CC BY
15
УДК 519.179.1 + 519.174
С. М. Тепляков
Кафедра математической статистики механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова
Рекуррентные верхние оценки в задаче Эрдеша—Хайнала о раскраске гиперграфа и в ее обобщениях
В 1961 году П. Эрдеш и А. Хайнал поставили задачу об отыскании величины т(п), равной наименьшему количеству ребер в п-однородном гиперграфе с хроматическим числом больше двух. Сейчас известны различные асимптотические оценки для т(п). Однако точные значения найдены лишь при п ^ 3. При других малых п есть только рекуррентные оценки. Мы рассматриваем важное обобщение задачи, а именно, нас интересует величина т^(п), равная минимальному числу ребер в п-однородном гиперграфе, не допускающем двухцветной раскраски множества своих вершин, при которой каждое ребро содержит не менее к вершин первого цвета и не менее к вершин второго цвета. Нам удается найти ряд рекуррентных оценок для mk(п), которые при многих п и к значительно уточняют все ранее доказанные результаты.
Ключевые слова: гиперграф, хроматическое число.
Настоящая работа посвящена известной проблеме экстремальной теории гиперграфов, которая восходит к П. Эрдешу и А. Хайналу.
Прежде всего напомним, что гиперграф — это пара Н = (V, Е), где V — конечное множество, называемое множеством вершин гиперграфа, а Е — произвольная совокупность различных подмножеств множества V, называемых ребрами гиперграфа. Если все ребра имеют одинаковую мощность п, то гиперграф называется п-однородным.
В 1961 году Эрдеш и Хайнал заметили (см. [1]), что если у п-однородного гиперграфа не слишком много ребер (например, не больше, чем 2П-1), то вершины этого гиперграфа допускают раскраску в два цвета, при которой все ребра гиперграфа неодноцветны (содержат вершины обоих цветов). Это мотивировало их к рассмотрению величины т(п), равной наименьшему т Є N такому, что существует п-однородный гиперграф с т ребрами, вершины которого нельзя раскрасить в два цвета с соблюдением условия неодноцветности всех ребер.
Следуя, опять же, Эрдешу и Хайналу, можно сказать еще и так: гиперграф обладает свойством В, если найдется раскраска множества его вершин в два цвета, при которой все его ребра неодноцветны; тогда
т(п) = шіп {|Е| : Н = (V, Е) — п-однородный гиперграф, Н не обладает свойством В} .
Сейчас известно, что
1. Введение
Нижняя оценка принадлежит Дж. Радхакришнану и А. Сринивасану (см. [2]), а верхняя — Эрдешу (см. [3]).
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683.
Одно из наиболее естественных обобщений величины ш(п) было предложено А. М. Рай-городским и Д. А. Шабановым в 2003 году (см. [4]). А именно, скажем, что гиперграф обладает свойством В к, если его вершины можно так покрасить в два цвета, чтобы каждое его ребро содержало не меньше к вершин первого цвета и не меньше к вершин второго цвета. Разумеется, если гиперграф гг-однороден, то к ^ . Соответственно
шк(п) = шт{|Е|: Н = (V, Е) — п-однородный гиперграф, Н не обладает свойством Вк}.
Понятно, что Ш^п) = ш(п).
Поскольку величина Шк(п) зависит от двух параметров, устроена она сложнее, нежели ее классическая предшественница. К настоящему времени известно довольно много разных оценок для Шк (п), и их подробный обзор можно найти в статье [5] (см. также [6]). В данной работе нас будут интересовать верхние оценки, их мы здесь и приведем.
В сущности, есть всего два результата, и оба они были получены Шабановым (см.
[4, 7]):
тк(п) ^ тк-\{п — 1) ^ ... ^ т(п — к + 1) ^ е^2(п — к + 1)22п~к+1 (1 + о(1)),
тк{п) ^ —(1 + о(1)), к = 0(]^)- (2)
Ё сп
i=0
Конечно, первый результат с ростом п гораздо слабее второго. Более того, при конкретных («малых») значениях величин к и п оба результата совсем не применимы, ведь в них никак не конкретизируется вид функции о(1).
