Ортогональные методы в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536. 2 (075)

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ

СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ

В.А. КУДИНОВ, Е.В. КОТОВА, А.Э. КУЗНЕЦОВА, И.В. КУДИНОВ Самарский государственный технический университет

На основе использования ортогональных методов взвешенных невязок получены приближенные аналитические решения задачи теплопроводности с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. И, в частности, используя ортогональный метод Л.В. Канторовича, получено практически совпадающее с точным приближенное аналитическое решение, в диапазоне числа Фурье 0,01< Ро<да. Для нахождения решения в области сверхмалых значений времени используется метод, основанный на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющий получать решения, практически совпадающие с точными в диапазоне числа Фурье 0< Ро< 0,01.

Ключевые слова: задача теплопроводности, переменные физические свойства среды, аналитическое решение, ортогональные методы, фронт температурного возмущения, дополнительные граничные условия.

Точные аналитические решения краевых задач с переменными по пространственным координатам физическими свойствами среды выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, содержащими функции Бесселя первого и второго рода. Подобные решения плохо сходятся в окрестностях малых значений временной и пространственной координат ввиду трудностей определения собственных чисел для большого числа приближений и, следовательно, они малопригодны не только для инженерных приложений, но и для выполнения теоретических научных расчетов для случаев, когда требуется высокая точность получаемых результатов [1-12].

Важное преимущество ортогональных методов (Л.В. Канторовича, Бубнова -Галеркина и др.) перед классическими аналитическими методами состоит в том, что при их использовании практически не накладывается каких-либо ограничений на вид дифференциального оператора краевой задачи. В связи с этим они могут быть применены к интегрированию уравнений, не допускающих получение решения классическими методами. Решение разыскивается в виде простых степенных полиномов по координатам текущей точки с коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во времени. В результате для многих сложных линейных и нелинейных задач оказывается возможным получение простых по виду аналитических выражений, явно содержащих все основные физические свойства среды.

Следует однако отметить, что при получении решений для малых и сверхмалых значений временной переменной в ортогональных методах необходимо использовать большое число приближений. Это приводит к решению алгебраических (характеристических) уравнений высоких степеней относительно собственных чисел краевой задачи. Точность их решения может оказаться недостаточной, в связи с чем в настоящей работе для расчета температур при малых и сверхмалых значениях времени

© В.А. Кудинов, Е.В. Котова, А.Э. Кузнецова, И.В. Кудинов Проблемы энергетики, 2012, № 11-12

применен метод, основанный на введении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий [14, 15].

В качестве конкретного примера применения ортогональных методов к решению задач с переменными физическими свойствами среды рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода:

:(х )у (х )

дТ (х,т )

дт

_д_

дх

Х(х )

дТ (х, т)

(т> 0; 0 <х<S)

(1)

дх

Т (х,0) = То; (2)

дТ (0,т) / дх = 0; (3)

Т (8,т) = Т1, (4)

где Т - температура; х - координата; т - время; Х(х) - коэффициент теплопроводности; с(х) - теплоемкость; у(х) - плотность; Т) - начальная температура; Т1 - температура стенки при х = 8 ; 8 - половина толщины пластины.

Найдем решение задачи (1) - (4) для случая, когда произведение су = const (в общем случае они могут быть и переменными), а коэффициент теплопроводности X является экспоненциальной функцией координаты х:

X(x) = X0 ехр(-тх), (5)

где m > 0 - коэффициент, характеризующий интенсивность изменения коэффициента теплопроводности от координаты х; X0 = const — коэффициент теплопроводности пластины при х = 0 .

Из формулы (5) следует, что для любого конкретного значения величины m теплопроводность пластины с увеличением координаты х уменьшается, достигая минимума при х = 8 , то есть в центре пластины.

С целью упрощения процесса получения решения задачи (1) - (4) введем следующие безразмерные переменные и параметры:

0 =

Т - Т

Fo =

"0т.

a0 =-

0 .

Е =

Т) - т{ §2 су

где 0 - относительная избыточная температура; Бо коэффициент температуропроводности материала безразмерная координата.

