О справедливых раскрасках простых гиперграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.179.1

И. А. Акользин

Московский физико-технический институт (государственный университет)

О справедливых раскрасках простых гиперграфов

Исследуется проблема о справедливых раскрасках гиперграфов, связанная с теоремой Хайнала—Семереди. Получена новая оценка максимальной степени вершины простого однородного гиперграфа, которая обеспечивает наличие справедливой раскраски в два цвета.

Ключевые слова: справедливые раскраски, простые гиперграфы.

I. А. Akolzin

Moscow Institute of Physics and Technology

Equitable colorings of simple hypergraphs

The work deals with a problem of equitable colorings of hypergraphs, which is connected with the Hajnal-Szemeredi theorem. We obtain a new bound for the maximal vertex degree of a simple uniform hypergraph that provides the existence of an equitable coloring with two colors.

Key words: equitable colorings, simple hypergraphs.

1. Введение

Работа посвящена известной экстремальной задаче, связанной с раскрасками гиперграфов. Напомним основные определения.

Гиперграфом в дискретной математике называется пара Н = (У,Е), где V - это некоторое конечное множество, называемое множеством вершин гиперграфа, а Е — семейство подмножеств множества вершин V, называемых ребрами гиперграфа. Гиперграф называется п-однородным, если каждое его ребро содержит ровно п вершин. Степенью вершины V гиперграфа называется количество его ребер, содержащих V. Максимальную степень вершины гиперграфа Н мы будем обозначать через А(Н). Раскраской вершин в г цветов называется отображение из множества вершин V во множество цветов {1,..., г}. Раскраска является правильной, если в ней все ребра гиперграфа неодноцветны. Хроматическим числом гиперграфа Н, х(Н) называется такое минимальное число г, что для Н существует правильная раскраска в г цветов.

Один из базовых фактов теории графов состоит в том, что для любого графа С выполнено

Х(С) < А(С) + 1.

Однако, как показали Хайнал и Семереди [1], в данных условиях имеет место более сильное утверждение, а именно, что каждый граф С можно справедливо раскрасить в А(С) + 1 цвет. Напомним, что раскраска называется справедливой, если она является правильной и мощности всех цветовых классов отличаются не более чем на единицу. Настоящая работа посвящена обобщению теоремы Хайнала-Семереди на случай гиперграфов.

© Акользин И. А., 2017

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

Первая количественная связь между хроматическим числом и максимальной степенью вершины в гиперграфе была получена в классической работе Эрдеша и Ловаса [2]. Они показали, что если Н — п-однородный гиперграф с максимальной степенью вершины

А(Я) <

гп— 1

еп

то х(Н) ^ г- Данный результат был обобщен на случай справедливых раскрасок в работе Лу и Секеи [3]. Они показали, что если число вершин п-однородного гиперграфа Н делится на г и

А(Н) <

гп— 1

2еп

то для Н существует справедливая раскраска в г цветов.

Для класса простых гиперграфов, т.е. гиперграфов, у которых любые два различных ребра имеют не более одной общей вершины, результат Лу и Секеи был усилен в работе Шабанова [4], где было показано, что если Н - простой п-однородный гиперграф с

А(Н) < с

2п-1 л/п 1п п'

где с > 0 - некоторая абсолютная констан та, то для Н существует справедливая раскраска в два цвета.

Основной результат работы дополнительно усиливает оценку на максимальную степень вершины простого п-однородного гиперграфа, которая обеспечивает существование справедливой раскраски вершин в два цвета.

Теорема 1. Существуют тлкие п0 € N и с > 0 что при п > п0 для любого п-однородного простого гиперграфа Н = (V, Е) с максимальной степенью вершины, не превосходящей с ■ 2п-1, существует справедливая ра,скра,ска, Н в два, цвет,а.

Отметим, что для случая обычных раскрасок (а не справедливых) данный результат был получен ранее в работе Козика и Шабанова [5]. Найденная в теореме 1 оценка на максимальную степень вершины достаточно близка к максимально возможной, так, например, в работе Косточки и Рёдля [6] было доказано существование простых гиперграфов с хроматическим числом больше двух и максимальной степенью вершины не более |~п2га-11п2]. В следующем разделе мы приведем доказательство теоремы 1.

