Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.553+512.541

Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел

Егор А. Тимошенко*

Механико-математический факультет, Томский государственный университет, Ленина 36, Томск, 634050, Россия

Получена 25.03.2011, окончательный вариант 25.05.2011, принята к печати 10.07.2011 Доказаны структурные теоремы, дающие полное описание проективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел. Для таких модулей построена полная система инвариантов.

Ключевые слова: проективный модуль, кольцо псевдорациональных чисел, система инвариантов.

Обозначим через N и P множества всех натуральных и всех простых чисел соответственно. Пусть для всякого p £ P кольцо Kp совпадает с кольцом целых p-адических чисел. Введем обозначения

K = Ц Kp, T =0 Kp с K.

peP peP

В кольце K имеется единственное подкольцо R такое, что идеал T содержится в R и что кольцо R/T изоморфно полю Q всех рациональных чисел. Кольцо R (называемое кольцом псевдорациональных чисел) введено в [1,2] для изучения некоторых классов смешанных абелевых групп. Это кольцо можно также описать как множество всех элементов (xp)pep кольца K таких, что при некотором | £ Q равенство bxp = aep выполнено почти для всех простых p (через ep здесь обозначена единица кольца Kp).

Кольцо Kp и его единичный элемент ep можно естественным образом отождествить с соответствующими идеалом и идемпотентом кольца R. Кроме того, кольцо Kp допускает единственную модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом R; поэтому далее мы будем рассматривать Kp как R-модули, не делая дополнительных оговорок. Все модули считаем унитарными.

В кольце R, как отмечено в [1, 2], существуют идемпотенты двух типов:

ex = Y^ ep; (1)

pex

1 — ex = 1 - ep, (2)

pe x

где X — конечное (возможно, пустое) подмножество множества P. В дальнейшем, используя обозначение ex, мы будем автоматически полагать, что X конечно. Для идемпотентов типа (1) будем использовать также обозначения е и S (с различными индексами или без таковых). Далее, для всякого идемпотента e £ R введем понятие носителя supp e, полагая supp ex = X и supp(1 — ex) = P \ X. Если supp e с supp e', то идеал eR содержится в e'R как прямое слагаемое (при этом дополнительное слагаемое определено однозначно).

* tea471@mail.tsu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

В статьях [2, 3] показано, что идеал J кольца Д обязательно относится к одному из следующих двух типов:

J — ^J^ Jp; (3)

peP

J — (1 - ex)Д © (0 Jp), (4)

pex

где Jp — произвольные идеалы соответствующих колец Kp.

Для всякого Д-модуля M фактор-модуль M/MT представляет собой Q-пространство. Размерность этого пространства называется псевдорациональным рангом модуля M [3,4]; будем обозначать ее через r(M). Очевидно, что псевдорациональный ранг прямой суммы некоторого семейства Д-модулей равен сумме псевдорациональных рангов этих модулей. Идеалы вида (3) и (4) имеют псевдорациональные ранги 0 и 1 соответственно.

Первые попытки описания проективных Д-модулей предпринимались в [3], но не были завершены из-за ошибки в конце доказательства теоремы 3. Как показано в статьях [2, 3], кольцо Д наследственно, т.е. всякий его идеал является проективным Д-модулем. Отсюда следует [5], что произвольный проективный Д-модуль изоморфен прямой сумме некоторого семейства идеалов кольца Д. Всякий ненулевой идеал Jp С Kp как Д-модуль изоморфен Kp, поэтому мы можем считать, что в каждом прямом слагаемом вида (3) или (4) идеал Jp равен либо Kp, либо 0. Собирая вместе прямые слагаемые вида Kp, получаем, что для всякого проективного Д-модуля M имеет место изоморфизм

M — (0 М4) © (0 Fp); (5)

iei peP

здесь Fp — свободные Kp-модули, а все Mi — это некоторые идеалы кольца Д вида

J — (1 - ¿)Д, (6)

где J, вообще говоря, зависит от индекса i (разложение (5) взято нами из работы [3]).

