Получение аналитических решений задач теплопроводности при переменных во времени граничных условиях второго рода Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2(075)

ПОЛУЧЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО РОДА

Е.В. СТЕФАНЮК, В.А. КУДИНОВ Самарский государственный технический университет

С использованием интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получены приближенные аналитические решения задачи нестационарной теплопроводности при переменных во времени граничных условиях второго рода. Решения имеют простой вид степенных алгебраических полиномов, не содержащих специальных функций, что позволяет выполнять исследование теплообмена в полях изотермических линий, а также проводить анализ распределения скоростей движения изотерм по пространственной координате во времени.

Ключевые слова: аналитические методы, фронт температурного возмущения, интегральные методы, дополнительные граничные условия, изотермы, изотахи.

Известно, что решения задач теплопроводности, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временнуй координаты [1, 2]. Исследования показывают, что сходимость точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье

—12 —7 —7

10 < Го <10 наблюдается лишь при использовании от 1000 (Го = 10 ) до

—12

пятисот тысяч (Го =10 ) членов ряда.

К методам, позволяющим избежать указанные трудности, относятся интегральные методы теплового баланса. Однако их широкое применение сдерживается недостаточной точностью получаемых решений. Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам [3-4].

Ниже будет изложен метод, относящийся к группе интегральных методов теплового баланса, позволяющий получать аналитические решения задач нестационарной теплопроводности с достаточно высокой точностью практически во

всем диапазоне времени нестационарного процесса (0 < Го <х) без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений. Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины переменных во времени граничных условиях второго рода в следующей математической постановке:

Г с д0(р,Г~)

Р с-

I др

0 (р,0 )=0; (2)

д0 (р,Го) 1 д дГо рс д

; (Г°>0; 0 < Р < 1) (1)

д0(0, Го)

-=0

дР |

д0(1,Го)

(3)

др

=К1 (Го ),

где 0(р,Го) (Т )/(Тс Т ) - безразмерная температура; Тс - температура среды; К1(Го) = у(Го(тс - То ) - критерий Кирпичева; Т - начальная

безразмерная

температура; у) - плотность теплового потока; р х1К - (

координата; х - координата; К - половина толщины пластины (радиус цилиндра, 2

шара); = ат/К - число Фурье; а - коэффициент температуропроводности; т -время; с = 0, 1, 2 - соответственно пластина, цилиндр, шар.

С целью упрощения процесса получения решения задачи (1)-(4) сделаем замену

переменной р по формуле % =1 - р. Тогда задача (1)-(4) примет вид:

50 (5,Р° )

1

д

дР° (1 -%)с д% 0 (1,0 )=0.

(1 - % )

д0 (%,Р° )

д% .

. (Р°>0. 0<%<1) ; ( ; )

д0(1,Р°) д%

=0

д0(0,Р°)

д%

=К1 (Р° )

Рис. 1. Расчетная схема теплообмена

(5)

(6)

(7)

(8)

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: 0 < < 1 и

1 . Для этого введем

движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область

0 < % <1 на две подобласти 0 < % < ц 1^°) и щ(Гс) < % < 1, где

( ° ^ - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (глубина термического слоя) (рис. 1). При этом

в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении

движущейся границей центра пластины (% 1), т. е. когда = . Во второй стадии

изменение температуры происходит по всему объему тела 0 < % <1. Здесь вводится в

рассмотрение дополнительная искомая функция ц2 () 0 (1, ), характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины.

Разделение процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса позволяет существенно упростить последовательность получения решения задачи, т. к. в данном случае оказывается возможным применение метода аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. При определении неизвестных коэффициентов полинома возникает необходимость использования дополнительных граничных условий, нахождение которых связано с включением граничных точек по пространственной координате в область определения исходного дифференциального уравнения.

Физический смысл дополнительных граничных условий состоит в том, что их выполнение равносильно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения (т. е. внутри области). Причем точность выполнения уравнения полностью определяется количеством дополнительных граничных условий, от которого, в свою очередь, зависит число членов аппроксимирующего полинома (число приближений).