В принципе аналогичная проблема возникает и в связи с верхней оценкой из соотношения (1). Этой проблеме был посвящен ряд работ, в которых были получены явные рекуррентные оценки для величины Ш(п) .
Во-первых, Х. Аббот и Л. Мозер показали (см. [8]), что
ш(аЬ) ^ ш(а)(ш(6))“. (3)
Поскольку равенства ш(2) = 3, ш(3) = 7 очень просты, утверждение Аббота-Мозера позволяет делать явные оценки и для других значений параметров. При этом асимптотически оно гораздо слабее (1).
Во-вторых, Аббот и Д. Хансен установили (см. [9]) неравенства
ш(п) ^ ш(п — 2)п + 2п-1, п = 2к + 1, ш(п) ^ ш(п — 2)п + 2п-1 + 2п-2, п = 2к, ш(п) ^ (2п — 1)(ш(п — 2) + 1).
Наконец, Б. Тофт доказал (см. [10]) оценку для четных п:
т(п) ^ т(п — 2)п + 2™-1 + (4)
Все перечисленные оценки по-своему важны. Например, из результатов Аббота-Мозера вытекает неравенство ш(4) ^ 27, которое Аббот-Хансен улучшают до ш(4) ^ 24, а Тофт
— до ш(4) ^ 23; последний факт есть текущий рекорд, который, по-видимому, усилить нельзя (хотя известно лишь, что ш(4) ^ 17). В то же время Аббот-Мозер показывают, что ш(6) ^ 147, тогда как, по Абботу-Хансену,
ш(6) ^ 6ш(4) + 32 + 16 ^ 186, ш(6) ^ 11(ш(4) + 1) ^ 264,
а по Тофту, ш(6) ^ 180.
В случае свойства Вк подобный результат — это приведенный выше результат Шабанова Шк (п) ^ Шк-1(п — 1) ^ ... ^ ш(п — к + 1), поскольку теперь мы можем применять к нему рекурсии Аббота-Мозера, Аббота-Хансена или Тофта. Других результатов такого типа не было. Известно лишь, что конкретно ш2(4) = 4, ш2(5) = 7, ш3(7) ^ 8 и ш4(9) ^ 8 (см. [11]).
Нам удалось получить рекуррентные соотношения непосредственно для величин Шк (п). Идеологически наши результаты близки к результатам Аббота-Мозера и Тофта. Соответственно в разделе 2 мы приведем оценки, которые служат в некотором смысле обобщениями неравенства (3); в разделе 3 мы сформулируем результаты типа (4). В разделе 4 мы обсудим оценку (2) и поймем, что она тоже может быть сделана явной (т.е. устраним функцию о(1) из нее). В разделе 5 мы проведем детальный анализ соотношений между оценками из разделов 2-4 и выпишем в итоге наилучшие из полученных нами неравенств для Шк(п) при некоторых малых п и к. Наконец, в разделе 6 мы докажем все новые теоремы.
В заключение отметим, что проблематика, возникшая за полвека с момента постановки Эрдешем и Хайналом задачи про ш(п), крайне обширна и разнообразна. Обзор многочисленных результатов в этой области может быть найден в статьях [6] и [12].
2. Обобщение идеи Аббота-Мозера
В своей работе [8] Аббот и Мозер применили принцип, основанный на копировании одного гиперграфа, не обладающего свойством В, и своего рода объединении всех копий, в результате которого получаются ребра большей длины. Для объединения использовался второй гиперграф, также не обладающий свойством В. Мы действуем похожим методом, объединяя одинаковые гиперграфы, не обладающие свойством В к, при помощи гиперграфа, не обладающего свойством Вг. В итоге возникает
Теорема 1. Для любых натуральных к, / и а ^ 2к, Ь ^ 2/ выполнено:
Ша1+Ьк-к1+к+1-а-ь(аЬ) ^ Шк (а)(Шг(Ь))°. (5)
В частности, при / = к =1 мы возвращаемся к неравенству (3) Аббота-Мозера. В параграфе 6.1 мы докажем теорему 1.
