Реберная 2-дистанционная раскраска плоских субкубических графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

РЕБЕРНАЯ 2-ДИСТАНЦИОННАЯ РАСКРАСКА ПЛОСКИХ СУБКУБИЧЕСКИХ ГРАФОВ*)

О, В, Бородин, И, Г, Дмитриев, А. О, Иванова

Введение

В теории графов широко известна 2-дистанционная раскраска вершин. Через У(О) и Е(О) обозначим множества вершин и ребер графа О соответственно. Раскраска / : У(О) ^ {1,2, .. ,к} вершин графа О называется 2-дистанционной, если любые две вершины на расстоянии не более 2 окрашены в разные цвета. Наименьшее число цветов

О

хроматическим числом графа О и обозначается через х{О)-

Задача 2-дистанционной раскраски возникает в приложениях; в частности, она является одной из основных моделей в проблеме распределения радиочастот в сетях мобильного телефонирования. В самой теории графов известна старая (1977 г.) гипотеза Г. Вегнера [1] о том, что |_|А] + 1 Для любого плоского графа С с макси-

мальной степенью А (см. также монографию Т. Р. Иенсена и Б. Тофта [2]). Наилучшей из опубликованных верхних оценок для произвольных плоских графов является |"|А] + 1 при Л • 17 [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта первого автора 08-01—00673 и код проекта второго автора 06-01-00694); третий автор была поддержана грантом Президента России для молодых кандидатов и их научных руководителей (код проекта МК-2302.2008.1).

© 2008 Бородин О. В., Дмитриев И. Г., Иванова А. О.

Очевидно, что Х2(О) ^ А + 1 для любого графа О (ввиду того, что в любом графе есть звезда К,д)- В [4,5] определены достаточные условия (в терминах обхвата и максимальной степени) 2-дистанционной (А + 1)-раскрашиваемости плоских графов с максимальной степенью А. В частности, полностью решен вопрос о том, для плоских графов О сколь малых обхватов число х(О) достигает своего наименьшего значения А + 1 лишь путем наложения ограничения на максимальную степень графа. Работа [6] обобщает результаты, полученные в [4,5], на случай предписанной 2-дистанционной раскраски.

Реберным раскраскам графов посвящено много работ (см. [2]). В настоящей работе мы вводим в рассмотрение реберную 2-дистан-ционную раскраску графов без петель и кратных ребер.

Раскраску ^ : Е(О) ^ {1,2,... ,к} граф а О назовем реберной 2-дистгшнционной, если любые два ребра, находящиеся друг от друга в графе смежности ребер на расстоянии не более 2, окрашены в разные цвета. Другими словами, в разные цвета должны краситься: (а) смежные ребра (имеющие общую концевую вершину) и (Ь) ребра, имеющие общее соседнее ребро.

Ок

к

кО

к

ческим числом графа О и обозначается через О).

Легко видеть, что при А = 2 существуют графы с Хе (О) = 4 и произвольно большим обхватом. Действительно, чтобы реберно 2-дистанционно раскрасить цикл С к достаточно трех цветов, тогда как для циклов С к+1 и Ск+2 это число уже достигает четырех, причем С имеет даже Хе(О = 5.

Очевидно, чтобы раскрасить реберно 2-дистанционно простую цепь достаточно трех цветов. Любое дерево с А = 3 требует уже 5 цветов, если в нем есть хотя бы две смежные 3-вершины. Покрасив любое ребро в кубическом дереве, будем продолжать 5-раскраску от него в

разные стороны к висячим ребрам. Нетрудно заметить, что цвета на ребрах будут повторяться периодично по мере удаления от исходного ребра. Последними будем красить висячие ребра.

Таким образом, при д = м и Д = 3, чтобы раскрасить граф ребер-но 2-дистанционно, пяти цветов достаточно. А можно ли за счет достаточно большого конечного обхвата добиться реберной 2-дистанционной 5-раскрашиваемости планарного графа? Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема 1. Пусть О — иланариый субкубический граф н д(О) ^ 36. Тогда хКО) < 5.