Для любых i £ I и p £ P идеал Miep либо совпадает с Kp, либо равен 0. Это значит, что при любом p £ P модуль Mep является свободным Kp-модулем. Ранг этого свободного модуля (определяемый однозначно) обозначим через rp(M). Таким образом, всякому проективному Д-модулю M можно сопоставить кардиналы r(M) и {rp(M)}pep. Полученный набор кардинальных чисел мы назовем системой инвариантов проективного модуля M. Ясно, что для любых проективных Д-модулей M и A из существования вложения A ^ M следует r(A) ^ r(M) и rp(A) ^ rp(M). В частности, если проективные модули изоморфны, то они имеют одинаковые системы инвариантов.

Заметим, что проективный Д-модуль псевдорационального ранга 0 имеет вид

F — 0 Fp (7)

peP

и однозначно определяется рангами rp(F) — rp(Fp) свободных Kp-модулей Fp.

Теорема 1. Два проективных Д-модуля являются изоморфными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые системы инвариантов.

Доказательство теоремы 1 составляет основное содержание статьи; это доказательство будет разбито на несколько случаев. Перед тем как приступить к нему, выясним, какие условия должны быть наложены на набор кардинальных чисел, чтобы он служил системой инвариантов некоторого проективного Д-модуля.

Теорема 2. Пусть M и {Mp}peP — произвольные кардинальные числа, и пусть

L = {p е P | Mp < M}.

Проективный R-модуль M, одновременно удовлетворяющий всем 'равенствам r(M) = M и rp(M) = Mp, существует в том и только в том случае, когда

(a) множество L конечно или

(b) выполнены следующие три условия: (b1) множество L счетно;

(b2) {Mp | p е L} = {Nn | n е N}, где

N1 < N2 <...< N„ <... , (8)

sup N„ =^3 N„ = M; (9)

(b3) для любого n е N множество {p е P | Mp = Nn} конечно.

Доказательство. Сначала мы убедимся, что каждое из условий (а) и (b) обеспечивает существование подходящего проективного R-модуля.

Пусть выполнено (а). Тогда проективный модуль M = (ф(1 — eL)R) © ( ф Fp ), где

Fp — это свободный Kp-модуль ранга

{Mp, если p е L;

0, если Mp = M;

Mp — M, если Mp > M,

обладает требуемой в теореме системой инвариантов.

Пусть теперь выполнено (b). Ясно, что в этом случае M — бесконечное кардинальное число конфинальности cf(M) = N0. Введем обозначения

No = 0, Ln = {p е P | Mp < Nn} (где n > 1), r„ = N„ — Nn-i. (10)

Из (b3) нам известно, что все множества Ln конечны. Через en обозначим идемпотент с носителем Ln; договоримся, что £o = 0. Рассмотрим проективные модули

M' = 00(1 — £n-i)R, (11)

n£N r„

M = M' ©(0 Fp), (12)

p/L

где Fp — свободный Kp-модуль, имеющий ранг

rp(Fp) = {°, если Mp =M; (13)

pV p (Mp, если Mp > M. v 7

Имеем r(M) = £ тп = sup Nn = M.

n£N n£N

Еслиp е L, то Mp = Nn для некоторого n ^ 1 и rp(M) = т1 +т2 +...+тп = Nn = Mp; если же выполнено p / L, то справедливы равенства rp(M) = Y1 Tn + rp(Fp) = M+rp(Fp) = Mp,

n£N

что и требовалось. Итак, мы доказали достаточность каждого из условий (а) и (b).

Обратно, пусть теперь M — некоторый проективный Д-модуль, обладающий требуемой системой инвариантов, и выполнено (5), где |I| — M — r(M) и Mi — (1 — ^)Д. Сначала предположим, что M — это бесконечный кардинал несчетной конфинальности. Ясно, что количество различных конечных подмножеств множества P счетно. Поэтому из условия cf(M) > N0 мы получаем, что для некоторого конечного множества X С P среди всех Mi найдется ровно M идеалов, совпадающих с (1 — ex )Д. Таким образом, прямая сумма M копий идеала (1 — ex )Д вкладывается в M. Последнее утверждение справедливо также в ситуации M < No (в этом случае X можно задать как объединение всех множеств suppSi). Тогда для всякого простого p /X имеем Mp — rp(M) ^ M, т.е. выполнено (a).

