CC BY
66
УДК 536.2
В. А. Кудинов, В. В. Дикоп, Р. Ж. Габдушев, С. А. Назаренко
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Приводится методика определения собственных чисел краевой задачи Штурма - Лиувилля, основанная на совместном использовании точных (метод разделения переменных) и приближённых аналитических (взвешенных невязок) методов. Показана высокая точность получаемых решений и хорошая сходимость к точному решению при увеличении числа приближений.
В методе разделения переменных искомое решение принимается в таком виде, что оно с самого начала точно удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи. Собственные числа и неизвестные коэффициенты решения находятся из точного выполнения граничных и начальных условий. Однако не для всех дифференциальных уравнений можно найти функции, точно удовлетворяющие им. Такие функции известны лишь для простейших линейных дифференциальных уравнений применительно к телам классической формы (пластина, цилиндр, шар) при классических линейных граничных условиях. При усложнении любого из этих факторов трудоемкость применения метода Фурье существенно возрастают вплоть до практической невозможности его использования.
В настоящей работе рассматривается метод, основанный на совместном использовании метода Фурье и методов взвешенных невязок (ортогонального метода Бубнова - Галеркина). Ввиду того, что удовлетворение уравнению в данном случае осуществляется путём составления его невязки и требования ортогональности невязки к собственным функциям, дифференциальное уравнение может быть сколь угодно сложным. Не накладывается также ограничений на вид начальных и граничных условий.
В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечно протяжённой пластины при граничных условиях первого рода:
Э0 Э 20
— = — (№ > 0; 0 < л < 1); (1)
ЭЕо Эл
0(л ,0) = 1; (2)
Э©(0, Ео )/Эл = 0; (3)
0(1, Ео ) = 0, (4)
где 0(л, Ео ) = (Т - Тст )/(Г0 - Тст) - относительная избыточная температура; Тст - температура
пластины при л = 1; Л = х/8 - безразмерная координата; 8 - толщина пластины; Т0 - начальная
температура; Ео = ат/8 - число Фурье; а - коэффициент температуропроводности; т - время.
Следуя методу Фурье, решение задачи (1) - (4) принимается в виде
0(л, Ео ) = р (Ео )^(л). (5)
Подставляя (5) в (1), получим
ёр (Ео )/аЕо + т 2р (Ео ) = 0; (6)
ё ¥(л )/ёл2 + Л2 ¥(л) = 0, (7)
2
где т - некоторая постоянная.
Решение уравнения (6), как известно, имеет вид
р (Ео ) = А ехр(- /л2 Ео), (8)
где А - неизвестный коэффициент.
Уравнение Штурма - Лиувилля (7) представим следующим образом:
¥11 (л) + 1¥(л ) = 0, (9)
где 1 = /л2.
Граничные условия для уравнения (9) согласно (3), (4) будут иметь вид
¥1 (0) = 0; (10)
¥(1) = 0. (11)
Решение задачи в первом приближении разыскивается в виде следующего ряда:
Y(h) = c0 + Chh + Ch2 + Ch + Ch4 +... = XChг , (12)
i=0
где Ci, (i = 0,n) неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий (10), (11). В настоящей работе решается задача определения пяти собственных чисел. Так как неизвестных пять, а граничных условий два, то следует добавить дополнительные граничные условия, которые найдём из уравнения (9) путём выполнения самого этого уравнения, а также производных от него в точках h = 0 и h = 1. Эти дополнительные граничные условия будут иметь вид
Y(0) = const = 1; (13)
Y11 (1) = 0; (14)
Y111 (0) = 0. (15)
Граничное условие (13) следует из условия (10).
Подставляя (12) в (10), (11), (13) - (15), получим
C0 = 1; Cj = 0; C2 =-1,2; C3 = 0; C4 = 0,2.
Соотношение (12) принимает вид
Y(h ) = 1 - 1,2h2 + 0,2h4. (16)
Для определения первого собственного числа найдём интеграл взвешенной невязки урав-
нения (9)
J[Y11 (h)+AY(h )]h = 0. (17)
0
Подставляя (16) в (17), получим алгебраическое линейное уравнение относительно Я, решение которого дает Я = 2,6.
Точное значение первого собственного числа Я = 2,46740110027 [1].
Собственная функция находится из (12).
Для получения первых двух собственных функций используются следующие основные и дополнительные граничные условия:
Y(0) = 1; Y1 (0) = 0; Y11 (0) = -Я; Y111 (0) = 0; Y1V (0) = Я2; Y(1) = 0; Y11 (1) = 0. (18)
Подставляя (12) в (18) при n = 8, получим
C0 = 1; C1 = 0; C2 =-0,5Я ; C3 = 0; C4 = Я2/24;
39 59
C5 =—Я2 + 1,4Я - 3; С6 = 2 - 0,9Я------Я2.
