Об одном методе определения собственных значений краевой задачи штурмана-лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

В.А.Кудинов, Б.В.Аверин, Р.Ж.Габдушев, С.А. Стефанюк, Д.ВЛевин

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕНЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Разработана методика определения собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля, основанная на совместном использовании точных (метод разделения переменных) и приближенных аналитических (взвешенных невязок) методов. Показано, что уже в третьем приближении для бесконечно протяженных пластины и цилиндра отклонение получаемых собственных значений от точных не превышает 1%, а первое собственное число практически совпадает с точным.

Составной частью классического аналитического метода решения нестационарных краевых задач (метода разделения переменных - метода Фурье) является процесс нахождения собственных значений. Аналитические методы их определения известны лишь для наиболее простых дифференциальных уравнений применительно к телам классической формы (пластина, цилиндр, шар). При решении более сложных уравнений и особенно в случаях, когда граничные условия являются функциями координат или времени, применение метода Фурье оказывается весьма затруднительным.

Классический метод связан с тем, что находятся функции, точно удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, полученным после разделения переменных. Неизвестные коэффициенты решения и собственные числа находятся из начальных и граничных условий, которые также выполняются точно.

В вариационных методах решение принимается таким, что оно с самого начала точно удовлетворяет граничным условиям (методы Ритца, Л.В.Канторовича, Бубнова-Галеркина) или дифференциальному уравнению (метод Треффтца). При этом решение содержит неизвестные коэффициенты, определяемые из приближенного выполнения дифференциального уравнения (методы Ритца, Л.В.Канторовича, Бубнова-Галеркина) или граничных условий (метод Треффтца). Точность получаемого решения зависит от числа приближений. Причем, с увеличением числа приближений точность решения не всегда может возрастать. Это связано с тем, что неизвестные коэффициенты решения находятся из систем алгебраических линейных уравнений, матрицы которых, являющиеся заполненными квадратными матрицами, как правило, плохо обусловлены [1].

Ниже будет изложена методика определения собственных значений, основанная на совместном использовании точных и приближенных аналитических (вариационных) методов. Основная идея предлагаемого здесь подхода состоит в следующем. Строится решение в виде ограниченного ряда по степеням координаты х, содержащего неизвестные коэффициенты. Затем вводятся дополнительные граничные условия, которые выводятся из основного дифференциального уравнения. Неизвестные коэффициенты решения находятся из основных и дополнительных граничных условий. Для нахождения собственных значений составляется интеграл взвешенной невязки основного дифференциального уравнения. В итоге для определения собственных значений получаем алгебраический полином, степень которого зависит от числа членов ряда принятого решения.

В качестве конкретного примера рассмотрим краевую задачу Штурма-Лиувилля в следующей математической постановке:

И 2

—у- + 1у = 0, ( < х < 1); (1)

Их

У '(0) = 0; (2)

У(1) = 0. (3)

Используя уравнение (1) и граничные условия (2), (3), введем дополнительные граничные условия. Для того, чтобы получить лишь одно (первое) собственное число, достаточно ввести следующие дополнительные граничные условия

у(0) = 1; (4)

у "(1) = 0; (5)

у » = 0. (6)

Соотношения (5) и (6) следуют из уравнения (1) соответственно при х = 1 и х = 0 , Причем,

для получения соотношения (6) уравнение (1) предварительно дифференцируется по X.

Решение задачи (1)-(6) разыскивается в виде следующего ряда

у = С0 + С1 х + С 2 х2 + С3 х3 + С4 х4, (7)

где Сг (г = 0,4) - неизвестные коэффициенты , определяемые из граничных условий (2)-(6). Подставляя (7) в (2)-(6), получим

С0 = 1; С1 = 0; С2 =-1,2; С3 = 0; С4 = 0,2. (8)

Соотношение (7) с учетом найденных значений коэффициентов примет вид

у = 1 -1,2 х2 + 0,2 х4. (9)

Соотношение (9) точно удовлетворяет граничным условиям (2)-(6). Для нахождения первого собственного числа составим невязку уравнения (1) и проинтегрируем ее в пределах от х = 0 до х = 1:

|[- 2,4 + 2,4 х2 +1(1 - 1,2х2 +0,2х4)] = 0. (10)

0

Вычисляя интегралы, получим относительно 1 алгебраическое уравнение, из которого находим 1 = 2,6. Отметим, что точное значение первого собственного числа составляет 1 = 2,4674 [2]. Отклонение полученного значения 1 от точного составляет 5,37%.

