2-граневая 4-раскрашиваемость плоских графов с обхватом не менее 22 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.172.2

2-ГРАНЕВАЯ 4-РАСКРАШИВАЕМОСТЬ ПЛОСКИХ ГРАФОВ С ОБХВАТОМ НЕ МЕНЕЕ 22*) А. О, Иванова

1. Введение

Под графом мы понимаем неориентированный граф без петель и кратных ребер. Через V(G), E(G), F(G), A(G) и g (G) обозначим множества вершин, ребер, граней, максимальную степень и обхват (мини-

G

мент всякий раз, когда граф ясен из контекста.)

Вершинная раскраска плоского графа называется к-цикловой, если любые две различные вершины, лежащие в границе грани размера к

Пламмером [1]. Пусть а к — наименьшее число цветов, достаточное для к

красках (Аппель и Хакен [2]), имеем а < 4, a из результатов О. В. Бородина [3,4] — <т4 <6. Кроме того, О. В. Бородин, Сандерс и Жао [5] доказали, что а <8.

Крал, Мадараш и Шкрековски [6] предложили следующее усиление 5-цикловой раскраски. Вершинная раскраска плоского графа называется 2-граневой, если любые две различные вершины, соединенные в обходе границы одной и той же грани путем длины не более два, раскрашены в разные цвета. Через ^>2 обозначим наименьшее число цве-

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 09-01-00244 и 08^01^00673).

© 2011 Иванова А. О.

тов, достаточное для 2-граневой раскраски заданного графа. В частности, в [6] доказано, что каждый плоский граф имееет < ^ 8, откуда следует, что < ^ 8, поскольку каждая 2-граневая раскраска, очевидно, является 5-цикловой. Общая граница 8 в [6] была улучшена Монтасье-ром и Распо [7] для плоских графов с достаточно большим обхватом: < ^ 7, если д ^8, < ^ 6, если д ^10 и < ^ 5, если д ^ 14. Заметим, что <^2(К;3) = 4, а д(К,з) = го. В то же время <2(Сб) = 5, а д(С5) = 5.

Целью данной статьи является

Теорема 1. Каждый плоский граф С с обхватом не менее 22 имеет < (С) ^ 4.

С другой стороны, 2-граневая раскраска связана с 2-дистанцион-

С

любые две вершины на расстоянии не более два друг от друга раскрашены в различные цвета. Минимальное число цветов в 2-дистанционных раскрасках графа С обозначатся через х(С).

В 1977 г. Вегнер [8] (см. также книгу Иенсена и Тофта [9]) предположил, что для любого плоского графа: х ^ 7, если Д = 3; х ^ Д + 5, если 1 • Д • 7: п \-2 • + 1 в противном случае.

Были получены следующие верхние оценки: + 2 при Д ;:г 749 Агнарсоном и Холдорсоном [10,11] и + 1 при Д • 17 О. В. Бородиным, X. Брусмой, А. Н. Глебовым и Я. Ван-Ден-Хойвелом [12,13]. Наилучшие из известных верхних оценок при больших Д принадлежат Молою и Салаватипуру [14,15]: + 78 при всех Д и + 25 при Д > 241.

О. В. Бородиным и др. [16,17] были получены достаточные усло-д

плоского графа достигает тривиальной нижней границы Д + 1. В част-

дх д

Теорема 2. Если С — плоский граф, то х(С) = Д + 1 в каждом из случаев (м-Ш):

(1) Д = 3,д > 24;

(и) А = 4, д >15;

(Ш) А = 5, д >13;

(Ь-) А = 6, д >12;

(у) А>7, д >11; >д

(у-п) А >15, д >8;

(у-Ш) А > ад,д = 7.

Существуют плоские графы с д < 6 такие, что Х2 = А + 2 для произвольно больших А.

О. В. Бородин, А. О. Иванова и Т. К. Неустроева [18,19] доказали, что х = А + 1 при всех А > 31 для плоских графов обхвата 6 при дополнительном условии, что каждое ребро инцидентно вершине степени 2.

