Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Г. Зиновьев

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ КОЛЕЦ ПСЕВДОРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Дается описание идеалов, фактор-колец, а также модулей над так называемым моногенным «р-кольцом. Такие кольца расширяют понятие кольца псевдорациональных чисел.

В теории абелевых групп в связи с изучением одного важного класса смешанных абелевых групп, а именно «р-групп, возникла идея «р-кольца; «р-группа - это смешан- откуда

ная группа, лежащая между суммой и произведением своих р-компонент. Всякая «р-группа является модулем над некоторым кольцом псевдорациональных чисел. Понятие кольца псевдорациональных чисел ввел А.А. Фомин. Такой подход весьма полезен при изучении «р-групп. Далее, центр кольца откуда

эндоморфизмов «р-групп является «р-кольцом. Изучение «р-колец интересно само по себе. Они обладают разнообразными любопытными свойствами. Их строение связано со строением конечномерных рациональных алгебр, в частности, полей алгебраических чисел.

В данной работе изучаются моногенные «р-кольца, которые являются обобщением колец псевдорациональных чисел.

Я = вЯ © (1 - е)Я ,

I = (I п еЯ) © (I п (1 - еЯ).

Учитывая, что в е I, получаем I п еЯ = еЯ . Далее, (1 - е)Я можно представить в виде (1 - е)Я = © Яр,

реР р

I п (1 - е)Я = © (I п Яр).

рє5

Окончательно получаем

I = вЯ © © (I п Яр).

рєР р

где £ - некоторое конечное множество простых чисел. Теорема доказана.

Данная теорема является обобщением теоремы, Определение 1. Пусть Р - некоторое бесконечное встречающейся в [1]. Отметим, что Т является макси"

множество простых чисел. Для каждого р е Р пусть мальным идеалом кольца Я.

где к є Ы, или Яр = е Положим

Перейдем к рассмотрению фактор-колец кольца Я. Из теоремы 1 известно, что если I Т, то

К = П Яр , Т = © Яр. Подкольцо Я кольца К назы- I = вЯ © © (I п Яр). Таким образом, I = вЯ © Ь , где

А А У ^ о У «с.? *

рєР

рєР

вается моногенным «р-кольцом, если Т с Я и ЯТ ~ некоторое поле.

В частности, случай ЯТ = Є рассмотрен в [1] и

[2].

реЗ

Ь с Т . Кроме того, Я = еЯ © (1 - е)Я и Ь с (1 - е)Я . Учитывая данное представление идеала и разложение кольца Я, рассмотрим фактор-кольцо ^. Нетрудно

видеть, что

Ь

. Таким образом, изучение

Выясним вид идемпотентов кольца Я. Пусть е - фактор-колец достаточно провести для случая, когда

идемпотент кольца Я. Тогда (е+Т) - идемпотент в I с Т .

ЯТ , а ЯТ ~ поле. Тогда е+Т = Т, либо е+Т = 1 + Т.

Отсюда е е Т, либо (1 - е) е Т. Итак, идемпотент е либо является суммой единичных элементов некоторых колец Яр, либо 1 - е имеет подобное строение. Перейдем к описанию идеалов кольца Я.

Теорема 2. Пусть I с Т идеал кольца Я. Тогда возможны следующие три случая.

1) Если I с Яр ©... © Яр , где п е М, то

г\ Гп

где Я1 - некоторое подкольцо

Теорема 1. Пусть I - идеал кольца Я. Если ^ Т, то в Я, являющееся прямым слагаемым.

I = © (I п Яр). Если I £ Т , то I = еЯ ©© (I п Яр),

реР реЗ р

где е - идемпотент кольца Я, З - некоторое конечное множество простых чисел.

Доказательство. Пусть I - идеал кольца Я. Если I с Т , то очевидно I = © (I пЯр), и первая часть

реР р

теоремы доказана. Пусть теперь I £ Т , тогда I + ТТ

2) Если I п Яр ф 0 для бесконечного множества чисел р из Р и I п Яр ф Яр для бесконечного множества чисел р из Р, то является моногенным sp-кольцом.

