CC BY
23
102
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61).
УДК 512.553.6+512.541
ДВОЙСТВЕННОСТЬ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПЛОСКИХ ^-МОДУЛЕЙ1
© 2008 А.В.Царев2
В работе показано, что категория плоских конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел с псевдогомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
Введение
Под "группой" в данной работе всюду подразумевается абелева группа, записанная аддитивно; Z, Q и Zp — обозначения колец целых, рациональных и целых р-адических чисел соответственно или их аддитивных групп, Р — множество всех простых чисел, N — множество всех натуральных чисел. Если 5 — подмножество К-модуля М, то через (5) и (5)к будем обозначать соответственно подгруппу и подмодуль, порожденные множеством 5, а через (5)„ — сервантную оболочку множества 5, состоящую из всех таких г е М, что пг е (5) при некотором натуральном п. Через 1(А) и Ар будем обозначать соответственно периодическую и р-примарную часть группы А. Если X = [х1, ..., хп}, то через [X] будем обозначать столбец элементов х\, ..., хп. Остальные обозначения соответствуют [1].
Определение 1.1. Кольцо Я = (1, ф ^)» с П ^ называется кольцом псевдо-
реР реР
рациональных чисел.
Это кольцо было введено в работах А.А. Фомина [2] и П.А. Крылова [3] для изучения др-групп, которые, как они показали, удобно представляются Я-модулями. Смешанная абелева группа О называется др-группой, если она лежит между прямой суммой и прямым произведением своих р-примарных компонент, (¡)Ор с О с ]"[ Ор. А.А.Фомин впервые применил модули над кольцом псевдора-
реР реР
циональных чисел для изучения факторно делимых групп. Напомним, что группа О называется факторно делимой, если она не содержит делимых периодических подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу Г конечного ранга, что О/Г — делимая периодическая группа.
В [4] А.А. Фомин показал, что любая факторно делимая группа сервантно вкладывается в некоторый конечно порожденный Я-модуль, который он назвал псевдорациональным типом этой группы. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что факторно делимые группы и конечно порожденные Я-модули
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.Н.Пановым.
2Царев Андрей Валерьевич (an-tsarev@yandex.ru), кафедра алгебры Московского педагогического государственного университета, 107140, Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14.
имеют ряд аналогичных свойств, и, что как первый класс можно применять для изучения второго, так и второй для изучения первого.
В [5] получен ряд свойств факторно делимых групп и конечно порожденных ^-модулей, демонстрирующих "близость" этих двух классов. Здесь мы продолжаем изучение конечно порожденных ^-модулей. Для этого вводится понятие псевдогомоморфизма ^-модулей. Если M, L — ^-модули, то псевдогомоморфизмами из М в L будем называть элементы фактор-множества Иошк(М, L)/Homs(M, TL), где T = © Zp.
p€P
Основным результатом работы является
Теорема 5.2. Категория плоских конечно порожденных ^-модулей с псевдогомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
Аналогичный результат имеет место и для факторно делимых групп, а именно, D.M.Arnold в [6] доказал, что категория факторно делимых групп без кручения с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
1. Модули над кольцом псевдорациональных чисел
В кольце целых универсальных чисел Z = ]"[ Zp рассмотрим подкольцо R, адди-
peP
тивная группа которого сервантно порождается идеалом ф Zp и единицей кольца.
peP
Определение 1.1 [2]. Кольцо R = (i, ф Zp)* называется кольцом псевдораци-
peP
ональных чисел.
Свойства кольца R.
1. Элемент r = (ap) e П Zp принадлежит кольцу R тогда и только тогда, ко-
peP
m
гда существует такое рациональное число —, что пар = m почти при всех
m
простых р (это число — далее будем обозначать |г|).
2. Обозначим через ep элемент кольца R такой, что его p-компонента равна 1, а все остальные компоненты равны 0. Тогда ep — идемпотент кольца R.
3. Элементы вида
£ = £pi + ... + £pn, (a)
где pi, ..., pn — различные простые числа, и элементы вида
1 - £, (b)
а также 1 и 0 составляют множество всех идемпотентов кольца R.
4. Для элемента r e R обозначим через |r| рациональное число, определенное в свойстве 1. Тогда число | r| определено однозначно и
|ri ± r21 = |ri|± |r2|, |ri ■ r21 = |ri | |r21,
для любых ri, r2 e R.
5. Любой элемент r e R можно представить в виде r = £r + (i - £)|r|, где £ — идемпотент вида (a).
6. Множество T = ф Zp является максимальным идеалом кольца R, причем
peP
R/T = Q.
Рассмотрим некоторые свойства Я-модулей.