2. Доказательство теоремы 1

Пусть IV| = N. Без ограничения общности можно считать, что N четно, иначе можно добавить одну изолированную вершину. Рассмотрим Ш ж В — два непересекающихся множества размера N/2. Нам необходимо показать, что существует справедливая раскраска Н в два цвета, т.е. что существует такая биекция /: V ^ Ш и В, что для любого ребра А € Е выполнено

/(А) £ Ш п /(А) £ В.

Мы построим некоторую случайную биекцию и покажем, что с положительной вероятностью она будет удовлетворять искомому свойству.

2.1. Алгоритм перекраски

Для построения случайной биекции мы воспользуемся методом случайной перекраски, следуя идеям из работ [5], [4]. Суть его проста: если некоторая раскраска не является искомой, то мы случайной перекраской небольшого числа вершин пытаемся ее исправить.

Рассмотрим случайную биекцию то: V ^ Ш и В, имеющую равномерное распределение на множестве всех биекций. Будем говорить, что вершина V € V имеет начальный белый

(черный) цвет, если то (у) € Ш (В). Кроме того, пусть для каждой вершины у задана случайная величина Ху, имеющая равномерное распределение на [0; 1] и независимая как с то, так и с остальными случайными величинами Хи,и € V \ {г>}. Величину Хь будем называть весом вершины у, и будем называть вершину свободной, если ее вес не превосходит некоторого числа р € (0,1/2), которое является параметром нашей конструкции.

В силу того что нам необходимо соблюдать баланс цветовых классов, перекраска вершины возможна только при одновременной перекраске некоторой вершины противоположного цвета. Для этого мы введем понятие двойственности вершин. Пусть а: Ш ^ В - некоторая фиксированная биекция. Тогда на множестве V можно задать следующую индуцированную биекцию Т: V ^ V:

• Т(у) = т-1(а(т0(-и))), если т0(у) €

• Т(у) = т-1(а~1(то(у))), иначе.

Случайную вершину Т(у) будем называть двойственной к вершине V. Заметим, что начальные цвета двойственных вершин всегда различны по построению.

Опишем следующий алгоритм изменения биекции то (и индуцированной ею раскраски):

1) На вход алгоритм получает начальную раскраску, веса всех вершин и разбиение на двойственные пары.

2) Если в текущей раскраске т% индуцированной текущей биекцией есть одноцветное ребро А, то неодим в этом ребре свободную вершину у с наименьшим весом, которая еще ни разу не была перекрашена.

3) После нахождения подобной вершины у меняем ее цвет и цвет двойственной к ней вершины Т(у) на противоположные. Формально биекция меняется следующим образом:

п+1(у) := п(т(у)); тг+1(Т(у)) := тг(у); Тг+1(и) := Тг(и) для любой и € V \ {у,т(-и)}.

4) Повторяем второй шаг пока возможно.

Заметим, что согласно алгоритму каждая вершина перекрашивается не более одного раза, поэтому он всегда завершается.

2.2. Построение дерева

Поймем, какие конфигурации из ребер гиперграфа возможны в случае, если алгоритм не привел к правильной раскраске. Пусть по итогам работы алгоритма ребро А оказалось полностью одноцветным (например, белого цвета). Тогда ребро А могло содержать вершины только двух типов:

1) либо вершина V € А была изначально белой и несвободной,

2) либо вершина у € А была изначально черной, свободной и перекрашена в процессе работы алгоритма.

Рассмотрим подробнее вершины второго типа. Если вершина V сменила свой цвет, то снова возможны две ситуации:

(а) либо саму вершину у содержало некоторое ребро В, которое в некоторый момент процесса перекраски оказалось полностью черным и у была свободной вершиной с наименьшим весом среди еще неперекрашенных;

(б) либо двойственную вершину Т(и) содержало некоторое ребро С, которое в некоторый момент процесса перекраски оказалось полностью белым и Т(и) была свободной вершиной с наименьшим весом среди еще неперекрашенных.

В первой ситуации будем говорить, что ребро В портит вершину V, а во второй - что ребро С портит вершину Т(у). Далее, само ребро В не обязано было быть изначально полностью черным, значит, в нем могли быть изначально белые вершины. Раз в какой-то момент процесса перекраски оно оказалось полностью черным, то для каждой подобной вершины было ребро, которое ее испортило.

