом /(Т) = ^ /¿(Т), а д(Т) ^ ^ (Т). Наша стратегия будет состоять

=1 =1

в оценивании разностей /¿(Т) — ^¿(Т) в разных случаях, чем мы и займемся в следующем параграфе.

3.1. Анализ различных вариантов Хорошие строчки

Назовем строчку г матрицы Т хорошей, если для каждого ] = 1,... ,г выполнено ^ 1 — — нПг- Используя (9) и (11), получаем

37 _ 1 ' >))

=1

дг(Т) < С(6 + --+0(-2))£

Далее, применяя оценку сверху с < Цгр- — М 1пг, получаем

6 36

^ , , 30, 2591пг ^Д ,, тА 2

дг(Т) < ( г 1п г + 30 1п г — — — + °(^2» £ 46 36 =1

Теперь рассмотрим (10) в случае хороших строк. • Если е^ < 0, то

1 1 (г2е■ )2 г2

(~2 + ^) 1п(1 + ^^ ец + - = ец + уе%.

Если е^ > 0, но е^ ^ — ^2 ) т0 используем оценку функции ^>(х) = (1 +х) 1п(1 + х).

х2

Известно, что ^>(х) > х +—--^ для х > 0. Положим х = г2е^ и получим следую-

2(1 + з)

щую оценку:

1 Г2£2■

(л + 1п(1 + ^%•) ^ £гЗ + 4

г2 2(1 + ^)

Оценим знаменатель: 1 + —.< 1 + д-^-

1 2 3 1п 1п 2

(^ + 1п(1 + ^ £гЗ + + °( — ))£Ъ.

Далее, если е^ € (— р!, 1 — — 2ттпт1) т0 оценим слагаемое следующим образом:

1 1 г

(-2 + £г3) 1П(1 + Г2^ ^ + ^ ) ^

^ е^ + еу (1п г — 1п 1п г — 1). Используем неравенство 1 ^ г1 — 1 — 2г)-1:

,1 м ^ 2 ^ 2 1 21п1пт1,. , ,

(+ 1п(1 + г £гэ) > £гз + г£ц I1 - ---Щ^Н (1п г — 1п 1п г — 1) =

2 , 21п1пг ^ ,1п1п г^2\ ! 1п1пг 1 Ч

= £гз + г1пге% (1^--) ) (1 — П--) =

1п 1п 1п 1п

, 1п1пг ^ ,1п1п ГЛ2Л

= £гз + г 1п гегз (1 + П-+ -) ).

1п 1п

• Наконец, если £г 3 € (1 — ^ — 2 ^г-Щт, 1 — :р1 — )> т0 °Деним слагаемое следующим образом:

, 1 ^ , 2 /1 \ /, , / 21п1пгЛЛ

(~2 + £г3) ^ + Г2£ г3) > (^ + 8г3) (Ы Г + Ы ^ — ) ) >

^ егз + £гз(1пг — о(1) — 1). Воспользуемся тем, что 1 ^ ге^(1 — 1 — )-1'-

1 12

(^ + £г3) Ьа + г2егз) > + ге%(1 — ^ — — )~1(1пг — оф — 1) =

2 1 11 = £г3 +Г1пг £% (1 ^ ^ + °(^)2) (1 — о( —) — ) = 1п 1п 1п 1п

= егз + гЫг е% (1 + ^ + 2

/г(Т) — дг(Т) > - ^ 4 + 2 52 ^

^ <0 j■ е^ >0

Нормальные строчки

Т 0

£гзо € [ 1 — 1 — , 1 — — г~4}. Заметим, что подобный ]0 может быть только один, а все остальные £г3 должны быть меньше 1 — ^ — 3 = ^0- Будем считать, что ]0 = Ц и

обозначим 5гг = 5г = 1 — 1 — егг, тогда 6г € [г- 4, } • Также обозначим = + ег 3 при

= г = г

Оценим (10) в этом случае:

1

Ь(Т) = 52(1 + £гз)1п(1+ Г2 8гз) = =1

1

= (^ — 5г) 1п(Г — Г25г) + 52 Ьг3 1п(Т2=

=

= — — 5г 1п г + ("" — 6 г) 1п(1 — г6г) + 2(1п г) ^ ^ + ^ ^ 1п

= =

= поэтому последняя сумма по нервенству Иенсена не меньше, чем

1п 5г — 5г 1п(г — 1), получаем

1п 1

/г (Т) ^ — + 5i 1пГ+(^ — &)1п(1— Г &) + 5г 1п 5i — 5i 1п(г —1).