3. Обобщение идеи Тофта
В работе [10] Тофта используется идея «склейки» так называемых критических гиперграфов. Желая обобщить эту идею, введем понятие Вк-критического гиперграфа, то есть такого гиперграфа Н = (V, Е), что он связен и не обладает свойством В к, но любой гиперграф, получающийся из него выбрасыванием ребра, обладает этим свойством. В нижеследующем утверждении 1 мы приведем пример гиперграфа, не обладающего свойством В к. А в утверждении 2 мы предъявим Вк-критический гиперграф.
Утверждение 1. Пусть п,1 — натуральные числа, причем п ^ 2, а I ^ Рассмотрим множество вершин V = {х1,..., х21-1, а1,..., ап, Ь1,..., Ьп} и множество ребер Ег, состоящее из таких ребер А, что А = {х1,..., х21-1, аг, Ьг}, г Е {1,..., п — / + 1}, или А = {с1,..., сп-1+1, ап-г+2,..., ап}, где сг = аг или сг = Ьг. Подчеркнем, что гиперграф Н = (V, Ег) имеет 2п + 2/ — 1 вершин, п — / + 1 ребер размера 2/ + 1 и 2п-г+1 ребер размера п. Тогда гиперграф Нг = (VI,Ег) не обладает свойством Вг.
Утверждение 1 — аналог утверждения, сформулированного Тофтом в [10], и в нем построен гиперграф, не обладающий свойством Е>1 с некоторым I (I ^ ^).
Утверждение 2. Пусть п,1 — натуральные числа, причем I ^ Рассмотрим гиперграф Нг = (VI, Ег), у которого VI = {у1, у2,..., уп, х1, х2,..., х2г-1} и А € Ег, если и только если А = {х1, х2,..., х2г-1, уг}, г = 1, 2,..., п — / + 1, или А = {уь у2,..., уп}. Этот гиперграф является Вг-критическим.
Утверждения мы докажем в параграфах 6.3 и 6.4, а пока сформулируем с их помощью теорему, которая позволит нам получить оценки для величины Шк (п). Справедлива
Теорема 2. Зафиксируем натуральные числа п, к, / с условиями п ^ 2, к ^ / и I ^ Пусть Н\ и Н2 — два непересекающихся гиперграфа, причем Н\ — произвольный гиперграф, не обладающий свойством Вк, а Н2 — произвольный гиперграф, не обладающий свойством Вг, из утверждения 1 (утверждения 2) с соответствующими параметрами п,/. Рассмотрим гиперграф Н, полученный следующим образом:
V(Н) = V(Н1) и (V(Н2) \ {Х1,..., Х21-1})),
Е (Н) = (Е (Н2 \{х1,...,Х2г-1})) и
и {А 1 А = Аг и В^', Аг Е Е(H1), В^' и {жъ ..., х21-1} Е е(Н2)}. Тогда гиперграф Н не обладает свойством Вк.
Из формулировки теоремы видно, что из нее можно извлекать оценки для величины Шк (п). Однако для получения таких оценок нужно подсчитать общее число ребер итогового гиперграфа. Ниже мы получим следствия, в которых будут указаны явные рекуррентные формулы.
Следствие 1. Имеет место оценка:
Шк (п) ^ Шк(п — 2) ■ (п — к + 1) + 2п-к+1. (6)
Доказательство следствия 1. Воспользуемся теоремой 2. В качестве гиперграфа Н1 возьмем любой (п — 2)-однородный гиперграф с Шк(п — 2) ребрами, не обладающий свойством Вк. Тогда Н1, очевидно, Вк-критический. В качестве гиперграфа Н2 возьмем гиперграф из утверждения 1.