Данное рассуждение показывает, что можно рассмотреть следующую конфигурацию, которую мы будем называть Л,-деревом:

• К = (V', Е') - граф-дерево с корнем, вершинами которого являются ребра исходного гиперграфа Н-,

• корень - это ребро А;

• пара ребер (А', В') гиперграфа соединяется ребром е в дереве Е, если в ребре А' либо нашлась вершина V, которую испортило ребро В' (тогда ребро е будем называть настоящим,), либо нашлась вершина V такая, что ребро В' испортило двойственную вершину Т(у) (тогда ребро е будем называть мнимым);

• в предыдущем случае будем говорить, что ребро В' является потомком ребра А1 в дереве Д, тем самым, каждой вершине из А1 может соответствовать не более одного

• если ребро А' в процессе перекраски стадо полностью одноцветным цвета а(А'), то будем говорить, что цвет а(А') является доминирующим в ребре А'-,

• дерево R является полным,, т.е. множество потомков N в дереве R в точности соответствует множеству вершин А', имевших изначально не доминирующий цвет а(А').

Заметим, что наличие одноцветного ребра А в итоговой раскраске влечет наличие полного fa-дерева с корнем А. Остается разобрать различные варианты структуры Л,-дерева.

2.3. Случай 1: ребро с большим числом потомков

Пусть ребро А' в дереве R имело хотя бы п/3 потомков. Это в точности означает, что в нем было не менее п/3 вершин, каждая из которых либо сама была свободной, либо свободной была ее двойственная. Заметим, что А1 не может содержать пару двойственных вершин, в противном случае оно не могло стать одноцветным в процессе перекраски. Обозначим данное событие через D(A'). Тогда вероятность со бытия D(A') оценивается следующим образом:

Для применения локальной леммы нам понадобятся локальные полиномы для всех видов событий. Для событий типа И он будет выглядеть следующим образом: Уь € V

потомка;

(2.1)

A':veA'

2.4. Случай 2: гипердерево

Пусть К - это полное Л дерево с корнем А и любая вершина Л-дерева имеет не более п/3 потомков. Осуществим следующую процедуру над множеством вершин исходного гиперграфа: отождествим двойственные вершины. Если после применения подобной процедуры

набор вершин Н-дерева как набор ребер гиперграфа Н образует настоящее гипердерево, то будем называть такой случай правильным Н-деревом.

Выделим следующие свойства правильного Н-дерева:

• если зафиксирован итоговый цвет корня К и зафиксированы типы ребер К (настоящие или мнимые), то для всех вершин гиперграфа Н, входящих в К, будут зафиксированы цвета в изначальной раскраске;

• если К состоит из т вершин и имеет и мнимых ребер, то число вершин Н, входящих в Д, равно т ■ (п — 1) + 1 + и и среди них будет и двойственных пар;

• для каждого ребра А1, не являющегося корнем Д, существует вершина V € А1, которую А1 испортило, тогда эта вершина V будет иметь наименьший вес среди всех вершин А', не соответствующих потомкам А1. Все подобные подмножества вершин не будут попарно пересекаться и будут иметь мощность не менее 2п/?у,

• все вершины А, которые не соответствуют его потомкам, являются несвободными.

Обозначим выражение N!/(М — т)! как (И)т Тогда вероятность начальной раскраски вершин К при фиксированном итоговом цвете корня А равна

(М/2)а (N/2 — и)т<п-1)+1-а

(^)т-(п-1) + 1+и

где а - число белых вершин в Н-дереве. Теперь оценим это выражение. Обозначим д = т ■ (п — 1) + 1, тогда

(М/2)а (N/2 — и)— = (К )д+и

= N (И — 2)... (И — 2а + 2)(И — 2и) ... (И — 2и — 2д + 2а + 2)

N (И — 1)... (И — д — и + 1) . { '

Здесь необходимо разобрать несколько случаев, чтобы хорошо оценить данное выражение. Если и ^ а, то тогда правая часть (2.2) не превосходит

2

-д (М — 2и)... (И — 2и — 2д + 2а + 2)

~(Ы——3)77.(М —2лТ1Г Х 1

х_<

(И — 2а)... (И — а — и + 1)(И — а — и)... (И — д — и + 1) "" (заметим, что (М — 2и)... (М — 2и — 2д + 2а + 2) < (М — а — и) ... (М — д — и + 1))

п 1

< 2-д- <

(Ы — 1)(Ы — 3)......(Ы — 2а + 1)(М — 2а)... (Ы — а — и + 1)

1

< 2-д-

(И — 1)(И — 3)... (И — 2и + 1)' Если же а > и, то правая часть (2.2) не превосходит

-д (Ы — 2и) ... (И — 2и — 2д + 2а + 2)

2 .