Математическая постановка краевой задачи для первой стадии процесса в

результате введения фронта температурного возмущения ц1( ^0) включает уравнение (5) с граничным условием (8), а также следующие граничные условия, выполняющиеся на фронте температурного возмущения:

0 (цЬЕ° )=0; (9)

д0 (цп,Е° )/д %=0, (10)

(0 < Е° < Р°1;0 < % < щ(Е°))

,

где соотношения (9), (10) представляют условия сопряжения прогретой и непрогретой

зон. Соотношение (9) устанавливает равенство температуры тела в точке % ц1 ) его начальной температуре. Согласно условию (10), тепловой поток не распространяется за пределы фронта температурного возмущения (условие адиабатной стенки). Математическое доказательство условий (9), (10) дано в [5].

Обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии процесса задача (5), (8) - (10) за пределами фронта температурного возмущения, т.е. на отрезке

ц 1(Го) < % < 1, вообще не определена, в связи с чем здесь нет никакой необходимости выполнения начального условия вида (6) по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в математической постановке задачи (5), (8) - (10)). В данном случае вполне достаточным является выполнение граничного условия (9), согласно

которому для всех % ц1 ) температура тела равна начальной температуре. Кроме того, в данной задаче отсутствует также граничное условие вида (7), в виду того что оно не влияет на процесс теплообмена в первой его стадии.

При использовании классического аналитического решения, полученного, например, с использованием метода разделения переменных, наибольшие проблемы возникают в случае нахождения температуры для малых значений числа Фурье

^ 0). Это связано с тем, что искомое решение в данном случае должно описывать две линии изменения температуры ЕБ и БС (рис. 1). Причем на линии ЕБ

температура зависит от координаты % , а на прямой БС она остается постоянной и равной начальной температуре. Удовлетворить всем этим столь неоднородным и к тому же изменяющимся во времени условиям в одном аналитическом выражении

(при ^ 0) можно лишь при использовании в нем бесконечно большого числа членов ряда, о чем уже упоминалось выше.

Отметим, что задача (5), (8) - (10) не относится к классу задач, в которых учитывается конечная скорость продвижения тепловой волны. Получение решений таких задач сводится к интегрированию гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности [9]. Введенный в задаче (5), (8) - (10) фронт температурного возмущения по физическому смыслу является аналогом движущейся изотермы (но не тепловой волны). Ввиду того что на фронте температурного возмущения в процессе

% 0 (ц1, Е°)=0

его движения по координате поддерживается начальная температура ,

то, следовательно, он является аналогом нулевой изотермы (см. ниже соотношение

(41) и графики на рис. 5).

Решение задачи (5), (8) - (10) разыскивается в виде следующего полинома:

п

0(% )= £ак (Ц1)%к

к=0 , (11)

где ак (ц1) - неизвестные коэффициенты. Для их определения используются граничные условия (8) - (10). Подставляя (11) (ограничиваясь тремя членами ряда) в

(8) - (10), для определения ак (ц1) (к = ^1 2) будем иметь систему трех

алгебраических линейных уравнений. После определения ак (ц1) соотношение (11)

примет вид

0(%,Го) = К(Го)(о,5ql -% + 0,5%2%)

(12)

Для нахождения неизвестной функции ^ (Го ^ в первом приближении составим невязку уравнения (5) и проинтегрируем ее в пределах глубины термического слоя:

ql

чс д0(%,Го) « 1 д /(1 -1 )с ^ \/е = /

дГо

0 (1 -1)с д%

(1 - % У

д0 (%,Го )

д% .

(13)

Подставляя (12) в соотношение (13) (принимая К соп8*, с = 0), относительно

неизвестной функции ql ( Го ^ приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

/q2 = 6/Го

Интегрируя уравнение (14), при начальном условии ^(0) = 0 получаем

(14)

ql

(15)

Положив ql ( Го ^ =1, найдем время окончания первой стадии процесса Го = Го1 = 0,1667

Соотношения (12), (15) представляют решение задачи (5), (8) -(10) в первом приближении.

Результаты расчетов температуры по формуле (12), в сравнении с точным решением, а также с расчетом по конечно-разностному методу прогонки, представлены на графиках рис. 2. Их анализ позволяет заключить о том, что полученные по формуле (12) значения температур отличаются от точных их значений не более чем на 6 %. Отметим, что в точном решении ([6], формула 21, стр. 155) для

малых значений числа Го было использовано 2000 членов ряда.