Для получения двух собственных чисел (первого и второго) достаточно вместо граничного условия (5) взять условие

У '(0) = -1, (11)

получаемое из уравнения (1) в точке х = 0 . Решение в этом случае также принимается в виде

ряда (7), где неизвестные коэффициенты Сг (г = 0,4) находятся из граничных условий (2), (3),

(4), (6), (11) имеют значения: С0 = 1; С1 = 0; С2 =-0,51; С3 = 0; С4 = 0,51-1.

Соотношение (7) в данном случае примет вид

у = 1 - 0,51х2 +(0,51- 1)х4. (12)

Составляя интеграл взвешенной невязки уравнения (1), получим

|¡12(0,51-1 )х2 -0,512х2 +1(0,51 -1)х4]х = 0. (13)

0

Вычисляя интегралы в (13), находим 0,0666612 -1,81 + 4 = 0 .

Отсюда 11 = 2,4433; 12 = 24,5566 .Точное значение второго собственного числа

1 2 = 22,2066 . Отметим, что точность первого собственного числа значительно улучшилась (погрешность 0,98%).

Для получения трех собственных чисел ко всем введенным выше граничным условиям (2)-(6), (11) добавим следующие

у1У (0) = 12; (14)

уж (1) = 0; (15)

уК (0) = 0. (16)

Все эти условия получены из уравнения (1) путем его дифференцирования. Решение задачи (1)-(6), (11), (14)-(16) разыскивается в виде

у = ¿ сх . (/■ = 08) (17)

г =0

Из граничных условий (2)-(6), (11), (14)-(16) находим

С0 = 1; С 2 =-0,51; С3 = 0; С4 = ^41; С5 = 0;

С6 =(- 774912 +1474201- 317520)/45360;

С7 = (281712 - 621001 +136080^15120;

С8 =(- 412 + 951- 210)/70.

Составляя интеграл взвешенной невязки уравнения (1) и вычисляя соответствующие интегралы, для определения собственных чисел получим следующий алгебраический полином

3513 - 307612 + 564001 -120960 = 0 .

Его корни 11 = 2,4673942; 12 = 22,13237; 13 = 63,28596 .

В табл.1 приведены результаты расчетов, полученные в настоящей работе в сравнении с данными [3] и с точными значениями собственных чисел [2] для одного, двух и трех приближений. Отметим, что в работе [3] совместно использованы интегральные преобразования Лапласа и ортогональный метод Бубнова-Г алеркина.

Т а б л и ц а 1

Собственные значения краевой задачи (1) - (3)

Собственные числа Первое приближение Второе приближение Третье приближение Точные значения [2]

Данные настоящ ей работы Данные [3] Данные настоящей работы Данные [3] Данные настоящей работы Данные [3]

1| 2,6 2,5 2,4433 2,4674 2,4674 2,4674 2,4674

12 24,5566 25,5330 22,1324 22,2170 22,2066

13 63,2858 87,7390 61,6850

Анализ результатов настоящей работы, полученных в третьем приближении, показывает, что величина первого собственного числа практически совпадает с точным значением. Погрешность в определении второго и третьего собственных чисел соответственно составляет

0,0099% и 0,97%.

В качестве еще одного конкретного примера рассмотрим краевую задачу теплопроводности для неограниченного цилиндра в следующей математической постановке (граничные условия первого рода)

»^,4, = Э2Ро) ( > 0 0 1); (18)

ЭРо Эр2 р Эр

е(р,0) = 1; (19)

е(1, Ро ) = 0; (20)

^ Ро) = 0, (21)

Эр

где е = (Т - Т0 )/(Гср - Т0) - относительная избыточная температура; Ро = ах/Я - число Фурье;

р = г/Я - безразмерная координата; Я - радиус цилиндра; Т0 - начальная температура; Тср -

температура среды; а - коэффициент температуропроводности; х - время; г - координата.