(Ы — 1)(Ы — 3) ... (Ы — 2а + 1)(м — 2а)... (Ы — д — и + 1)

Множитель (И — 2и + 1) нжодится перед (М — 2а + 1), и, начиная с него в знаменателе, множители последовательно уменьшаются сначала на 2, а потом, дойдя до (М — 2а), — на 1, при этом общее число множителей равно д — а + 1. Стало быть, числитель меньше подобного хвоста знаменателя даже без последнего множителя (И — д — и + 1). Отсюда оцениваемое выражение не превосходит

1

(Ы — 1) ■■■ (Ы — 2и + 3)(Ы — д — и + 1)'

что несколько больше, чем полученное выражение в предыдущем случае, когда и > а. Заметим далее, что и ^ т ^ я/(п — 1) < N/4 при п ^ 5. Таким образом, вероятность не превосходит

(2/М)и-1^ — ц — и + 1)-1.

Обозначим через НТ(К) рассматриваемое событие, когда К является правильным полным Л,-деревом. Тогда, в силу предыдущих рассуждений, мы получаем, что

/ з \ т-1

Р( НТ (К)) < 2-(2^ )и-1^ — ц — и + 1)-1 Л (1 — р)2п/3.

Далее, для каждой вершины V оценим локальный полином, отвечающий событиям НТ (К), когда V € К'.

ы1{г)= ^ Р(НТ(К)) ■ г2\у(к)\,

Я: (Я)

где V(К) - множество вершин исходного гиперграфа в Л-дереве К.

Вспоминая, что д = т ■ (п — 1) + 1, получаем, что

/ з \ т-1

(*) = ^ 2—(2^)и-1^ — ц — и + 1)-1 ■ ^ (1 — р)2п/3 ■ г2(д+и) =

2 п

В- 4 7

\Е(Н )\т-1

аш1 т 1 \А(Н)(пА(Н))т-1-и^пА(Н))их

Е 1 ■

т=1 и=0

/ 3 \ т-1

х2-(т'(п-1)+1\2/N)и-1^ — т ■ (п — 1) — и)-1 ■ ( (1 — р)2п/3 ■ г2(^-(^-1)+1+^). (2.3)

Прокомментируем полученное неравенство. Сколько Л-деревьев размера т с и мнимыми

• структуру дерева (не более 4т способов),

т

• номера мнимых ребер ((т-1) способов),

• ребро, содержащее V (не более А(Н) способов),

• последовательно остальные ребра конфигурации (не более (пА(Н))т-1-и^пА(Н))и способов, ведь при настоящем переходе мы выбираем ребро, содержащую вершину из

пА( Н)

гося ребра, любую другую в качестве двойственной и ребро, содержащее двойственную, не более чем пА(Н)N способов).

2.5. Случай 3: большое поддерево

Л К

лучили настоящее гипердерево, а получили конфигурацию ребер, содержащую циклы. Для каждой вершины В Л-дерева введем понятие полного Л-поддерева с корнем в В, состоящего из всех вершин Л-дерева, чей кратчайший путь до корня проходит через В. Рассмотрим 5

Л К

пых вершин содержит цикл из ребер гиперграфа Н. Тогда каждое поддерево самого 5 уже не содержит циклов и возможны две ситуации:

1) либо все поддеревья Б имеют размер не более \ап, тогда в Б найдется цикл длины не более 2\пп + 1,

2) либо нашлось поддерево 5" с корнем В' размера более 1п п.

В данном параграфе мы разберем второй случай.

Заметим, что Б' очень похоже на правильное Л-дерево. Единственное отличие состоит в том, что про вершины В', которые не соответствуют его потомкам в Б', мы не можем сказать, что они являются несвободными вершинами. Тогда, обозначая это событие через НБ(Б'), получаем, что его вероятность не превосходит

Р(НБ(Б')) < (2/И)и-1(И — д - и + 1)-1 Л .