К! х

0,008

0,006

0,004х

0,002

1 X ч к" \

\ \ : к. >4

\

X V N. \ 3

< 1 ! /о= 1103

> ^^ 5 / |^610-5 1

X о \ N. ) ;. 310-5

А ь 110-5 ------- >

К Л —-Л; р—

М-107 110-6 О____ О--А --Л X

0,02

0,04

0,06

0,08

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры в пластине: - по формуле (12); --по формуле (22); - точное решение [6]; - по методу прогонки

Найдем решение задачи (5), (8) - (10) в первом приближении для случая, когда

тепловой поток - линейная функция времени:

К1(Ро) = К10Ро, (1б)

где Ро - начальная величина теплового потока.

Обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной

функции д1 ( Ро ) в данном случае будет

А 2 2

¿д1 Ч1 --1--= б

¿Ро Ро . (17)

Интегрируя уравнение (17), при начальном условии д1(0) = 0 получаем

ql (Ро) = л/3Ро. (18)

Соотношения (12), (18) определяют решение задачи (5), (8) - (10) в первом приближении при линейной зависимости теплового потока от времени.

Для повышения точности решения необходимо привлекать дополнительные граничные условия. С целью их получения будем последовательно дифференцировать граничные условия (8)-(10) по переменной Ро , а уравнение (5) -

по переменной ^ . Используя методы, изложенные в работах [7-8], были получены следующие три дополнительные граничные условия, необходимые для получения решения во втором приближении:

д 3 0 ( 0, Ро )

--+ с

3

д 2 0 (дьРо ) = 0

д^2 . .

д 3 0 (дЬРо )

---- = 0

д^ 3

д 2 0(0,Ро) д0 (0,Ро)

2

¿К1(Ро) ¿Ро

(19)

(20)

(21)

Для нахождения решения задачи (5), (8) - (10) во втором приближении подставим (11) (ограничиваясь шестью членами ряда) в основные (8) - (10) и дополнительные (19), (20), (21) граничные условия. Отсюда для определения

неизвестных а^ (д1 )(к = 0,5) получаем систему шести алгебраических линейных уравнений. Ее решение:

а0 =-д1 [Яд2 -4К1 (9 + 2д1)]/(20В).

К1. а2 =(12К1 + Бд^ )/(2Вд1);

= (2сК1 - Бд1 ))(Вд1). а4 = (зЯд2 - 4К1 (3 + 2сд1 ))/(4Вд3 ) .

. .

а5 =[3К1 (2 + сд1)- Бд] ^(5Вд4 ) где Б = сК1 + ¿К1/¿Ро . В = сд1 + б

Для с = 0 и Ро) = соп^ соотношение (11) принимает вид

а1

а 3

0(| ,Ро) = д1 К1

1 - А

10 д1

- +

5

д1

д1

+-

\5

д1

Подставляя (22) в соотношение (13), относительно неизвестной функции д1 ( Ро ) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

¿д2 = 15 ¿Ро

Интегрируя уравнение (23), при начальном условии д1(0) = 0 находим

(23)

д1

л/15Ро

(24)

При д1 (Ро1 )= 1

находим

Ро1 = 0,0бббб.

Соотношения (22), (24) определяют решение задачи (5), (8) - (10) во втором приближении первой стадии процесса.

Результаты расчетов по формуле (22), в сравнении с точным решением [б], представлены на графиках рис. 2. Анализ полученных результатов позволяет заключить о том, что их расхождение находится в пределах 1%.

На рис. 3 показан график

Рис. 3. График перемещения фронта температурного возмущения по координате

в зависимости от безразмерного времени

зависимости фронта температурного возмущения от безразмерного

времени. Кривая д1 ( Ро ) является нулевой изотермой в координатах

5 - Ро

(рис. 5).

Аналогично можно получить решение задачи (5), (8) - (10) и в последующих приближениях. Применяя предложенный в работах [7-8] метод, можно найти какое угодно число дополнительных граничных условий.

Во второй стадии процесса понятие термического слоя (фронта температурного возмущения) теряет смысл и в качестве дополнительной искомой функции принимаются температура в центре пластины (цилиндра, шара) д 2 (Ро ) = 0(1, Ро).

Математическая постановка задачи и в данном случае включает уравнение (5) с граничным условием (8), а также следующие граничные условия, выполняющиеся

при 5=1:

0 (1,Ро ) = д 2 ( Ро ). д0 (1,Ро )

(25)

= 0

д5

(2б)

(Ро1 < Ро <ю; 0< 5< 1).

