CC BY
49
УДК 536.2
В.А. Кудинов, Е.В. Стефанюк, С.А. Назаренко
МЕТОД КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Разрабатывается метод построения аналитического решения задачи теплопроводности для двухслойной бесконечно протяженной пластины при граничных условиях третьего рода. Дается достаточно простой алгоритм определения собственных чисел при помощи дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения. Приведены примеры решения конкретной задачи и выполнено сравнение данных расчета по предложенной методике с данными других авторов.
Метод координатных функций, изложенный в [1-6], позволяет находить простые по форме точные аналитические решения задач теплопроводности для бесконечно протяженных пластины, цилиндра и шара. Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения. Их необходимость связана с появлением дополнительного параметра л (собственные числа) после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении.
Рассмотрим применение этого метода к решению задачи теплопроводности для двухслойной бесконечно протяженной пластины при граничных условиях 3 - го рода в следующей математической постановке:
ЦЪИ = ^ ЦЛ* (Ч,_1 £ л £ ч; , = 1,2. ^ = 0; л 2 = 5 ). (1)
Эт Эл
(г (Л,0) = (0г ; (2)
Эti (0,т)/ Эл = 0; (3)
^1,т) = 12(^1, т); (4)
1А (^1,т)/Эл = Я2Эt2 (^1,т)/Эл; (5)
12 Эt 2 (л 2, Т)/Эл = а[ (л 2, т) -1 ср ], (6)
где ti - температура i - того слоя; т - время; л - координата; , 1 - коэффициенты темпера-
туропроводности и теплопроводности i - того слоя; 10i - начальная температура; tср - температура среды; 5 = 51 + 52 - толщина двухслойной системы; 51, 52 - толщины слоёв; а -коэффициент теплоотдачи.
Введем следующие безразмерные переменные и параметры х = Л/5 ; Ео = ат/52; Ы = а5/1; 0i (х, Ео) = (ti - tср )/^0 -1ср); а - наименьший из коэффициентов температуропроводности ai (i = 1,2).
С учетом принятых обозначений задача (1) - (6) примет вид Э0i (х, Ео) ai Э2 0i (х, Ео)
---—-------=---------------------—- (Ео > 0; Xi-1 £ х £ Xi; i = 1,2; Х0 = 0; Х2 = 1); (7)
ЭЕо а Эх2
0г(х,0) = 1; (8)
Э0 г (0, ЕоУ Эх = 0; (9)
01( х1, Ео) = 0 2( х1, Ео); (10)
11Э01 (х1, Ео)/Эх = 12Э02 (х1, Ео)/Эх; (11)
Э0 2(1, Ео)/Эх + Ы0 2(1, Ео) = 0. (12)
Следуя методу разделения переменных, решение задачи (7) - (12) отыскивается в виде
0г (х, Ео) = ф (Ео)¥,. (х). (13)
Подставляя (13) в (7), получим следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения:
ф (Ео) + луг (Ео) = 0; (14)
^ ^ (х) + (х) = 0, (15)
а
где л = у
Решение уравнения (14) известно и имеет вид
jпг (Fo) = An eXP(nFo) , (16)
где An - неизвестные коэффициенты.
Граничные условия и условия сопряжения для уравнения (15) будут
Y (0) = 0; (17)
Yi(xi) = Y2(X1); (18)
1YI (*1) = lY2I (xx); (19)
Y2I (1) + Bi Y2 (1) = 0. (20)
Решение уравнения (15) принимается в виде
Y (x) = X CklNkl(x) (i = 1,2), (21)
k=0
где Cki - неизвестные коэффициенты; Nki - координатные функции.
В качестве координатных для первого и второго слоя примем функции
Nk1 = xk (k = 0, 2, 4, 6...); (22)
Nk2 = xk (k = 0, 1, 3, 5...). (23)
Неизвестные коэффициенты Cki (k = 0,n ; i = 1,2) находятся из граничных условий (17) -
(20). Так как число неизвестных коэффициентов может быть сколь угодно большим, а гранич-
ных условий и условий сопряжения только четыре, то необходимо ввести дополнительные граничные условия. Такие условия можно получить путем выполнения уравнения (15) и производных от него различных степеней в точке x = 0 и x =1 . В качестве первого дополнительного условия возьмем условие
Y (0) = const = 1, (24)
вытекающее из граничного условия (17). Другие дополнительные граничные условия (в точке
x = 0 ) будут иметь вид
Yf (0) = - ца2/ a,; (25)
Yf1 (0) = 0; (26)
Y/V (0) = m2 aja,; (27)
YV (0) = 0; (28)
YV (0) = -m3 aja, ; (29)
YVI (0) = 0; (30)
Y^ (0) = m 4 a2/ax; (31)
Y/x (0) = 0; (32)
YX (0) = -m5a2/al и т.д. (33)
Для получения дополнительного граничного условия в точке x =1 продифференцируем уравнение (12) по Fo :
8202(1'Fo) + Bi 802(1'Fo) = 0. (34)
8x8Fo 8Fo
Продифференцируем уравнение (7) по x и запишем полученное соотношение для точки x =1 :
8202(1,Fo) at 8302(1,Fo)
dxdFo a 8x3
Соотношение (34) перепишем с учетом уравнения (7):
82 0 2(1, Fo) at 82 0(1, Fo)
(35)
= -Я-*-------Ч—- . (36)
ЭхЭЕо а Эх
Сравнивая (35), (36), получим
Э 30-(1-Е°) + в* 0-(1- Ео) = 0. (37)
Эх1 Эх2
Из (37) имеем следующее дополнительное граничное условие:
У2Ш (1) + BiYI2I (1) = 0. (38)
Для нахождения коэффициентов Скг подставим (21) в (17) - (20), (24) - (27), (38). При этом в соотношении (21) для первого слоя ограничимся пятью членами ряда, а для второго слоя -четырьмя. В итоге будем иметь 9 алгебраических линейных уравнений (по числу основных и
дополнительных граничных условий) с 9 - ю неизвестными Ck1 (к = 0,4) и Ck 2 (к = 0,3).
