CC BY
10УДК 519.172.2
(1,2)-РАЗБИВАЕМОСТЬ ПЛОСКИХ ГРАФОВ
С ОБХВАТОМ НЕ МЕНЕЕ 15*) О, В, Бородин, И, Г, Дмитриев, А. О, Иванова
1. Введение
Граф О называется (а, Ъ)-разбиваемым, где а > 1, Ъ > 1, если существует такое разбиение множества его вершин V = V и У2, что в подграфе, порожденном множеством V, число вершин в наибольшей
а
ством V 5 — Ъ. Очевидно, что любой двудольный граф и любое дерево (1,1)-разбиваемы, т. е. их можно разбить на два множества изолированных вершин; другими словами, (1,1)-разбиваемость равносильна правильной раскраске вершин графа в два цвета. Если мы ослабим условие раскраски и допустим, чтобы вершины одного из двух цветов могли бы быть смежны не более чем с одной вершиной этого же цвета, то получим (1,2)-разбиваемость. Любой четный цикл (1,1)-разбиваем, а нечетный — (1,2)-разбиваем. Какие условия нужно наложить на структуру плоского графа, в частности на его обхват (длину минимального цикла), чтобы его можно было с этим условием покрасить в два цвета 0 и 1, т. е. чтобы граф был (1,2)-разбиваемым? В [1] доказана следующая
Теорема 1. Любой пленарный граф с обхватом не менее 16 явля-
,
*) Работа первого и третьего авторов поддержана грантами 06-01-00694 и 08-0100673 Российского фонда фундаментальных исследований, а третьего автора также грантом президента России для молодых ученых МК-2302.2008.1.
© 2009 Бородин О. В., Дмитриев И. Г., Иванова А. О.
Целью настоящей заметки является
Теорема 2. Любой пленарный граф с обхватом не менее 15 является (1, 2)-разбиваемым.
Пусть граф С — минимальный контрпример к теореме 2, а д(С) = д — его обхват.
С
значим через 5 его минимальную степень. Легко видеть, что 5 ^2. Формулу Эйлера IV| — |Е| + | = 2 запишем в виде
где 1(у) — степень вершины у. Положим заряд ¡л(у) каждой вершины
у графа С равным ^й(у) — 15. Заметим, что заряд 2-вершины равен —
С
торые перераспределим заряды вершин так, чтобы их новые заряды р* стали неотрицательными. Поскольку сумма зарядов вершин при перераспределении сохраняется, получим противоречие с (1), что и завершит доказательство теоремы 2.
Под к-цепью далее будем понимать цепь, состоящую из в точности & вершин степени 2, а под (к\,..., к^)-вершмной понимается ¿-вершина, инцидентная 1 различным цепям, где г-я цепь (1 ^ г ^ 1) содержит не менее к вершин степени 2.
Справедливы следующие структурные свойства.
Лемма 1. В С нет ^ 3-депн.
Доказательство. Удалим 2-вершины щ и уз такой цепи. В силу минимальности полученный граф раскрасился цветами 0 и 1 так, что вершины цвета 0 попарно несмежны, а цвета 1 индуцируют подграф степени не больше 1. Продолжим полученную раскраску с на
2. Доказательство теоремы 2
(1)
(1, 2)-Разбиваемость плоских графов
5
удаленные вершины. Покрасим У\ и Уз в цвета, отличные от цветов их окрашенных соседей. Вершину У2 красим в 0, если и только если с(у1) = с(у3) = 1. □
Лемма 2. В С нет (2, 2, 2)-вершив.
у
с
су
□
Лемма 3. В С нет (2, 2,1 )-вершив, соединенных 1-цепыо.
Доказательство. Удалим такие (2,2,1)-вершипы иуи все смежные с ними 2-вершины. Продолжим раскраску, положив, как и выше, с(и) = с(у) = 0. □
Лемма 4. В С нет (2,1,1)-вершины, соединенной 1 -цепями с дву,,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Продолжим раскраску, как выше, покрасив
□
Перераспределим заряды вершин по следующим правилам.
Ш. Любая ^ 3-вершпна отдает заряд к каждой к-цепп, из нее исходящей.
112. Любая (2, 2,1)-вершина получает заряд \ от другого конца исходящей из нее 1-цепи.
Проверим, что после применения правил Н 1 и Т12 заряды всех вершин становятся неотрицательными. Действительно, после применения правила Н 1 все 2-вершины имеют заряд 0 согласно лемме 1; (2,2,1)-вершина имеет заряд — \ (по лемме 2), (2,1,1)-вершина — заряд
Заметим, что после применения правила Т12 заряд (2,2,1)-вершины становится равным 0 согласно лемме 3, заряд (2,1,1)-вершины — равным ¡л* — 1 х | = 0 (по лемме 4), заряд (1,1,1)-вершин — не
меньше 0, всех остальных 3-вершнн — положительным, а при d(v) > 3 имеем
„ ^ 13d(v) , с .. . 0 9d(v) - 30 п
М > —- 15 - d(v) х 2 = —Ц-- > 0.
Теорема 2 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глебов А. Н., Замбадаева Д. Ж. Путевые разбиения планарных графов // Сиб. электрон, мат. известия. 2007. №4. С. 450-459. http//semr.math.nsc.ru.
г. Якутск, г. Новосибирск
Ц января 2009 г.