5 8 6 12
После подстановки коэффициентов С{ в соотношение (12) составляется невязка уравнения (9) и требуется ортогональность невязки к функции (12). Отсюда для определения собственных чисел получается полином шестой степени. Первые два корня этого полинома имеют вид
Я = 2,46740110 ; Я = 22,26983 .
Ввиду того, что уравнение Штурма - Лиувилля удовлетворяется лишь при некоторых дискретных значениях Я (собственных значениях), то остальные корни полинома отбрасываются, как не удовлетворяющие этому уравнению ( в этом можно убедиться непосредственной подстановкой в уравнение 9).
Таким образом, во втором приближении первое собственное число до восьмого знака после запятой совпало с точным его значением. Второе собственное число совпадает с его точным значением до второго знака после запятой (точное значение Я2 = 22,20660990 ).
Для получения трёх собственных чисел в дополнение к условиям (18) воспользуемся граничными условиями вида
YV (0) = -Я3; Ym (0) = 0 ; Ym1 (0) = Я4; Y1X (0) = 0 ; Yх (0) = -Я5. (19)
При выполнении граничных условий (18), (19) для первых трёх собственных функций получаются следующие значения:
Я = 2,4674011001; Я = 22,2066135; Я = 62,055342.
В данном случае первое и второе собственные числа совпадают с точными их значениями соответственно до 10 - го и 4 - го знаков после запятой. Точное значение третьего собственного числа Я3 = 61,68502750 .
Для получения пяти собственных чисел добавляем следующие граничные условия:
Vх1 (0) = 0; Vх11 (0) = Я6; Vх111 (0)= 0; УХ1Г (0) = -Я7;
V Х7 (0 )= 0; V17/1 (0 ) = Я8; V17/11 (0 ) = 0; V ^ (0 ) = -Я9;
V Х1Х (0 ) = 0; V хх (0) = Я10.
В этом случае имеем
Я1 = 2,4674011002; Я2 = 22,206610; Я3 = 61,6850235; Я4 = 120,90249; Я5 = 201,0584. Точные значения четвёртого и пятого собственных чисел
Я4 = 120,90265; Я5 = 199,8595 .
Подставляя (8), (12) в (5), для каждого собственного числа будем иметь частные решения
вида
0, (п рв) = А1(l^,1 )ехр (- Хрв), (I = 0,4 ).
Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным условиям (18), (19), (20) и приближённо (в пятом приближении) удовлетворяет уравнению (1) на отрезке 0 £ п £ 1, включая
точки п = 0 и п = 1, ввиду выполнения условий ¥77 (0)=-Х и ¥77 (1) = 0 (см. условия (18)). Од-
нако ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма
0(, Ее) = £ А,V (, Я, )ехр(- Х,Еа),
(21)
,=0
не удовлетворяют начальному условию.
Для выполнения начального условия составим его невязку и потребуем ортогональность невязки к каждой собственной функции, т. е.
£ А, V, (, Я,)-1
=0
(22)
(1-е) 1,0
Определяя интегралы в (22), для нахождения коэффициентов
АК (К = 1,5 ) получим систему из пяти алгебраических линейных уравнений. Её решение дает А1 = 1,274366 ; А2 = -0,427128;
А3 = 0,257304 ; А4 = -0.182685; А5 = 0,150535.
Приведённые здесь коэффициенты Аг (, = 0,4) найдены из уточнённых значений собственных чисел.
Результаты расчётов безразмерных температур по формуле (21) в сравнении с точными их значениями [3] представлены графически на рисунке.
Анализ результатов расчётов позволяет заключить, что в пятом приближении значения безразмерных температур, полученные по формуле (21), удовлетворительно согласуются с точными их значениями в диапазоне Фурье 0,005 £ Рв £ ¥ .
Ф і го г избыточной
0,001 Ц005 0,01 0,05 0,1
Г рафики изменения относительной
температуры от числа Бо:
— - точное решение [3]; о - расчёт по формуле (21)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудинов В.А., Карташов Э.М. и др. Тепломассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях. М.: Энергоатомиздат, 1997. 426 с.
2. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Габдушев Р.Ж., Стефанюк С.А. Об одном методе определения собственных значений краевой задачи Штурма - Лиувилля // Вест. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2001. Вып. 12. С. 51-56.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.
