Предписанная 2-дистанционная (δ + 2)-раскраска разреженных плоских графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.172.2

ПРЕДПИСАННАЯ 2-ДИСТАНЦИОННАЯ (А + 2)-РАС К РАС К А РАЗРЕЖЕННЫХ ПЛОСКИХ ГРАФОВ*)

А. О, Иванова, А. С, Соловьева

1. Введение

Под графом мы понимаем неориентированный граф без петель и кратных ребер. Через У (О), Е(О), Д(О) и #(О) обозначим множества вершин, ребер, максимальную степень и обхват (минимальная длина 0

раз, когда граф ясен из контекста.)

Раскраска у. У(О) ^ {1,2,... , к} графа О называется 2-дистан-ционной, если любые две вершины на расстоянии не менее 2 друг от друга получают разные цвета. Минимальное число цветов в 20

хроматическим числом и обозначается через х(О).

Если каждая вершина V графа О имеет множество Ь(ю) допустимых цветов, где | Ь^) | ^ к, будем говорить, что У (О) имеет предписание Ь мощности к. Также будем говорить, что граф О предписан-

кЬ пости к допускает 2-дистанционную раскраску ^ такую, что € Ь^) для всех V € У(О). Наименьшее к, при котором О предписаппо к

хроматическое число графа О, обозначаемое через X(О).

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 0ЕМ)М0244; 08-01— 00673).

@ 2010 Иванова А. О., Соловьева А. С.

В 1977 г. Вегнер [1] (см. также книгу Иенсена и Тофта [2]) высказал следующую гипотезу.

Гипотеза. Для любого плоского графа выполняются следующие условия:

X ^ 7, если Д = 3,

X ^ А + 5, если 4 < Д < 7,

Хч + 1 в противном случае.

Были получены следующие верхние оценки: + 2 при Д ;:г 749 Агпарсопом и Холдорсопом [3,4] и + 1 при Д • 17 О. В. Бородиным, X. Брусмой, А. Н. Глебовым и Ван-Ден-Хойвелом [5,6]. Наилучшие из известных верхних оценок при больших Д принадлежат Молою и Салаватипуру [7,8]: + 78 при всех Д и + 25 при Д > 241.

Очевидно, что Хг(О) > Д + 1 для любого графа О (поскольку в любом графе есть звезда К,д)- Легко видеть, что при Д = 2 существуют графы с Х2 = 4 и произвольно большим обхватом, например, С к+1-

Ясно, что \2 (О) > х(О > ^(О) + 1 для любого графа О. В [9,10] получены достаточные условия (в терминах д и Д) того, что 2-дистанционное хроматическое число плоского графа достигает тривиальной нижней границы Д + 1. В частности, установлено, что минимальное д такое, что х = Д + 1, если Д достаточно велико (в зад

результаты из [9,10] на предписанную 2-дистанционную раскраску.

Теорема 1. Если О — плоский граф, то х1 = Д + 1 в каждом из следующих случаев: (1) Д = 3, д >24, (и) Д = 4, д > 15, (Ш) А = 5, д > 13, (Ь-) Д = 6, д > 12, (у) Д > 7, д > 1 1, (у0 Д >9, ^ = 10,

(уд) А >15, д >8,

(у-Ш) А >30,д = 7.

Существуют плоские графы с д < 6 такие, что Х2 = А + 2 для произвольно больших А.

А. О. Иванова [12] доказала, что любой плоский граф с обхватом д и максимальной степенью А имеет х! (О) = А + 1 в каждом из следующих случаев:

(1) Д > 16 и д = 7,

(И) д <9,

(Ш) Д > 6 и 10 < д 01,

д > ,

что является усилением пп. (ш)—(уш) теоремы 1.

О. В. Бородин, А. О. Иванова и Т. К. Неустроева [13] доказали, что х = А + 1 ПРИ всех Д > 31 для плоских графов обхвата 6 при дополнительном условии, что каждое ребро инцидентно вершине степени 2.

Дворжак, Крал, Ниедлы и Шкрековски [14] доказали, что каждый плоский граф с Д > 8821 ид > 6 имеет х < А + 2. О. В. Бородиным и А. О. Ивановой в [15-17] условие на А было ослаблено до 18, а в предписанном случае до 24.

Возникает вопрос для плоских графов с 3 < А < 17: какое же ограничение необходимо наложить на обхват графа, чтобы х < Д + 2?

