CC BY
43
УДК 536.2
В. А. Кудинов, В. В. Дикоп, Р. Ж. Габдушев, Д. В.Левин, С. А. Назаренко
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА
Рассматривается методика определения собственных значений применительно к решению уравнения нестационарной теплопроводности для бесконечного цилиндра. Главной особенностью является введение дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения. Отмечается высокая точность определения собственных чисел. Так, уже в третьем приближении погрешность определения второго и третьего собственных чисел соответственно составляет 0,217 и 0,098%, а первое собственное число практически совпадает с точным его значением.
При использовании метода разделения переменных возникает необходимость нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи, полученным после разделения переменных в исходном уравнении. Такие функции известны лишь для классических дифференциальных уравнений (Штурма - Лиувилля, Бесселя, Лежандра и др.). Собственные числа находятся из выполнения граничных условий краевой задачи путем решения трансцендентных уравнений. При сложных дифференциальных уравнениях, когда неизвестны функции, удовлетворяющие им, метод разделения переменных неприменим.
В настоящей работе рассматривается методика определения собственных чисел, основанная на совместном использовании метода разделения переменных и метода взвешенных невязок. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для неограниченного цилиндра при граничных условиях 1 - го рода:
Э0(р,Бо) Э2 0(р,Бо) 1 Э0(р,Бо) /г7 _ п
С +-----(Ро > 0; 0<р < 1); (1)
ЭБо Эр р Эр
0(р ,0) = 1; (2)
0(1, Ро ) = 0; (3)
ЭО(МО) = 0, (4)
Эр
где 0 = (Т — Тст )/(Т0 — Тст) - относительная избыточная температура; Ро = ат/Я2 - число
Фурье; р = Г Я - безразмерная координата; Я - радиус цилиндра; Т0 - начальная температура;
Тст - температура стенки; а - коэффициент температуропроводности; Т - время; г - координата.
Введем дополнительные граничные условия [1,4]. Для этого продифференцируем (3) по №:
Э0(1, Ро)
ЭРо
0 . (5)
Учитывая (1), получим
Э0(1, Ро) = Э2 0(1, Ро) + Э0(1, Ро) = 0 ЭРо Эр2 Эр
Из (6) получаем одно из дополнительных граничных условий вида
Э2 0(1, Ро) Э0(1, Ро) = 0 Эр2 Эр
Дифференцируя (4) по Ро, находим
Э2 0(0, Ро) =
ЭРоЭр
Привлекая уравнение (1), получим
Э2 0(р, Ро) = Э 30(р, Ро) Э2 0(р, Ро)__1_ Э0(р, Ро)
ЭрЭРо Эр3 р Эр2 р2 Эр
В точке р = 0 возникают неопределенности, которые раскроем по правилу Лопиталя:
Э2 0(0, Ро) = Э 30(0, Ро) + Э 30(0, Ро) — 1Э 30(0, Ро) = 3 Э 30(0, Ро) = 0
ЭрЭРо Эр3 Эр3 2 Эр3 2 Эр3
Отсюда имеем еще одно дополнительное граничное условие вида
а!®%Ро)=0. (9)
Эр3
Дифференцируя (7) по Ро, получим
Э 30(1, Ро) + Э 20(1, Ро) = 0 Эр2 ЭРо ЭрЭРо
Привлекая уравнение (1), найдем
Э 30(1, Ро) = Э 30(1, Ро) 1 Э0(1, Ро) — 1 Э2 0(1, Ро)
Эр 2ЭРо Эр3 р2 Эр р Эр2
Дифференцируем (8) по р , имеем
Э30(р,Ро) = Э40(р, Ро) 2 Э30(р, Ро)_1 Э20(р,Ро)_1_ Э20(р,Ро) 2 Э0(р, Ро)
Эр2 ЭРо Эр4 р Эр3 р2 Эр2 р2 Эр2 р3 Эр ^ ^
Сравнивая (10) и (11) в точке р = 1, получим следующее дополнительное граничное условие
Э4е(1, Ро) + 2 ^8(1, Ро) Э2е(1, Ро) + Эе(1, Ро) =0
Эр4 Эр3 Эр2 Эр <12)
Дифференцируя (4) дважды по р и один раз по Ро, получим
Э 40(0, Ро) = 0
Эр 3ЭРо
Привлекая уравнение (1) и раскрывая полученные неопределенности в точке р = 0 по правилу Лопиталя, получим еще одно дополнительное граничное условие
Э 5 0(0,5Ро) = 0. (13)
Эр
Следуя методу разделения переменных, решение уравнения (1) представим в виде
0(, Ро) = X ( , р)еХР( Хп , Ро), (14)
п=1
где Ап - неизвестные коэффициенты, определяемые из начального условия (2); Хп (1 п, р) -функции, удовлетворяющие уравнению Бесселя:
^±^ + 1Х(р) = 0. (15)
dр р ар
Граничные условия для уравнения (15) с учетом (2), (3), (4), (7), (9), (12), (13) принимают
вид
X (0) = 1; (16)
X (1) = 0; (17)
X' (0) = 0; (18)
X" (0)=— X/ 2; (19)
X111 (0) = 0; (20)
XF (0) = 0; (21)
X11 (1)+ X1 (1) = 0; (22)
XIV (1) + 2 X111 (1) — X11 (1) + X1 (1) = 0; (23)
X1¥ (0) = 31/ 8. (24)
Дополнительные граничные условия (19) - (24) означают выполнение уравнения (15) и значений производных различных степеней от этого уравнения в точках р = 0 и р = 1. Решение задачи (15), (16) - (24) разыскивается в виде следующего степенного ряда:
X (X, р ) = 1 С,р',
(25)
где С, - коэффициенты, определяемые из граничных условий (16) - (24).
