Теплообмен при течении Куэтта с учетом теплоты трения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2 (075)

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ КУЭТТА С УЧЕТОМ ТЕПЛОТЫ ТРЕНИЯ

Докт. физ.-мат. наук, проф. КУДИНОВ В. А., асп. КУДИНОВ И. В.

Самарский государственный технический университет

Рассмотрим теплообмен в жидкости, находящейся между двумя плоскими стенками, одна из которых движется относительно другой с некоторой постоянной скоростью ю0 (теплообмен при течении Куэтта [1, 2], рис. 1). Исследование таких задач необходимо при изучении гидродинамики и теплообмена в пограничном слое обтекаемых тел.

Выполним исследование распределения температуры в жидкости с учетом теплоты трения. Задача в данном случае является нелинейной - ее точное аналитическое решение не получено. Приближенное аналитическое решение данной задачи путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода Бубнова - Галеркина приводится в [1]. Однако данное решение получено лишь в третьем приближении, что не позволяет проводить исследование теплообмена для малых значений продольной координаты. Увеличение числа приближений по методу [1] связано с необходимостью решения в общем виде (в изображениях по Лапласу) больших систем алгебраических уравнений, содержащих параметр интегрального преобразования. В данном случае относительно изображения искомой функции получаются столь сложные выражения, что обратный переход от изображения к оригиналам оказывается практически неосуществимым ввиду отсутствия соответствующих стандартных формул для выполнения такого перехода. В то же время получение решения для начального участка продольной координаты связано с существенным увеличением числа приближений. К тому же исследование теплообмена именно на этом участке представляет наибольший интерес, и особенно в случаях, когда мощность теплового потока от диссипации энергии становится соизмеримой или превышает все другие виды переноса теплоты в пограничном слое (движение тел при больших скоростях).

В настоящей работе для решения указанной задачи применен ортогональный метод Л. В. Канторовича, с помощью которого получено решение в пятом приближении. При этом каких-либо принципиальных трудностей, связанных с дальнейшим увеличением числа приближений, не возникает. В то же время уже в пятом приближении найдено решение для значений безразмерной продольной координаты п = 1 • 10-4, что позволило получить результаты, отсутствующие в известной литературе.

Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид

в плоскопараллельном канале

ш(у) дТ(ху) = а д2Т(ху) + Ц^Т , (1)

дх ду2 ср ^ dy

0 < у < Л; 0 < х < <х>;

Т (0, у) = То; Т (х, 0) = Ть Т (х, Л) = Т2, (2)

где ю(у) = ю0у / Л - профиль скорости плоскопараллельного течения (течение Куэтта); Л - ширина канала; у, х - поперечная и продольная координаты; ц - динамическая вязкость; с - удельная теплоемкость; р - плотность; а - коэффициент температуропроводности; Т - температура; Т0 - то же жидкости на входе в канал (х = 0); Т1, Т2 - температуры стенок. Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

^=у/Л; п = х /(РеЛ); Ре = ю0 Л /а, (3)

где Ре - число Пекле.

С учетом принятых обозначений задача (1), (2) приводится к виду:

=дТ2М)+Яь (4)

дп д^2

0<п<да; 0<^ < 1;

Т (0, £) = Т0; (5)

Т (п,0)=Т1; (6)

Т (п,1) = Т2, (7)

где Я1 = цю2 / ^ = аср - коэффициент теплопроводности.

Приближенное решение задачи, следуя ортогональному методу Л. В. Канторовича, рассчитывается следующим образом [2, 4]:

Т(п, = (Т2 -21)^ + 21 + X л (п) Фк ф, (8)

к=1

где /к (п) - неизвестные функции; фк (= (1 - Е,к - координатные функции.

Благодаря принятой системе координатных функций соотношение (8) точно удовлетворяет граничным условиям (6), (7). Неизвестные функции

Л (п) (к = 1, п) находятся из выполнения дифференциального уравнения (4) и граничного условия (5).

Для получения решения в первом приближении составим невязку дифференциального уравнения (4) и потребуем ортогональности невязки к координатной функции ф (= (1 -

[ ^ ф^) Ц ф^) Дф^) (9)

0 0 <^п2 0

Найдем решение для случая, когда изменение температуры в потоке происходит только за счет теплоты трения, т. е. Т = Т2 = Т0. Тогда соотношение (8) примет вид

Т (п, =То + £/к (п)(1 -$) $. (10)

к=1

Подставляя (10) в (9), ограничиваясь одним членом ряда (10), находим

= о. (11)

20 йп 2 1

Интегрируя уравнение (11), получаем

/(П) = С ехр(-20п) + 0,5 Д,

где С - постоянная интегрирования.