Начальным условием задачи (5), (8), (25), (2б) будет соотношение (12) при Ро1 и при д1 (Ро1 ) =1, т. е. 0(5,Ро1 ) = К1 (Ро)(0,5 - 5 + 0,552)

4

5

5

1

5

Отметим, что специального выполнения начального условия (27) не требуется. Оно будет выполнено в процессе получения решения задачи (5) (8), (25), (26). Это

связано с тем, что при Fo = Fo1, т. е. когда q1 ( Fo1 ) =1 и q 2 ( Fo 1 ) = 0, математические постановки задач (5), (8) - (10) и (5), (8), (25), (26) полностью

совпадают. Следовательно, и решения этих задач при Fo = Fo1 будут идентичными. Таким образом, происходит плавный переход от задачи (5), (8) - (10) к задаче (5) (8), (25), (26). Отсутствие необходимости выполнения начального условия для функции

0(£,Fo) во второй стадии процесса (в данном случае вполне достаточным является

выполнение начального условия вида q2 ( Fo1 ) = 0 ) приводит к значительному упрощению как процесса получения решения, так и окончательного выражения для него.

Решение задачи (5), (8), (25), (26) разыскивается в виде

0(£,Fo)=£а* (q2 )£k

k=0 . (28)

После определения неизвестных коэффициентов bk = 012) из граничных условий (8), (25), (26) соотношение (28) будет

0(£,Fo) = q2 (Fo)+ Ki(Fo)(0,5 - £ + 0,52 ). (29)

£ = 0 £ = 1

Составляя невязку уравнения (5) и интегрируя ее в пределах от до , с учетом соотношений (8), (26) получаем

j ( - £) ^^ d£ = Ki (Fo )

0 dFo . (30)

Подставляя (29) в (30), относительно неизвестной функции q2 (Fo ) приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению (Ki = const, с = 0 ):

dq 2 (Fo)

—- = Ki.

dFo (31)

Интегрируя уравнение (31), при начальном условии q2 ( Fo1 ) = 0 получаем q2 (Fo) = Ki(Fo - Fo1 ). (32)

Соотношения (29), (32) определяют решение задачи (5) (8), (25), (26) в первом приближении второй стадии процесса.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что соотношение (29) точно удовлетворяет граничным условиям (8), (25), (26), начальному условию (27), соотношению (30) и приближенно (в первом приближении) уравнению (5).

Результаты расчетов по формуле (29), в сравнении с точным решением [6] и расчетом по методу прогонки, показаны на графиках рис. 4. Их анализ позволяет заключить о том, что отклонение полученных здесь результатов от точных значений температуры не превышает 6 %.

С целью повышения точности найдем решение задачи (5) (8), (25), (26) во втором приближении с привлечением дополнительных граничных условий, которые имеют вид [7, 8]:

53 0(0,Fo) 53 0(1,Fo) 320(1,Fo) dq2(Fo)Q

d£3 ; d£3 d£2 dFo (33)

Рис. 4. Графики распределения безразмерной температуры в пластине. - по формуле (29); --по формуле (40); - точное решение [6]; - по методу прогонки

Подставляя (28), ограничиваясь шестью членами ряда, в граничные условия (5)

(8), (25), (26) (34), относительно неизвестных коэффициентов Ьк) (к = 0,5) получаем систему шести алгебраических линейных уравнений. Её решение:

3 1 dq2^о) 1 dq2 (Ро) Ь0 =— К1 +--+ q 2^о) Ь 2 = К1---

10 5 dFo ; Ь1 = К1; 2 dFo ;

(34)

1 1 dq2 ( Ро ) 1 1 dq2 ( Ро )

Ь4 =--К1 +--Ь5 = — К1---

Ь 3 = 0; 2 2 dFo ; 5 5 dFo

Подставляя (28) с учетом (34) в (30), относительно неизвестной функции q2 ) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

0,1q2 (Fo)+ q2 (Fo)= К1. (35)

Общий интеграл уравнения (35) имеет вид

q2 (Fo) = K1Fo - 0,1С 1 ехр(-10Fo) + С2 (36)

С С2

где 1 и 2 - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий:

(37)

dq2 (Foi ) = ^ q2(Foi)= 0. dFo

Формулы для них будут:

Ci =-Ki exp (lOFoi); C2 =-KiFo 1 - 0,1Ki. (38)

Подставляя (38) в (36), получаем

q2 (Fo) = Ki {(Fo - Foi ) + 0,1 [exp( 10(Fo 1 - Fo)) -1]}

(39)

Подставляя (34), (39), в (28), находим решение задачи (5) (8), (25), (26) во втором приближении второй стадии процесса:

0(|,Fo) = Ki[0,3 + 0,2(1 - exp (10(Fo 1 - Fo))) +

+ (Fo - Fo1 + 0,1 exp(10(Fo1 - Fo)))-0,1] -1, (40)

Fo1

где в качестве 1 принимается время окончания первой стадии процесса во втором

й Fo1 = 0,06666

приближении 1 ' , полученное выше.