Подставляя (25) в (16) - (24), после решения получаемых алгебраических линейных уравнений будем иметь:
С0 = 1; С1 = 0; С 2 = - X/ 4; С3 = 0; С4 = Я2/б4; С5 = 0;
С6 =-(4548Я2 - 120720Х + 55193б)/68672;
С7 =(79Я2 - 2448Х +11520)73;
С8 = -(1581Я2 - 53120Х + 254016)/68672.
Составляя невязку уравнения (15) и интегрируя ее в пределах от р = 0 до р = 1, получим
/ 8 \ /8 Л
I С, р'
+ -
1
й
IС, р'
р
йр
йр = 0.
После определения интегралов для нахождения собственных чисел будем иметь следующий алгебраический полином:
1261Х3 - 139500Х2 + 3609216Х -16450560 = 0.
Его корни
X = 5,78295; Х2 = 30,2371; Х3 = 74,6065. (26)
Приведем точные значения собственных чисел [3]:
X = 5,78306; Х2 = 30,4733; Х3 = 74,8865.
Погрешность определения первого, второго и третьего собственных чисел соответственно составляет 0,0019, 0,775, 0,374%.
В работе [4] в случае использования трех приближений для собственных чисел получены следующие значения:
X = 5,7832; Х2 = 30,7120; Х3 = 113,50.
Для каждого собственного числа собственные функции находятся из (25).
Для уточнения первых трех собственных чисел составим невязку уравнения (15) и потребуем ортогональность невязки к координатной функции (25), т.е.
■й 2 х (Х р )+1 ¿хш+хх (х, р ) йр р йр
Отсюда для нахождения собственных чисел получим следующий алгебраический полином:
1,6117023852 • 10-7 • X5 - 3,2512011896 • 10-5 • X4 + 2,3028199135 • 10-3 • X3 -
- 6,8141742017 • 10-2 • X2 + 0,81160486104 • X - 2,8247632752 = 0.
Так как полином пятой степени, то он имеет пять корней. Из них лишь три корня -
X! = 5,78332; Х2 = 30,53934; Х3 = 74,81268 (27)
удовлетворяют уравнению (15). Оставшиеся два корня следует отбросить, так как они не удовлетворяют уравнению (15). Этот результат вполне объясним ввиду того, что уравнение (15) удовлетворяется лишь при некоторых дискретных значениях X (собственных значениях).
Сравнивая собственные числа (26) с собственными числами (27), можно заметить, что требование ортогональности невязки уравнения (15) к координатной функции (25) приводит к существенному повышению точности их определения.
Таким образом, соотношение (14) точно удовлетворяет граничным условиям (3), (4), уравнению (1) и производным различных степеней от этого уравнения в точках р = 0 и р = 1. Как показали проведенные в настоящей работе исследования, для одного, двух и трех приближений
X (X, р )йр = 0.
' = 0
'=0
'=0
с увеличением числа выполняемых граничных условий типа (19) - (24) увеличивается точность удовлетворения уравнения (1) на отрезке 0 < р < 1.
Неизвестные коэффициенты Ап в соотношении (14) находятся из начального условия (2).
Для этого составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т.е.
І іА,Х,(Я,,р)-1
0 _ п=1
X, , р-р = 0, (, = 1,2,3).
(28)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Ро=0^/' / 0.06 с Л — о —1—1 0,1 — о
\ / х Э
О / / / э 0,2 а
\ / ' У < \ Г
/ / У'1 л у А э— < о —'
Определяя интегралы в (26), для нахождения коэффициентов Ап получим систему из трех алгебраических линейных уравнений с тремя неизвестными. Из решения этой системы находим
А = 1,563927
А =■
1,003663
0,5482247.
Приведенные здесь коэффициенты Ап (п = 1,2,3) найдены из уточненных значений собственных чисел.
Результаты расчетов безразмерных температур по формуле (14) в сравнении с точными их значениями [3] представлены
графически на рисунке. В заключение отметим, что при выполнении расчётов была использован пакет Ымкеай 2000.
Из графиков на рисунке видно, что значения температур, полученных по формуле (14), в диапазоне 0,02 < Ео < ¥ практически совпадают с точными их значениями. Для получения решения при меньших значениях числа Фурье необходимо увеличивать число членов решения (14).
0.2
0.4
0.6
0.8 (1-у) 1.0
Г рафики изменения безразмерной температуры в неограниченном цилиндре:
— - точное решение [2]; О - расчёт по формуле (14)
3
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудинов В.А., Калашников В.В., Карташов Э.М., Лаптев Н.И., Сергеев С.К. Тепломассоперенос и термоуп-ругость в многослойных конструкциях. М.: Энергоатомиздат, 1997. 426 с.
2. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Габдушев Р.Ж., Стефанюк С.А. Об одном методе определения собственных значений краевой задачи Штурма - Лиувилля // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2001. Вып. 12. С. 51-56.
3. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.
4. Цой П.В. Методы расчёта задач тепломассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 423 с.