Определение 1.2 [2]. Я-модуль M называется делимым, если его аддитивная группа делимая без кручения и rm = \r\m для любых r е Я и m е M. Если Я-модуль не содержит делимых подмодулей, то он называется редуцированным.
Заметим, что конечно порожденный Я-модуль является делимым тогда и только тогда, когда его аддитивная группа делимая без кручения конечного ранга.
Теорема 1.1 [2]. Для произвольного Я-модуля M справедливо:
1) модуль M либо редуцированный, либо содержит наибольший делимый подмодуль divM;
2) divM = {m е M \ tm = 0 для любого t е T};
3) divM выделяется прямым слагаемым в M.
Теорема 1.2 [2]. Если M — произвольный Я-модуль, то множество
TM = {tm \ t е T, m е M} является подмодулем модуля M, причем TM = ф Mp, где Mp = epM.
реР
Определение 1.3 [2]. Псевдорациональным рангом Я-модуля M называется dimg(M/TM) — размерность фактор-модуля M/TM, рассматриваемого в качестве векторного пространства над полем Q = Я/T.
Свойства псевдорационального ранга.
1. Если M = (x1, ..., хп)Я, то r*(M) < п.
2. Если N — подмодуль Я-модуля M, то r*(M) = r*(M/N) + r*(N).
Рассмотрим также следующую теорему о гомоморфизмах Я-модулей.
Теорема 1.3 [4]. Пусть N и M — конечно порожденные Я-модули, причем M — редуцированный или N — делимый, тогда
Homz(N, M) = Hom^(N, M).
2. Модуль псевдорациональных отношений
Пусть М — конечно порожденный Я-модуль, X = [х1, ..., хп} — произвольная система элементов из М. Рассмотрим множество
АМх = [(г1, ..., гп) е Яп | пх1 + ... + Гпхп = 0},
которое, очевидно, является Я-модулем. Если X — система образующих в М, то АМх будем называть модулем псевдорациональных отношений Я-модуля М.
Предложение 2.1. Если X = [хь ..., хп} — система образующих элементов Я-модуля М, то М ^ Яn/АMX.
Доказательство. Рассмотрим отображение ф: Яп М, по закону
ф(Г1, ..., Гп) = Г1 х1 + ... + Гпхп.
Нетрудно убедиться, что ф — гомоморфизм. А так как X — система образующих Я-модуля М, то ф — эпиморфизм. Заметим, что
(Г1, ..., Гп) е кег ф ^ Г1 х1 + ... + Гпхп = 0,
т.е. кег ф = AMX, следовательно, M = Rn/AMX.
Следствие 2.1. Если X = 1x1, ..., xn} — система образующих элементов R-модуля M, то г*(И) + r*(AMX) = п.
Теорема 2.1. Пусть И и Ь — произвольные модули над кольцом R. Если X = = {х1, ..., хп} — система образующих в И, У = {уь ..., Ук} — система образующих в Ь, А — (п X к)-матрица с элементами из кольца R, то гомоморфизм /: И ^ Ь такой, что / [X] = А[У] существует тогда и только тогда, когда АИх • А с АЬу.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм модулей /: И ^ Ь такой, что /[X] = А[У]. Если (г1, ..., гп) € AИX, то (г1, ..., rn)[X] = 0, следовательно,
/(Г1Х1 + ... + ГпХп) = (Г1, ..., Гп)А[У] = 0.
Таким образом, (г1, ..., гп)А € АЬУ, а значит, AИX • А с АЬУ.
Покажем достаточность условий теоремы. Пусть AИx • А с АЬу, построим гомоморфизм /: И ^ Ь такой, что / [X] = А [У].
Рассмотрим соответствие /: И ^ Ь, по закону
/(Г1Х1 + ... + ГпХп) = (Г1,..., Гп)А[У].
Пусть £ = Г1Х1 + ... + гпхп = 51Х1 + ... + 5пхп — два произвольных представления элемента g € И. Тогда
(Г1 - 51)Х1 + ... + (Гп - 5п)Хп = 0, т.е. (Г1 - 51, ..., гп - 5п) € AИx. Тогда из условий теоремы следует, что
(Г1 - 51, ..., Гп - 5п)А[У] = 0,
а значит,
/(Г1Х1 + ... + ГпХп) = (Г1, ..., Гп)А[У] = (51, ..., 5п)А[У] = /(51Х1 + ... + 5пХп).
Таким образом, / — отображение. Очевидно, что / сохраняет операции, т. е. / — гомоморфизм, а так как /[X] = А[У], то / — искомый гомоморфизм.
3. Условие ортогональности
Пусть И — конечно порожденный R-модуль, X = {Х1, ..., хп} образующих. Рассмотрим R-модуль
его система
АИ^ = {(Г1, ..., Гп) € Rn | А^
Г1
= 0}.