Остается доказать необходимость одного из условий (а) и (b) в ситуации, когда M — бесконечное кардинальное число счетной конфинальности. Предположим, что условие (a) не выполнено, т.е. множество L является счетным.

Пусть Y — произвольное счетное подмножество из P. Тогда

£ Mp — £ rp(M) > £ £ rp(Mi) — £ No — |I| — M. (14)

peY peY iei peY iei

Зафиксируем произвольный кардинал N < M. Рассмотрим два случая.

1) Пусть N ^ No. Если множество Y — {p £ P | Mp — N} счетно, то из (14) получаем No • N ^ M, что невозможно. Следовательно, Y конечно.

2) Пусть N — конечное кардинальное число. Используя те же рассуждения, что и для случая M < No, мы получаем, что для любого m £ N можно найти конечное X С P такое, что M содержит подмодуль, изоморфный (1 — ex)Дт. Тогда для всякого p /X выполнено rp(M) ^ т. Следовательно, равенство rp(M) — N имеет место лишь для конечного числа простых p.

Мы показали, что среди кардинальных чисел Mp всякое N < M может встретиться лишь конечное число раз. Тогда из счетности множества L следует счетность множества C — {Mp | p £ L}. Обозначим через N1 наименьший элемент множества C; далее, пусть Nn+i есть наименьший элемент множества C \ {N1,..., Nn}.

Получили возрастающую последовательность вида (8). Пусть Y — это некоторое подмножество множества P такое, что для всякого p £ Y среди кардиналов Mp ровно один раз встречается каждый член этой последовательности (и не встречается никакое другое кардинальное число). Применяя (14) к счетному множеству Y, получаем M ^ sup Nn —

neN

Y^, Nn — Y1 Mp ^ M, т.е. справедливы равенства (9). Если C содержит кардинал N,

neN peY

отличный от входящих в последовательность (8), то N ^ sup Nn — M — противоречие.

ne N

Итак, элементы множества C — это в точности элементы последовательности (8). Тем самым доказано, что выполнено условие (b). □

Доказательство теоремы 1 для случая r(M) < No. Пусть проективные Д-модули M и A имеют одинаковые системы инвариантов, причем r(M) — r(A) — m — конечное число. Представим M и A в виде

m \ / m \

0(1 — ¿ОД) © M', A = (0 (1 — Si )д) © A',

М :

4=1 7 4=1

где М', А' — проективные модули псевдорационального ранга 0. Пусть X есть объединение всех яирр 6г и яирр 6', и пусть В = (1 - ех)Дт; тогда М = В © М'' и А = В © А'', где М'' и А'' — это проективные модули псевдорационального ранга 0. Кардинал гр(В) конечен при любом р £ Р, так что гр(М'') = гр(М) — гр(В) = гр(А) — гр(В) = гр(А''). Поэтому имеем М'' = А'' и, значит, М = А. □

Сформулируем полезное вспомогательное утверждение.

Лемма 3. Пусть V и U — проективные R-модули, причем V = ф V¿, U = ф Fp, где

¿e/ peY

|I1 ^ и при любых i G I и p G Y справедливо 'равенство rp(V¿) = 1, а Fp — это свободные Kp-.модули. Тогда V © U = V © U', где U' = ф Fp, Z = {p G Y | rp(U) = rp(Fp) > |I|}.

pez

Доказательство. Обозначим X = Y \ Z. Если Z = Y, то утверждение леммы очевидно; в противном случае |X| • |I| = |I|, что дает возможность разбить I на непересекающиеся подмножества {Ip}pex так, что при каждом p G X будет выполнено |Ip| = |I|. Для всякого p G X имеем |I| = |I| + rp(Fp) и, далее,

0 V¿ = (0 V¿(1 - ep)J © (0 V¿ep) = (0 V¿(1 - ep)J © (0 Kp

¿e/p ¿e/p ¿e/p ¿e/p |/|

^0 V¿(1 - ep)) © (0 Kp) © Fp = (0 V¿) © Fp.