А. О. Иванова и А. С. Соловьева [18] доказали, что каждый плоский граф с д >13иА = 3 имеет х < Д+2, что усиливает аналогичный д>

Целью данной статьи является

Од

степенью А, то х\, (О) < А + 2в каждом из следующих случаев: д > ,

д > , (Ш) 6<Д<7 ид = 9,

(Ь-) 8<Д<13 и д = 8, (у) Д ^ 14 ид = 7.

2. Доказательство теоремы 2

Пусть О' — контрпример к теореме 2, т. е. Д(О') = Д ^4, д(О') не

меньше, чем в соответствующем пункте теоремы 2, но X (О') ^ Д + 3. О

Д(О) ^ А, д(О) = д ^ д(О') и существует нехроматпчное предписание Ь па У (О), где |Ь^) | ^ Д + 2 для любой ве ршипы V € У (О),

т. е. Х2 (О ^ А + 3. Множество графов с этими свойствами непу-

О'

О

О'

О

имеет висячих вершин. Формулу Эйлера |У(О) I — |Е(О) | + |Е(О) I = 2 перепишем в виде

((д* — 2)|Е(О)I — д*|У(О|) + (2|ЕОI — д*ИО|) = —V,

где Е(О) — множество граней графа О, а д* — натуральное число, не д

Отсюда

]Г <*(«)-/) + ]Г (г(/)-д*)< о, (1)

где ¿(V) — степень вершины V, а, г(/) — ранг грани ].

Заряд каждой вершины V (Е положим равным 9 ¿(у) —

д* — д*

заряды всех остальных вершин неотрицательны, если 6 ^ д* ^ д.

О О

них, перераспределим заряды, сохраняя их сумму так, что все новые заряды окажутся неотрицательными (что противоречит (1), поскольку вторая сумма в (1) неотрицательна).

Далее ¿-вершина — вершина степени к-цепь — цепь из в точности к вершин степени 2, а {к\,..., к^)-вершипа — ¿-вершина, инцидентная ! различным цепям, г-я го которых есть к^-цепь (1 < г < !).

О

Лемма 1. В О нет к-цепн при к > 3, а концевые вершины 2-цепп имеют степень Д.

Доказательство. Предположим щщщщ — цепь, где > 3, С^) = ¿(^2) = 2, а С^з) < А — 1. Рассмотрим предписанную 2-дистанционную (А + 2)-раскраску графа О — {щ,щ}• Покрасим вершины VI и «2 в этом порядке (каждая вершина имеет не более Д + 1 ограничений на выбор цвета). □

,,

>

, , , — >

Доказательство. Пусть — 1-цепь, инцидентная (1,1,1)-

или (1,1,1,1)-вершине V, где < Д — 1 ил и !(«') < А — 2 соответ-

ственно. Удалим ребро vvl и рассмотрим предписанную 2-дистанционную раскраску полученного графа. Вершины щ и V можем перекрасить в этом порядке, поскольку каждая вершина имеет не более А + 1

□

Лемма 3. В О нет (1,1,... , 1)-вершины V степени < А — 1, все

,,,

>

Доказательство. Удалим V и все 2-вершины, смежные с V, и

,,,

единяюгциеся с V 1-цепями. Продолжим раскраску па удаленные и обесцвеченные вершины следующим образом. Сначала покрасим 2-вершины, смежные с V (заметим, что на выбор цвета для последней

из них имеется не более Д — 2 + 3 ограничений), затем покрасим V (не —

на выбор цвета которых имеется не более 8 ограничений (а всего цветов не менее А + 2 = 9). □

В случае (111) теоремы 2 назовем вершину V младшей, если 3 ^ ¿(V) ^ 4, в случае (Ь-) — если 3 ^ ¿(V) О, а в случае (у) — если 3 < ¿(V) < 9.

Лемма 4. В О пет такой (1,1,0)-вершины V, обе концевые вершины 1 -цепей которой являются младшими, причем V смежна с вершиной —

Доказательство. Пусть 3-вершина v инцидентна 1-цепям vvlv' и vv2v', где v', v' младшие, и смежна с вершиной ^^^де ¿^з) ^ А — 1.