Далее, для каждой вершины V оценим локальный полином, отвечающий событиям НБ(Б'), когда V € Б':

™1{х)= £ Р(НБ(Б')) ■ г21У(3')\,

3': (3')

где V(Б') - множество вершин исходного гиперграфа в ^-поддереве Б' . Вспоминая, что д = т ■ (п — 1) + 1, получаем, что

/ з \ т-1

(*)= 2-д)и-1(^ — д — и + 1)-1 ■ ^ ■ г2(д+и) =

V 211 )

Я': -ювУ (Я') к 7

= Е £ т4т(т — ^^(Н)(пА(Н))т-1-и(МпА(Н))их

т>Ы п и=0

/ 3 \ т-1

х2-(т<п-1)+1)(2/Ща-1(Н — т ■ (п — 1) — и)-1 ■ ( ■ г2(т'(п-1)+1+и). (2.4)

2.6. Случай 4: короткие циклы длины > 2

Осталось рассмотреть случай, когда исходное Л,-дерево при отождествлении двойственных вершин содержит цикл длины от 2 до 21п п +1 из ребер гиперграфа Н. Случай циклов длины 2 - особый, и мы разберем его позднее. Пусть теперь С = (А1,..., Ат) - это простой цикл длины т ^ 3, получившийся в результате отождествления двойственных вершин, т.е. ребро Аг, г = 1,..., т, либо имеет одну общую вершину с ребром А^+1, либо оно содержит вершину ы, двойственная к которой лежит в ребре А^+1 (считаем, что Ат+1 = А1).

Обозначим через од цвет, в котором ребро Аг стало одноцветным в процессе перекраски. Тогда каждая вершина ребра А^ либо имела изначальный цвет алибо имела противоположный начальный цвет, но была свободной или же свободной была ее двойственная. Обозначим через и количество таких г, что Vi € А^ и Т(ь^ € А^+1. Важное замечание состоит в том, что каждая вершина, не лежащая в пересечении ребер А¿, не является двойственной ни к какой другой вершине нашего цикла. Обозначим через а количество изначально черных вершин цикла С, а через Ь - количество изначально белых вершин. В цикле имеется ровно и пар двойственных вершин, стало быть, вероятность подобного исхода равна

(!) ■ ■ (I — а + 1) (I — *) ■■■ (I — Ь + 1)

N(Ы — 1) ■■■ (Ы — а — Ь +1) .

Далее, а + Ь = т(п — 1) + и и и ^ т ^ 21п п + 1, значит, величина а + Ь не превосходит п2, что сильно меньше, чем общее чиело вершин N. Следовательно, при больших п можно считать, что эта вероятность не превосходит

/ N \а+Ь-и 2 \ 2 )_ _ 2l — (n—1)m АТ-и

2 ма+ь =2 1

Отсюда получаем, что вероятность того, что все вершины ребер Аг, которые были изначально покрашены не в искомый цвет аг, являлись свободными, не превосходит

(1 + 2р)тп ■ 21-(n-1)mN-и. (2.5)

Множитель (1 + 2р)тп отвечает грубой оценке сверху для перебора вариантов: либо начальный цвет уже правильный, либо вершина свободная, либо свободной является ей двойственная.

Обозначим за С(С) событие, состоящее в том, что С = (А1,...,Ат) образует простой цикл. Тогда в силу предыдущих рассуждений мы получаем, что

Р(С(С)) < (1 + 2р)тп ■ 21-(n-1)mN-и.

Далее, для каждой вершины V оценим локальный полином, отвечающий событиям С(С), когда V € С:

■ы4(г)= £ Р(С(С)) ■ г2\у(С)\,

С: (С)

где V(С) - множество вершин исходного гиперграфа в цикле С. Теперь ™4(г) = ^ (1 + 2р)тп ■ 21-(n-1)mN-их2(п-1)т+и =

С: (С)

т , ч

^ ^т(т) (А(Н))m-1пmNu ■ (1 + 2р)тп ■ 21-(n-1)mN-иг2((^-1)^+^). (2.6)

и

3^т^21п п+1и=0 4

Аг С

А(Н) способами. При уже выбранном ребре А. вершин у V., участвующую в пересечении ребер А., и А^1, можно выбрать не более чем п способами, двойственную к ней - не более чем N способами (это необходимо сделать и раз), а само ребро А.+1 - те более, чем А(Н) способами. Наконец, последнее ребро Аг-1 можно будет выбрать не более одного способа

г- 1 Аг

2.7. Случай 5: короткий цикл длины 2

Л

содержит цикл длины ровно 2 из ребер гиперграфа Н. Пусть теперь И = (А1,А2) — это

Н А1 , А2

более одной общей вершины, поэтому все оставшиеся совпавшие в результате отождествле-

и

А1 , А2 А1 , А2

8 € {0,1} а и ^ 2 — в.