Введем дополнительные граничные условия. Для этого продифференцируем (20) по Ро

МР) = 0. (22)

ЭРо

Учитывая (18), получим

Эе(1, Ро) = Э2е(1, Ро) + Эе(1, Ро) = 0 . (23)

ЭРо Эр 2 Эр

Из (23) получаем одно из дополнительных граничных условий

> + Э0(|-Г°> = 0 (24)

Эр2 Эр ' '

Дифференцируя (21) по Ро, находим Э ®(0, Ро > _ о . Так как

ЭРоЭр

Э2 е(р, Ро) = Э2 е(р, Ро)

ЭРоЭр ЭрЭРо

то, привлекая уравнение (18), получим

Э2 е(р, Ро) = Э3 е(р, Ро) 1 Э2 е(р, Ро) 1 Эе(р, Ро) (25)

ЭрЭРо " Эр3 +р Эр2 р2 Эр . ( )

В точке р = 0 возникают неопределенности, которые раскроем по правилу Лопиталя

Э 2е(0, Ро) = Э 3е(0, Ро) + Э 3е(0, Ро) -1Э 3е(0, Ро) = 3 Э 3е(0, Ро) = 0

ЭрЭРо Эр3 Эр3 2 Эр3 2 Эр3

Отсюда имеем еще одно дополнительное граничное условие

Э 3е(0, Ро)

Эр3

Дифференцируя (24) по Ро, получим

= 0 . (26)

или

Э 3е(1, Ро) + Э 2е(1, Ро) = 0 ЭРоЭр2 ЭРоЭр

Э 3е(1, Ро) + Э 2е(1, Ро) = 0 Эр2 ЭРо ЭрЭРо

Привлекая уравнение (18), имеем

Э3е(1, Ро) = Э3е(1,Ро) Эе(1,Ро) -1Э2е(1,Ро) (27)

Эр2 ЭРо Эр3 р2 Эр р Эр2

Продифференцируем (25) по р:

Э3е(р,Ро) Э4е(р,Ро) 1 Э3е(р,Ро) 1 Э2е(р,Ро) 1 Э2е(р,Ро) 2 Эе(р,Ро)

----------=-------------1---------------------------------------------1------------. (28)

Эр2 ЭРо Эр4 р Эр3 р2 Эр2 р2 Эр2 р3 Эр

Сравнивая (27) и (28) в точке р = 1, находим следующее дополнительное граничное

условие:

Э4е(1, Ро) + 2 Э3е(1, Ро) Э2е(1,Ро) + Эе(1,Ро) = 0 (29)

Эр4 Эр3 Эр2 Эр ' У ’

Дифференцируя (21) дважды по р и один раз по Ро, получим

Э 4е(0, Ро) = 0.

Эр3ЭРо

Привлекая уравнение (18) и раскрывая полученные неопределенности в точке р = 0 по правилу Лопиталя, записываем еще одно дополнительное граничное условие

Э ''е(х;Ро) = 0. (30)

Эр5

Следуя методу разделения переменных, решение уравнения (18) представляется в виде

е(р, Ро ) ЛпХ(р, 1 „ )е ~ХпРо , (31)

п=1

где Лп - неизвестные коэффициенты, определяемые из начального условия (19); X(р, 1 п) -функция, удовлетворяющая уравнению Бесселя

^ +1 +1Х (р2 = 0. (32)

Ир р Ир

Граничные условия для уравнения (25) с учетом (19), (20), (21), (24), (26), (29), (30) будут X(0) = 1; X(1) = 0; X'(0) = 0; X'(0) = -1/2; X>) = 0; Хк(0) = 0;

X"(1) + X'(1) = 0; X1V (1) + 2X"(1) - X"(1) + X'(1) = 0; X1V (0) = 31/8.