Удалим V, VI ии2 и раскрасим полученный граф. Продолжим раскраску на удаленные вершины следующим образом. Первой покрасим

V, которая имеет не более А — 1 + 2 ограничений на выбор цвета. Заметим, что каждая из вершин ^ и «2 в момент окраски имеет не более ¿(V®) + 3 < А + 1 ограничений на выбор цвета, 1 ^ г ^2, поэтому их можно покрасить после V. □

Лемма 5. В О нет (1, 0,0)-вершниы, смежной с вершинами щ, V2) где ¿(VI)+ ¿^2) ^ А — 1,н соединяющейся 1 -цепью с вершиной степени не более А — 1.

Доказательство. Пусть V — вершина, инцидентная 1-цепи vvзv', где ¿^3) < А — 1. Удалив ребро vv3 и раскрасив полученный граф, продолжим раскраску, сначала покрасив ^^^ ^ затем V. □

2.2. Перераспределение зарядов. При доказательстве каждо-

д* д

правило перераспределения зарядов.

ПО. Каждая 2-вершина 1-цепи получает заряд 1 от каждой смежной с ней вершины, а каждая 2-вершина 2-цепи — заряд 2 от смежной с ней вершины степени не менее 3.

По мере необходимости при доказательстве некоторых пунктов будем вводить дополнительные правила перераспределения зарядов.

Отметим, что после применения правила Т10 заряды всех вершин степени 2 становятся равными нулю, поэтому во всех случаях остается проверить, что «(V)* > 0 для каждой вершины V, где 3 < ¿(V) < А. Кроме того, отметим, что во всех случаях А-вершина V может передавать заряд не более 2 по каждому инцидентному ей ребру, поскольку «(V) > 2Д.

Случай (¡): А = 4 и д > 12. Здесь д = 12 и «(V) = 5^^) — 12. Заметим, что благодаря лемме 1 вершины степени 3 могут быть инцидентны только 1-цепям, поэтому «* (у) > 0 для каждой вершины V согласно правилу 110 и замечанию, сделанному выше.

Случай (и): Д = 5ид > 10. Полагаем д* = 10, «(V) = 4!^) — 10 и используем Т10 и следующее правило.

Ш. Каждая А-вершина V отдает заряд 1 вершине степени 3, соединенной с V 1-цепыо.

Отметим, что А-вершина по-прежнему вдоль каждого ребра отдает заряд не более 2, поэтому «* (V) > 0. Если же ¿(V) = 4, то V может быть инцидента только 1-цепям согласно лемме 1, откуда «* (V) > 4x4 — 10 — 4x1 > 0. Если^) = 3, то«*(V) >4хЗ —10 —Зх 1 + Зх 1 > 0 либо «* > («(V) — 2x1=0 благодаря леммам 1, 2 и правилам Ш), Ш.

Случай (ш): 6<А<7и д = 9. Теперь полагаем д* = 9 и /х(г>) = — 9 и используем правила Т10, Н 1 и следующее правило.

112. Каждая (1,1,0)-вершина V получает

(I) §■ вдоль каждой инцидентной ей 1-цепи гау, где ¿(у) > 5,

(II) §■ от смежной А-вершины.

Проверка того, что «(V)* > 0 для каждой вершины V. Отметим, что, как и выше, «* >0 для 2- и А-вершин.

Пусть 4 < ¿(V) < А — 1. Напомним, что V может быть инцидентна только 1-цепям. Вершина степени 4 участвует только в правиле Т10, откуда /х*(г>) > | х 4 — 9 — 4 = 0. Если 5 < ¿(у) < А — 1, то V может отдавать §■ по правилу 1121, значит, /х*(г>) > — 9 — ¿(г;) х + 1) =

2^) — 9 >0.

Пусть теперь ¿(у) = 3. Заметим, что /х(г>) = §, поэтому в рассмотрении нуждается только случай, когда V смежна с не менее чем двумя 2-вершинами. Пусть сначала V есть (1,1,1)-вершина, тогда каждая 1-цепь соединяет V с Д-вершиной по лемме 2, а значит, ¡* (у) ^ §—3 + 3x1 >0по правилу Ш.

Наконец, V — (1,1,0)-вершпна, инцидентная 1-цепям vщv'1 и vv2v3 и смежная с вершиной ^ Если V', V' младшие (т. е. их степени не превышают 4), то ¿(г>з) = Д согласно лемме 4, а значит, V получает ^ от ^^ ^^ Если же ¿^з) ^ А — 1, то хотя бы одна из вершин V',

V' имеет степень не менее 5 по лемме 4, а значит, также дает вершине V заряд §■ по 112(1), следовательно, /х*(г>) > § — 2 + §■ = 0.