Дворжак, Крал, Ниедлы и Шкрековски [20] доказали, что каждый плоский граф с Д > 8821 ид > 6 имеет Х2 < Д + 2. О. В. Бородиным и А. О. Ивановой в [21,22] условие на А было ослаблено до 18.

>

Теорема 3. Если О — плоский граф, то Хг(О) = Д + 1 в каждом

из случаев (ну): >д

(и) Д > 10, 8 < д <9;

(Ш) А >6, 10 < д <11;

д > .

Большое количество исследований посвящено раскраске графов с А = 3 (называемых субкубическими). Для таких графов Вегнер [8] доказал, что Х2 < 8 (что также следует из ^ <8 [6]). Также для субкубических плоских графов Дворжак, Шкрековски и Танцер [24] доказали, что Х2 = 4, если д >24 (т. е. они независимо получили п. (1) теоремы 2) и Х2 < 5, если д > 14. Второй из этих результатов был также получен Монтасьером и Распо [7], что было улучшено А. О. Ива-

новой и А. С. Соловьевой [25] и Хаветом [26] до д ^ 13. О. В. Бородин и А. О. Иванова [28] доказали, что х = 4, если д > 22.

Заметим, что для субкубических графов любая 2-граневая раскраска является 2-дистанционной, поэтому теорема 1 обобщает результат из [28]. Из упомянутых перед формулировкой теоремы 1 фактов следует, что теорема 1 неулучшаема в том смысле, что в ней меньше чем четырьмя цветами не обойтись, а ограничение на обхват отбросить нельзя.

2. Доказательство теоремы 1

С

СС отдельно покрасили каждую компоненту связности, поскольку никакие две вершины, принадлежащие разным компонентам связности и инцидентные внешней грани, не соединяются в границе внешней гра-

С

Действительно, если и — висячая вершина, то мы легко продолжим раскраску графа С — и на вершину и, поскольку и в С соединяется путем длины ^ 2 не более чем с тремя вершинами.

Формулу Эйлера IV| — |Е| + | = 2 перепишем в виде (20|Е| — 22|V|) + (2|Е| — 22|^|) = —44. Отсюда

Оф) — 22) (г(/) — 22) = —44, (1)

уеу f е^1

где — степень вершины V, а г(/) — ранг грани /.Заряд ^(у) каждой вершины V € V(С) положим равным lOd(v) — 22, а заряд каждой грани / € F(С) — равным г(/) — 22. Поскольку заряд каждой грани неотрицателен, из (1) следует, что

]Т(ШН — 22) <0. (2)

уеу

—

С

основываясь на них, перераспределим заряды, сохраняя их сумму так, что все новые заряды р* (у) окажутся неотрицательными (что противоречит (2)).

2.1. Структурные свойства минимального контрпримера.

Под к-^епью мы понимаем цепь, состоящую из в точности к вершин степени 2. Через (к, /, ш) обозначим вершину степени 3, инцидентную > к-цепи, > /-цепи и > ш-цепи.

Пару вершин (к, /, ш) и (ш, п,р), соединенных ш-цепью, будем обозначать через (к/ш — шпр). Аналогично, через (к/ш — шпр — ргв) обозначим тройку вершин (к, /, ш), (ш, п, р) и (р, г, в), где (ш, п, р)-вершипа соединена ш-цепыо и р-цепыо с (к, /, ш)-вершиной и (р, г, в)-вершиной соответственно.

Леммы 1-4 доказаны для 2-дистанционной раскраски, но справедливы также и для 2-граневой, поскольку в 2-дистанционной раскраске любые две вершины, находящиеся на расстоянии два друг от друга, должны быть раскрашены в разные цвета, а в 2-граневой раскраске вершины на расстоянии два красятся различно, только если они соединены путем длины не более 2 в границе одной и той же грани. Лем-,,,

граневой 4-раскраски (для 2-дистанционной раскраски 4-вершины требуется не менее 5 цветов).