Решение задачи (32), (33) разыскивается в виде степенного ряда

^(р) = І ср (і = І,8>,

(34)

где С{ - коэффициенты, определяемые из граничных условий (33). Подставляя (34) в (33), после решения получаемых алгебраических линейных уравнений, будем иметь С0 = 1;С1 = 0;С2 =-1/4;С3 = 0;С4 =-1764;С5 = 0; С6 =-(454812 -1207201 + 551936^68672; С7 =(7912 -24481 +11520^1073;С8 =-(158112 -531201 + 254016^68672.

Составляя невязку уравнения (32) и интегрируя ее в пределах от р = 0 до р = 1, получим

1 Мер)+1 и (е р “

+ 1Сг рг

dр = 0.

р Ир

После вычисления интегралов с учетом найденных значений коэффициентов С{ для нахождения собственных необходимо решить следующее алгебраическое уравнение третьей степени:

126113 -13950012 + 36092161-16450560 = 0.

Его корни имеют значения:

11 = 5,78295; 12 = 30,2371; 13 = 74,6065.

Точные значения собственных чисел [2]:

11 = 5,78306; 12 = 30,4733; 13 = 74,8865.

Погрешность определения первого, второго и третьего собственных чисел соответственно составляет 0,0019%, 0,775%, 0,374%.

В работе [3] для трех первых собственных чисел в случае использования трех приближений получены следующие значения

11 = 5,7832; 12 = 30,7120; 13 = 113,50.

Найдем собственные числа (второе приближение) задачи теплопроводности для бесконечного цилиндра при граничных условиях третьего рода. Математическая постановка задачи в этом случае будет аналогична задаче (18)-(21) за исключением граничного условия (20), которое примет вид

Эе(1, Ро)

Эр

+ Ві©(, Ро > = 0.

(35)

Введем дополнительные граничные условия. Одним из них будет условие (26). Для получения следующего дополнительного граничного условия продифференцируем (35) по Ро:

Э2е(1,Ро) + в. Эе(1,Ро) = 0.

ЭРоЭр ЭРо

Дифференцируя уравнение (18) по р и записывая его для точки р = 1, получим Э2 е(1, Ро) = + Э3 е(1, Ро) + 1 Э2 е(1, Ро) - _! Эе(1, Ро) = Э3 е(1, Ро) + Э2 е(1, Ро) Эе(1, Ро)

ЭрЭРо Эр3 р Эр2 р2 Эр Эр3

Соотношение (36) перепишем с учетом уравнения (18):

Э 2©(|, Ро >

= -Ві

ЭрЭРо [ Эр2

Сравнивая (37), (38), находим

Э 3©(|, Ро > Э 2©(|, Ро > Э©(|, Ро >

Э 2©(|, Ро > + Э©(|, Ро >

Эр

Эр2

= 0 .

Эр

(36)

(37)

(38)

Эр3

+

Эр2

Эр

+ Ві

Э2 ©(|, Ро > + Э©(|, Ро)

Эр2

Эр

= 0.

Отсюда получаем следующее дополнительное граничное условие:

Э 3©(|,Ро > + (Ві+|)Э 2 ©(|2Ро > + (Ві - |Эе(|-Ро >

: 0.

Эр3 Эр2 ' Эр

Следуя методу разделения переменных, решение уравнения (18) представляется в виде

©(, Ро ) = £ АпХ (р, 1 „ >е

-1 пРо

(39)

(40)

п=|

г=0

где X(р, 1П) определяется из уравнения (32). Граничные условия для него (основные и дополнительные) принимают следующее представление:

X (0 ) = 1; X '(0) = 0, X '(0) = 0; =

Ф 2 (41)

"Щ + ва (1) = 0; ИО) (В,+ )-Ш + {В,- = 0.