Случай (¡V): 8 < Д < 13 и д = 8. Здесь д* = 8 и ¡V) = 3^^ —8. Будем использовать правила Ш), Ш и следующее правило.

ИЗ. Каждая (1,1,0)-вершина V получает

(1) §■ вдоль каждой инцидентной ей 1-цепи гау, где ¿(у) ^ 6,

(И) 1 от смежной ^ 6-вершины.

Проверка того, что ¡V)* ^ 0 для каждой вершины V. Очевидно, ¡* для 2- и Д-вершин.

Пусть 4 ^ ¿(V) ^ Д — 1. Напомним, что V может быть инцидентна только 1-цепям. Вершины степени 4 и 5 участвуют только в правиле Ш), откуда ¡*(V) > 3^^ —8 — ¿(V) ^ 0. Если 6 < ¿{V) < А — 1, то V может отдавать §■ по правилу 1131, значит, ц* (у) ;:г 3¿(у) — 8 — ¿(г;) х § = |ф) - 8 > 0.

Теперь ¿(V) = 3. Заметим, что ¡V) = 1, поэтому в рассмотрении, как и в случае (Ш), нуждается только случай, когда V смежна с не менее чем двумя 2-вершинами. Если V смежна с тремя 2-вершинами,

то каждая 1-цепь соединяет V с Д-вершиной то лемме 2, откуда ¡* (V) ^ —>

Наконец, пусть V — (1,1,0)-вершипа, инцидентная 1-цепям vv\v1í и vv2v1 и смежная с вер шиной vз. Если ¿^з) ^ 6, то согласно Т13(п) вершина V получает 1 от ^^^ ^сти же ¿^з) ^ 5 (т. е. vз младшая), то

обе вершины V' и V' имеют степени не менее 6 (действительно, пусть V' младшая; тогда возьмем раскраску графа О — vvl и перекрасим вершины V и V]., поскольку на выбор цвета для каждой из них имеется не более 9 ограничений), а значит, V получает §■ от каждой из вершин и у'2 по 113(0, т- е- > 1 - 2 + 2 х ! = 0.

Случай (у): А > 14 и д = 7. Здесь д* = 7 и = — 7.

Будем использовать правила Т10, Ш и следующие правила.

114. Каждая (1,1,0)-вершина V получает

(I) | вдоль каждой инцидентной ей 1-цепн гау, где ¿(у) > 10,

(II) | от смежной с ней вершины vз, если 10 < ¿^з) < А — 1,

(Ш) 2 от смежной А-вершпны.

>

ПО. Каждая (1,1,1,1)-вершпна V получает | от каждой > А — 1-вершины, соединенной с V 1-цепыо.

Проверка того, что «(V)* > 0 для каждой вершины V. Согласно правилу И0 «* >0 для 2-вершин и вершин степени А, поскольку А-вершина по любому ребру отдает заряд не более 2.

Пусть 3 < ¿(V) < А — 1. Если ¿(V) = 4, то «(V) = 3, и в рассмотрении нуждается только (1,1,1,1)-вершина. По лемме 2 и правилу Т16 имеем 1-1* (у) > 3 — 4 х 1 + 4 х \ = 0. Если 5 < ¿(у) < 9, то V также может быть инцидентна только 1-цепям согласно лемме 1, поэтому /х*(<0 > |й(г;) - 7 - ф) = §й(г;) - 7 > 0.

Пусть 10 < ¿(V) < А — 1. Заметим, что V может отдавать не более | по правилу Т14, а значит, ц* (у) > §<^(г;) — 7 — ¿(г;) х | = — 7 > 0.

Теперь (¿(г;) = 3 и /«(«) = Пусть г; — (1,0,0)-вершина, инцидентная 1-цепи vvlv' и смежная с вершинами ^^^ Если = А, то V получает 1 то правилу Ш. Если же ¿('и1!) < А — 1, то по лемме 5 хотя бы одна из вершин vз имеет степень не менее 7, откуда М*(г;) ^ \ + I > 0 по правилу Т16.