—^

Воспользуемся тем, что 1п(1 — г5¿) > -—, и получим следующее неравенство:

1 — г5г

1п V V

/г(Т) ^-+ 5г 1п 5г + 5г 1п(-- )—5г. (13)

у у_1

Теперь оценим (11). Необходимо рассмотреть и оценить сумму ^

=1

Г '1 1 гч2 . V- / 1 г ч2

£4 = ^ — ^2— + ^^ — -

=1 =

= (5 — ¿ — *)2 + £( ^ — ь )2 =

= ! + !_ 1 — 2к + 2<к + 62 + Г~1 — 251 + ^ 2.

2 4 3 /у гр2 1 г 1 г4 г2 1 гу

=

Так как ^ ^ то

=

£4 < ^ У 2~у + 2^?. (14)

=1

Используя эту оценку и (9), получаем, что

*(Т) < 6с(1 + °(1)) £ 4 = 6с(1 — ^ + 2+ °(1)). =1

Воспользуемся оценкой с < ^-¡р1:

— — 2 й 1п г + 2 ¿2( г ЬО+О^)

Гр Гр2

Заметим, что г ^ = о(1) и 5г ^ г 2, из чего следует, что

1п г

дг(Т) < —--2& 1пг(1 + о(1)). (15)

Применяя одновременно (13) и (15), получаем, что при 5% — 0 вьшолнено

т

/г(Т) — дг(Т) > 6г 1п 6г — 6г + 6г 1п (—1) + 2^ 1п г(1 + 0(1)). Так как 1п 6г ^ —4 1пг, то

1 1 7

и(Т)— дг(Т) > 445г 1пг(1 + о(1)) ^ ^г-4 1п г. (16)

Плохие строчки

Т

том случае, если существует такое ^о, что ег^0 > 1 — — г~7. Без ограничения общности считаем, что ]0 = ги обоз начим 5г = 1 — ^ — £гг, = :р2 + ^ для ] = г.

плохие строчки. Тогда рассмотрим д'(Т) и /'(Т), где

Г(Т) = Е МТ), га

а

г 4 г

д'(Т) = сЛп(1 + £ Щ^)2 £ 4 + 16(г_1)1г_2)2 Е 4+ га 1=1 ( ) ( ) 1=1

6 Г Г 6 Г

V ^ > 2 ^ ^ 2 1 о ^ ^ ^ 2 2

=1 з, =1 з, =1

6 г 6 '

_18_Г___р2 р2 +о6_Г__ Ч^И +

((Г — 1)(г — 2)(г — 3))2 г* г>з + ((г — 1)(г — 2)(г — 3))2 ^ г> +

1, з=1 6

у6 _^

+6(( г 1)( г 2)( г 3))2. / £г^1£гп егзэ1 £гззз]). (17)

Далее, используя (9),(14),(17) и обозначив х = Щ, получаем

¿(Т) 4 с1п{1 + £[6 + 3. — ^ +°(г-7)]) = га

, / 6х 31х -чт^ 12 Ьг 7. ч

= с 1п (1 + 2 + — у-г + °(хг-2)) 4

2 3

га

г6х 31х -чт^ 12Ьг 7. 36х2 2 П

4с + ^ — £ + °(хг- 7) — + °(х2т-1)] =

га

,6х 31х 18х2 ^ 12 5г

/6'х 31— юх V—л 12иг _ . ьчЛ

+--- — ~14Г — Е ~Т + °(г-5». га

Подставим с = — Ц 1п г — 6 — г 1/9 ■

,г1пг 1 _1/д ,6х 31х 18х2 ^ 12, , У(Т) = (--™ ^ — 7.—г 1/9 Д ~2 + —---т — V-+°(г 2 V 4