¿e/p |/| ¿e/p

Отсюда получаем изоморфизмы

V © U - (00 V¿) © (0 Fp) © (0 Fp) = (00 V¿) © (0 Fp) = V © U',

peXie/p pex pez pex ¿e/p pez

завершающие доказательство леммы. □

Доказательство теоремы 1 для случая cf(r(M)) > N0. Пусть проективные R-модули M и A имеют одинаковые системы инвариантов, и пусть r(M) = r(A) = M есть бесконечный кардинал конфинальности cf(M) > No. Модули M и A можно представить в виде

M = M' © M'', где M' = 0(1 - S¿)R; (15)

¿e/

A = A' © A'', где A' = 0(1 - S¿)R; (16)

¿e/

здесь |I| = M, а M'' и A'' — проективные модули псевдорационального ранга 0.

Из доказательства теоремы 2 мы знаем, что для подходящего идемпотента S вида (1) рассматриваемое разложение модуля M' содержит ровно M слагаемых, равных (1 - S)R. Кроме того, существует идемпотент S', обладающий аналогичным свойством относительно приведенного выше разложения модуля A'; обозначим X = supp S U supp S'.

Рассмотрим теперь прямое разложение M = M'(1 - ex) © (M'ex © M'') и аналогичное разложение модуля A. Заменяя ими исходные разложения (15) и (16), приходим к записям того же вида, но с дополнительным условием: X С supp S¿ П supp S¿' для всех i G I (далее мы считаем это условие выполненным). При этом, как нетрудно видеть, "новые" прямые разложения "новых" модулей M' и A' будут содержать M слагаемых, равных (1 - ex)R. Для произвольного i G I и множества Y = supp S¿ \ X имеем изоморфизмы

(0(1 - ex)R) © (1 - S¿)R = (0 eYr) © (0(1 - S¿)R) © (1 - S¿)R = «0 «0 «0

= (0 eYr) © (0(1 - S¿)R = 0(1 - ex)R.

«0 «0 «0

Используя теперь равенства |I| = M = M + M = M • N0, получаем

M' = (0(1 - ex)R) © M' = ^(0(1 - ex)R © (1 - S¿)R^ =

M ¿e/ ^ «o '

= 00(1 - ex)R =0(1 - ex)R;

¿e/ «o M

аналогичный изоморфизм справедлив и для модуля А'.

Пусть дополнительное слагаемое М'' из разложения (15) имеет вид (7). В силу леммы 3 (примененной к V = М') можно считать, что для любого р / X кардинал гр(Рр) или строго больше М, или равен 0; аналогичное предположение применимо к модулю А''. При любом простом р выполнено гр(М) = гр(М') + гр(Рр). Для р £ X отсюда сразу следует равенство гр(Рр) = гр(М); для р /X (с учетом наших дополнительных предположений) — = 0 либо гр(Рр) = гр(М) соответственно для случаев гр(М) = М и гр(М) > М. Итак, ранги гр(Рр) однозначно определены системой инвариантов модуля М (совпадающей с системой инвариантов модуля А). Отсюда имеем М'' = А'' и, далее, М = А. □

Предложение 4. Пусть М — бесконечный кардинал конфинальности Ко и

М = 0 М4, где М< = (1 - ¿¿)Д; (17)

¿е/

здесь |11 = М. Если Ь = {р € Р | гр(М) < М} и вирр= вирр^ П Ь, то имеет место изоморфизм М = ^¡^(1 — ^)Д.

¿е/

Доказательство. 1) Допустим сначала, что X = Р \ Ь конечно. Тогда имеем

М = М(1 — ех) © Мех = (0 ^¿(1 — ех)) © (0 0ерд) =

¿е/ рех от

= (0(1 — ех)(1 — *) Д © (0 ех Д = 0(1 — 3)Д.

¿е/ от ¿е/

2) Предположим теперь, что множество X счетно; зафиксируем биекцию п: N ^ X. Пусть В обозначает идеал кольца Д такой, что M¿ © В = (1 — £')Д. Нетрудно видеть,

что имеет место прямое разложение ф В = ф , где — это свободный модуль над

¿е/ fcеN кольцом (при этом г^)^) < |11 = М).

Если М = Ко, то положим = 1 при всех п € N в противном случае зафиксируем последовательность бесконечных кардиналов вида (8), для которой выполнено условие (9). Разобьем множество I на непересекающиеся подмножества {1п}п^ так, чтобы |1п| = пусть Ап есть прямая сумма идеалов М^ по всем г € 1п.