Заметим, что гиперграф Н, получаемый с помощью конструкции из теоремы 2, п-однороден. Ввиду теоремы 2 он не обладает свойством Вк. В то же время |Е(Н)| = = |Е(Н1)| ■ (п — / + 1) + 2п-г+1. Значит, Шк(п) ^ Шк(п — 2) ■ (п — / + 1) + 2п-г+1. Замечая, что по условию теоремы 2 выполнено неравенство / ^ к, и подставляя / = к, получаем искомую оценку. Следствие доказано. >
Следствие 2. Имеет место оценка
Шк(п) ^ Шк (п — 1) ■ (п — к + 1) + 1. (7)
Доказательство следствия 2. Воспользуемся теоремой 2. В качестве гиперграфа Н1 возьмем любой (п — 1)-однородный гиперграф с Шк(п — 1) ребрами, не обладающий свойством Вк. Тогда Н1, очевидно, Вк-критический. В качестве гиперграфа Н2 возьмем гиперграф из утверждения 2.
Заметим, что гиперграф Н, получаемый с помощью конструкции из теоремы 2, п-однороден. Ввиду теоремы 2 он не обладает свойством Вк. В то же время |Е(Н)| = = |Е(Н1)| ■ (п — / + 1) + 1. Значит, Шк(п) ^ Шк(п — 1) ■ (п — / + 1) + 1. Подставляя / = к, получаем искомое неравенство. Следствие доказано. >
Теорему 2 мы докажем в параграфе 6.2. Заметим, что можно придумать массу других подобных утверждений. Однако нам не удалось найти такого утверждения, из которого следовала бы оценка лучше нашей.
4. Оценки с помощью систем общих представителей
Оценка (2) была получена с помощью так называемых систем общих представителей (с.о.п.). Напомним основные определения. Пусть Кп = {1,..., п} — множество, состоящее из п элементов. Пусть, далее, М = {М1,... , М5} — совокупность любых подмножеств Кп. Положим к = шт |М^|. Рассмотрим произвольное множество Б С ^п, обладающее тем
г=1,...,з
свойством, что Б П = 0 для каждого г] Е {1,..., з}. Такое множество Б называется системой общих представителей (с.о.п.) для совокупности М. Положим
((п, 5, к) = шахшт{|Б| : Б является с.о.п. для М}.
В данных обозначениях сформулируем теорему, которая и позволит нам получать верхние оцнеки для Шк (п).
Теорема 3. Пусть г)€М, пеМДбМс условиями п < к ^ Тогда при
к-1
а = С? , Ъ = ш1п£ (С?-' ■ + С ■ СМ) , с =2
Х '=0
имеем
Шк(п) ^ шт ((а, с, Ь).
V
Доказательство этой теоремы приведено в статье [7] Д.А. Шабанова и не будет приводиться здесь. Неравенство (2) получается из теоремы 3 и следующего утверждения, в котором дается явная оценка величины £(п, 5, к).
Теорема 4. Для любых п, 5, к имеет место неравенство
Доказательство теоремы 4 приведено в книге [13] А.М. Райгородского и в данной статье не приводится. Оценка из теоремы 4 при конкретных (малых) значениях параметров п, 5, к допускает небольшое уточнение. Опишем алгоритм построения системы общих представителей, дающий и саму оценку, и ее уточнение.
Зафиксируем совокупность ,Ж = {М1,..., М5}. Возьмем такой элемент V € №п, что количество множеств из М, которые его содержат, максимально. Это будет первый элемент с.о.п. Нетрудно видеть, что он служит представителем для не менее ф- множеств
из Значит, непредставленными остались 31 ^ 5 — ^
ходятся в !Кп \ {^1} = Э?п-1. Продолжая процедуру, берем элемент ^2 € №п-1, который
принадлежит не менее множествам И так далее, покуда не исчерпаем всю
п — 1
совокупность М.
В дальнейшем, строя наилучшим образом оценки для Шк(п) с помощью систем общих представителей, мы перебираем все возможные значения величины V из теоремы 3, для каждого из таких значений берем параметры а, Ь, с и оцениваем £ (а, с, Ь) с помощью описанного «жадного» алгоритма. Эти расчеты осуществляются на компьютере.