6 36 6 2 3 4

га

х 1п х 1п 6 х 2 1п х 1п

2

х 1п х 1п 6 х 1п х 1п

4 —+3 ^2Г — — 3х2 — — 2(1п Г) Е * + °(-Г). (18)

(Т)

Г(Т) = Е ¡г(Т) > — + Е[^г 1п ¿г + ¿г 1п ) — ¿г] . (19)

г ^ г — 1'

га га

Собирая вместе (18) и (19), получаем, что

х 1п 6 х 2 1п 1п х

Г (Г) — д'(Т) > —3 + + 3х2 ^ + °() + х+

+ £ [5г 1п 5г + 5г 1п () + 25г 1п г — 5г]. (20)

кг — 1' ге!

Выражение 5г 1п 5г + 5г 1п (уЬ^) + 25г 1пг — 5г минимизируется при 5г = г- Таким образом, получаем, что

//^ч X 1пг 6х 21пг ^.1пг.

/'(Т) — 5'(Т) > —3— + ^2+179 + Зх2+ 0{-т) =

X 1пг /X ч 6х ^Дпг. = 3 — {-г — ^ + +0(^372). (2!)

Перебор случаев

Обозначим через 7 множество индексов нормальных строчек, а через Т — множество индексов хороших строчек. Также обозначим г = |<71 — число нормальных строчек, соответственно, число хороших строчек будет равно г — х — г.

1) Если х = 0 и £ = 0, то получаем, что для оценки разности /(Т) и д(Т) нам достаточно оценки (12).

2) Если х = 0 и г > 0, нам достаточно оценки (16).

3) Случай х = 0 разбивается на следующие варианты:

• х ^ г--Щг^' т0ГДа) используя (21), получаем

3

/'(Т) — «/(Т) ^

2 г 1+1/9'

• х < г — г —^ , тогда, используя (21), получаем,что

/'(Т) — </(Т) > — ^. (22)

В этом случае возможны следующие варианты:

• г^ г4/5. Тогда, используя (16) и (22), получаем

/(Т) — д(Т) > £(/г(Т) — дг(Т)) + /'(Т) — 5'(Т) ^

ге з

> г4/51 г-4 1п Г — — ^ 1г-19/201п г. 8 г 9

• г < г4/5. Пусть г Е I — плохая строчка, тогда

У ^ £ г'г £гг У ^ £и'г. г'ет н'е з и/;

н'=г

Т.к. егг ^ 1 — :р2 — т-1/\ а все остальные не меньше —г-2, то получаем

^ 11 7 1,,т, 11 7 1, 4/5 Г1-1/9,

У^£г'г < —" + ^ + 4 + ^ (|71 + |/|) < — + ^ + 7 + ^ (Г4/5 +Г — --) =

2 2 2 2 1п

г'ет

-10/9

Г (1 + о(1)) ^ У.

1п

По неравенству Коши-Буняковского получаем, что

1

£ 4г > >2. (23)

г'ет :е ;,;<0

Суммируя (12), (16), (21) и (23), получаем

/(Т) — д(Т) > Е(/г(Т) — 9г(Т)) + /'(Т) — 0'(Т) ^

е т

Е, V2 \—л 2. х 1пг ^.1пг. г 2 х 1пг ^Дпг.

(т £ — 3^ + 0(^) > х4У — 3— + ^ ) =

гет з <0

х х 1п 1п

г(1 + 0(1)) — 3 —+ 0(-п2).

11/9(1п т)2 4*2 ^гр3/2

Т.к. х ^ 1, полученное выражение превосходит 8г11/1(\пг)2 £%- Таким образом,

г (пг) г, j=l

лемма 1 доказана.

4. Приложение

Рассмотрим подробнее, как получаются равенства (7) .