Анализ этой системы уравнений позволяет заключить, что в 5 уравнений, содержащих неизвестные Ск1, входят лишь по одному неизвестному (уравнения разделяются), которые легко могут быть определены. Этими неизвестными будут
1 а2 1 2 а2
С = 1- С = 0- С =-— и — - С = 0- С = — и —
'-"01 1 5 '-"11 '-"21 ~ И- 5 *-"31 и ’ 41 „..М •
2 а1 24 а1
Для определения коэффициентов Ск 2 (к = 0,3) необходимо решать четыре алгебраических линейных уравнения, составленные из граничных условий (18) - (20), (38).
Найдем решение задачи (7) - (12) при следующих исходных данных [7]: Ц1 = 0,002м;
^2 = 0,006м; а1 = 12,5 • 10-6 м2/с ; а2 = 6 • 10-6 м2/с ; Я1 = 45,24 Вт!(м • К);
Я2 = 16,24 Вт/(м • К); Bi = 2 ; а = а2 = 6 • 10-6 м2 /с .
После определения коэффициентов Сы составляется интеграл взвешенной невязки уравнения (15):
' 'Л У Сч К**- + и У Ск1 N,1 V + 1 ^ У Ск 23 2 * '
а
1 ^Iс„^+тЪс„м„ іх + | ^X€,2°-^+тХс„н12
0 а к=0 ®х к=0 х а к=0 ®х к=0
іх = 0 .
(39)
3,2 ^ к1 к1 J а ^ к 2 3,2
у .. „ ах к=0 0 , ^ и к=0 ах
Вычисляя интеграл в соотношении (39), относительно параметра и получим алгебраический полином вида
- 8,02234 • 10-2 • и2 +1,19421 • 10-3 • и3 -1,21949 +1,25019 • и = 0. (40)
Его корни
и1 = 1,044343; и2 = 22,316056; и3 = 43,816549. (41)
Собственные функции, соответствующие каждому собственному числу, находятся из (21). Соотношение (13) с учетом (16), (21) для каждого собственного числа принимает вид
© кг (, Ро) = Ак ¥кг (, и к ) ехр(-и ,^о) . (42)
Каждое частное решение вида (42) точно удовлетворяет граничным условиям (9), (12) и условиям сопряжения (10), (11) и приближенно (в зависимости от числа приближений - количества найденных из полинома (40) собственных чисел) удовлетворяет уравнению (7). Но ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма
© кг( X Р°) = I Ак ^кг( X Л к) ехР( -Л кр°) (к = 1,3; і = 1,2),
(43)
к=1
не удовлетворяют начальному условию (8). Для того чтобы соотношение (43) удовлетворяло начальному условию, составим его невязку и потребуем ортогональность невязки к каждой собственной функции ¥пі (х, /л), т.е.
1
1
I Ак ¥к1(Х, Лк ) 1
к=1
1
¥ л( х, л ] )іх +1
I Ак ¥к 2 (Х, Лк ) 1
к=1
¥}- 2 (X, л 1 )іх = 0.
(44)
Определяя интегралы в (44), относительно неизвестных коэффициентов Ак (к = 1,т), получим систему алгебраических линейных уравнений. Например, для трех приближений (т = 3 ) коэффициенты Ак имеют значения
А, = 1,119281:
А2 =-0,500714;
А3 = 0,404640.
После определения Ак решение задачи (7) - (12) в замкнутом виде находится из (43). Результаты расчетов по формуле (43) в сравнении с данными [7] и с расчетом по методу конечных разностей (метод прогонки) представлены на рисунке.
X ^ _ — X Д >д- х-
^ X X о О ^
/ Сд д Р=0/^
л 0 х
) (д
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 1,5 2,0 Fo
Графики распределения температуры в двухслойной пластине:
----метод прогонки; o - по данным [7]; x - по формуле (43) (третье приближение);
А - по формуле (5.58) [8] (шестое приближение с координатными функциями (5.20), (5.21) [8])
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Габдушев Р.Ж. Об одном методе определения собственных значений краевой задачи Штурма - Лиувилля // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2001. Вып. 12. С. 17-23.
2. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Стефанюк С.А. Об одном методе определения собственных чисел
в нестационарных задачах теплопроводности // Изв. РАН. Энергетика. 2002. №4. С. 112 - 117.
3. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Определение собственных чисел в задачах теплопроводности для бесконечного цилиндра // Тр. 3-й Российской нац. конф. по теплообмену. Т. 7. Теплопроводов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Об одном методе определения собственных чисел в краевых задачах нестационарной теплопроводности // Дифференциальные уравнения и их приложения: Меж-вуз. сб. науч. тр. Самара: СамГТУ, 2002. Вып. 1. С. 118 - 122.
4. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Определение собственных чисел краевой задачи Штурма - Лиувилля // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2002. Вып. 16. С. 46 - 48.
5. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Определение собственных чисел в задачах теплопро-
водности для бесконечного цилиндра // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2002. Вып. 16. С. 49 - 52.
6. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш. шк., 1978. 328 с.
7. Кудинов В.А., Карташов Э.М и др. Тепломассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях. М.: Энергоатомиздат, 1997. 426 с.
Поступила 21.02.2003 г.