Теорема 3.1. Если И — конечно порожденный R-модуль с системой образующих X, то Иош^И, R) ^ АИ^.
Доказательство. Пусть X = {Х1, ..., хп} — система образующих R-модуля И. Рассмотрим отображение Ф: Иош^(И, R) ^ Rn, по закону
Ф(ф) = (ф(Х1), ..., ф(Хп)).
Покажем, что образ отображения Ф совпадает с модулем АИ^. Если (Г1, ..., Гп) € 1тФ, то существует гомоморфизм ф € ИoшR(И, R) такой, что г, = = ф(х,). Тогда
Г1 ' ф(Х1) '
АИх = А^
Гп , ф(Хп) ,
Г
п
следовательно, (г1 , ..., Гп) е АМу и т Ф с АМу.
Пусть (г1, ..., гп) — произвольный элемент из АМу, докажем существование такого гомоморфизма ф е ИошЯ(М, Я), что ф(х;) = г;. Рассмотрим соответствие ф : М - Я, по закону
ф(Д1 х1 + ... + Дпхп) = Д1Г1 + ... + ДпГп,
где Д1, ..., дп е Я. Пусть д1 х1 + ... + дпхп = д^ х1 + ... + д'пхп, тогда
(Д1 - д1, ..., дп - д'п) е АMх. Так как (г1, ..., гп) е АМу, то (д1 - д'1)г1 + ... + (дп - д'п)гп = 0, и значит, ф(д1 х1 + ... + дпхп) = ф(д1 х1 + ... + дпхп),
т.е. ф — отображение.
Пусть gl = д1 х1 + ... + дпхп и g2 = 11 х1 + ... + 1пхп, где гь д; е Я, тогда
ф(?1 + g2) = ф( (д1 + г1)х1 + ... + (дп + гп )хп) = (д1 + гОп + ... + (д п + гп)г п =
= (д1п + ... + дпГп) + (г1Г1 + ... + гпГп) = ф(?1) + ф(?2);
ф(гgl) = фг(д1 х1 + ... + дпхп)) = г(д1Г1 + ... + дпГп) = Гф^).
Таким образом, ф — искомый гомоморфизм, следовательно, т Ф = АМу.
Если Ф(ф) = Ф(у), то ф(х;) = у(х;) для любого х; е X. Но X — система образующих в М, следовательно, последнее равенство влечет ф = у, а значит, Ф — инъекция.
Убедимся, что Ф сохраняет операции. Пусть ф, у е Иошя(М, Я), тогда
Ф(ф + V) = ((ф + У)(х1),... (ф + у)(хп)) = = (ф(х1), ..., ф(хп)) + (у(хО, ..., у(хп)) = Ф(ф) + Ф(у);
Ф(гф) = (гф(х1), ..., Гф(хп)) = г(ф(х1), ..., ф(хп^ = гФ(ф).
Таким образом, из всего вышесказанного следует, что Ф задает изоморфизм между Я-модулями ИошЯ(М, Я) и АМу.
Теорема 3.2. Пусть М, Ь — конечно порожденные Я-модули, X, У — системы порождающих в М и Ь соответственно, тогда
АMX • А с АЬУ ^ АЬу • Аг с АМу,
где А — матрица подходящего размера с элементами из кольца Я.
Доказательство. Пусть АMх • А с АЬу. Если (д1, ..., дк) — произвольный элемент из АЬу, то
д1
(Г1, ..., Гп)А ...
дк
=0
для любого (г1,..., гп) е АMX. Отсюда следует, что (д1, ..., дк)Аг е АМу, а значит, АЬу • Аг с АМу.
Нетрудно видеть, что всегда АMх с (АМ^)у. Будем говорить, что конечно порожденный Я-модуль М удовлетворяет условию ортогональности, если существует такая система образующих X Я-модуля М, что выполняется равенство
(АМУ )у = А Mх.
Пусть М — конечно порожденный Я-модуль. Рассмотрим его подмодуль КМ(Я) = [х е М | ф(х) = 0 для любого ф е ИошЯ(М, Я)}.
Напомним, что фактор-модуль И/Ки(К) называется коследом кольца R в модуле И, и Иош^(И, R) - ИoшR(И/KИ(R), R).
Предложение 3.1. Ки(R) = {х € И | о(грх) < то для любого р € Р}. В частности, ШУИ с Ки (R) и Г(И) с Ки (R).
Доказательство. Так как R — редуцированный R-модуль без кручения, то {х € И | о(ерх) < то для любого р € Р}с Ки(R).