г = 0 г

, =1

столбцу равна нулю, при этом каждое £г^ Е [—1/г2,1/г — 1/г2]. 2) Несложными преобразованиями получаем, что

г1 1 г2 2 = г1 1 г2 2 - г 1 г 2 =

г1=г г; г^гг; г;

1= 2 1= 2 1= 2

= ^^ ег1 31егг]2 — ^^ £ги'^ гг.? — ^^ £гл £ г ¿2 + ^^ е

1, г, 1, г=1 1, г, =1 , 1, г=1 , =1

г

второе тождество:

2

г1 1 гг г =

г1=г г; г, з=1

1= г

.

3) Аналогичным способом раскроем £ £г2ь£гзь-

|{г 1,г г, гз}|=3;

\{31,32,33 }|=З

г1 1 гг г гз з = г1 1 гг г гз з - 2 г1 1 г г г1 з .

|{г 1, г2,г з}|=з |{г 1, г2}|=2,г з; |{ г1, г2 }|=2,г 1=г з;

|{л, зг, :?'з }|=з |{л, зг, зз }|=3 \{з1,зг, зз }|=3

Распишем вторую сумму:

г1 1 гг г г1 з = г1 1 г1 з гг г - г 1 г г г з

|{ 1, г}|=2, 1= з; 1, г; ;

\{31,32,ЗЗ}\=3 \{31,32,ЗЗ}\ = 3 \{31,32,ЗЗ}\ = 3

52 £ г131 ег1]зе г2]2 2 52 £ чп £ г232 г1,гг, г1,г2;

\{31,32 }\ = 2,3з \{31,32 }\=2,3з=31

52 £гз1£гj2£г3з + 2 У ] £ гп £ . (25)

гг \{31,32 }\=2,3з \{31,32 }\=2,3з=32

Раскроем каждую из четырех сумм.

52 ег1]1 £гljз ^г2]2 =52 £г131 £г1 ]з £г2]2 52 £г131 £гljз £г2 л = 0;

г1,г2; г1,г2,31 ,п,зз=1 г1,г2,31,зз=1

\{31,32}\=2,3з

52 е 2131е г232 = 52 е 2131е г232 52 е2 г1,г2; г1,г2,з1,32=1 г1,г2,з=1

\{31,32}\=2,3з=31

г г

2

52 £ гз1 £гз2 £гjз = 52 £г^1 £гз2 £гjз 52 £ *31 £гзз = 0; г; г,]1,]2,зз=1 г,]1,]з=1

\{31,32}\ = 2,3з

52 е г^1е 232 = 52 ег^1е 232 52е23 = 52е .з.

г; г,]1,]2=1 г,3=1 г,3=1

\{31,32}\=2,3з=32

Подставляя полученные выражения в (25), находим, что

£г131 £г2]2£г1]з = 2 / ^ £з. (26)

/ у °г131-■ г232с-гиз — °г]

\{г1,г2}\=2,г1=гз; г,]=1

\{31,32,3з}\=3

Раскроем первую сумму в (24):

52 £ г131£ г232£ гззз =52 £ г131£ г232£ гз зз — 52 ' \{г1,г2}\=2,гз; г1,г2,гз; г1,г2;

\{31,32,3з}\=3 \{31,32,3з}\ = 3 \{31,32,3з}\=3

52 £ г131 £г232 £г-ззз 2 52 £г131 £гзjl £г232 1,г2,гз ; г1,г2,гз;

,32 }\ = 2,3з \{31,32 }\=2,31=3з

52 £г131 £гljз £г232 +2 52 £^131 £г232. (27)

г1 ,г2 ; ,32}\=2лз

Рассмотрим каждую из четырех сумм.

е г131£ г1зз£ г-г1 ,г2 ; г1 ,г2 ;

\{31,32 }\ = 2,jз \{31,32 }\ = 2,п^з

> У £г1]1 £г2]1 £гз3з = 0;

52 £г131 £г232 £гзЗз =52 °г131 °г232 °гззз

г1,г2 ,гз; г1,г2,гз,]1,]2,зз=1 г1,г2,гз,]1 ,зз=1

\{31,32}\ = 2,3з

г

£hjl £i33l £i232 £iljl £г232 £i33l — eilj ei3j = 0;

il,i 2, гз; il ,i 2,i 3,31,32 = 1 il, i2,i 3,3=1

|{il,i2}| = 2,il=J3

£ilil £ilJ3 ei2j2 ^^ £ilil eil J3 ei2j2 £il3l £il33 £i2 3l = 0;

il,i2; il,i2,3l ,32,33=1 il,i2,3l,33 = 1

\{h,h}\=2,33

E

e2 ■ e

i232

E

2

il3lC'

i232

il,i2;