Подставляя соотношение для ¡1(п) в (10), имеем

Т (п, = Т0 + [С ехр(-20п) + 0,5 Д ] (1 - (12)

Для определения постоянной интегрирования составим невязку граничного условия (5) и потребуем ортогональности невязки к координатной функции ф1($)

1 1 С | (1 -$)2 й $ + 0,5 Д | (1 -$)2 й $ = 0.

0 0

Определяя интегралы, находим С = -0,5 Д.

С учетом найденного значения постоянной интегрирования соотношение (12) принимает вид

Т(п, = Т0 + 0,5 Д [1 - ехр(- 20п)] (1 - (13)

Вводя безразмерную температуру по формуле ©(п, = (Т - Т0) / Д, получаем

©(п, = 0,5 [1 - ехр(-20п)] (1 - (14)

Для нахождения решения задачи (4)-(7) во втором приближении, ограничиваясь двумя членами ряда (9), составляется невязка уравнения (8) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям ф1($)

и ф2($)

Гд/1 д/2 ) _ д2ф1 . д2ф2

"ф1 + ^Ф2

5п 5п )

Ф; $ = 0 (] = 1,2). (15)

Определяя интегралы в (15), относительно неизвестных функций ¡1(п) и /2(п) приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

А/1 + АгЯ + Д/ + Д2/2 + N = 0; 1 А21/1 ' + Ап / + В2/ + В22/2 + N2 = 0,]

1 1 1

где

0 0 0

11 1 А11 % = 1/60; А12 =|^ф1ф2 = 1/105; Ви = -[%ф1'ф^% = -1/3;

1 1 1

В, =-|^ф2ф2 ¿% = -1/6; А21 =|^ф1ф2 с1% = 1/105; А22 = {%ф2ф2^% = 1/168;

->12

0 0 0

1 1

В21 = -|^ф"ф2С1 % = -1 / 6; В22 = -|^ф2ф2С1 % = -2 /15; N1 = |ф1^% = / 6;

0

1

N1 = -// |ф1^% = -/1 /12. (17)

0

Решение системы уравнений (16) определяется в виде:

/1(п) = /1(п)+/1*(п); (18)

/2(п) = /2(п) + /*(п), (19)

где /1(п), /2(п) - частные решения неоднородной системы уравнений (16); /1*(п), /2*(п) - общие решения соответствующей однородной системы, т. е. при N1 = ^ = 0.

Общие решения однородной системы:

/1*(п) = Дехр(т); /2*(п) = Аехр(т), (20)

где £>2, | - некоторые пока неизвестные постоянные.

Подставляя (20) в (16), положив N = ^ = 0, получаем следующую систему двух однородных алгебраических уравнений:

Д(АП| В11) + А(42ц В12) = 0; 1 (21)

А (А21| В21) + Б2 (А22| В22 ) = 0.]

Однородная система уравнений имеет нетривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю:

АП| + ВП А12| + В12 А21| + В21 А22| + В22

= 0. (22)

Раскрывая определитель, относительно | с учетом соотношений (17) получаем алгебраическое уравнение вида

|2 /5880 +13 |/630 +1/3 = 0. (23)

Из решения уравнения (23) получаем:

ц =-19,19; ц2 =-102,15.

Ввиду того что элементы матрицы (22) положительны и симметричны относительно главной диагонали, корни цк (к = 1, 2) получаются действительными отрицательными числами. Эти корни являются приближенными значениями собственных чисел краевой задачи (4)-(7).

Подставляя цк (к = 1, 2) в (21), для каждого собственного числа находятся неизвестные коэффициенты Вк(к = ] = 1, 2). При этом в однородной системе уравнений следует положить £>п = £>21 = 1. Тогда: Dl2 = = 0,8418; £>22 =-1,6983.

С учетом найденных значений коэффициентов Dkj (к = ] = 1, 2) соот-

ношения (20) примут вид:

/1* (п) = Dll ехр(ц1п) + D21 ехр(ц2П); (24)

/2* (п) = Dl2 ехр(ц1п) + D22 ехр(ц2П). (25)

Умножая в (24), (25) слагаемые, соответствующие корню ц1, на произвольную постоянную С1, и слагаемые, соответствующие корню ц2, - на С2, а также учитывая, что D11 = D21 = 1, получаем:

/1* (п) = С1 ехр(ц1п) + С2 ехр(ц2П); (26)

/* (п) = ClDl2 ехр(ц1п) + C2D22 ехр(ц2П). (27)

где С1 и С2 в дальнейшем будут находиться из начального условия (5).