Доказательство теоремы 1

Среди всех контрпримеров к теореме 1 выберем минимальный по числу ^ 2-вершин и к каждой его 2-вершине добавим висячее ребро. В полученном графе О имеются только вершины степени 1 и 3 и д(О) ^ 36, а х|(О) > 5.

О

О

нами.

Доказательство. Удалим обе висячие вершины при такой 3-вер-шине и раскрасим полученный граф. Раскраску можно продолжить, поскольку на выбор цвета для неокрашенных ребер имеется не более четырех ограничений, так как Д(О) = 3. □

к

к

вершине.

Пусть в1,в2,... — ребра 6-гусеницы, а е[,е'2,... ,е'§ — ее висячие ребра соответственно; и пусть ец,е12 смежны с е1, а —

е

ные ребрам 3 < I < 5, и раскрасим полученный граф. Продолжим раскраску с та весь граф О.

Пусть с(ец) = 1, с(е!2) = 2, с(в1) = 3. Найдем множество цветов, разрешенных на центральном ребре е4 6-гусеницы. Рассмотрим множества разрешенных цветов на ребрах е^ и е[, 1 ^ г ^6. Очевидно, ребра е[ имеют по два разрешенных цвета — 4 и 5. Следующие за ними ез и е'2 тоже имеют по два разрешенных цвета — 1 и 2, так как каждое из ез и е'2 получает то 3 запрета на выбор цвета от ребер е1, е2 и е[, т. е. оба разрешеныые па е2, е^ цвета для ез, ед запрещены, а также запрещен цвет ребра е^ Ребра е4, ед имеют уже по 3 разрешенных цвета — 3, 4, 5, поскольку для них запрещена только пара цветов,

е ед е е е

е

3, 4, 5.

Точно так же пойдем к е4 с другой стороны. Пусть с(е71) = а, с(е72) = в, с(е7) = 7. На ребрах е6 и ед разрешены цвета 5, е, отличные от а, в-, 7> на е5 и ед разрешены а, [3, 'А на е4 и ед разрешены 7, 5, е. Таким образом, от ребер е71, е72, е7 на е4 также приходят 3 разрешенных цвета. Поскольку цветов пять, то {3, 4, 5^ П{7, 5, е е

сО за исключением случая а = 3, в = 2, 7 = 1 и ему симметричных (а = 2, в = 3, 7 = 1; а = 1, в = 3, 7 = 2 и а = 3, в = 1, 7 = 2).

с е с е с е

СЛУЧАЙ 1. 3 € {а, в}. Напомним также, что на ребрах ее, е'ъ и е5, ед разрешены цвета 5, е и а в соответственно, а на ед — 7, 5 и е. се

Если 7 ф 3, то 3 € {5, е}. Пусть е = 3. Тогда ребра ее, ед и

ед 5 е 7

красим е5 и ед следующим образом: если 7 € {4,5}, то полагаем с{е§) € { , } 7 { , } с е { , } с ед

{4,5} — 7, а, с(ез) € {1,2} — с(е5) и далее раскраску легко продолжить е ед ед

Пусть теперь 7 = 3. Если хотя бы один из ^в в принадлежит множеству {1,2}, пусть а € {1,2}, то среди 5, е есть 4 или 5, и мы полагаем с(е'4) > 3. Далее с(е6) € {5, е} — с(е'4) и с(е'3) € {4,5} — с(е'4), с е а

остальные ребра. Если же ни а, ни в не принадлежат множеству {1,2} (т. е. а = 4, в = 5, 7 = 3), то №1 полагаем с(е4) = 1. Имеем однозначно раскрашиваемые ребра: с(ез) = с(е6) = 2, ^е^ = с(е2) = 1 и ^е4) = 3; и теперь уже нетрудно продолжить раскраску па ребра е'3, е5, е'5, е2 и е'х.