п
множеств, причем все они на-
5. Сопоставление результатов
В нашей работе мы получили рекуррентные соотношения (5), (6), (7). Кроме того, мы знаем оценку Шабанова
Шк(п) ^ Шк-1(п — 1) ^ ... ^ ш(п — к + 1) (8)
и метод получения оценок с помощью с.о.п. Попытаемся сравнить все эти результаты между собой. Рассмотрим к = 2, 3 и п ^ 10.
Напомним, что ш(2) = 3, ш(3) = 7, ш(4) ^ 23, ш(6) ^ 147 (см. введение). Заметим, что, исходя из неравенств, выписанных во введении, ш(5) ^ 51, ш(7) ^ 421, ш(8) ^ 1339, ш(9) ^ 2401, ш(10) ^ 7803. Также из введения мы знаем, что в работе [11] получены соотношения ш2(4) = 4, ш2(5) = 7, ш3(7) ^ 8, ш4(9) ^ 8. Наконец, равенство ш3(6) = 3 очевидно.
Посмотрим на неравенство (5). В нем есть параметры к, / Е N. Первый из них может путаться с индексом величины Шк (п). Поэтому переобозначим его через к. Ясно, что величины к, / не равны одновременно единице, т.к. в этом случае мы возвращаемся к величине ш(п). Пусть сперва к =1, / = 2. Мы знаем, что а ^ 2к, Ь ^ 2/, т.е. а ^ 2, Ь ^ 4. Сама оценка имеет вид ша+1(аЬ) ^ ш(а)(ш2(Ь))“. Нас интересуют только числа к = 2, 3 и п = аЬ ^ 10, поэтому либо а = 2, Ь = 4, либо а = 2, Ь = 5, и видно, что при к = 2 оценка не
работает. Если теперь к = 2, / = 1, то опять к ^ 3 ив нужных нам ситуациях либо а = 4,
Ь = 2, либо а = 5, Ь = 2. В итоге получаем ш3(8) ^ 48 и ш3(10) ^ 147.
Пусть теперь к = 2. Случаи п ^ 5, как мы помним, изучены ранее. Пусть, стало быть, п ^ 6. Неравенство (5) не применимо, а неравенства (6), (7), (8) и метод с.о.п. работают. Их и сравним. Имеем
ш2(6) ^ ш2(4) ■ 5 + 25 = 52 (неравенство (6)),
ш2(6) ^ ш2(5) ■ 5 + 1 = 36 (неравенство (7)),
ш2(6) ^ ш(5) ^ 51 (неравенство (8)),
ш2(6) ^ 66 (метод с.о.п.).
Видим, что в данном случае оценка (7) сильнее всех.
Теперь подсчитаем ш2(7) по тем же формулам:
ш2(7) ^ ш2(5) ■ 6 + 26 = 106 (неравенство (6)),
ш2(7) ^ ш2(6) ■ 6 + 1 ^ 217 (неравенство (7)),
ш2(7) ^ ш(6) ^ 147 (неравенство (8)),
ш2(7) ^ 182 (метод с.о.п.).
Здесь сильнее всех оценка (6).
Аналогично действуем для п = 8, 9, 10:
ш2(8) ^ ш2(6) ■ 7 + 27 ^ 380 (неравенство (6)),
ш2(8) ^ ш2(7) ■ 7+1 ^ 743 (неравенство (7)),
ш2(8) ^ ш(7) ^ 421 (неравенство (8)),
ш2(8) ^ 468 (метод с.о.п.),
ш2(9) ^ ш2(7) ■ 8 + 28 ^ 1104 (неравенство (6)),
ш2(9) ^ ш2(8) ■ 8 + 1 ^ 3041 (неравенство (7)),
ш2(9) ^ ш(8) ^ 1339 (неравенство (8)),
т2(9) ^ 1146 (метод с.о.п.),
т2(10) ^ т2(8) ■ 9 + 29 ^ 3932 (неравенство (6)),
т2(10) ^ т2(9) ■ 9 + 1 ^ 9937 (неравенство (7)), т2(10) ^ т(9) ^ 2401 (неравенство (8)),
т2(10) ^ 2720 (метод с.о.п.).