О

>

,, ,,

Лемма 2 [27]. В О нет (3,3,3)-вершив (рис. 2). О

— — —

Рис. 2. Конфигурации в лемме 2.

(а) (421 — 134),

(е) (512 — 224),

—

—

Лемма 4 [28]. В С нет следующих троек вершин:

——

—— —— ——

Назовем (5,5,5,4)-вершинои вершину степени 4, инцидентную трем 5-цепям и еще одной ^ 4-цепи.

Лемма 5. В С нет (5,5,5,4) -вершин.

Доказательство. Пусть и — (5,5,5,4)-вершина, инцидентная цепям и^^^^, ии'и'и'и'и', ии''и''и''и''и'' и ии'"и'"и'"и'"и'" (рис. 5).

С—и

(а)

1/21

(Ф

Рис. 3. Конфигурации в лемме 3.

щ, из, и', и', и', и', и'', и'', и'', и'', и'", и'", и'", и'", а затем продолжим раскраску на и и обесцвеченные вершины. Отметим, что на вершинах из, и', и'', и''' имеется по два допустимых цвета, на вершинах и2, и', и'', и'" — по три допустимых цвета, а на всех остальных обесцвеченных вершинах допустимы все четыре цвета.

Далее через ^(у) будем обозначать цвет вершины у а через — множество цветов, допустимых на вершине у в частичной 2-граневой раскраске ^ графа О.

Положим ^(и') Щ), ^(и'') Щ') и ^(и'") Щ"). Тогда вершины и', и', и'', и'', и''' п и''' можно покрасить в последнюю очередь в указанном порядке, а на вершинах и', и'' и и''' остается по три допустимых цвета.

Поскольку любые две тройки цветов (из четырех возможных) имеют два общих цвета, а вершины и' п и''' (а также и н и'') не лежат в границе одной и той же грани на расстоянии меньшем 2 ввиду

(а)

(Ь)

(с)

(с!)

Рис. 4. Конфигурации в лемме 4.

< и"

\1Ъ и4 и'3 и'2 и\

и'" < < <

щ

и2 из 6щ

А

2 3 4 -Г -щ—•-•—

2 13 4

^ 4 3 2

-а-

Рис. 5. Конфигурация в лемме 5.

ограничения на обхват графа, то положим ^(и') = а затем

^(и) = ^(и"). Теперь покрасим вершины из, и^ и и в этом порядке.

2.2. Перераспределение зарядов. Используем следующие правила перераспределения зарядов:

Ш. Каждая 2-вершина получает заряд 1 от каждого из концов к

>

вершины.

>

вершины.

ТЫ. Каждая (4,4,1)-вершина и (5,3,1)-вершина получает заряд 1 от другого конца инцидентной ей 1-цепи.

115. Каждая (5,2,2)-вершина получает заряд \ от другого конца каждой инцидентной ей 2-цепи.

к

к

даря лемме 3(Ь, с, g).

Проверим, что (у) > 0 для каждой у € ^(О), что противоречит (2) и завершает наше доказательство.

Если ¿(у) = 2, то у) = —2 + 2 = 0 по Ш.

Пусть ¿(у) = 3. Напомним, что ^(у) = 8. Заметим, что после применения правила Н 1 заряд каждой (5,5,0)-вершины становится равным ——

заряды всех остальных 3-вершин неотрицательны благодаря леммам 1 и 2.

Очевидно, все вышеперечисленные вершины после применения правил 112-115 имеют заряд равный (у) = 0. Остается проверить, что заряды всех остальных 3-вершин также неотрицательны.

Если у инцидентна двум 0-цепям, то^* (у) > 8 — 2x2 — 4= 8 — 2 —

—

уу отдавать заряд не более 2 своей смежной 3-вершине по правилам Т12,

ИЗ. Если V участвует в 112, то V) >8 — 2 — 6 = 0 по лемме 4(а) и правилам Ш, 114. Если же V те участвует в 112, т. е. вдоль 0-цепп от V уходит не более 1, то (V) >8 — 1 — 5 — 2 = 0 согласно Ш, ИЗ, И4 и Т15.