Ир Ир Ир Ир

Решение задачи (32), (41) разыскивается в виде

X (р) = Х С рг (, = 1,5). (42)

,=0

Подставляя (42) в граничные условия (41), получим следующие значения коэффициентов

С, (, = 1,5):

С 0 = 1; С = 0; С 2 =-1/4; С3 = 0;

С = 21В,31 +147в,21 + 360В,1 + 3001- 100В,3 - 500В,2 - 600В, ;

4 _ 36В,3 + 324В,2 + 1064В, +1120 ;

3В,21 + 12В,1 + 16В,2 - 32В,

С5 =----------------2----------------

5 9 В,2 + 63В, +140

Т а б л и ц а 2

Собственные значения задачи теплопроводности для цилиндра

В, 0 0,1 0,5 1 10 50 100

11 0,195046 0,884284 1,574786 4,75907 5,57678 5,689937

12 14,83444 15,02837 15,78598 16,68523 24,60317 28,49665 29,08654

11 точное 0,19501 0,88511 1,57703 4,45022 5,55639 5,66868

12 точное 14,68192 14,88185 15,67685 16,64232 25,33310 29,28108 29,86841

е1% 0 0,093 0,14 0,18 0,4 0,4

е 2% 1 0,98 0,7 0,25 2,8 2,7 2,6

Интегрируя невязку дифференциального уравнения (32) в пределах от р = 0 до р = 1, получим

(39В,3 + 507В,2 + 2421В, + 3171)12 -(1384В,3 + 15224В,2 + 48432В, + 47040)1 +

+ 6720В,3 + 60480В,2 + 94080В, = 0.

Значения собственных чисел, найденные из уравнения (43) в сравнении с точными их значениями для различных величин В, приведены в табл.2, где е - погрешность определения первого и второго собственных чисел в процентах.

Анализ полученных выше результатов позволяет сделать следующие выводы.

1. Можно отметить достаточно высокую точность определения собственных чисел. Например, для пластины в случае трех приближений первое собственное число с точностью до четырех знаков совпадает с точным его значением. Погрешность в определении второго и третьего собственных чисел составляет соответственно 0,0099% и 0,97%. Не меньшей оказывается точность определения собственных чисел и для бесконечного цилиндра. Погрешность по отношению к точным значениям для первого, второго и третьего собственных чисел соответственно составляет 0,0019%, 0,775%, 0,374%. Таким образом, в обоих случаях отличие полученных решений от точных не превышает 1%.

Достаточно высокая точность наблюдается и при граничных условиях третьего рода. Для чисел 0 < В, < 1 отличие получаемых во втором приближении решений от точных не превосходит 1%, а для 1 < В, < 100 - не более 2,8%.

2. Важной отличительной особенностью предлагаемого здесь метода определения собственных чисел состоит в том, что он может быть применен для уравнений практически любой сложности, так как нет необходимости в использовании функций, точно удовлетворяющих этим уравнениям. Процесс удовлетворения уравнения сводится к

интегрированию его невязки с последующим решением алгебраического уравнения соответствующей степени. То есть уравнение здесь удовлетворяется приближенно (в зависимости от числа приближений). В связи с чем, такой подход к решению задачи можно классифицировать как совместное использование метода разделения переменных и вариационных методов.

Отметим, что в данном случае для получения решения используются лишь алгебраические полиномы. При этом в процессе получения окончательного результата приходится решать системы алгебраических линейных уравнений и алгебраические уравнения соответствующих степеней. Таким образом, здесь удается избежать решения тригонометрических трансцендентных уравнений, применения специальных функций (Бесселя, Лагранжа и др.) даже при решении уравнений, которым эти функции удовлетворяют.

Такая алгебраизация решения позволяет значительно упростить процесс получения решения, сведя его к выполнению последовательности некоторых простых стандартных операций . Эту работу ввиду ее простоты наиболее целесообразно переложить на средства вычислительной техники. Все это позволяет говорить о некотором сближении предлагаемого здесь подхода с численными методами, важнейшей положительной чертой которых является индифферентность к типу дифференциального оператора. При этом окончательное решение имеет аналитический вид.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кудинов В.А., Калашников В.В., Карташов Э.М., Лаптев Н.И., Сергеев С.К. Тепломассоперенос и

термоупругость в многослойных конструкциях. М.: Энергоатомиздат, 1997. 426с.

2. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600с.

3. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 423с.