Соотношения (26), (27) представляют общие решения однородной системы уравнений (16), т. е. при N = Ы2 = 0.

Частные решения / и / неоднородной системы уравнений (16) будем находить в виде общих решений (26), (27), считая при этом С и С2 не постоянными величинами, а функциями переменной п:

/1 (п) = С1(п) ехр(ц1п) + С2(п) ехр(ц2п); (28)

/2 (п) = С1(пр12ехр(ц1п) + С2(пр22ехр(ц2п). (29)

Подставляя (28), (29) в (16), находим:

СХпМ (Ли + ЛпDl2) + С2У2(Л + ЛиD12) + N1 = 0; 1 (30) С^(п)У1( Л21 + Л22 Д2) + С^( Л21 + Л22 Д2) + N2 = 0,]

где V: = ехр(^п); У2 = ехр^п).

Соотношения (30) относительно неизвестных СДп) и С2(п) представляют систему двух алгебраических линейных уравнений. Ее решение:

dCi = N1 (A21 + A22 D22) - N2 (Au + An D22), dn vj(D]2 - D22)(A 1A22 — A12 A21 ) dC2 = N1 (A11 + A12 Д 2) - N2 (A21 + A22 Д 2) dn v2 (D12 - D22)(A11A22 - A12A21)

Соотношения (31) относительно C1(n) и C2(n) представляют обыкновенные дифференциальные уравнения. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

. 1 N1(A21 + A22D22)-N2(A11 + A12 D22 ) ,

C1(n) =----+ zi (32)

V1(D12 - D22)(A11A22 - A12A21) ^ , ч 1 N2(A„ + A12 D12 ) - N1(A21 + A22 D12) , .-,-,4

C2(n) =---+ z2, (33)

V2(D12 - D22 )(A11A22 - A12 A21)

где z1 и z2 - постоянные интегрирования (так как находятся частные решения, то можно принять z1 = 0, z2 = 0).

Подставляя (32), (33) в (28), (29), находим частные решения системы уравнений (16):

71 (n) = [ Ц2(N261 -Nb) + R(N163 -N264)]/(^1^265); (34)

72 (n) = Ы^1 - N182) + Ц1 (N183 - N264)] /(Ц1Ц2Й5), (35)

где 81 = DU(AU + A12D22); 82 = D12(A21 + A22D22); 83 = D22(A21 + A22D12); 84 = D22 (An + A12 D12); 61 = An + A12 D22; 62 = A21 + A22 D22; 63 = A21 + A22D12; 64 = A11 + A12 D12;

65 = A11A22 (D12 - D22 ) + A12 A21 (D22 - D12 ).

Подставляя (26), (27), (34), (35) в (18), (19), получаем:

71 (n) = Ce 1n +С2&12n + [|a2(N2b -Nb) + ^(N^3 -Nb)]/r; (36)

TiCn) = CD2e»1 n +С2 D22e^ 2 л +[ц2 л + ^r2 ] / r, (37)

где г = ^1^265; 1 = N281 - N182; r2 = N183 - N284.

Подставляя (36), (37) в (10) (ограничиваясь двумя членами ряда), имеем

т (n, S) = To + 71 (n)(1 - S) S + 72 (n)(1 - S) S2. (38)

Для определения постоянных С1 и С2 составим невязку граничного условия (5) и потребуем ортогональности невязки к координатным функциям Ф1^) и фг(£)

1

J [т(0,S) - To ]ф; (S)dS = 0 (j = 1,2). (39)

0

Подставляя (38) в (39), после определения интегралов получаем систему двух алгебраических линейных уравнений, из решения которой находим С1 = -0,334267R1; С2 = - 0,165627R1. Окончательные выражения для решения задачи (4)-(7) во втором приближении находятся в виде (36)-(38).

Результаты расчетов по формуле (38) в сравнении с [1] представлены на рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что для п^0,1 результаты расчетов практически совпадают. Для п = 0,01 расхождение не превышает 1 %, а для всех п < 0,01 оно возрастает.

В случае п приближений необходимо составить невязку уравнения (4) и потребовать ортогональности невязки к п координатным функциям

0,050

0,025

Ё Йл'ф*-л Ф! ) -д

к=1

Ф, (¡^£ = 0, к = ] = 1,п.