Теперь воспользуемся оценкой вероятности (2.5), которая верна и для 2-цикла. Обозначим изучаемое событие через БС(И), тогда

Р(БС(И)) < (1 + 2р)2п ■ 21+s-2nN-и.

БС(И), когда V € И:

<и5(г)= £ Р(БС(И)) ■ г2\у(О)\,

О: (И)

где V(И) - множество вершин исходного гиперграфа в 2-цикле И. Теперь

(г) = Т. (1 + 2р)2п ■ 21+я-2nN-иг4п -

О: (И)

1 п-в

= ^ ^ 2А(Н)п3(п^2-3(1 + 2р)2п ■ 21+s-2nN-их4п. (2.7)

8=0 и=2-з

Аг А( Н)

Аг А3-и вторую с ней двойственную, либо две пары двойственных вершин. В обоих случаях само А3-

3. Локальная лемма

Для завершения доказательства теоремы нам понадобится специальный случай локальной леммы. Сформулируем ее в удобном для нас варианте.

Лемма 1. Пусть A1,..., Ам - это события на вероятностном пространстве. Пусть для каждого события Ai выделено некоторое конечное множество dom(Ai) с таким условием, что для любого J С {j: dom(Aj) П dom(Ai) = Щ выполнено

P ^| Q Aj j < P(A). (3.1)

м

Обозначим через DOM = |J dom(Ai) и для каждого v £ DOM введем, полином

i=1

Wv (z) = ^ P(Ai )z

\dom(Ai)\

P( Ai )"

i: v£d<om(Ai)

Если существует такой полином w(z) с условием w(z) ^ wv (z) для любых v £ DOM и z ^ 1 а т,а,кже у £ (0,1), такое, что w(l/(l — у)) ^ у, то

p(nAi) >о.

Для исходной случайной биекции tq и произвольного набора вершин U нашего гиперграфа Н можно рассмотреть каноническое событие A(U,Q, g),rpß Q С W U В, IQI = IU g:U ^ Q фиксированная биекция, состоящее в том, что

А( U,Q, g) = {Vv£U ro(v)=g(v)}.

Два канонических события А(U,Q, g) и A(U',Q', g') конфликтуют,, если 3v £U nU': g(v) = g'(v) mm 35 £ Q nQ1: g-1(S) = g'-1(S).

Из работы JIv и Секеи [3] известно, что свойство отрицательной корреляции (3.1) вы-

£ J Aj

Ai

Каждое плохое событие из SC (D), С (С), HS(S), НТ (R), D(A) можно представить как дизъюнктное объединение простых событий вида L = A(U,Q, g) П {(Xv,v £U) £ F}, где U - это набор вершин гиперграфа Н (плохая конфигурация), Q с W U В A(U, Q, g) - ка-

F

введем dom(L) = U UQ. Тогда, как было показано в работе [4] (утверждение 1 на с. 194), подобные события будут удовлетворять свойству (3.1). Все, что нам остается сделать, это оценить полиномы wv(z) и подобрать значения параметров у, р, с, чтобы выполнялось неравенство w(1/(1 — у)) ^ у для мажорирующего многочлена w(z).

Заметим, что в рассматриваемой нами ситуации DOM = V U W U В и для любого простого события L = A(U, Q, g)n{(Xv,v £ U) £ F} выполнено Idom(L) = IU| + |Q| =2\U

Для каждой V € V введем общий полином плохих событий, содержащих и:

5

г=1

Для каждого из полиномов (г) были получены оценки (2.1), (2.3), (2.4), (2.6), (2.7), сумма которых и может выступить в качестве мажорирующего полинома и!(х).

Если же V € Ш и В, то общий полином плохих событий можно оценить следующим образом:

^(¿) = Е Р(Ь)г1(1отЩ1 < Е Е Р(Ь>То(Ц)=у)г1а°т{Ь)1.

Вероятность события Р(Ь, то(д) = V) оценивается точно так же, как и вероятность для выбранного плохого события Ь, единственное — мы требуем дополнительно, чтобы конкретная

суммировании вероятности для V не будет выбора из N/2 вершин. Следовательно,

^(-г) < Е Е Р(Ь, то(я) = V)< < N Е Е

деУ ЬщеЛотЩ

^ 2ша^ Е Р(Ь)*

\(1о1т(Ь) \

ьщеь

Указанные соотношения показывают, что величина, равная сумме правых частей (2.1), (2.3), (2.4), (2.6), (2.7), умноженная на два, подходит в качестве мажорирующего полинома для применения локальной леммы в формулировке 1. Нам остается лишь осуществить подходящий выбор параметров.