Видим, что все неравенства, кроме (с.о.п.), в тех или иных ситуациях оказываются наилучшими: для п = 6 — неравенство (7), для п = 7, 8, 9 — неравенство (6), для п =10
— неравенство (8).
Обратимся к случаю к = 3. Здесь нужно смотреть на п ^ 7, причем при п = 7 неравенство (6) не применимо:
т3(7) ^ 8 (работа [11]),
т3(7) ^ т3(6) ■ 5 + 1 = 16 (неравенство (7)),
т3(7) ^ т(5) ^ 51 (неравенство (8)),
т3(7) ^ 26 (метод с.о.п.),
т3(8) ^ 48 (неравенство (5)),
т3(8) ^ т3(6) ■ 6 + 26 ^ 82 (неравенство (6)),
т3(8) ^ т3(7) ■ 6 + 1 ^ 49 (неравенство (7)),
т3(8) ^ т(6) ^ 147 (неравенство (8)),
т3(8) ^ 63 (метод с.о.п.),
т3(9) ^ т3(7) ■ 7 + 27 ^ 184 (неравенство (6)),
т3(9) ^ т3(8) ■ 7+1 ^ 337 (неравенство (7)),
т3(9) ^ т(7) ^ 421 (неравенство (8)),
т3(9) ^ 150 (метод с.о.п.),
т3(10) ^ 147 (неравенство (5)), т3(10) ^ т3(8) ■ 8 + 28 ^ 640 (неравенство (6)),
т3(10) ^ т3(9) ■ 8 + 1 ^ 1201 (неравенство (7)),
т3(10) ^ т(8) ^ 1339 (неравенство (8)),
т3(10) ^ 343 (метод с.о.п.).
При п = 7 известный ранее результат улучшить не удалось, при п = 8,10 и даже при
п = 9 лучшим является неравенство (5), ведь т3(9) ^ т3(10) ^ 147.
В заключение приведем таблицу, содержащую наилучшие оценки для величин (п)
при малых к, п.
к/п 2 3 4 5 6
1 3 7 23 51 147
2 — — 4, [10] 7, [10] 36, (7)
3 — — — — 3
к/п 7 8 9 10
1 421 1339 2401 7803
2 106, (6) 380,(6) 1104,(6) 2401, (8)
3 8, [10] 48, (5) 147,(5) 147,(5)
Хорошо видно, что все подходы важны. Кажется, что маловато оценок, где (7) сильнее всех, и вовсе нет оценок с превосходством (с.о.п.). В первом случае можно заметить, что, например, т2(8) хоть и оценивается лучше всего за счет (6), но в этой оценке участвует величина т2(6), оценка которой, в свою очередь, уже опирается на (7): мы ведь указываем лишь последнюю рекурсию, а не всю предысторию. Что же касается с.о.п., то ясно, что при больших по сравнению с к величинах п они все равно рано или поздно возобладают. А при других соотношениях между к и п «выстрелить» может любое неравенство.
6. Доказательства
6.1. Доказательство теоремы 1
Доказательство теоремы 1 основывается на принципе склейки нескольких гиперграфов одинаковой структуры для получения более «крупного» (с точки зрения длины ребра) гиперграфа, обладающего нужными нам свойствами.
Возьмем а-однородный гиперграф Н = (V, Е), который имеет тк (а) ребер и не обладает свойством Вк. Без ограничения общности будем считать, что V = {1, 2,..., V}. Пусть Ні = (VI, Еі) — Ь-однородный гиперграф с Шг(Ь) ребрами, который не обладает свойством В^. Рассмотрим Н4 = (V*, Е4), £ = 2,... , V, — непересекающиеся по вершинам копии гиперграфа Ні. Построим аЬ-однородный гиперграф Н = (V, Е) следующим образом. Положим у = и!=1 ^. Пусть Л Є Е — некоторое ребро гиперграфа Н, Л = {^1,...,5а}. Тогда рассмотрим совокупность Е^ = {/іи.. .и/а : / Є Е8і, і = 1,... , а} всевозможных объединений ребер гиперграфов Н81,..., Н5а, взятых по одному из каждого гиперграфа. Получается (ті (Ь))“ подмножеств множества V, каждое из которых имеет мощность аЬ. Наконец, положим Е = иЕ^. Из построения следует, что Н = (у, Е) — аЬ-однородный гиперграф, у которого тк(а)(шг(Ь))а ребер. Проверим, что он не обладает свойством Ваі+ьк_и+к+і_а_ь.