Введем на № отношение порядка — так, чтобы упорядоченные множества (№, —} и (N, <} были изоморфны. Построим по индукции инъективное отображение Н: № ^ N. Пусть значения Н(&',/') уже определены для всех пар (&',/') — (&, I); введем обозначение Н = {Н(&', /') | (&', /') — (&, /)}. Для наибольшего числа в из множества Н и {1} выполнены неравенства

][>п(й)(Ап) |1п| < |Н| • N < тах(|Н|, Жя) < М,

пен пен

поэтому из гп(й)(А„) = Гп(й)(М) = М следует ^ гэт(й)(Ап) = М. nеN пен

Из последнего равенства нетрудно вывести, что для некоторого числа п / Н выполнено гп(^)(Ап) ^ Положим Н(М) равным наименьшему из чисел п € N \ Н, обладающих указанным свойством. Итак, инъективное отображение Н построено.

Для каждого & € N мы обозначим через ^ объединение всех множеств /ь(й,г), где / пробегает N пусть индексы г € I, не вошедшие ни в одно из таких множеств образуют множество До. Через обозначим прямую сумму всех идеалов М^, где г € ^. Мы знаем, что при любых / € N справедливо ^(^(А^,;)) ^ N1. Для каждого & € N модуль

изоморфен прямой сумме модулей по всем I € N и, следовательно,

М = |11 > |БЙ| > ) > ^N = М,

ч

гeN

откуда ) = М. Это означает, что множество Б = (г € Бй | гп(й)(М^) = 1} имеет

мощность М. Через М' обозначим прямую сумму идеалов М^ по всем г € Б^ \ Б. Применяя теперь лемму 3 к модулям V = ^^ и и = Рй, получаем

¿ев

Бй © ^ = М' © (0 М^ © = М' © (0 М^ = Бй,

¿ев ¿ев

0(1 - ^)Д = М © (0 = Бо © (0 Бк) © (0 = Бо © (0 Бк) = М.

'о

¿е/ ¿е/ йе^ йе^ fcеN

□

Суть доказанного утверждения можно сформулировать следующим образом: если дано разложение вида (17), то можно считать, что для соответствующего множества Ь имеет место свойство

при любых р / Ь и г € I выполнено гр(М^) = 1. (18)

Предложение 5. Пусть обозначения М, М и Ь имеют тот же самый смысл, что и в предложении 4, причем множество Ь счетно и справедливо условие (18). Пусть, кроме того, = гр (М), а обозначения имеют тот же смысл, что и в теореме 2. Тогда модуль М изоморфен модулю М', задаваемому условиями (10) и (11).

Доказательство. Для п ^ 1 введем обозначение Рп = (р € Р | = Рассмотрим

теперь два случая.

1) Пусть М = |11 > К0. Предположим сначала, что выполнено либо N1 =0 и N2 ^ К0, либо N ^ К0. Обозначим

Бп = (г € I | ^(М^) = 1 для некоторого р € Ьп}.

Поскольку Рп непусто, то хотя бы для одного р € Ьп справедливо гр(М) = Поэтому

N < |Б„| < |Р1| • N1 + |Р2| • N2 + ... + |Р„| • N = N1 + N2 + ... + N =

так что |БП| = Nn (договоримся также, что Бо — это пустое множество). Из счетности множества Ь получаем, что объединение возрастающей последовательности множеств Бп совпадает с I. Обозначим 1п = Бп \ Бп-1, тогда {!п}п^ есть разбиение множества I на непересекающиеся подмножества; при этом |1п| = |БП| — |Бп-1| = Nn.

Для всякого п € N и всякого индекса г € 1п обозначим через В идеал кольца Д такой, что M¿ © В = (1 — е„_1)Д. В этом случае для любых ] > п, р € Ьп и г € выполнено © ^¿) =0. Следовательно, для р € Рп имеем

£ Гр(Дг) = ^ ^ Гр(Д) = £ Гр(Дг) < |Б„ | =

¿е/ ^^«»¿е/^ ¿евп

Далее, в силу условия (18) для любых р / Ь и г € I справедливо гр(В) = 0. Поскольку все идеалы В имеют псевдорациональный ранг 0, можно записать

е в=ее

¿е/ nеN реР„

где для всякого р € Рп модуль Рр есть свободный Кр-модуль ранга гр (Рр) < Nn.