Результаты расчетов по формуле (40), в сравнении с точным решением [6],

приведены на графиках рис. 4. Их анализ позволяет заключить, что значения

температур, полученных по формуле (40), в исследуемом диапазоне чисел Fo практически совпадают с точными их значениями.

Характерной особенностью полученных здесь аналитических решений является

полиномиальная зависимость температуры от координаты ^ в отличие от классических точных аналитических решений, где такая зависимость выражается через тригонометрические функции. Полиномиальная зависимость позволяет получить решение в виде поля изотермических линий. Отметим, что получение изотерм на основе классических аналитических решений рассматривалось в [9].

Выражая координату ^ из соотношений (12) и (29), получаем следующие

формулы для построения изотерм 0(^,Fo^K = const в координатах ^ -Fo : первая стадия

\ = V6Fo -

2—V 6Fo

Ki ; (41)

вторая стадия

% = 1 -V (2 0/ К - 2 - Го + Го1) (42)

Распределение изотерм 0(%,ГоУК = соп^ , найденное по формулам (41), (42), дано на рис. 5. Анализ полученных результатов позволяет заключить о том, что

нулевая изотерма (0(%,ГоУК = 0У совпадает с графиком движения фронта

температурного возмущения по координате % во времени Го . В самом деле, при

0(%,Гоу = 0 соотношение (42) приводится к формуле (15). Каждая последующая

изотерма (0 (%,Го У К > 0У возникает на поверхности пластины в строго определенный момент времени. При этом в первой стадии процесса отрезки времени

^Го , отделяющие изотермы, отличающиеся друг от друга на одну и ту же величину

(например, с шагом (0(%,ГоУК = 0,1), оказываются различными. Во второй стадии процесса происходит стабилизация времени возникновения изотерм. Каждая последующая изотерма возникает на поверхности пластины через равные отрезки времени.

Первая стадия Вторая стадия

1,0 ?

0,8 0,6 0,4 0,2

0 0,1 Fo10,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,7 0,8 0,9 Fo 1,0

Рис. 5. Распределение изотерм (

0/К1

) в пластине при граничных условиях второго рода

(первое приближение,

Fol = 0,1667

Скорости движения изотерм находятся путем дифференцирования соотношений (41), (42) по времени. Отсюда для первой стадии процесса получим

0

—,Ро ч К1

Л

dFo

= V л/^С^КГ-Ро + Ро!)

(43)

Для второй стадии процесса

0

—,Ро ч К1

d£

1

d Ро 2 ^

6 VI

0/К1

Ро 2 ^0(о^бГо))

(44)

Графики распределения скоростей движения изотерм даны на рис. 6, их анализ позволяет заключить о том, что в первой стадии процесса максимальную начальную

скорость имеет нулевая изотерма 0 К = 0. Начальные скорости всех последующих

изотерм уменьшаются до некоторой минимальной величины =1,0, которая наблюдается у всех изотерм, возникающих во второй стадии процесса. По мере приближения изотерм к центру пластины их скорости неограниченно возрастают,

устремляясь к бесконечным значениям в точке ^ =1.

Ввиду невысокой точности решений в первом приближении изотермы,

Ро = Ро

определяемые по формулам (41), (42), имеют незначительный излом при 1 , т.

е. в точке сопряжения решений для первой и второй стадий процесса (рис. 5). В связи с этим, на графиках рис. 6 в этой точке имеет место некоторый скачок в эпюрах скоростей движения изотерм, который уже во втором приближении не наблюдается, также как и излом в изотермах.

Первая стадия

Вторая стадия

)

и

и

= 0

\Л>

\ N

0,1

Ко1 0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

(0/Кь

0,7

0,8

0,9

Ко

Рис.