3) Если I п Яр = Я для почти всех чисел р из Р,

то Я/ = Я/ © ©Яр‘

- идеал в

I+т/ = я

Я/

. Учитывая, что

Я/

П

Т

I п Яг

- поле, получаем

т/я = ЯТ , откуда I + Т = Я . Далее, поскольку

1 е Я , то существуют а е I, Ь е Т такие, что а+Ь = 1. Заметим, что Ь имеет лишь конечное число коорди-

г=1 / - ' •~рі

Доказательство. Пусть I - идеал кольца Я и

I с Яп ©... © Яп , где

г1 Ун

п є N. Известно, что

I = ©(I пЯр ), где I пЯр - идеал кольца Яр . Да-

,_1 Уі Уі Уі

нат, отличных от 0. Значит, а имеет почти все еди- лее, кольцо Я можно представить в виде суммы ничные координаты, за исключением конечного чис-

ла. Существует идемпотент е е Я такой, что единичные координаты е и а совпадают. Можем записать Я в виде

© Я

Я = Я) © СВ Яр . Отсюда, Я[ = 'і © і=1

©(I п Яр,)

і =1 Уі

п

и окончательно

R

n Rp

Докажем

R/ -

R = Rp RP = /I n R

. Возможны следующие три случая:

р

Rp = 0; 3) I n RP

делим кольцо K* = П Rp и идеал Т* = Є Rp. Надо

рєі P PєP P

показать, что Т* вкладывается в

R/

бражение

Ri - k •

или

vRi

-пRp

pєP

подробнее

I n r . Пусть r є Ri, тогда полага-

дывается

г =1 / - ' '*-р,.

второй пункт. Пусть I - идеал кольца Я и выполнены условия пункта (2). По теореме об изоморфизме

я - ^

Т/ • Построим моногенное «р-кольцо К та-

в K*.

R

-R/

-к *

Поскольку

Получили, что Т ,

- Q-алгебра, то R, - сервантное

подкольцо в K*, откуда Rj - «р-кольцо. Пункт три

сервантное подкольцо в K*. Полагаем

и I n Rp = Rp для

вытекает из того, что Т = © Яр

реР р

почти всех чисел р из Р. Теорема доказана.

Рассмотрим общее строение Я-модулей. Обозна-

чим

R/ =

'Т

= F.

1) I n Rp = 0 , тогда Rp = Rp ; 2) I n Rp = Rp, тогда

* я

:RP, тогда Rp = ^ n r . Опре-

/I ’ а /I ~ сервантное подкольцо в K*. Покажем, что Т вкладывается в RI. Построим отображение ф : Т* — R,, или под-

RP

робнее: ф: © рА и ^ ЯА . Пусть г є Т . Пола-

рєР / * п Яр ' 1

гаем

ф(г) = ф(г + (I п Яр)) = г +1 = г .

Нетрудно видеть, что ф - мономорфизм. Получается, что Ті в Я! играет ту же роль, что и Т в Я. Покажем, что Я/т вкладывается в К*. Построим ото-

ем у (г) = у(г +1) = (гр + (I п Яр)), где г = (гр). Нетрудно видеть, что у - мономорфизм. Итак, Ят вкла-

Теорема 3. Всякий R-модуль M равен A © D, где D - наибольший подмодуль в M, являющийся F-пространством, а A - подмодуль, не содержащий F-пространств.

Доказательство. Покажем, что D = |хе M: rx = 0 для каждого r из T} - R-подмодуль в M. Пусть dj, d2 е D. Рассмотрим dj - d2. Пусть r е T, тогда r(dj - d2) = = rdj - rd2 = 0. Следовательно, dj - d2 из D. Далее, пусть d е D, « е R, r е T. Рассмотрим r(sd) = (rs)d = 0. Получили, что D - подмодуль в R-модуле M. Покажем, что D - F-модуль. Отметим, что есть канонический гомоморфизм из R в , где для d е D r е RT ■

Имеем, rd = (r + T)d = rd . Итак, D - F-пространство. Далее покажем, что D - инъективный R-модуль. Воспользуемся известной леммой Бэра. Пусть I - идеал R, тогда I = eR © L .

Пусть ф е HomR (I, D). Отметим, что ф(0 = 0 для каждого t е T. Имеем ф(к) = ф(^г+5), где к е I, r е R, s е T. Далее, ф(^г+5) = ф(е^+ф(«) = (er+s^(e) = кф(е), где ф(е) е D для каждого к е I. Таким образом, если I - идеал R, то существует идемпотент е в R. Полагая d = ф(е) е D, получаем ф(к) = kd для любого к е I. Получили, что D - инъективный R-модуль. В силу выбора D, D - наибольший подмодуль в M. Итак, M = A © D, где A - подмодуль, не содержащий F-пространств. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 29 - 34.

2. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math. 1999. P. 87 - 100.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 10 мая 2005 г.