Аналитические решения задач теплообмена при ламинарном течении жидкостей в трубах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Приложения дифференциальных уравнений

УДК 536.2(075)

Е. В. Стефанюк

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ

Путем совместного использования точных (Фурье) и приближенных аналитических (ортогональный метод Бубнова—Галеркина) методов получено аналитическое решение задачи теплообмена для жидкости, движущейся в круглой трубе. Показано, что для шести приближений полученные в настоящей работе значения температур на основе метода Бубнова—Галеркина в широком диапазоне изменения продольной координаты практически совпадают с их точными значениями.

Получение аналитических решений задач теплообмена при течении жидкости в трубах и каналах представляет серьезные математические трудности. Точные аналитические решения указанных задач получены лишь для отдельных частных случаев, к тому же при существенных допущениях. В связи с этим разработка приближенных аналитических методов решения таких задач имеет не только научную ценность, но и практическое значение, так как позволяет широко использовать результаты теоретических исследований для инженерных расчетов [1, 2].

Рассмотрим задачу о теплообмене при вязкостном течении жидкости в круглой трубе в случае постоянной температуры стенки. Примем следующие допущения [3]:

1) течение жидкости и процесс теплообмена стационарны;

2) жидкость несжимаема; ее физические свойства постоянны (т.е. не зависят от температуры и давления);

3) течение жидкости стабилизировано, т.е. профиль скорости не изменяется по длине;

4) во входном сечении теплообменного участка температура жидкости постоянна по сечению и равна /0 ;

5) температура внутренней поверхности стенки трубы на участке теплообмена постоянна и равна /с, причем /с Ф /0;

6) в потоке отсутствуют внутренние источники тепла, а количество тепла, выделяющееся вследствие диссипации энергии, пренебрежимо мало;

7) изменение теплового потока вдоль оси трубы, обусловленного теплопроводностью, мало по сравнению с изменением теплового потока вдоль оси, обусловленного конвекцией [1].

Математическая постановка задачи теплообмена в круглой трубе при граничных условиях первого рода с учетом принятых выше допущений имеет вид

Э2/(X, Л) +1Э/(X, Л) _ 2®ср

' -2 ЛЭ/(X, Л)

эх2 X эх

1 г2

V Г° /

( л > 0, 0 <Х< к ); (1)

ЭЛ

/ (Х,0) _ /0; (2)

_ 0; (3)

ЭХ

/ (К Л) _ /с, (4)

где / — температура; Л — координата, направленная вдоль течения потока; X — координата, направленная поперек течения потока; К _ 2г — диаметр трубы; /0 — температура на входе в трубу; /с — температура стенки трубы; а — коэффициент температуропроводности жидкости; Ю(Х) _ 2 Юср (1 _Х2 ) ; ®сР средняя скорость течения жидкости.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

0 = -^; у = І; х = . ре

г0 3Ре Н

а

где Ре — число Пекле.

С учетом принятых обозначений задача (1)-(4) примет вид

Э20(у, х) + _1_ Э0 = (1 _ у2 |Э0( у, х)

Эу2

у ЭУ

Эх 0( у,0) = 1; Э0(О, х) = 0.

(х > 0; 0 < у < 1);

(5)

(6)

(7)

(8)

ЭУ

0(1, х) _ 0;

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5)-(8) разыскивается в виде

0(У, х) _ф(х)у(у). (9)

Подставляя (9) в (5), получим следующие два обыкновенных дифференциальных уравне-

ния:

йф(х)/dx +т2 ф(х) _ 0 ;

^+.1 эу V (1 - у2) у)=0,

йу2 у Эу у '

2

где т — некоторая постоянная.

Решение уравнения (10) известно и имеет вид

ф(х) _ А ехр(-т2х),

где А — неизвестный коэффициент.

Уравнение Бесселя (11) представим в виде

у"(у) +- У(у) + 1(1 - у2) у(у) = 0,

у

где 1 _ т2.

Граничные условия для уравнения (12) согласно (7), (8) будут

У(0) _ 0;

у(1) _ 0.

Следуя методу Бубнова-Галеркина, решение задачи (13)-(15) разыскивается в виде

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

У(у) _х Ьк Лк(y), к _1

где Ьк — неизвестные коэффициенты; Лк (у) — координатные функции, определяемые по формуле

Лк (у) _ 1 _ у2к, к _ 1,2,..., п . (17)

Соотношение (16) при использовании координатных функций вида (17) точно удовлетворяет граничным условиям (14), (15). Для нахождения неизвестных коэффициентов Ьк, к _ 1,2,...,п , составляется невязка уравнения (13) и требуется ее ортогональность ко всем координатным функциям Лк (у) , т е.