С учетом обозначений (6) задача (1) - (4) принимает вид:

8

(6)

число Фурье; пластины при х = 0 ;

a0

д0(^о) д

дFo дЕ

е

_ дЕ 0(Е,0) = 1; д0( 0, Fo) / дЕ = 0; 0(1, Fo ) = 0,

(Fo > 0; 0 <Е< 1)

(7)

(8) (9)

(10)

где V = -шЪ .

Решение задачи (7) - (10), следуя ортогональному методу Л.В. Канторовича [13], принимается в виде

х

©(,Бс) = Ё /и ^^ (), (11)

к=1

где /к (Бс) — неизвестные функции времени; фи (¡) — координатные функции. В качестве координатных принимаются следующие функции:

Фк (¡0 = 1 Ч2к (к = Щ). (12)

Очевидно, что соотношение (11), благодаря принятой системе координатных функций (12), точно удовлетворяет граничным условиям (9), (10). Для определения неизвестной функции времени /¡(Бс) в нулевом приближении потребуем, чтобы соотношение (11) (при п = 1) удовлетворяло не уравнению (7), а некоторому осредненному уравнению в пределах толщины пластины 0 < < 8 , то есть

[»Ш*=\±

0 5Бс 0

50 (К))

^^. (13)

м р

[(1 -¡2 ) = _2[ с_^(1 _ . (14)

Подставляя (11) в (13), ограничиваясь одним членом ряда, находим

1 1

0 0

^с

Определяя интегралы в (14), получаем

df1 (Бс)/dFс = _3с_у /1 (Fс). (15)

Разделяя переменные в уравнении (15) и интегрируя, находим

/1 (Бс ) = С схр (_3с_УРс), (16)

где С — постоянная интегрирования. Подставляя (16) в (11), получаем

©(¡,Рс) = С схр(_3с_уБс) (1-^2 ) . (17)

Для определения постоянной интегрирования подставим выражение (17) в начальное условие (8) и проинтегрируем полученное соотношение в пределах от = 0 до ^ = 1, то есть найдем интеграл взвешенной невязки начального условия:

1Г п

d¡ = 0. (18)

[[с (1Ч2)-

, V 1

0

Определяя интеграл в (18), относительно постоянной интегрирования получаем алгебраическое линейное уравнение, из которого находим С = 1,5 .

Формула (17) для определения температуры в нулевом приближении принимает

вид

© (¡,Рс) = 1,5 схр (_3с_^с) (1 _ ¡2). (19)

Анализ результатов расчетов по формуле (19), в сравнении с решением в первом приближении, приведенном в [2], позволяет заключить, что их различие составляет около 6%. Результаты расчетов при V = 0 в сравнении с точным решением показаны на рис. 1. Расхождение результатов не превышает 6%.

Рис. 1. Графики изменения температуры в пластине (V = 0): Д- расчет по

формуле (19), х - по формуле (25);--по формуле (11) (восьмое приближение);

о - точное решение [1]

Для повышения точности найдем решение задачи (7)-(10) в первом приближении. Ограничиваясь одним членом ряда (11), составим невязку уравнения (7)

и потребуем ортогональности невязки к координатной функции ф1 (Е) = 1 - Е2 :

М0°!}(1 -?2 )(,-Е2 ))=02р(1 -9(1 -9 ). (20)

Определяя интегралы в выражении (20), относительно неизвестной функции времени /[(Бо) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид

/1 (Бо) = С1 ехр { -15 1 -(1 + V + 0^2 )

Бо^3},

(21)

где С\ — постоянная интегрирования. Подставляя (21) в (11), получаем

15

0(Е,Бо) = С1 ехр '

" I 2\ , ч"

1 -11+ У + 0,5v2) ехр (-V)

Бо

.3

О

'Л

(1 -Е2 ). (22)

Ро=0,93

Для определения постоянной интегрирования С\ составим невязку начального условия (8) и потребуем ортогональности невязки к координатной функции

Ф1 (¡0 = 1 -Е2,

что есть

i

j[q(1-Е2) - i](i-Е2) Е = 0.

