Проективные модули над csp-кольцами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.553+512.541

Проективные модули над csp-кольцами

Егор А. Тимошенко*

Механико-математический факультет, Томский государственный университет, Ленина, 36, Томск, 634050,

Россия

Получена 21.03.2012, окончательный вариант 21.05.2012, принята к печати 16.07.2012 Установлено строение проективных модулей над произвольным csp-кольцом. Показано также, что эти модули допускают описание при помощи полной системы кардинальных инвариантов.

Ключевые слова: проективный модуль, csp-кольцо, полная система инвариантов.

Через Zp, Z и N будут обозначаться соответственно кольцо целых p-адических чисел, кольцо целых чисел и множество натуральных чисел.

Пусть P — некоторое бесконечное множество простых чисел. Допустим также, что для каждого p £ P выбрано кольцо Kp, которое совпадает либо с некоторым кольцом вычетов Z/pmZ (для разных p число m > 0 может быть разным), либо с Zp. Обозначим

K =Ц Kp, T =0 Kp С K;

peP peP

ясно, что T является идеалом кольца K.

Назовем csp-кольцом всякое подкольцо R кольца K такое, что T С R и факторкольцо R/T = Ro является полем. Если P есть множество всех простых чисел и все Kp совпадают с кольцами Zp, а Ro изоморфно полю рациональных чисел, то соответствующее csp-кольцо (оно определено однозначно) называется кольцом псевдорациональных чисел.

Наша задача — описание строения проективных модулей над csp-кольцами. Основная часть работы посвящена доказательству следующего факта:

Теорема 1. Пусть R — csp-кольцо. Тогда всякий проективный R-модуль 'разлагается в прямую сумму подмодулей, изоморфных идеалам кольца R.

Настоящая работа является продолжением статьи [1], в которой было получено полное описание проективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел. Там же замечено, что для кольца псевдорациональных чисел теорема 1 верна в силу его наследственности; случай произвольного csp-кольца заметно сложнее.

Кольцо Kp и его единичный элемент ep можно естественным образом отождествить с соответствующими идеалом и идемпотентом кольца R. Кроме того, кольцо Kp допускает единственную модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом R; поэтому в дальнейшем мы рассматриваем все Kp как R-модули, не оговаривая это дополнительно. Все модули считаем унитарными. Заметим, что для всякого r £ R \ T смежный класс r + T обратим в Ro, а значит, почти при всех p £ P элемент rep будет обратимым в кольце Kp.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Кольцо Д содержит идемпотенты двух типов:

ех

рех

1 - ех = 1 — X/

рех

где X есть конечное (возможно, пустое) подмножество множества Р. Элемент ех назовем идемпотентом конечного типа с носителем X.

В силу теоремы Капланского [2] всякий проективный модуль можно представить как прямую сумму счетно порожденных подмодулей, а значит, достаточно доказать теорему 1 для счетно порожденных проективных Д-модулей.

Доказательство теоремы 1. Пусть М — счетно порожденный проективный Д-модуль. Мы можем считать, что М С —, где — есть прямая сумма счетного числа копий Д. Легко убедиться, что фактормодуль М/МТ представляет собой линейное пространство над До. Пусть Ф = |а1,Я2,...} — некоторая система элементов модуля М (конечная либо счетная) такая, что система {ах + МТ, а2 + МТ,...} служит для М/МТ базисом. Тогда

М

МТ + ^ аД.

(1)

а£Ф

Всякий элемент модуля М С — можно представить как бесконечный вектор (г1,г2,...), у которого почти все координаты равны нулю (здесь г^ € Д). Естественный эпиморфизм М ^ М/МТ мы можем отождествить с отображением, сопоставляющим всякому вектору (гх, г2,...) € М вектор (гх + Т, г2 + Т,...) с координатами из Д0. Пусть ап = (впЪ вп2,...), где впй € Д. Из условия ап / МТ следует, что хотя бы одна из координат впй не принадлежит идеалу Т; обозначим эту координату через вп.