Через Ап мы обозначим прямую сумму идеалов М^ по всем г € 1п, тогда Апеп_1 = 0. Пусть 5 есть идемпотент с носителем Рп; для р € Рп из гр(А„) < |1п| = Nn и

N = Гр(М) = ^ Гр(Мг) = ^ Гр(Мг) < ]Т Гр^) + |Д„-1| = Гр(А„) + N„-1 ¿е/ ¿евп ¿е/п

мы получаем гр(А„) = Nn, т.е. А„5 = ^^ ^¡^ Кр. Применим к модулю V = А„5 лемму 3:

тп реР„

А„ © (0 = А„(1 — 5) © ^А„5 © (0 ^ - А„(1 — 5) © А„5 = А„ (эти изоморфизмы остаются справедливыми, если п =1 и N1 = 0). Отсюда уже следует

0 0(1 — £„_1)д - 0 0(М © В) - (0 0 M¿) © (0 В

£„-1)

nеN шп nеN ¿е/п nеN ¿е/п ¿е/

0 А„) © (0 0 Рр) = 0 А„ = 0M¿ = М.

nеN nеN реРп nеN ¿е/

Предположим теперь, что (8) есть произвольная возрастающая последовательность со свойством (9), и пусть в ^ 0 — наибольшее целое число, для которого кардинал N8 конечен. Применяя к модулю М(1 — £8) рассуждения, приведенные выше, приходим к изоморфизму

М (1 — £я) = 00(1 — £„-1)Д. (19)

„>я тп

Далее, группируя слагаемые вида Кр в прямом разложении модуля Мея, получаем

в

М^ =00 0 Кр = 0 0(1 — £п-1)Дея.

„=1 реРп „=1 т„

Из равенств т1 + т2 + ... + т8 + = N5 + = и условия (19) следует

М(1 — £Я) = М(1 — £Я) © (00(1 — £я)А

так что справедливы изоморфизмы

М = М(1 — £Я) © Мея - М(1 — £Я) © ( 0 0(1 — £Я)^ © Мея =

^„=1 т„ 7

0 0(1 — £п-1)Д © ( 0 0(1 — £я)Д] © ( 0 0(1 — £„-1)Д£5

в

0 0(1 — £„-1) Д © ( 0 0(1 — £„-1)^ = 00(1 — £„-1)Д = М'.

2) Пусть М = |11 = Ко. Полагая M¿' = (1 — £„-1 )Д, занумеруем с помощью множества индексов I все идеалы кольца Д, входящие в прямое разложение (11) модуля М':

М' = 00(1 — £„-1)Д = 0 М/.

nеN тп ¿е/

в

5

5

Как мы знаем из доказательства теоремы 2, модуль М' имеет ту же систему инвариантов, что и М (поскольку при любом простом р / Ь выполнено Мр = М).

Идеал М' П М' имеет вид (1 — 6')Д, при этом в силу условия (18) выполнено включение яирр 6' с Ь. Далее, существуют идеалы А' и А' кольца Д такие, что М' = (1 — 6')Д ф А' и М' = (1 — 6')Дф А'. Через А и А' мы обозначим прямую сумму идеалов А' (соответственно идеалов А') по всем г € I. Тогда

0(1 - ¿¿)Д) ф A, M' = (0(1 - ¿'ф А';

M :

¿е/ ¿е/

очевидно, что А и А' — это проективные модули псевдорационального ранга 0 такие, что rp(A) = rp(А') = 0 при любом простом p / L.

Для всякого p G L кардинальное число rp(M) = rp(M') конечно и, следовательно,

rp(A) = rp(M) - £rp((1 - ¿¿')Д) = rp(M') - £rp((1 - ¿')Д) = rp(A').

¿е/ ¿е/

Отсюда A = A', а значит, M = M'. □

Доказательство теоремы 1. С учетом рассмотренных нами ранее случаев достаточно ограничиться ситуацией, когда r(M) = M есть бесконечное кардинальное число счетной конфинальности.