ав

чай 1 (повторяя вышеописанные рассуждения применительно к ребрам 6-гусепицы от ее к е2), мы можем считать теперь, что 7 € {1,2}. Ввиду

ее

7 = 1.

Если в € {4,5}, то заметим, что па ребрах ее, е'% разрешены цвета {2,5}, па е5, е'5 — {3,в}, а на е'4 — {1,2,3}. Кроме того, поскольку с одной стороны на е4 приходят разрешенными цвета {1,2,5}, а с другой — {3, 4, 5}, причем 5 € {4,5}, то полагаем с(е4) = {4,5} — в, 'л с(е§) = в и с(ед) = 3. Дадее однозначно с(е'5) = 3, с(ев) = 2, = 5 и раскраску легко продолжить па ребра е^, е3, е2, е2 и е^. в

чаев, перечисленных в условии леммы 2. Убедимся, что раскрасить

е

се

решенных для е2 и ее цветов. Ввиду симметрии пусть с(е4) = 4; имеем однозначную раскраску: с(е2) = 5, ^е^) = 4, ^^ = 5, ^е^) = 4,

с(е'3) = 3, ^е^) = 1, с(ез) = 2 и ^е^) = 1. Но тогда е5 невозможно □

О

Доказательство. Пусть е\,е2,... ,е8 — ребра 7-гусеницы, а е[ ,е2,... ,е'7 — ее висячие ребра; и пусть е^, е^2 смежны с ех, а , е%2 —

с eg. Удалим висячие вершины 7-гусеницы и 3-вершнны, инцидентные ребрам ei, 3 < i < 6, и раскрасим полученный граф. Продолжим раскраску c на весь граф G. Из леммы 2 следует, что если c(en), c(ei2), c(ei) соответственно равны 1, 2, 3, то c(e7i) = 2, c(e72) = 3, c(e-j) = 1.

Заметим, что теперь у нас на ребрах e'3, e4 разрешены три цвета: 3, 4, 5, на e5, e'5 — 1, 4, 5, а на центральном висячем ребре e'4 — все пять цветов. Положим c(e'4) = 5, ^^^ 1 и c(e^) = 3. Нетрудно видеть, что далее раскраска продолжается на все ребра 7-гусеницы. □

Итак, в G есть толь ко ^ 6-гусепицы. Удалим все висячие ребра всех k-гусениц и стянем полученные k-цепп (состоящие из k вершин степени 2) в ребра.

Для полученного графа G* формулу Эйлера \V\ — \E\ + |F| = 2 запишем в виде

(4\E\—6\V\) + (2\EI—glF D = —1 2, где F — множество граней графа G*. Отсюда следует, что 2d(v) — 6) + £ Ш — 6) <0,

vev feF

где d(v) — степень вершины v, a r(f) — ранг грани f. Поскольку в полученном графе G* минимальная степень ^ 3, то в нем найдется ^ 5-

fk ff

не превосходит 35.

Теорема 1 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wegner G. Graphs with given diameter and a coloring problem: Technical Report. University of Dortmund, 1977.

2. Jensen T. R., Toft B. Graph coloring problems. New York: John Wiley and Sons, 1995.

3. Бородин О. В., Брусма X., Глебов А. Н.,Ван ден Хойвел Я. Минимальные степени и хроматические числа квадратов плоских графов // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2001. Т. 8, № 4. С. 9-33.

4. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. 2-дистанционная раскраска разреженных плоских графов // Сиб. электрон, мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru/) 2004. № 1. С. 76-90.

5. Бородин О. В., Глебов А. Н., Иванова А. О., Неустроева Т. К., Ташкинов В. А. Достаточные условия 2-дистанционной (Д + 1)-раскрашиваемости плоских графов // Сиб. электрон, мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru/). 2004. № 1. С. 129141.

6. Бородин О. В., Иванова А. О., Неустроева Т. К. Предписанная 2-дистанционная (А + 1)-раскраска плоских графов с заданным обхватом // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2007. Т. 14, № 3. С. 13-30.

г. Якутск

11 марта 2008 г.