Пусть V — (1,1,0)-вершипа, инцидентная 1-цепям vvlv1 и vv2v1 и смежная с вершиной Если V', V' (т. е. их степени не превышают 9),

то ¿(^з) = Д согласно лемме 4, а значит, v получает 2 от по R4(iii). Пусть ¿(v') > 10, тогда л ибо ¿(v') > 10, ли бо ¿(v3) ^ 10 по лемме 4. В первом случае v получает | от каждой из v[, v'2 по R4(i), а во втором — v получает | от v[ и | от по R4(i),(ii), откуда /х*(г>) > \ — 2+2 х | = 0.

v

соединяет v с Д-вершиной по лемме 2, откуда /j>*(v) ^ ^ — 3 + 3 > 0 по правилу R1.

Теорема 2 доказана.

Авторы благодарят О. В. Бородина за тщательную проверку доказательства и полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wegner G. Graphs with given diameter and a coloring problem: Technical Report, University of Dortmund, Germany, 1977.

2. Jensen Т., Toft B. Graph coloring problems. New York: John Willey and Sons, 1995.

3. Agnarsson G., Halldorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // Proc. SODA'OO, SIAM press. 2000. P. 654-662.

4. Agnarsson G., Halldorsson M. M. Coloring powers of planar graphs // SIAM J. Discrete Math. 2003. V. 16, N 4. P. 651-662.

5. Бородин О. В., Брусма, X., Глебов А. Н., Ван-Ден-Хойвел Я. Строение плоских триангуляций в терминах пучков и звезд // Дискрет, анализ и псслед. операций. 2001. Т. 8, № 2. С. 15-39.

6. Бородин О. В., Брусма, X., Глебов А. Н., Ван-Ден-Хойвел Я. Минимальные степени и хроматические числа квадратов плоских графов // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2001. Т. 8, № 4. С. 9-13.

7. Mollov М., Salavatipour М. R. Frequency channel assignment on planar networks / Mohring R. H., Raman R. (Eds.). Berlin: Springer-Verl., 2002. P. 736-747. (Lect. Notes Computer Sci.; V. 2461).

8. Molloy M., Salavatipour M. R. A bound on the chromatic number of the square of a planar graph // J. Combin. Theory Ser. B. 2005. V. 94. P. 189-213.

9. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сибирск. электронные мат. изв. (http://semr. math.nsc.ru). 2004. № 1. С. 76-90.

10. Бородин О. В., Глебов А. Н., Иванова А. О., Неустроева Т. К., Ташкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной (д + 1)-раскрашиваемости плоских графов // Сибирск. электронные мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). 2004. № 1. С. 129-141.

11. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Предписанная 2-дистанционная (д + 1)-раскрашиваемость плоских графов с заданным обхватом // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2007. Т. 14, № 3. С. 13-30.

12. Иванова, А. О. Предписанная 2-дистанционная (д + 1)-раскраска плоских графов с обхватом не менее 7 // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17, № 5. С. 22-36.

13. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Достаточные условия минимальной 2-дистанционной раскрашиваемости плоских графов с обхватом 6 // Сибирск. электронные мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). 2006. № 3. С. 441— 450.

14. Dvorak Z., Krai D., Nejedlv P., Skrekovski R. Coloring squares of planar graphs with girth six // Eur. j. Comb. 2008. v. 29, N 4. P. 838-849.

15. Borodin О. V., ivanova A. O. List 2-distance (Д+ 2)-coloring of planar graphs with girth six 11 Eur. j. Comb. 2009. v. 30. P. 1257-1262.

16. Borodin О. V., Ivanova A. O. 2-Distance (Д + 2)-coloring of planar graphs with girth six and Д > 18 // Discrete Math. 2009. v. 309. P. 6496-6502.

17. Бородин О. В., Иванова А. о. Предписанная 2-дистанционная (Д+2)-раскраска плоских графов с обхватом 6 и Д > 24 // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 6. С. 1216-1224.

18. Иванова А. о., Соловьева А. С. 2-Дистанционная (д + 2)-раскраска разреженных плоских графов с д = 3 // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, вып. 2. С. 32-41.

19. Dvorak Z., Skrekovski R., Tancer M. List-coloring squares of sparse subcubic graphs 11 SIAM j. Discrete Math. 2008. v. 22, N 1. P. 139-159.

г. Якутск

19 апреля 2010 г.