Пусть V инцидентна одной 0-цепи, 2-цепи и не инцидентна 1-цепи; тогда /х*(г>) > 8 — >0 по лемме 3(£) и правилам Ш, Т12, ИЗ и 115.

Пусть теперь V инцидентна двум 1-цепям, но не инцидентна 0-цепи; тогда V либо дважды отдает заряд 1 по 114 и инцидентна ^ 4-цепи, либо V инцидентна 5-цепи и тогда участвует в правиле 114 не более одного раза по лемме 4(Ь). Отсюда следует, что V) > 0.

Предположим, что V инцидентна одной 1-цепи, 2-цепи и не инцидентна 0-цепи. Теперь V либо участвует и в 114, и в 115 и инцидентна ^ 3-цепи, либо V инцидентна 4-цепи и участвует только в одном из правил Т14 и Т15 благодаря лемме 4(с), или же она инцидентна 5-цепи и не участвует в правилах 114, 115 по лемме 3(с1, е). Отсюда (V) > 0.

Пусть теперь V инцидентна двум 2-цепям и не инцидентна ни 0-цепи, ни 1-цепи. Если при этом V инцидентна 4-цепи, то она не участвует в 115 благодаря лемме 3(Ь), значит, (V) >8 — 2 — 2 — 4 = 0 по Ш. Иначе > 8 - 2 - 2 - 3 - 2 х \ = 0 по Ш и Т15.

Остается предположить, что V инцидентна 3-цепи. В этом случае две другие инцидентные V цепи вместе уносят от V не более 5 единиц заряда. Действительно, V не может ни одновременно участвовать в 112 и быть инцидентной > 4-цепи, ни участвовать в КЗ или 112 и быть инцидентной 5-цепи согласно лемме 3^). Точно так же V не может отдавать заряд 1 по Т14 и быть инцидентной 4- или 5-цепи благодаря лемме 3(с). Наконец, V не может участвовать в 115 и при этом быть инцидентной другой > 3-цепи по лемме 3(а).

Если ¿(V) = 4, то = 18 и то правилам Ш-Т15 вершина V отдает не более 3x5 + 3 = 2x5 + 2x4, поскольку то лемме 5 вершина V не может иметь на инцидентных ей цепях более 18 вершин степени 2, а вдоль 3-цепи уходит не более трех единиц заряда, откуда (V) > 0.

Итак, после применения правил 111—115 заряды всех 3- и 4-вершин

неотрицательны. Остается заметить, что каждая > 5-вершина v имеет (v) > 1 (M(v) — 22 — 5d(v) = 5d(v) — 22 > 0, поскольку v отдает заряд не более 5 вдоль каждого инцидентного ребра.

Тем самым (v) > 0 для каждой v ££ V, что противоречит (2) и завершает доказательство теоремы 1.

Автор выражает благодарность О. В. Бородину за тщательную проверку доказательства и полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ore О., Plummer М. D. Cyclic coloration of plane graphs. 1969 Recent Progress in Combinatorics (Proc. Third Waterloo Conf. on Combinatorics, 1968). New York: Acad. Press, 1969. P. 287-293.

2. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable //J. Recreational Math. 1976/77. V. 9, N 3. P. 161-169.

3. Бородин О. В. Решение задач Рингеля о вершинно-граневой раскраске плоских графов и о раскраске 1-иланарных графов // Дискрет, анализ. 1984. № 41. С. 12-26.

4. Borodin О. V. New proof of Six Color Theorem //J. Graph Theory. 1995. V. 19, P. 507-521.

5. Borodin О. V., Sanders D., Zhao Y. On cyclic colorings and their generalizations // Discrete Math. 1999. V. 203. P. 23-40.

6. Krai D., Madaras Т., Skrekovski R. Cyclic, diagonal and facial colorings // Eur. J. Comb. 2005. V. 26, N 3-4. P. 473-490.