Для натурального п ^ |Ф| выберем наименьшее в € N обладающее свойством

при всех ] € {1, 2,..., п} и к > в выполнено в^й = 0. Рассмотрим для этого числа в две матрицы:

(2)

В

/ви в21 в12 в22

вп1\ вп2

В

/ви + Т в21 + Т в12 + Т в22 + Т

\в1Я в2« ... вп8/

вп1 + Т\

вп2 + Т

\вь + Т в28 + Т ... вп8 + Т/

Система Ф является линейно независимой по модулю МТ, а значит, столбцы матрицы В линейно независимы над До. Поэтому В содержит некоторый ненулевой минор порядка п. Соответствующий ему минор матрицы В обозначим через Дп (очевидно, что Дп / Т).

Через Рп обозначим множество всех чисел р € Р таких, что по крайней мере один из элементов Дпер и в«ер необратим в кольце Ясно, что все Рп конечны. Пусть {р1,р2,...} есть множество (имеющее конечную или счетную мощность т) всех простых чисел р € Р, не принадлежащих ни одному из построенных множеств Рп. Условимся, что Ьо — пустое множество; далее, для всякого п ^ 0 зададим Ьп+1 как множество и Рп+1, к которому присоединен элемент рп+1 (в случае т ^ п присоединять ничего не нужно). Мы получаем цепочку Ьо С ¿1 С ¿2 С ... С С ... конечных подмножеств множества Р, объединение которой совпадает с Р. Обозначим через е„ идемпотент конечного типа с носителем Ьп.

Имеет место равенство апД = а„е„Д + ап(1 — еи)Д; ясно, что а„е„Д С МТ. Поэтому далее можно считать, что система Ф из разложения (1) состоит не из элементов ап, а из

р

элементов а„(1 — е„). Заметим, что аннулятором элемента а„(1 — £п) € М, как и элемента вп(1 — £п) € Д, служит идеал £пД. Следовательно, а„(1 — £п)Д = (1 — £п)Д.

Замечание. Если система Ф конечна и содержит п элементов, то будем считать, что а„+! = а„+2 = ••• = 0, Ьп+1 = ЬИ+2 = ••• = Р и £п+1 = £п+2 = ••• = 1- Это позволит нам сделать дальнейшие 'рассуждения применимыми как к случаю счетной, так и к случаю конечной системы Ф-

Итак, для всякого п € N модуль а„(1 — £п)Д изоморфен идеалу (1 — £п)Д. Заметим, что при любом р € Р \ Ьп выполнено £1вр = £2ер = ••• = £пер = 0. Предположим, что сумма

А = Е «Д (1 — )Д (3)

не является прямой. В этом случае для некоторого п > 1 сумма первых п — 1 слагаемых из (3) является прямой, а сумма первых п слагаемых уже не прямая. Тогда найдутся элементы Г1, Г2, •••, г„ € Д, для которых

Я1(1 — £1)г1 + а,2(1 — £2>2 + ••• + а„(1 — е„)г„ = 0 (4)

и а„(1 — £п)гп = 0. В силу последнего неравенства имеем гп / £пД. Зафиксируем простое р € Р\Ьп такое, что гпер = 0. Умножая (4) на ер, получим а1Г1вр + Я2Г2ер + ••• + апгпер = 0. Перепишем данное равенство в виде системы уравнений

' (виер)г1ер + (в21ер)г2ер + ••• + (вп1ер)гпер = 0, (в12ер)г1вр + (в22ер)г2вр + ••• + (вп2ер)г„вр = 0,

(в18ер)г1вр + (в28ер)г2вр + ••• + (вп8ер)г„вр = 0,

где в — это число, удовлетворяющее условию (2), а в качестве неизвестных выступают Г1ер,Г2вр, •••,гпер € Матрица этой системы содержит минор порядка п, равный Дпер, т.е. являющийся обратимым элементом кольца Тогда для всех ] € {1, 2, •••,п} имеем гдер = 0 — противоречие. Итак, сумма (3) является прямой.