4. Выбор параметров и итоговые оценки

Итак, в качестве мажорирующего многочлена и!(х) выступит сумма правых частей (2.1), (2.3), (2.4), (2.6), (2.7), умноженная на два:

■ш(г) = 22п+1рп/3 ■ А(Н) ■ гп+

1Е(Н )1 т- (т- 14 +2 Е ^ш4тГ \А(Н)(пА(Н))т-1-и(КпА(Н))их

т=1 и=0 ^ '

/ з \ т-1

х2-{ш-{п-1)+1)(2/^у-1(к -ш ■ (п - 1) - и)-1 ■ ( (1 - р)2п/3 ■ г2(^-(^-1)+1+^) +

+2 Е Еш4^Ш - ^А^^А^^^^пА^^х

т>Ы п и=0

/ з \ т-1

х2-(т<п-1)+1)(2/^и-1(N -ш ■ (п - 1) - и)-1 ■ ( ^ j ■ г2(^-(п-1)+1+и) +

т , ч

+2 Е Еш ) (А(Н))т-1пт^ ■ (1 + 2р)тп ■ 21-(п-1^тN-игЩп-1)™+") +

п+1 и=0

1 п-в

+2 ЕЕ 2А(Н)п3(п М)2-3(1 + 2р)2п ■ 21+s-2nN-и г4п. (4.1)

) п

3=0 и=2—в

Осуществим следующий выбор параметров:

1 1 1 Ыпп

У = —гт, * = 1-= 1 + -, р =-.

п + 1 1 — п п

Напомним, что по условию теоремы А(Н) ^ с ■ 2п-1.

Теперь оценим каждое из составляющих (4.1) по отдельности. Нам необходимо показать, что w(1/(1 — у)) ^ у.

1) Рассмотрим первое слагаемое:

5 1пп^ п/3

22п+1 рп/3 ■ а(н) ■ ^ ^ 22п+1(^^ П ■с ■ 2п-1 ■е <

/ 51п п \1

V п )

< се ■ 23" ( ^Пп)П/3 < У-

п 5

при всех достаточно больших п > по ■ 2) Рассмотрим второе слагаемое:

\Е(Н)\т-1 _

2 Е Ет4т(т )а(н)(пА(Н))т-1-и(^пА(Н))их

т=1 'и=0 ^ '

т— 1

/ о \ т-1

х2-(т'(п-1^+1^ (2/ N)и-1(^ — т ■ (п — 1) — и)-1 ■ ( ^ j (1 — р)2п/3 ■ х2(™-(™-1)+1+^) ^

\Е(н)\ т— 1

< 2 ^ ^т4т(т Л (с ■ 2п-1)тпт-1^х

т=1 и=0 ^ '

/ о \ т-1

х2-(т'(п-1^+1^ (2/ N)и-1(N — т ■ (п — 1) — и)-1 ■ ( п-10/3 ■ е2т <

>Е(Н )\т-1 (т Л ^ ^т4тГ — МcmNх

Г I I- 1 Г}/-П * '

т=1 и=0

т— 1

х2и-1(N — т ■ (п — 1) — и)-1 ■( 3 ] п-10/3 ■ е2т <

(разобьем сумму по т на две части: либо тп ^ N/2, либо тп > N/2, в первом случае (^ — т ■ (п — 1) — и) ^ N/2, во втором мы оценим это выражение единицей)

< Е Ет4т(т — М cmN2u-1 N2)-1 ■( 3) п-10/3 ■ е2т+

т=1 и=0 ^ ' ^ '

т-1 / 1 \ /ч\т-1

+ Е Ет4т(т — М cmN2й-1 ■( 3) п-10/3 ■ е2т =

т>М/2п и=0 ^ ' ^ '

м/2п / о чт-1

= ^ т4т3т-1 ст ■ ( 3 ) п-10/3 ■ е2т+

т=1 ^ '

/ о \ т-1

+ ^ Nm4m3m-1 ст Л 3] п-10/3 ■ е2т.