Пусть проективный модуль M задан условием (5), где |I1 = M, и пусть rp(M) = Mp. Будем последовательно "улучшать" свойства разложения (5). Введем обозначения

Mp = Y,rp(Mi), X = {pGP | Mp < M}, L = {pGP | Mp < M};

¿е/

тогда по предложению 4 можно считать, что при любых p / X и i G I выполнено условие rp(Mi) = 1. Ясно, что L = {p G X | rp(Fp) < M}; обозначим Y = X \ L.

Зададим идемпотенты условием supp = {p G Y | rp (Mi) = 0}. Так как для всякого p G X (и, в частности, для p G Y) выполнено M - Mp = M, имеем

0 ¿¿Д = 00 Kp.

¿е/ peY м

Заметим, что для любых p / L и i G I справедливо равенство rp(Mi ф ¿¿Д) = 1. Учитывая, что при всех p G Y выполнено rp(Fp) ^ M, получаем изоморфизм

0 M^ Ф (0 Fp) = (0 (Mi ф ¿¿^ ф (0 Fp).

¿е/ peY ^¿е/ ' peY

Таким образом, в разложении (5) можно заменить идеалы M.J идеалами Mj ф ¿¿Д. Поэтому далее можно считать, что справедливо свойство (18).

Для p G L множество индексов Ip = {i G I | rp(M^ = 0} имеет мощность M (если бы выполнялось неравенство |Ip| < M, то из условия M - |Ip| = M следовало бы rp(M) ^ M, а это невозможно). Итак, при любом p G L имеем |Ip| = M > Mp ^ rp(Fp). Отсюда можно вывести, что существует прямое разложение вида

0 Fp = 0 ¿'Д

peL ¿е/

такое, что для всякого г € I выполнено М^ П Д = 0. Это позволяет перейти от исходного разложения (5) к аналогичному разложению

M = [0 (Mi © 3 д)] © (0 Fp)

iеI 7 p/L

Идеалы Mi © Д вновь имеют вид (6), т.е. далее мы можем считать, что разложение (5) дополнительно обладает тем свойством, что при любом p £ L выполнено Fp = 0.

Наконец, в силу леммы 3 можно считать, что в разложении (5) при любом p / L либо rP(FP) > M, либо Fp = 0. Рассмотрим теперь два случая.

1) Предположим, что множество L конечно. Имеем

M = (0 Mi) © (0 Fp) = (0 MieL) © (0 Mi(1 - © (0 Fp) =

iеI p/L iеI iеI p/L

= (00 Kp) © (0(1 - eL)Д) © (0 Fp).

p е L Mp M p /L

Для любого простого p/L выполнено Mp = rp(M) = M + rp(Fp). Отсюда с учетом наших дополнительных предположений получаем Fp = 0 либо rp(Fp) = Mp соответственно для случаев Mp = M и Mp > M. Следовательно, вид проективного Д-модуля M однозначно определяется его системой инвариантов, что и требовалось.

2) Пусть множество L является счетным. Применяя к прямой сумме всех идеалов Mi предложение 5 и повторяя приведенные выше рассуждения о рангах rp(Fp), получаем, что рассматриваемый модуль M задается условиями (10)—(13), т.е. определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Теорема доказана. □

Замечание. Ясно, что полученные результаты останутся верными, если при построении K, T и Д под P понимать не множество всех простых чисел, а произвольное бесконечное подмножество этого множества.

Список литературы

[1] A.A.Fomin, Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers, In: Abelian Groups and Modules, Basel et al., Birkhauser, 1999, 87-100.

[2] П.А.Крылов, Е.Г.Пахомова, Е.И.Подберезина, Об одном классе смешанных абелевых групп, Вести. Томского ун-та, 269(2000), 47-51.

[3] А.В.Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Мат. заметки, 80(2006), №3, 437-448.

[4] A.A.Fomin, Quotient divisible mixed groups, In: Abelian Groups, Rings and Modules, Contemp. Math., 273(2001), 117-128.

[5] А.Картан, С.Эйленберг, Гомологическая алгебра, М., Изд-во иностр. лит., 1960.

Projective Modules over the Ring of Pseudorational Numbers

Egor A. Timoshenko

We prove the structure theorems which give a full description of projective modules over the ring of pseudorational numbers. We construct a complete system of invariants for such modules.

Keywords: projective module, ring of pseudorational numbers, system of invariants.