Пусть р — произвольная раскраска множества у в 2 цвета. Тогда р задает двухцветные раскраски на всех множествах V:, і = 1,..., V. В силу того, что все Ні не обладают свойством Ві, в каждом из гиперграфов найдется ребро, содержащее менее I вершин одного цвета. Такое ребро мы обозначим е: (если таких ребер несколько, то возьмем любое из них). Рассмотрим следующую раскраску множества V вершин гиперграфа Н: вершине і Є V = {1,... , V} сопоставляем цвет, который «доминирует» в ребре е: (т.е. тот цвет, в который окрашены более чем Ь — I вершин). Получается некоторая раскраска р множества V в два цвета. В силу того, что Н не обладает свойством Вк, найдется ребро Л0, которое в раскраске р имеет по крайней мере а — к + 1 вершин одного цвета (скажем, «красного»). Из построения множества Е^0 следует, что е = иі&н е: Є Е^0. Как мы знаем, среди ребер е:, входящих в состав ребра е, есть не менее а — к +1 ребер, в каждом из которых не менее Ь — I + 1 вершин красного цвета. Таким образом, мы нашли ребро гиперграфа Н, имеющее по крайней мере (а — к + 1)(Ь — I + 1) вершин одного цвета. Следовательно, наш аЬ-однородный гиперграф уж точно не обладает свойством Ваі+ьк_кі+к+і_а_ь.
6.2. Доказательство теоремы 2
Зафиксируем гиперграф Н1, не обладающий свойством Вк, и гиперграф Н2, не обладающий свойством Ві, из утверждения 1 или 2. Отметим, что доказательства в случаях, когда Н2 из утверждения 1 и когда Н2 из утверждения 2, совпадают. Ниже мы приведем общее рассуждение, верное в случае обоих утверждений.
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что гиперграф Н, построенный в нем, обладает свойством Вк. Рассмотрим произвольную раскраску р множества вершин V =
= V(H) в 2 цвета. Поскольку H1 не обладает свойством B&, то при раскраске p множества V(H1) С V(H) существует ребро Aj Є E(H1), в котором не более чем k — 1 вершина покрашена (без ограничения общности) в первый цвет. Далее, вершины из множества V(H2) \ {x1,... , x2i-1} также имеют некоторые цвета в раскраске p. Поскольку гиперграф H2 не обладает свойством Bi, у него есть ребро, в котором вершин одного из цветов меньше l. Это ребро может содержать все вершины x1,..., ж2|-1, а может и не содержать ни одной из этих вершин (других ребер в утверждениях 1 и 2 просто нет). Рассмотрим оба случая.
Случай 1. Все ребра гиперграфа H2, не содержащие вершины x1,... , x2i-1, покрашены правильно (то есть каждое ребро имеет по крайней мере l вершин каждого цвета). Тогда найдется такой набор вершин Bj, что Bj U {x1,... ,x2i-1} Є E(H2) и ни одна из вершин Bj не покрашена в цвет 1. В самом деле, если это не так, то вершины x1,..., Ж|-1 можно покрасить в цвет 1, а вершины Ж|,..., ж2|-1 — в цвет 2 и гиперграф H2 оказывается обладающим свойством B^. Возьмем ребро Aj U Bj гиперграфа H. Оно содержит не более k — 1 вершин цвета 1, что противоречит изначальному предположению о наличии свойства Bfc у H.