„ 2

т>М/2п

При достаточно малой константе с < 1/500 первая сумма будет иметь порядок 0(п-10/3) < у/10, а вторая сумма будет иметь порядок О^(18е2с)м/2пп-10/3), что также меньше, чем у/10 при всех достаточно больших п > п0, т.к. N >

3) Третья сумма практически аналогична второй, за исключением отсутствия множителя (1 - р)2п/3. Стало быть, она не превосходит

Е m4m3m—1 ст ■( |j ■ е2т + Е Nm4m3m—1 ст ( • е2т.

m=1n п ^ ' m>N/2n ^ '

Заметим, что при достаточно малой константе с первая сумма не превосходит 2(18е2с)1пп, что меньше, чем у/10 при всех п > по- Вторая же сумма, как и раньше, будет иметь порядок 0(N(18е2с)м/2га), что также меньше у/10 при всех достаточно больших п > по-4) Рассмотрим четвертое слагаемое:

1 / \

Е Е m ) (А(Н))m-1nmNu ■ (1 + 2р)тп ■ 21-(n-1)mN—uz2((n—1)m+u) s

si2Inn+1 u=0 '

m

S E E^J сш-123-ппш ,п10ш ■ &2Ш

3SmS2\n n+1 u=0 ^ 7

= E 2mmСт—123—Пп11т ■ e2m S

3SmS21n n+1

S 23З-'nп221пn+n ^ ^ 2mmcm-1 ■ (?m

3SmS21n n+1

суммой стремится к нулю экспоненциально по п, стало быть, ото будет меньше у/5 при всех достаточно больших п > по.

5) Осталось рассмотреть пятую сумму:

1 n—s

2 ЕЕ 2А( Н)п3(пN )2—s(1 + 2p)2n ■ 21+s—2nN—uz4n S

s=0 u=2—s

1 n—s

S 2 EE 2с2п—1п2п20 ■ 22—2n e4 = 0(2—пп23),

s=0 u=2—s

что значительно меньше, чем у/5 при всех достаточно больших п > по■

Подведем итоги. Мы показали, что при подходящем выборе параметров к рассматриваемому набору плохих событий применима локальная лемма, которая утверждает, что с положительной вероятностью ни одно из них не будет выполнено. Значит, с положительной вероятностью предложенный алгоритм перекраски исправит все одноцветные ребра и предоставит на выходе справедливую раскраску вершин гиперграфа. Теорема доказана.

Литература

1. Hajnal A., Szemeredi Е. Proof of a conjecture of P. Erdos // Combinatorial theory and its applications, II (Proc. Colloq., Balatonfiired, 1969). 1970. P. 601-623.

2. Erdos P., Lovasz L. Problems and results on 3-chromatic hvpergraphs and some related questions // Infnite and Finite Sets, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolvai. 1973. V. 10. P. 609-627.

3. Lu L., Szekely L. Using Lovasz Local Lemma in the space of random injections // Electronic Journal of Combinatorics. 2007. V. 13. Research paper N 63.

4. Shabanov D.A. Equitable two-colorings of uniform hvpergraphs // European Journal of Combinatorics. 2015. V. 43. P. 185-203.

TPyflbl M<î> ru. 2017. Tom 9, № 4

li. A. Akojibsiih

173

5. Kozik J., Shabanov D.A. Improved algorithms for colorings of simple hvpergraphs and applications // Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2016. V. 116. 312-332.

6. Kostochka A. V., Rôdl V. Constructions of sparse uniform hvpergraphs with high chromatic number // Random Structures and Algorithms. 2010. V. 36, N 1. P. 46-56.

References

1. Hajnal A., Szemerédi E. Proof of a conjecture of P. Erdos. Combinatorial theory and its applications, II (Proc. Colloq., Balatonfiired, 1969). 1970. P. 601-623.

2. Erdôs P., Lovâsz L. Problems and results on 3-chromatic hvpergraphs and some related questions. Infnite and Finite Sets, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolvai. 1973. V. 10. P. 609-627.

3. Lu L., Székely L. Using Lovâsz Local Lemma in the space of random injections. Electronic Journal of Combinatorics. 2007. V. 13. Research paper N 63.

4. Shabanov D.A. Equitable two-colorings of uniform hvpergraphs. European Journal of Combinatorics. 2015. V. 43. P. 185-203.

5. Kozik J., Shabanov D.A. Improved algorithms for colorings of simple hvpergraphs and applications. Journal of Combinatorial Theory. Series B. 2016. V. 116. P. 312-332.

6. Kostochka A.V., Rôdl V. Constructions of sparse uniform hvpergraphs with high chromatic number. Random Structures and Algorithms. 2010. V. 36, N 1. 46-56.

Llocmynujia e pedaK'n'um 12.09.2017