Ґ п ^

X ьк Пк(у) к=1

/у

1

+ — у

ХЬкЛк (у) +1(1 - у2 )ХЬкЛк(у)

к=1

у

к=1

П, (у)Ф = 0, } = 1,2,...,п . (18)

Соотношение (18) представляет систему однородных алгебраических линейных уравнений

вида

Ь1( А11 + 1В11) + Ь2( А12 + 1В12) + ... + Ь1п( А1п + 1В1п ) = 0; Ь1(А21 + 1В21) + Ь2 (А22 + 1В22) + ... + Ьп (А2п + 1В2п ) = 0;

Ь1(Ап1 +1Вп1) + Ь2( Ап 2 +1Вп 2) + ... + Ьп(Апп +1Впп ) = 0

где Ар = -[

1 Э 2л, (У) 1 Эл, (У)

У ЭУ

л (У^ ; 5;ї = ](1 - У 2 )л) (У )Лі (У )Ф (І = і = 1,2,..., и).

Однородная система уравнений (19) имеет нетривиальное решение в случае, если ее опре' делитель равен нулю, т. е.

(Лп + АБП) (¿12 +1Й12) ... (Лы + 1БЫ)

(Л21 +1Б21) (Л22 +1Б22) ... (Л2п + 1Б2п )

= 0.

(20)

(Лп1 +1Бп1) (Лп 2 + 1Бп 2) ... (Лпп + 1Бпп )

Раскрывая определитель, получим относительно 1 алгебраический полином п -ной степени. Так как элементы матрицы положительны и симметричны относительно главной диагонали, то корни 1 к (к = 1,2,. ., п) должны быть действительными отрицательными числами. Эти корни являются приближенными значениями собственных чисел краевой задачи Бесселя применительно к уравнению теплопроводности с граничными условиями 1-го рода.

Допустим, что найденные из алгебраического полинома собственные числа расположены в порядке возрастания их абсолютных величин и образуют последовательность1 <12 < ... <1 .

Подставляя значения 1к (к = 1,2,...,п) в систему уравнений (19), получим ее нетривиальное решение. Так как система уравнений однородная, то можно положить ¿1 = 1. Собственные функции находятся из (16).

Приближенное решение задачи (5)-(8) с учетом (12), (16), записывается в виде

0п х)=Х Ук(у )ехр(-1кх). (21)

к=1

Неизвестные коэффициенты Бк находятся из начального условия (6). Для этого составляется невязка уравнения (6) и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям

У І(У = 0 (І =1,2,...,и).

(22)

X °к У к(У) ехр(-1 к •0) -1

_ к=1 _

Соотношение (22) относительно неизвестных коэффициентов Бк представляет систему алгебраических линейных уравнений. Из решения этой системы находим Б = 2,700775; Б2 = -8,9103002 ; Б3 = 14,01875; Б4 = -11,88024 ; Б5 = 4,70883 ; Б6 = -3,53821.

После нахождения Бк решение задачи (5)-(8) в замкнутом виде находится из (21).

На графиках (рис. 1, 2) представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (21) в шестом приближении в сравнении с точным решением [1]. Собственные числа для двух, шести и десяти приближений, а также точные их значения представлены в таблице 1.

Т а б л и ц а 1

Значение собственных чисел

0

0

т Число приближений Точные значения [1]

2 6 10

ті 7,041461 7,3135836944478 7,31358691552132 7,3135868

т?. 49,208539 44,584341267422 44,6094591537528 44,609460

т3 111,3882105904 113,918980473984 113,92104

Им 222,64542419205 214,99051576925 215,24053

т5 701,88313313994 343,09957968053 348,56412

Иб 5537,9353071157 523,07622764926 513,89004

т7 967,972831450273 711,21753

тя 2396,8278994771 940,54604

т9 9088,4836857216 1201,8754

т10 77464,29056704 1495,2052

Анализ полученных результатов показывает, что с увеличением числа приближений собственные числа с низшими порядковыми номерами всякий раз уточняются. Значения температур, полученные по формуле (21) в диапазоне продольной координаты 0,0125 < х < ¥ практически совпадают с точными их значениями.

Р и с. 1. Графики распределения относительной избыточной температуры по координате у : --------- — расчет по формуле (21) (шестое приближение); о — точное решение [1]

Р и с. 2. Графики распределения относительной избыточной температуры по координате х --------- — расчет по формуле (21) (шестое приближение); о — точное решение [1]

-0.05

II

0 0.2 0.4 0.6 0.8 X

Р и с. 3. Невязка е уравнения (6) при п = 6 (шесть приближений) при у = 1

условия при п = 6 (шесть приближений) при х = 0

Невязки уравнения и начального условия в шестом приближении представлены графически на рис. 3, 4. Максимальная невязка начального условия (х = 0) имеет место в точке у = 1 (е»-1). Это объясняется тем, что из решения (21) в точке у = 1 в любой момент времени (включая х = 0), благодаря особой конструкции координатных функций ф^ (х) выполняется граничное условие 1-го рода (8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. — М.: Энергия, 1967. — 412 с.

2. Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2005. — 430 с.

3. Кудинов В. А., Аверин Б. В., Стефанюк Е. В., Назаренко С. А. Аналитические методы теплопроводности. — Самара: Самарск. госуд. технич. ун.-т, 2004. — 209 с.

Поступила 01.02.2006 г.