(23)

Определяя интегралы в (23), находим С\ = 1,25.

В соотношении (22) при V = 0 получается неопределенность. Вычисляя предел по правилу Лопиталя от соотношения в квадратных скобках из (22), находим

lim =

v^0

1 - (1 + v + 0,5v2e-v)

/v3 =1/6.

(24)

Следовательно,

lim ®(S,Fo, v) = 0(E,Fo, 0) = 1,25(1 -E2)exp(-2,5Fo). (25)

Формула (25) совпадает с решениями задачи (7) - (10) в первом приближении, приведенными в литературе [2, 10, 11].

Соотношение (22) с учетом найденной величины Q представляет решение задачи (7) - (10) в первом приближении. Формула (22) полностью совпадает с решением аналогичной задачи в первом приближении, полученном в путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина [2].

Дальнейшее повышение точности связано с увеличением числа приближений. Отметим, что трудности перехода от изображения искомой функции к ее оригиналу, в случае совместного использования интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина, существенно усложняют применение этого метода при большом числе приближений. Ортогональный метод Л.В. Канторовича, как будет показано ниже, позволяет существенно увеличить число приближений получаемого решения.

Рассмотрим последовательность получения решения задачи во втором приближении. Ограничиваясь двумя членами ряда (11), составим невязку уравнения (7) и потребуем ортогональности невязки к координатным функциям ф1 (Е) и ф2 (Е) , то есть

fd0(E,Fo) д

дЕ

dFo

-УЕ д0(Е^р)

дЕ

>Фг- (Е) аЕ = 0. (/ = 1,2) (26)

Подставляя выражение (11) в (26) и определяя интегралы, относительно неизвестных функций времени /1 (Бо) и / (Бо) получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1

i /1Ф1 + /2Ф2 -/11(4) + /2дЕ(е-УЕФ2)

Ф^Е = 0, ( = 1,2) (27)

д / Л г

эе Vе Ф1/+ 1 дЕ'

где /{, /2- первые производные от функции /|(Ро) и /2 (Бо) по безразмерному времени Б о ; ф1 , ф2 - первые производные от функции ф1 (¡) и ф2 (¡) по переменно Е . Систему уравнений (27) перепишем в виде:

(29)

J [/1Ф1 + /2Ф2 - /ie_V^ (ф! - v9i) - /2e_V^ (2 - уФ2 ) Ф1<^£ = 0 0 i

J [/ф! + /2.Ф2 - ./ie"v£ (Ф! - VФÍ) - (2 - VФ2 ) Ф2d£ = 0 0

где Ф!, ф2 - вторые производные от функций ф1 (£) и ф2 (£) по переменной £ . Определяя интегралы в (28), положив v = 0 , находим

hi /i + b2 /2 + Ьз /i + b4 /2 =

/1/1 +h /2 + 1з /i +14 /2 = 0,

8 , 64 , 4 , 8 , 64 , 32 , 8 , 16

где bi =—; »2 =-; 03 = —; 04 = —; /1 =-; h =—; 13 =—; /4 =—.

1 15 2 105 3 3 4 5 1 105 2 45 3 5 4 7

Частные решения системы уравнений (29) разыскиваются в виде: /1 (Fo) = A exp(r Fo); /2 (Fo) = D exp(r Fo),

где A, D, r - некоторые постоянные. Подставляя (30) в (29), находим

A (hir + b3 ) + D (b2 r + b4 ) = 01

A ((r + /3 ) + D ((r + /4 ) = 0. J

Система однородных алгебраических уравнений (31) имеет нетривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю:

bir + »3 »2r + »4

1 + /3 /2r + /4

Элементы матрицы (32) положительных и симметричны относительно главной диагонали, следовательно корни ц (i = 1,2) характеристического уравнения, получаемого из определителя (32), должны быть действительными отрицательными числами. Получены следующие их значения: ri = - 2,4674; rj = - 25,533 . Подставляя величину корня ц в систему уравнений (31), получаем