I{jl,32}l=2,jl=j3

il,i2,3l ,32 = 1

E

il ,i2,3 = 1

2

Ь il3b'

i23

0

Подставляя полученные значения в (27), а затем (27) и (25) в (24), получаем третье тождество в (7):

Е

= <Е 4 •

|{il,i2,i3}|=3; i,3=1

\{jl,32,33}l = 3

- iljl £i232 £ i'33'3

4) Сумма £hjl£i2j2£i3j3£4j4 раскрывается аналогичным образом.

\{il,i2,i3,i4}\=4; \{3l,32,33,34 }\=4

Литература

1. Shamir E. Chromatic number of random hvpergraphs and associated graphs // Adv. Comput. Res. 1989. V. 5. P. 127-142

2. Krivelevich M., Sudakov B. The chromatic numbers of random hvpergraphs // Random Structures and Algorithms. 1998. V. 12. P. 381-403.

3. Achlioptas D., Kim J.H., Krivelevich M.,Tetali P. Two-colorings random hvpergraphs // Random Structures and Algorithms. 2002. V. 20. P. 249-259.

4. Achlioptas D., Moore C. Random k-SAT: two moments suffice to cross a sharp threshold // SIAM Journal on Computing. 2005. V. 36, I. 3. P. 740-762.

5. Coja-Oghlan A., Zdeborova L. The condensation transition in random hvpergraph 2-coloring // Proc. 23rd Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 2012. P. 241-250.

6. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph // Journal of Combinatorial Theory. 2015. V. 113, Series B. P. 68-122.

7. Ayre P., Coja-Oghlan A., Greenhill C. Hvpergraph coloring up to condensation // Random Struct. Algorithms, early view, https://doi.org/10.1002/rsa.20824.

8. Шабанов Д.А. О концентрации хроматического числа случайного гиперграфа // Доклады Академии Наук. 2017. Т. 475, № 1. С. 24-28.

9. Balobanov А.Е., Shabanov D.A. On the strong chromatic number of a random 3-uniform hvpergraph: препринт. http ://ru.discrete-mathematics.org/preprints/2018/20181117_shabanov.pdf

References

1. Shamir E. Chromatic number of random hvpergraphs and associated graphs. Adv. Comput. Res. 1989. V. 5. P. 127-142

2. Krivelevich M., Sudakov B. The chromatic numbers of random hvpergraphs. Random Structures and Algorithms. 1998. V. 12. P. 381-403.

3. Achlioptas D., Kim J.H., Krivelevich M.,Tetali P. Two-colorings random hvpergraphs. Random Structures and Algorithms. 2002. V. 20. P. 249-259.

4. Achlioptas D., Moore C. Random k-SAT: two moments suffice to cross a sharp threshold.SIAM Journal on Computing. 2005. V. 36, I. 3. P. 740-762.

5. Coja-Oghlan A., Zdeborovd L. The condensation transition in random hvpergraph 2-coloring. Proc. 23rd Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 2012. P. 241-250.

6. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph. Journal of Combinatorial Theory. 2015. V. 113, Series B. P. 68-122.

7. Ayre P., Coja-Oghlan A., Greenhill C. Hvpergraph coloring up to condensation. Random Struct. Algorithms, early view, https://doi.org/10.1002/rsa.20824.

8. Shabanov D.A. On the concentration of the chromatic number of a random hvpergraph. Dokladv Mathematics. 2017. V. 96, N 1. P. 321-325.

9. Balobanov A.E., Shabanov D.A. On the strong chromatic number of a random 3-uniform hvpergraph. http://ru.discrete-mathematics.org/preprints/2018/20181117_shabanov.pdf

Поступим в редакцию 27.05.2019