Если о(ерх) = то для некоторого простого р, то (ерх^ = Так как грИ — конечно порожденный 2р-модуль, то существует гомоморфизм ф: И ^ Zp такой, что ф(х) ф 0. Учитывая, что 7^р — прямое слагаемое R, получаем, что х Ки(К). Таким образом, верно обратное включение Кис{х € И | о(ерх) < то для любогор € Р}.
Теорема 3.3. R-модуль И удовлетворяет условию ортогональности тогда и только тогда, когда он не имеет ненулевых элементов конечного порядка и редуцирован.
Доказательство. Пусть И — произвольный конечно порожденный R-модуль с системой образующих X = {х1, ..., хп}. По теореме 3.1 условие (г1, ..., Гп) € (АИ^)1"
Г1
выполняется тогда и только тогда, когда (ф(хО, ..., ф(хп)) ... = 0 при любом
Гп
ф € Иогс^(И, R). Так как последнее равенство равносильно
Г1ф(Х1) + ... + Гпф(Хп) = ф(Г1 Х1 + ... + ГпХп) = 0,
то (г1 , ..., Гп) € (АИ^)^ ^ г1 х1 + ... + Гпхп € Ки(R). Следовательно,
(АИ^ )± = А^ ^ Ки(R) = 0.
Тогда из предложения 3.1 получаем справедливость данной теоремы.
Заметим, что класс R-модулей без ненулевых элементов конечного порядка — это в точности класс плоских R-модулей (подробнее см. [7]).
Следствие 3.1. Ки{К) = (АИ^/АИ.
4. Псевдогомоморфизмы R-модулей
Свойства модулей над кольцом псевдорациональных чисел во многом аналогичны свойствам смешанных абелевых групп. При изучении последних важную роль играет категория Уокера (Walk). Объектами этой категории являются (смешанные) группы, а множеством морфизмов из A в B является фактор-множество Hom(A, B)/Hom(A, t(B)). В связи с этим естественно рассмотреть категорию R-модулей, множеством морфизмов из M в L в которой служит фактор-множество HomR(M, L)/HomR(M, TL). Эти морфизмы будем называть псевдогомоморфизмами R-модулей, а саму категорию — категорией псевдогомоморфизмов. Обратимые псевдогомоморфизмы будем называть псевдоизоморфизмами.
Предложение 4.1. Для конечно порожденных R-модулей Mi и M2 следующие утверждения равносильны:
1. Mi и M2 псевдоизоморфны.
2. (1 - e)Mi = (1 - e)M2 при некотором идемпотенте е € R вида (a).
3. Mi ® X = M2 ® Y, где X и Y — некоторые конечно порожденные R-модули псевдорационального ранга 0.
Доказательство. 1 => 2. Пусть ср = ф+Нотя (Мь ГМ2) — псевдоизоморфизм из М\ в М2, а ср' = ф'+Нотя(М2, ТМ\) — псевдоизоморфизм из М2 в М\, обратный к ф. Тогда фф' = 1м1 + V и ф'ф = 1м2 + X, где 1м1 и 1м2 — тождественные отображения Я-модулей М1 и М2 соответственно, у е ИошЯ (М1, ТМ1) и / е ИошЯ (М2, ТМ2). Так как М1 — конечно порожденный Я-модуль, то М1 = (хь ..., хп)я, а тогда существует такой идемпотент £1 е Я вида (а), что
(1 - £1)у(х1) = ... = (1 - £1)у(хп) = 0,
следовательно, (1 -£1)у = 0. Аналогично показывается, что существует такой идемпотент £2 е Я вида (а), что (1 - £2)/ = 0. Пусть £ = £1 + £2, тогда
(1 - £)фф' = (1 - £)1М1 и (1 - £)ф'ф = (1 - £)1М2.
Отсюда следует, что (1 - £)ф — изоморфизм из (1 - £)М1 в (1 - £)М2.
2 ^ 3. Если (1 - £)М1 = (1 - £)М2, то М1 фX ^ М2 ф У, где X = £М2 и У = £М1 — конечно порожденные Я-модули псевдорационального ранга 0.
3 ^ 1. Пусть ф1: М1 фX — М2 ф У — изоморфизм, а ф2 — обратный к нему изоморфизм. Так как X и У — конечно порожденные Я-модули, то (1 -= (1-£)У = 0 для некоторого идемпотента (1 - £) е Я вида (Ь). Тогда (1 - £)ф1 —гомоморфизм из М1 в М2, а (1 - £)ф2 —гомоморфизм из М2 в М1, причем
(1 - £)ф1(1 - £)ф2 = 1(1-е)М1 и (1 - £)ф2(1 - £)ф1 = 1(1-е)М2.