0,017 А + 0,096D1 = 0^ 0,096А1 + 0,531D1 = 0.J Для однородной системы (33) можно положить Ai = const = 1. Тогда Di = - 0,18. Аналогично, подставляя r2 в (31), находим A2 = 1; D2 = -0,88 . С учетом найденных значений постоянных Ai, Di, ri (i = 1, 2) соотношения (30) примут вид:

/l(Fo) = A^ + A2e^Fo; /2 (Fo) = Де^ + (34)

Чтобы найти общее решение системы уравнений (29), умножим частное решение, включающее корень ri, на производную постоянную Ci, а решение, включающее корень , - на постоянную C2. Подставляя полученные общие решения в (11), при (n = 2) находим

©(£, Fo) = (CiAie^ + C2A2er2Fo )ф1 + (еде^ + C2D^ )ф2 . (35)

= 0.

(30)

(31)

(32)

(33)

Для определения постоянных С\ и С2 составляется невязка начального условия (8) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям ф (¡) и ф2 (¡):

1

| [(С1 4 + С2^2)ф1 + (ОД + С2^2)ф2 -1]фЕ = 0. (/ = 1, 2) (36)

0

После определения интегралов соотношение (36) приводится к следующей системе двух алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных С1 и

С2:

0,42С1 - 0,003С2 - 0,67 = 01

0,48С1 - 0,02С2 - 0,8 = 0. ] (37)

Из решения системы уравнений (37) находим С\ = 1,552 ; С2 = -3,302 .

После определения постоянных С\ и С2 решение задачи (7) - (10) во втором приближении находится из соотношения (35), которое при V = 0 принимает вид

0 (Е,Бо) = (1,552е-2,467Ро + 3,302е-25,52Ро ) (1-Е2) -

-(0,28е"2,467Ро + ^^е-25,^0 ) (1 -¡4). (38)

Соотношение (38) совпадает с решением аналогичной задачи во втором приближении, приведенном в [11, 13].

На рис. 1 показаны результаты расчетов по формуле (11) при V = 0 в третьем приближении в сравнении с точным аналитическим решением [1]. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне числа Фурье 0,001 < Ро < <» отличие полученных по формуле (11) температур от точных их значений не превышает 0,5%.

Для получения решения задачи (7) - (10) при малых и сверхмалых значениях времени используем метод, основанный на определении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий [14, 15]. При его использовании процесс теплообмена разделяется на две стадии по времени: 0 < Ро < Рц и Ро < Ро <<». Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую область 0<Е< 1 на две подобласти: 0<Е<#1(Ро) и И^о)<Е< 1, где а^о) - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени. При этом в области, расположенной за пределами фронта температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины (Е = 1), то есть,

когда Ро = Р01. Во второй стадии (стадия регулярного режима) изменение температуры происходит по всему объему тела 0 < Е < 1. Отметим, что для этой стадии процесса для различного числа приближений решение было получено в виде соотношения (11). Следовательно, с использованием данного метода можно находить решение лишь для первой стадии процесса.

Для упрощения процесса получения решения введем новую независимую переменную и безразмерную температуру по формулам: р = 1 -Е; 0 = (Т-Т})/(Т1 -Т0). Тогда задача (7) - (10) для первой стадии процесса приводится к виду:

д0(р,Ро) =_д_ ЭРо др

е-v(1-р) д0(Р,Ро) др

(0 <РО <РО1; 0<р<д1(Ро)) (39)

0(0, Бо) = 1; (40)

0(41,Бо) = 0; (41)

Э0(д1, Бо) / др = 0, (42)

где соотношения (41), (42) определяют условия тепловой изоляции подвижной границы.