Случай 2. Существует ребро e Є E(H2 \ {x1,..., x2i-1}), в котором вершин одного из цветов меньше l. Тогда, поскольку e Є H, гиперграф H не обладает свойством Bi, а следовательно, и свойством B&, ведь k ^ l. Опять получаем противоречие.
6.3. Доказательство утверждения І
Докажем от противного. Пусть Hi все же обладает свойством B|. Тогда заметим, что в правильной раскраске существуют две возможности: либо ровно l — 1 вершина среди x1,... x2i-1 покрашена в один из цветов и l вершин — в другой, либо l — 2 вершины покрашены в один цвет и l + 1 вершин — в другой. Очевидно, в обоих случаях среди ребер {сь...с„
-z+ъ ага_г+2,..., ап}, где сг = аг или сг = bj, найдется ребро, содержащее по крайней мере n — l + 1 вершин одного цвета, а значит, вершин другого цвета — не более l — 1. Противоречие.
6.4. Доказательство утверждения 2
Докажем от противного. Пусть Hi все же обладает свойством B|. Тогда заметим, что в каждом ребре A = {x1, x2,..., x2i-1, уг}, i = 1, 2,...,n — l + 1, все y покрашены в один и тот же цвет, но тогда в ребре A = {y1, y2,... , yn}, очевидно, найдется n — l + 1 вершин одного цвета, а значит, вершин другого цвета не больше l — 1. Противоречие.
Гиперграф Hi является критическим. Доказательство этого факта очевидно.
Литература
1. Erdos P., Hajnal A. On a property of families of sets // Acta Mathematica of the Academy of Sciences, Hungary.— 19б1.—V. 12, N 1—2.—P. 87-123.
2. Radhakrishnan J., Srinivasan A. Improved bounds and algorithms for hypergraph two-coloring // Random Structures and Algorithms.— 2000.— V. 1б, N 1.— P. 4-32.
3. Erdos P. On a combinatorial problem, II // Acta Mathematica of the Academy of Sciences, Hungary.- 19б4.—V. 15, N 3-4, P. 445-447.
4. Шабанов Д. А. Об одной комбинаторной задаче Эрдеша // Доклады РАН. — 2004.— Т. 39б, № 2.-С. 1бб-1б9.
5. Розовская А. П. Экстремальные комбинаторные задачи для двухцветных раскрасок гиперграфов // Матем. заметки.— 2011.— Т. 90, № 4.— С. 584-598.
6. Райгородский А. М., Шабанов Д. А. Задача Эрдеша-Хайнала о раскрасках гиперграфов, ее обобщения и смежные проблемы // УМН. — 2011.— Т. 66, вып. 5.— С. 109-182.
7. Шабанов Д. А. Экстремальные задачи для раскрасок равномерных гиперграфов // Известия РАН. — Сер. математическая.— 2007.— Т. 71, № 6.— С. 183-222.
8. Abbott H.L., Moser L. On a combinatorial problem of Erdos and Hajnal // Canadian Mathematical Bullettin.— 1964.— V. 7.— P. 177—181.
9. Abbott H. L., Hanson D. On a combinatorial problem of Erdos // Canadian Mathematical Bullettin.-1969.-V. 12.-P. 823-829.
10. Toft B. On color critical hypergraphs // Infinite and Finite Sets, eds. A. Hajnal et. al.— Amsterdam: North Holland, 1975.—P. 1445-1457.
11. Розовская А. П., Титова М. В., Шабанов Д. А. О половинных раскрасках гиперграфов // Фундаментальная и прикладная математика.— 2009.— Т. 15, №7.— С. 141-163.
12. Kostochka A. V.. Color-Critical Graphs and Hypergraphs with Few Edges: A Survey // More Sets, Graphs and Numbers. Bolyai Society Mathematical Studies, eds. E. Gyori, G. O. H. Katona, L. Lovasz.— V. 15.— Springer, 2006.— P. 175-198.
13. Райгородский А. М. Системы общих представителей в комбинаторике и их приложениях.— М.: МЦНМО, 2009.
Поступила в редакцию 02.07.2011