Отсюда следует, что псевдогомоморфизмы (1 - £)ф1 + Иошя (М1, ТМ2) и (1 - £)ф2 + + ИошЯ (М2, ТМ1) взаимно обратны, т.е. М1 и М2 — псевдоизоморфны.
Если для Я-модулей М1 и М2 выполняется равенство
(1 - £)М1 = (1 - £)М2
для некоторого идемпотента £ е Я, то будем говорить, что М1 и М2 — псевдоравные Я-модули.
Я-модуль М неразложим в категории псевдогомоморфизмов, если в любом его подмодуле М1 ф М2, псевдоизоморфном М, одно из слагаемых псевдоизоморф-но 0 (имеет псевдорациональный ранг 0). Нетрудно видеть, что неразложимость Я-модуля М в категории псевдогомоморфизмов равносильна тому, что в любом прямом разложении М = М1 ф М2 одно из слагаемых всегда имеет псевдорациональный ранг 0.
Теорема 4.1. В категории псевдогомоморфизмов конечно порожденных Я-мо-дулей любой модуль раскладывается в (конечную) прямую сумму неразложимых в этой категории объектов.
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по величине псевдорационального ранга.
Пусть М — конечно порожденный Я-модуль псевдорационального ранга 1. Так как г*(X ф У) = ^^ + г*(У), то в любом прямом разложении М = М1 ф М2 одно из слагаемых имеет псевдорациональный ранг 0, т.е. М неразложим в категории псевдогомоморфизмов.
Предположим, что теорема верна для всех конечно порожденных Я-модулей, псевдорациональный ранг которых меньше п. Рассмотрим конечно порожденный Я-модуль М такой что г*(М) = п. Если М неразложим в категории квазигомоморфизмов, то М = М — искомое разложение. Если же М разложим, то М = М1 фМ2, где г*(М1) < п и г*(М2) < п. По предположению индукции М1 и М2 раскладываются в прямую сумму Я-модулей, неразложимых в категории псевдогомоморфизмов, следовательно, таким же разложением обладает и Я-модуль М = М1 ф М2.
Теорема 4.2. Пусть M, L — произвольные R-модули, ф, у — произвольные гомоморфизмы из M в L, тогда ф и у определяют один и тот же псевдогомоморфизм ^ когда совпадают индуцированные ими гомоморфизмы ф': M/TM ^ L/TL и у': M/TM ^ L/TL.
Доказательство. Гомоморфизмы ф и у определяют один и тот же псевдогомоморфизм тогда и только тогда, когда ф - у € HomR(M, TL), а это равносильно тому, что
(ф' - у')(т + TM) = (ф - у)(т) + TL = 0
для любого m € M, т.е. ф' = у'.
Следствие 4.1. Пусть M и L — R-модули конечных псевдорациональных рангов, X = {xi, ..., xn}, Y = {yi, ..., yk} — максимальные системы в M и L соответственно, независимые по модулю TM и TL; ф, у — гомоморфизмы из HomR(M, L). Если
xi yi ti xi ' yi ti '
ф = A + иу = B +
xn , Ук , V tk , xn , Ук , V "tk,
где 1\, ..., ^, ..., 1'к € ТЬ, А = (г;Д В = (ж^) — матрицы подходящего размера с элементами из кольца Я, то гомоморфизмы ф, у определяют один и тот же псевдогомоморфизм тогда и только тогда, когда равны рациональные матрицы А = (\гф и В = (Ы).
Данное следствие целиком распространяется на конечно порожденные Я-моду-ли. Оно показывает, что при работе с псевдогомоморфизмами конечно порожденных Я-модулей можно в полной мере использовать матричный аппарат линейной алгебры.
5. Двойственность
Для доказательства основной теоремы данной работы нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.
Теорема 5.1. [7] Для Я-модуля М следующие условия равносильны:
1. М имеет прямое слагаемое вида (1 - е)Я;
2. Я-модуль Иошя(М, Я) имеет прямое слагаемое вида (1 - е)Я:
3. г*ИошЯ(М, Я) > 0.
Лемма 5.1. Пусть X = {х1, ..., хп} — система порождающих конечно порожденного Я-модуля М, С — произвольная (п X п)-матрица с элементами из кольца Я, тогда следующие условия равносильны:
1. АМх = А Мех;
2. Соответствие ф: М ^ М, такое что
ф(Г1 Х1 + ... + ГпХп) = (Г1, ..., Гп)С[Х],
является мономорфизмом (причем ф((1 - е)М) = (1 - е)М для некоторого идем-потента (1 - е) € Я).