Решение задачи (39) - (42) разыскивается в виде

0№) =¿0^ , (43)

к=0

где ак (41) - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (40) -(42). После их нахождения соотношение (43) принимает вид

0(^0) = (1Ч / 41)2. (44)

Для определения неизвестной функции времени составим невязку уравнения (39) и проинтегрируем ее в пределах толщины термического (прогретого) слоя:

î dQ(p,Fo) ф=U

0 dFo 0 Эр

g-v(l-p) dQ(p, Fo) dp

dp. (45)

Определяя интегралы в (45), находим

qidqi = 6exp(-v)dFo. (46)

Интегрируя уравнение (46), при начальном условии qi (0) = 0 получаем

qi (Fo) = 2^/3Foexpv / exp v . (47)

Положив qi (Foi ) = l (при v = l ), находим время достижения фронтом температурного возмущения координаты £ = i, которое будет Foi = 0,22652 .

Соотношения (44), (47) представляют решение задачи (39) - (42) в первом приближении. Для повышения точности решения задачи (39) - (42) необходимо увеличивать число членов ряда (43). Появляющиеся при этом дополнительные неизвестные коэффициенты находятся из дополнительных граничных условий, определяемых с использованием заданных граничных условий (40) - (42) и дифференциального уравнения (39). Их физический смысл состоит в выполнении решением (43) уравнения (39) на границе области ( £ = 0) и на фронте температурного

возмущения qi (Fo). Так как область перемещения фронта температурного возмущения включает весь диапазон изменения пространственной переменной 0<р<i, то, следовательно, чем большее число дополнительных граничных условий будет использовано, тем лучше будет выполняться уравнение (39) в этом же диапазоне изменения координаты р. Отметим, что в каждом последующем приближении вводятся три новых дополнительных граничных условия. Общие формулы для их получения при любом числе приближений имеют вид:

Э^Ро) = 0; d'Q(gbF°) = 0; У +iQ(qi;Fo) , (i = 2,4,6,...), (48)

Эрг Эрг Эрг +i

где i - число приближений.

Найдем решение задачи (39) - (42) во втором приближении. Формулы (48) в этом случае принимают вид:

д 2Q(0, Fo) = 0, д 2Q(qi,Fo) = Q. d30(qbFo) (49)

Эр2 dp2 dp3

Используя основные (40) - (42) и дополнительные (49) граничные условия, можно найти уже шесть неизвестных коэффициентов aк (qi) (к = 0,5) ряда (43). Для их определения будем иметь цепочную систему шести алгебраических линейных уравнений, из которой они легко могут быть найдены. После определения коэффициентов ак(qi) соотношение (43) во втором приближении принимает вид

®(p,Fo)=i - 4 -5 4+24. (50)

2 qi qi3 qi4 2 qi5 Подставляя (50) в (39) и определяя интеграл в пределах от р = 0 до р = qi(Fo), относительно неизвестной функции qi(Fo) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

qidqi = i0exp(-v)dFo . (5i)

Интегрируя уравнение (5i), при начальном условии qi(0) = 0 находим

qi(Fo) = 2^/5Foexpv/expv . (52)

Положив в (52) qi(Foi) = i, находим время окончания первой стадии процесса во втором приближении: Foi = 0,i3592 (при v = i).

Результаты расчетов перемещения фронта температурного возмущения по координате р во времени Fo позволяют заключить, что с увеличением числа

приближений величина времени Foi , при котором фронт температурного возмущения достигает координаты р = i, уменьшается. И в пределе при n ^ œ Foi = 0. Этот результат находится в полном соответствии с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплоты, лежащей в основе вывода параболического уравнения (39).

Соотношения (50), (52) представляют решение задачи (39) - (42) во втором приближении. Результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (50) в сравнении с результатами, полученными по формуле (ii) в восьмом приближении (в диапазоне чисел Фурье 0,0i<Fo<0,i35), даны на рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что расхождение результатов составляет около 3 %. На этом же рисунке приведены результаты третьего приближения по формуле (ii) в сравнении с данными [i4] в диапазоне чисел Фурье 0,2 < Fo<2. Как видно из графиков, эти результаты практически совпадают.

Если положить v = 0 , то задача (39) - (42) сводится к задаче теплопроводности с постоянными физическими свойствами, решение которой можно сравнить с известным точным аналитическим решением. И, в частности, при v = 0 было получено решение задачи (39) - (42) в первом, втором, пятом, седьмом и четырнадцатом приближениях.

Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне чисел Фурье 5 • i0- 9 < Fo < Foi значения температур, полученные по формуле (43), отличаются от точных их значений во втором приближении на 0,3 i%, в пятом - на 0,03%, в седьмом - на 0,002% и в четырнадцатом - на 0,0004%. Отметим, что при необходимости число приближений можно увеличить, и, следовательно, имеется возможность получать решения

практически с заданной степенью точности, причем без каких-либо ограничений числа

Рис. 2. Распределение температуры в пластине (v = 1):----- по формуле (50);

- - по формуле (11) в третьем приближении; ° - по методу [14]

Можно заметить, что соотношения (44), (50) представлены в виде произведения искомой функции времени q1 (Fo) в отрицательной степени на координатную функцию, зависящую лишь от пространственной переменной, то есть вид решения формально такой же, как и в методе Л.В. Канторовича (см. соотношения (19), (22), (25), (38)). Дальнейшие выкладки отличаются лишь тем, что верхним пределом интегрирования в соотношении (45) является переменная величина q1(Fo), тогда как в соотношениях (13), (20), (26) этот предел представляется константой.

Таким образом, применяя, по существу, один и тот же подход, можно получать достаточно простого вида аналитические выражения для описания температурного состояния конструкции с переменными физическими свойствами среды во всем диапазоне времени нестационарного процесса (включая малые и сверхмалые его значения) практически с заданной степенью точности.

Summary

On base of weighted residual orthogonal methods had been gotten approximate analytical solutions of heatconduction task with variable in space coordinate physical environmental conditions in the whole time range of non-stationary process including small and ultra-low timevalues. Using L.V. Kantorovich-orthogonal-method had been obtained analytical solutions practically coincides with the exact in the number of Fourier series range 0,01< Fo<<x>. To obtain this solution in small and ultra-low timevalues should

be used method that bases on thermal perturbations front and additional boundary conditions using gives an opportunity to get solution practically coincides with the exact in the number of Fourier series range 0,01< Fo<<x>.

Keywords: heatconduction task, variable physical environmental conditions, analytical solution, orthogonal methods, thermal perturbations front, additional boundary conditions.

Литература

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

2. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса. М.: «Энергия», 1971. 383с.

3. Чудновский А.Ф. Физика теплообмена в почве. Гостехиздат, 1948. 430 с.

4. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. М.: Физматгиз, 1962.

5. Коренев В.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в Бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960.

6. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. Госэнергоиздат, 1963.

7. Баренблат Г.И. Об одном методе решения уравнения теплопроводности // ДАН СССР. Т. 72. 1950. С. 667.

8. Баренблат Г.И., Левитан Б.М. Об одном обобщении формулы Пуассона из теории теплопроводности. ДАН СССР, т. 79, 1951. С. 917.

9. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений 2-го порядка. М.: Гостехтеоретиздат, 1950.

10. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высшая школа, 2005. 430с.

11. Кудинов В.А., Калашников В.В., Карташов Э.М. и др. Тепломассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях. М.: Энергоатомиздат, 1997. 424 с.

12. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

13. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

14. Ларгина Е.В., Кудинов И.В., Котов В.В., Биктагирова Е.Ю. Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Математическая». 2009. №2 (10), С. 48 - 55.

15. Кудинов В.А., Кудинов И.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. М.: Книжный дом «Либроком», 2011. 270 с.

Поступила в редакцию 14 ноября 2012 г.

Кудинов Василий Александрович - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). Тел.: 8 (846) 3324235; 8 (846) 2436402. E-mail: kud-samgtu@yandex.ru, totig@yandex.ru.

Котова Евгения Валериевна - аспирант кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). Тел.: 8 (927) 7062642. E-mail: larginaevgenya@mail.ru.

Кузнецова Анастасия Эдуардовна - аспирант кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). E-mail: kuznetsovaae@rambler.ru

Кудинов Игорь Васильевич - доцент кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). E-mail: igor-kudinov@bk.ru.