Покажем теперь, что существуют подмодули С Мер, для которых Мер = ф Аер. Зафиксируем число р € Р. Найдется п ^ 0 такое, что р / и р € Ьп+1. Это значит, что £п+1ер = £п+2ер = ••• = ер и, следовательно,

п п п п

АеР = 0 ад(1 — £д)ДеР = 0 ад(1 — £д)ДеР = 0(1 — £д)ДеР = 0 ДеР = 0

д = 1 д=1 д=1 д = 1

Таким образом, Аер является свободным Кр-модулем конечного ранга. Будем считать, что п ^ 1 (для п = 0 требуемое утверждение очевидно в силу равенства Аер = 0). Рассмотрим два случая.

1. Пусть = Z/pmZ. Свободный Кр-модуль Аер инъективен и, значит, выделяется прямым слагаемым в Кр-модуле Мер.

2. Пусть выполнено = Zp. Наша ближайшая цель — убедиться, что Аер является чистым подмодулем р-адического модуля (и, следовательно, модуля Мер). Допустим, что х € Аер делится на рт в модуле -Рер. Для всех ] ^ п выполнено ад- (1 — £д )Дер = ад- Дер, поэтому можем записать х = а1Г1вр + а2Г2ер + ••• + апгпер, где гд € Д. Элемент модуля можно представить как бесконечный вектор, координаты которого принадлежат Дер = Zр.

Если x делится на pm, то и все координаты элемента x делятся на pm (в кольце Zp). Пусть s — число, удовлетворяющее условию (2). Имеем

'(виер)г1ер + (в21ер)г2вр + ... + (вп1ер)г„вр = 0 (mod pm), (ei2ep)riep + (в22ер)г2вр + ... + (вп2ер)гпер = 0 (mod pm),

(eisep)riep + (в28ер)г2вр + ... + (вп8ер)гпер = 0 (mod pm),

где в качестве неизвестных выступают riep,r2ep,...,rnep £ Zp. Матрица данной системы сравнений содержит минор n-го порядка, равный Anep и, значит, являющийся обратимым элементом кольца Zp. Следовательно, для всех j ^ n выполнено rjep = 0 (mod pm). Тогда для некоторых элементов rj £ R справедливы равенства rjep = pmrjep. Ясно, что элемент xX = (air' + a2r2 + ... + аигП)ep G Aep удовлетворяет условию pmx' = x. Итак, Aep — это чистый подмодуль в Fep и в Mep. Кроме того, Aep есть свободный p-адический модуль конечного ранга и, значит, чисто инъективный p-адический модуль [3]; тогда он служит прямым слагаемым для модуля Mep, содержащего Aep в качестве чистого подмодуля.

Таким образом, существование Кр-модуля Gp с требуемыми свойствами доказано для всех p G P. Нетрудно теперь заметить, что

M = MT + A = (0 Mep) + A = (0 Gp) © A = (0 Gp) © (0 (1 - £„)r).

peP peP peP Uen

Если Kp = Z/pmZ, то Gp, как и всякий модуль над кольцом Kp, изоморфен прямой сумме некоторых идеалов кольца Kp (и, значит, идеалов кольца R). Если же выполнено Kp = Zp, то модуль Gp, будучи подмодулем свободного p-адического модуля Fep, изоморфен прямой сумме копий Zp.

Очевидно, что все идеалы, входящие в прямое разложение проективного модуля, также будут проективными. Как и в случае кольца псевдорациональных чисел [1], всякий идеал J С R относится к одному из двух типов:

J =0 Jp или J = (0 Jp) © (1 - ex)R, (5)

peP pex

где Jp — произвольные идеалы соответствующих колец Kp.