Доказательство. 1 ^ 2. Если АМх = АМех, то по теореме 2.1 отображение ф: М ^ М, действующее по закону ф(г1 х1 + ... + гпхп) = (г1, ..., гп)С[Х], является гомоморфизмом. Далее, если g = г1 х1 + ... + гпхп € кегф, то (г1, ..., гп) € АМСХ, а значит, (г1, ..., гп) € АМх, т. е. g = 0. Таким образом, ф — мономорфизм.
Из предложения 2.1 следует, что
ф(М) = (CX)Я - Яn/АMcX = Яn/АMX - М,
в частности, г*(ф(М)) = г*(М), а тогда г*(М/ф(М)) = 0. Так как М — конечно порожденный Я-модуль, то для некоторого идемпотента (1 - £) е Я справедливо: (1 - £)(М/ф(М)) = 0, т.е.
ф((1 - £)М) = (1 - £)ф(М) = (1 - £)М.
2 ^ 1. Так как ф — мономорфизм и фИ = СЩ, то
ф(Г1 х1 + ... + Гпхп) = 0 ^ (Г1, ..., Гn)C[X] = 0 ^ (Г1, ..., Гn)[X] = 0.
Следовательно, АMX = АМ^.
Лемма 5.2. Если N — подмодуль конечно порожденного Я-модуля М такой, что г*^) = г*(М), то N и М псевдоравны.
Доказательство. Так как г*(Щ = г*(М), то M/N — конечно порожденный Я-модуль псевдорационального ранга 0. Тогда (1 - £)М = (1 - £)N для некоторого идемпотента £ е Я, т.е. N и М псевдоравны.
Следующая теорема является основным результатом данной работы
Теорема 5.2. Категория плоских конечно порожденных Я-модулей с псевдогомоморфизмами в качестве морфизмов двойственна сама себе.
Доказательство. Обозначим рассматриваемую категорию через Р. Нам надо построить контравариантный функтор 5 : Р — Р, такой что 5 • 5 - йр, где Йр — тождественный функтор на Р.
Для начала построим двойственность на подкатегории ^Р категории Р, объектами которой являются Я-модули, не имеющие прямых слагаемых вида Q и (1 - £)Я для любого идемпотента £ е Я.
Пусть М — произвольный объект категории ^Р, X = [хь ..., хп} — максимальная независимая по модулю ТМ система элементов из М (такую систему далее будем называть просто максимальной независимой системой). Тогда модуль, двойственный М, строим следующим образом:
Ь = 5(М) = Яп/АМу, при этом система X* = [хЦ, ..., хП}, двойственная системе X, имеет вид: х1 = (1, 0, ..., 0) + АМУ, ..., х*п = (0, 0, ..., 1) + АМу.
Заметим, что мы можем считать, что X является системой образующих Я-модуля М, так как в противном случае, не теряя общности, можно заменить М на его подмодуль М' = ^)я, который в силу леммы 5.2 ему псевдоравен. Всюду далее будем использовать это допущение.
Убедимся, что X* = [хЦ, ..., хП} является максимальной независимой системой Я-модуля Ь = 5(М). Пусть г1 х1 + ... + гпх*п = 0, тогда по теореме 3.1
(г1, ..., гп) е АЬ^ = АМу - ИошЯ(М, Я).
Так как Я-модуль М не имеет прямых слагаемых, псевдоизоморфных Я (поскольку М е^Р), то по теореме 5.1 г*ИошЯ(М, Я) = 0. Тогда г*АЬ^ = 0, и следовательно, Г1, ..., гп е Т, т.е. система X* независима по модулю ТЬ. А так как
г*(Ь) = г*(Яп) - г^'АЬ^ = п = XI, то X* — максимальная независимая система в Ь.
Из равенства (АЬу»)у = АМу = АЬх» следует, что Я-модуль Ь удовлетворяет условию ортогональности, т.е. Ь — редуцированный плоский Я-модуль. А так как г»АМх = п - г*(М) = 0 и ИошЯ(Ь, Я) ^ АЬу» = АМх, то из теоремы 5.1 следует, что Ь не имеет прямых слагаемых вида (1 - е)Я для любого идемпотента е € Я. Таким образом, Ь € ^Р.
Покажем, что построение объекта 6(М) не зависит от выбора максимальной независимой системы х. Пусть У = {у1, ..., уп} — другая максимальная независимая система Я-модуля М. Убедимся, что Ь = Яп / АМу и N = Яп/АМу — псевдоизоморфные Я-модули.
Пусть [х] = А[У] и У = В[х], где А, В — (п X п)-матрицы с элементами из кольца Я. Из данных равенств получаем:
АМх ■ А с АМУ и АМУ ■ В с АМх.
Тогда по теореме 3.2
АМу ■ А! с АМ^ и АМ^ ■ Вг с АМу.