7. Montassier M., Raspaud A. A note on 2-facial coloring of plane graphs // Inf. Process. Lett. 2006. V. 98, N 6. P. 235-241.

8. Wegner G. Graphs with given diameter and a coloring problem. Technical Report, University of Dortmund, Germany. 1977.

9. Jensen Т., Toft B. Graph coloring problems. New York: John Wiley & Sons, Inc. 1995. (Wiley-Interscience Series in Discrete Math, and Optimization.)

10. Agnarsson G., Haiidorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // Proc. SODA'OO, SIAM press. 2000. P. 654-662.

11. Agnarsson G., Haiidorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // SIAM J. Discrete Math. 2003. V. 16, N 4. P. 651-662.

12. Бородин О. В., Брусма X., Глебов А. Н., Ван-Ден-Хойвел Я. Строение плоских триангуляций в терминах пучков и звезд // Дискрет, анализ и псслед. операций. 2001. Т. 8, № 2. С. 15-39.

13. Бородин О. В., Брусма X., Глебов А. Н., Ван-Ден-Хойвел Я. Минимальная степень и хроматическое число квадрата плоского графа // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2001. Т. 8, № 4. С. 9-33.

14. Molloy М., Salavatipour М. R. Frequency channel assignment on planar networks // Mohring, R. H., Raman, R. (Eds.) Berlin: Springer-Verl., 2002. P. 736-747. (Lect. Notes Comput. Sci., V. 2461.)

15. Molloy М., Salavatipour М. R. A bound on the chromatic number of the square of a planar graph // J. Comb. Theory Ser. B. 2005. V. 94. P. 189-213.

16. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-Дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сибирск. электрон, мат. изв. 2004. Т. 1. С. 76-90.

17. Бородин О. В., Глебов А. Н., Иванова А. О., Неустроева Т. К., Ташкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной (Д + 1)-раскрашиваемости плоских графов // Сибирск. электрон, мат. изв. 2004. Т. 1. С. 129-141.

18. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия 2-дистанционной (Д + 1)-раскрашиваемости плоских графов с обхватом 6 // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2005. Т. 12, № 3. С. 32-47.

19. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия минимальной 2-дистанционной раскрашиваемости плоских графов с обхватом 6 // Сибирск. электрон, мат. изв. 2006. Т. 3. С. 441-450.

20. Dvorak Z., Krai D., Nejedlv P., Skrekovski R. Coloring squares of planar graphs with girth six // Eur. J. Comb. 2008. V. 29, N 4. P. 838-849.

21. Borodin О. V., ivanova A. O. 2-distance (Д + 2)-coloring of planar graphs with girth six and Д > 18 // Discrete Math. 2009. V. 309. P. 6496-6502.

22. Borodin О. V., Ivanova A. O. List 2-distance (Д+ 2)-coloring of planar graphs with girth six 11 Eur. J. Comb. 2009. V. 30. P. 1257-1262.

23. Иванова А. О. Предписанная 2-дистанционная (Д + 1)-раскраска плоских графов с обхватом не менее 7 // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17, № 5. С. 22-36.

24. Dvorak Z., Skrekovski R., Tancer M. List-coloring squares of sparse subcubic graphs // SIAM J. Discrete Math. 2008. V. 22, N 1. P. 139-159.

25. Иванова А. О., Соловьева A. C. 2-Дистанционная (Д + 2)-раскраска разреженных плоских графов с Д=3 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 32-41.

26. Havet F. Choosability of the square of planar subcubic graphs with large girth // Discrete Math. 2009. V. 309. P. 3353-3563.

27. Бородин О. В., Иванова А. О. 2-Дистанционная 4-раскраска плоских субкубических графов // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2011. Т. 18, № 2. С. 18-28.

28. Borodin О. V., Ivanova А. О. 2-Distance 4-colorability of planar subcubic graphs with girth at least 22 // Discuss. Math. Graph Theory, accepted.

г. Якутск

24 мая 2011 г.