0,030

0

0,025 0,020 0,015 0,010 0,005

(40)

0 0,2 0,4 0,6 £

00,,0055

<0

0,0044 0,0033 0,0022 0,0011

Л - 8 1 / ! 1 — •— 2 3

0 1 \\ \\ \°\

й 4 1 \ \ и \ \ 0-4 \ \

V П = ч / р \\ \ \ \ \Л ГГ4^ \ V

0 2 \ \ \ ^ \ / \\

0 0,2 0,4 0,6

1,0

Рис. 2. Изменение температуры жидкости в плоском канале вследствие диссипации энергии: 1 - по (8) при п = 2; 2 - по (8) при п = 5; 3 - по (2)-(296) из [1] (третье приближение)

б

1,0

в

Определяя интегралы в (40), относительно /к (п) (к = 1, п) приходим к системе из п обыкновенных дифференциальных уравнений. Последовательность дальнейшего получения решения аналогична рассмотренному выше процессу нахождения решения во втором приближении.

Результаты расчетов температуры по формуле (10) для первого, второго и пятого приближений представлены на рис. 2, 3. Здесь же даны значения температур, полученных по методу [1] в третьем приближении. Из анализа результатов следует, что стабилизация температуры по длине канала происходит при п ~ 0,25. С уменьшением величины п профиль температуры смещается в сторону невозмущенного потока (вблизи неподвижной пластины), что объясняется различными (по абсолютной величине) скоростями движения среды вблизи подвижной и неподвижной стенок. Ввиду того что конвективный теплоперенос в зоне больших скоростей течения среды оказывается большим, при малых значениях п температура вблизи подвижной стенки оказывается меньшей. С увеличением п происходит стабилизация теплообмена, и при п > 0,25 профиль температуры становится практически симметричным относительно центра канала (Е = 0,5) (рис. 2а).

На рис. 4, 5 дано изменение невязки в уравнения (1) для второго и пятого приближений полученного решения. Анализ результатов позволяет заключить, что при п > 0,01 невязка уравнения (1) в пятом приближении практически равна нулю.

0,00755 в

0,0050 0,0025

00

-0,0025 -0,0050

' 0,01 0,02 0,03 п 0,04

Рис. 4. Изменение невязки уравнения (1): 1, 2, 3 - второе приближение; 4, 5, 6 - пятое приближение

0,13 ©

0,1

0,075

0,05

0,025

0,4 ^0,3

0,2

^0,8

/у/ - 0,1

0,05

Ш * Е = 0,95

0,05

0,1 0,15

0,2 п 0,25

Рис. 3. Изменение температуры жидкости в плоском канале вследствие диссипации энергии. Расчет по (10) при п = 5

0

ч

,6 __

0,8 V 0,5

\ /"Е0,2 0,8 ____ --------

М - -— ■ ~

0,0050 8

0,0025 0

-0,0025 -0,0050

0,2 0,4 0,6 0,8 ^ 1,0

Рис. 5. Изменение невязки уравнения (1): 1 - второе приближение;

2, 3 - пятое приближение

В Ы В О Д Ы

1. На основе ортогонального метода Л. В. Канторовича получено приближенное аналитическое решение нелинейной задачи теплообмена в жидкости при течении Куэтта с учетом теплоты трения, позволяющее проводить исследования температуры для малых значений продольной координаты. Ввиду аппроксимационного представления приближенного решения имеется возможность определения такого числа его членов, которого достаточно для достижения заданной точности.

2. Полученное в пятом приближении решение позволило впервые выполнить оценку температуры жидкости в диапазоне продольной пространственной координаты 1-10"4 < п < Анализ полученных результатов показал, что при малых значениях продольной координаты п < 0,01 наблюдается смещение максимума температуры в сторону неподвижного потока. Следовательно, при малых (и сверхмалых) значениях п температура на движущейся стенке значительно ниже, чем температура на границе возмущенного и невозмущенного потока - на границе образующегося при движении тела пограничного слоя. Отсюда можно сделать вывод о том, что для защиты устройств, движущихся с высокой скоростью в разных средах, следует так организовать срыв пограничного слоя, чтобы не происходила стабилизация температурного поля в потоке, способствующая перегреву стенки от диссипации энергии. Полученное решение позволяет выполнить необходимые для этого расчеты при конкретных исходных данных задачи.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Ц о й, П. В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса / П. В. Цой. - М.: Энергия, 1971. - 383 с.

2. К у д и н о в, В. А. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций / В. А. Кудинов, Э. М. Карташов, В. В. Калашников. -М.: Высш. шк., 2005. - 430 с.

3. К а н т о р о в и ч, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов // М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

4. К у д и н о в, В. А. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях / В. А. Кудинов, Б. В. Аверин, Е. В. Стефанюк. - М.: Высш. шк., 2005. - 305 с.

Представлена кафедрой теоретических основ

теплотехники и гидромеханики Поступила 02.11.2010

п = 0,5 0,1 /. . ^1,0

^^--- 0,1 ' Ч2,0 ■ \ ' т 3,0 \ N \

\ \ \ \