Если Kp = Zp, то всякий ненулевой идеал Jp С Kp как R-модуль будет изоморфен Zp. В ситуации Kp = Z/pmZ из всех идеалов кольца Kp проективными R-модулями являются лишь Kp и 0. Получаем, что всякий проективный идеал кольца R изоморфен как R-модуль некоторому идеалу J вида (5) такому, что каждый идеал Jp совпадает либо с 0, либо с Kp. Отсюда и из теоремы 1 следует, что всякий проективный R-модуль M имеет вид

M - (0(1 - ¿¿)R) © (0 Fp); (6)

¿ez peP

здесь Fp — свободные Kp-модули, а все ^ — это некоторые идемпотенты конечного типа. И обратно, всякий R-модуль вида (6) проективен, поскольку он изоморфен прямой сумме идеалов, каждый из которых представляет собой прямое слагаемое кольца R. Поэтому для модулей над csp-кольцами также будут справедливы теоремы 1 и 2 из [1], описывающие проективные модули в терминах инвариантов (доказательства обеих теорем переносятся на случай произвольного csp-кольца без изменений).

Напомним, что под инвариантами проективного Д-модуля M в работе [1] понимали кардинальное число r(M), равное размерности До-пространства M/MT, и кардинальные числа rp(M), равные рангам свободных Кр-модулей Mep. Для модуля вида (6) кардинал r(M) совпадает с мощностью индексного множества I. В дополнение к теоремам 1 и 2, приведенным в [1], для csp-кольца Д можно доказать следующий результат:

Теорема 2. Для проективных Д-модулей A и M вложение A ^ M существует тогда и только тогда, когда r(A) ^ r(M) и rp(A) ^ rp(M) для всех p ЕЕ P.

Доказательство. Если существует вложение A ^ M, то, как нетрудно видеть, модули A/AT и Aep вкладываются в M/MT и Mep соответственно. Отсюда получаем r(A) ^ r(M) и rp(A) < rp(M).

Допустим теперь, что для M справедлив изоморфизм (6) и что выполнены неравенства r(A) ^ r(M) = |11 и rp(A) ^ rp(M). Пусть Gp — это свободный Кр-модуль, ранг которого rp(Gp) удовлетворяет условию rp(Gp) + rp(A) = rp(M).

Выберем подмножество D множества I такое, что |D| = r(A). Заметим, что все идеалы (1 — ¿¿)T проективны. Рассмотрим проективные Д-модули

M' = (0(1 — *) Д) ® (0(1 — © (0 Fp), A' = (0 Gp) © A.

¿eD ¿/D peP peP

Ясно, что модуль M' вкладывается в M. Для всякого p ЕЕ P выполнено Tep = Дер и, значит, rp(M') = rp(M) = rp(Gp) + rp(A) = rp(A'); кроме того, имеем r(M') = |D| = r(A) = r(A'). Применяя теперь теорему 1 из [1], получаем изоморфизм M' = A'. Итак, модуль A можно вложить в M, что и требовалось. □

Замечание. Указанных в теореме условий недостаточно для того, чтобы существовал эпиморфизм M ^ A. Примером могут служить проективные Д-модули A = T и M = Д.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (государственный контракт Ц.в37.21.0354).

Список литературы

[1] Е.А.Тимошенко, Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел, Журнал СФУ. Математика и физика, 4(2011), №4, 541-550.

[2] I.Kaplansky, Projective modules, Annals of Mathematics, 68(1958), №2, 372-377.

[3] П.А.Крылов, А.А.Туганбаев, Модули над областями дискретного нормирования, М., Факториал Пресс, 2007.

Projective Modules over csp-Rings

Egor A. Timoshenko

We establish the structure of projective modules over an arbitrary csp-ring. It is also shown that these modules admit a description by means of a complete system of cardinal invariants.

Keywords: projective module, csp-ring, complete system of invariants.