Учитывая теорему 2.1, получаем, что существуют гомоморфизмы а: N ^ Ь и в: Ь ^ N такие, что а[У»] = Аг[х»] и |3[х*] = ВГ[У»], следовательно,
а^[х*] = (АВ)г[х*] и ва[У*] = (ВА)Г[У»].
Учитывая, что [х] = АВ[х], получаем:
АМх = АМ(АВ)х ^ АМу = АМ(~АВ}х,
но АМу = АЬх» и АМ(АВ)х = АЬ^Авух», значит, АЬх» = АЬ(ав}гх», а тогда по лемме 5.1 отображение ф = ав является мономорфизмом, причем (1 - е^аР — автоморфизм Я-модуля (1 - е1)Ь для некоторого идемпотента (1 - еО € Я.
Аналогично показывается, что (1-е2)Ра является автоморфизмом Я-модуля (1— е2)N для некоторого идемпотента (1 - е2) € Я. Таким образом, для идемпотента е = е1 + е2 получаем, что (1 - е)а(1 - е)Р является автоморфизмом Я-модуля (1 - е)Ь, а (1 - е)Р(1 - е)а является автоморфизмом Я-модуля (1 - е)N. Из этого следует, что Я-модули (1 - е)Ь и (1 - е)N изоморфны, а тогда Я-модули Ь и N псевдоизоморфны.
Пусть М, Ь — произвольные объекты из ^Р и Ф = ф+ИошЯ(М, ТЬ) — произвольный псевдогомоморфизм из М в Ь. Возьмем х и У — некоторые максимальные независимые системы порождающих в Я-модулях М и Ь соответственно. Тогда ф[х] = А[У] для некоторой матрицы А подходящего размера с элементами из кольца Я. Из теорем 2.1 и 3.2 следует, что существует гомоморфизм ф»: 5(Ь) ^ 6(М), такой что ф»[У»] = Аг[х»]. Тогда положим
6(Ф) = ф» + ИошЯ(5(Ь), Т6(М)).
В силу следствия 4.1. построение псевдогомоморфизма 5(Ф) не зависит от выбора представителя ф € Ф и матрицы А. Убедимся также, что построение 5(Ф) не зависит от выбора максимальных независимых систем, порождающих х, У.
Пусть х1 , У1 — максимальные независимые системы в Я-модулях М и Ь соответственно, и пусть
[х1] = ОД, [У1] = С[У], ф[х1] = В[У1]. Тогда ф[х1] = БА\У] = ВС [У], следовательно,
(1 - е)БА = (1 - е)ВС (5.1)
для некоторого идемпотента е € Я.
Рассмотрим диаграмму
ф*
Яп/АМ^ ——> Яп/АМ^
ц| (5.2)
ф1
Яп/АМ^ -^ Яп/АМ^,
где ф*[У*] = А'[Х*], ф![У*] = Б* [X*], и ЦУ*] = С [У*], ц[Х*] = Б' [X*].
Заметим, что из доказанного выше следует, что X и ц порождают псевдоизоморфизмы, а из (5.1) следует, что (1 - е)Л'Б' = (1 - е)С'Б', т. е.
(1 - е)ф*ц = (1 - е)Хф1.
Таким образом, переходя в (5.2) к псевдогомоморфизмам, получаем коммутативную диаграмму, следовательно, псевдогомоморфизм 5(Ф) определен нами корректно.
Пусть М, Ь — произвольные объекты из ^Р, Ф = ф + НотЯ(М, ТЬ) — псевдогомоморфизм из М в Ь. Рассмотрим диаграмму
ф
М -> Ь
1I «I (5.3)
о 52(Ф) ,, 52(М) —--и 52(Ь)
Пусть X, У — максимальные независимые системы Я-модулей М и Ь соответственно и ф[Х] = Л[У]. Тогда
5(Ф) = ф* + НотЯ(5(Ь), Т5(М)), где ф*[У*] = Л'[X*]. Следовательно,
52(Ф) = ф** + НотЯ(52(М), Т52(Ь)), где ф**[Х**] = (Л')'[У**] = Л[У**] и X** = [х**, ..., х*п*}, У** = [у1*, ..., у**};
х" = (1, 0, ..., 0) + АMX, ..., х" = (0, 0, ..., 1) + АMX, у1* = (1, 0, ..., 0) + АЬУ, ..., у" = (0, 0, ..., 1) + АЬУ.