6. Распределение скоростей движения изотерм ( ' ) в пластине при граничных

, , Ео1 = 0,1667 ч

условиях второго рода (первое приближение, 1 ' )

Выводы

1. На основе введения фронта температурного возмущения с использованием дополнительных граничных условий разработана методика получения приближенных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности во всем диапазоне изменения числа Фурье. Решения имеют простой вид степенных алгебраических полиномов, не содержащих специальных функций. Получение таких решений оказалось возможным благодаря разделению процесса теплопроводности на два взаимосвязанных процесса и введению соответственно этому двух

дополнительных искомых функций: ^1(Ко) - для первой и ^2 (Ко) - для второй стадии процесса.

2. Дополнительные искомые функции ^1(Ко) и ^2 (Ко ) вводятся в полном соответствии с физическим смыслом краевой задачи. Обе они являются определяемыми величинами при получении решений любыми другими методами. Необходимость специального выделения этих функций связана с появляющейся при этом возможностью разделения исходной краевой задачи на два взаимосвязанных процесса — инерционного (нерегулярного) и установившегося (регулярного), закономерности изменения температуры во времени в которых настолько различны, что объединение их в рамках единой краевой задачи приводит к значительным трудностям получения ее аналитического решения.

3. Физический смысл применения дополнительных граничных условий заключается в возможности как можно более точного (в зависимости от числа граничных условий - числа приближений) выполнения исходного дифференциального уравнения внутри области и в ее граничных точках. Это свойство уже заложено в их выводе, основанном на требовании точного выполнения дифференциального уравнения и производных от него в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Подчинение искомого решения

дополнительным граничным условиям приводит к точному выполнению

£

дифференциального уравнения в тех точках по координате , в которых в данный момент времени находится фронт температурного возмущения. Ввиду того, что область изменения фронта температурного возмущения охватывает весь диапазон

0 < а1(Ро)<1

изменения пространственной координаты , то, следовательно, чем

большее количество дополнительных граничных условий будет использовано, тем более точно будет выполняться уравнение внутри области.

4. Простота выражений для аналитических решений позволяет проводить исследования краевых задач в полях изотерм и определять скорости их перемещения

4

3

2

1

0

во времени, что затруднительно выполнить, если использовать для этих целей классические точные аналитические решения. Анализ распределения изотерм и

£ ^ 0 £ ^ 1

скоростей их движения показывает, что вблизи граничных точек (s и s ) скорости перемещения изотерм устремляются к бесконечным значениям, что связано с заданием идеализированных граничных условий - граничное условие первого рода

£=0

(тепловой удар) при и условие отсутствия теплообмена (условие адиабатной

£=1

стенки) при s . В реальных практических случаях данные граничные условия не могут быть реализованы точно - степень приближения к ним зависит от конкретных условий теплообмена.

Summary

The approximated analytical solutions to the non-stationary problem with second-kind boundary conditions changing in time are obtained using the thermal balance integral method based on introduction of temperature disturbance front, as well as additional boundary conditions. The solutions are simple power algebraic polynoms without special functions allows studying heat exchange in the fields of the isothermal lines, as well as analyzing the isotherm movement velocity distribution along the spatial coordinate in time.

Key words: analytical methods, front of temperature perturbation, integral methods, additional boundary conditions, isotherms, isotach.

Литература

1. Кудинов В. А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2005. 430 с.

2. Кудинов В.А. Метод координатных функций в нестационарных задачах теплопроводности. Обзор. Изв. АН. Энергетика. №3. 2004. С. 84-107.

3. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат. 1967. С. 4196.

4. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

5. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

7. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Назаренко С.А. Аналитические решения задач теплопроводности с переменным начальным условием на основе определения фронта температурного возмущения. Инженерно - физический журнал. Т. 80, №3. 2007. С. 27 - 35.

8. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. Учеб. Пособ. Для вузов. М.: Высшая школа, 2008, 391 с.

9. Цирельман Н.М. Прямые и обратные задачи тепломассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 2005. 392 с.

Поступила в редакцию 03 декабря 2008 г.

Стефанюк Екатерина Васильевна - канд. техн. наук, ассистент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» (ТОТиГ) Самарского государственного технического университета (СГТУ). Тел. 8 (8462) 270-90-72; 8-906-3444700. E-mail: stef-kate@yandex.ru.

Кудинов Василий Александрович - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» (ТОТиГ) Самарского государственного технического университета (СГТУ). Тел. 8 (8462) 270-68-09; 8 (8462) 243-64-02. E-mail: kud-samgtu@yandex.ru.