Из предложения 2.1 следует, что гомоморфизмы /: М и 52(М) и «: Ь и 52(Ь), переводящие X в X** и У в У** соответственно, являются изоморфизмами. Тогда из равенств фИ = Л[У] и ф**[X**] = Л[У**] следует, что если в диаграмме (5.3) в качестве псевдогомоморфизмов М и 52(М) и Ь и 52(Ь) взять псевдоизоморфизмы, порожденные изоморфизмами f и « соответственно, то получим коммутативную диаграмму.
Таким образом, функтор 5 является двойственностью на категории ^Р.
Доопределим действие функтора 5 на категорию Р. Любой объект М из Р однозначно (с точностью до псевдоизоморфизма) можно представить в виде
М = & © Яг © М,
где Iм е ^Р. Для модуля М мы уже можем построить двойственный ему Я-модуль 5(М). Тогда для М положим
5(М) = Я* © & © 5(М).
Пусть L = Qm®Rk®L eM и Ф = ф+Ногс^(М, TL) — произвольный псевдогомоморфизм из М в L. Рассмотрим максимальные независимые системы X = Xi U X2 U X3 и Y = Y1 U Y2 U Y3 в М и L соответственно такие, что Xi, Y1 — базисы в Qs и Qm, X2, Y2 — базисы в Rr и Rk, X3, Y3 — максимальные независимые системы в М и L. Так как
6(М) = Rs ® Qr ® 6(М), Ö(L) = Rm ® Qk ® 6(1),
то рассмотрим двойственные системы X* = X* U X2 U X* и Y* = Y* U Y2 U Y3 в 6(М) и 6(L) соответственно такие, что X*, Y* — базисы в Rs и Rm, X*, Y2 — базисы в Qr и Qk, X*, Y3 — максимальные независимые систем в 6(М) и 6(L), построение которых показано выше.
Гомоморфизм ф однозначно определяется равенством фИ = A[Y], где A = = (rij) — матрица с элементами из кольца R. Так как
АМх = Tr ® 0s ® АМ3, ALy = Tm ® 0k ® АМ3,
то
АМ^ = 0r ® Rs ® АМу, ALy = 0m ® Rk ® А1у. Тогда из теорем 2.1 и 3.2 следует, что
(0m ® Rk ® А1уз )Аг с (0r ® Rs ® АМу),
а значит,
(0m ® Tk ® ALy )Аг с (0r ® Ts ® АМу).
Но 0m ® Tk ® АМу = A6(L)y* и 0r ® Ts ® АМу = Аб^^. Следовательно, по теореме 2.1 существует гомоморфизм ф*: 6(L) ^ 6(М) такой, что ф*^*] = A'[X*]. Тогда положим 6(Ф) = ф* + Hom(6(L), 6(М)).
Аналогично случаю вполне редуцированных R-модулей (RP-случай) проверяется, что построение псевдогомоморфизма 6(Ф) не зависит от выбора систем X, Y, и аналогично проверяется, что 6 ■ 6 = idp.
Следствие 5.1. Двойственность 6: P ^ P сохраняет псевдорациональный ранг, т.е. г*(М) = r*(6(М)) для любого R-модуля М eP.
Работа поддержана грантом Президента РФ, № МК-3345.2007.1.
Литература
[1] Фукс, Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М.: Мир. 1974. - Т. 1. -335 с.; Т. 2. - 1977. - 416 с.
[2] Fomin, А.А. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudorational numbers / A.A. Fomin // Abelian Groups and Modules. Trends in Mathematics. - Basel: Birkhaeuser Verlag, 1999. - P. 87-100.
[3] Крылов, П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина // Вестник Томского университета. - 2000. -Т. 269. - С. 47-51.
[4] Fomin, A.A. Quotient divisible mixed groups / A.A. Fomin // Cont. Math. -2001. - V. 273. - P. 117-128.
[5] Царев, А.В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторноде-лимые группы / А.В. Царев // Алгебра и анализ. - 2006. - Т. 18. - №4. -
C. 198-214.
[6] Arnold, D.M. A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank /
D.M.Arnold // Pacific J. Math. - 1972. - V. 42. - P. 11-15.
[7] Царев, А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел / А.В.Царев // Математические заметки. - 2006. - Т. 80. -№3. - С. 437-448.
Поступила в редакцию 5/X///2007; в окончательном варианте — 5/X///2007.
A DUALITY FOR FINITELY GENERATED FLAT
^-MODULES3
© 2007 A.V.Tsarevf
A duality for the category of finitely generated flat modules over the ring of pseudo-rational numbers with pseudo-homomorphisms as morphisms is constructed.
Paper received 5/XII/2007. Paper accepted 5/XII/2007.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof.
4Tsarev Andrey Valer'evich (an-tsarevSyandex.ru), University, Moscow, 107140, Russia.
A.N. Panov.
Dept. of Algebra, Moscow Pedagogical State
