Об одном критерии периодичности квазиполинома Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.6

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ПЕРИОДИЧНОСТИ КВАЗИПОЛИНОМА

Н.П. ГИРЯ, С.Ю. ФАВОРОВ

Аннотация. Мы рассматриваем функции из класса А, введенного М.Г. Крейном и Б.Я. Левиным в 1949 году. Этот класс состоит из целых почти периодических функций экспоненциального типа, нули которых лежат в горизонтальной полосе конечной ширины. В частности, этот класс содержит конечные экспоненциальные суммы с чисто

А

ния в комплексную плоскость почти периодических функций на оси с ограниченным спектром, у которых точные верхняя и нижняя грани спектра ему принадлежат.

А

кретно, то функция с точностью до множителя С exp{ifíz}, вещественно является конечным произведением сдвигов функции sin WZ.

Ключевые слова: Почти периодическая функция, целая функция экспоненциального типа, множество нулей, дискретное множество.

В 1949 году М.Г. Крейн и Б.Я. Левин в статье [1] (ем. также [2], п.2, гл.6 и Приложение 6) ввели и исследовали класс А целых почти периодических функций экспоненциального типа с нулями в горизонтальной полосе конечной ширины. Этот класс является естественным расширением класса конечных экспоненциальных сумм вида,

М.Г. Крейн и Б.Я. Левин получили полное описание нулевых множеств функций этого класса, в частности, показали, что множество нулей функций класса А является в некотором смысле почти периодическим.

Если нули функции f € А образуют периодическое множество с периодом Т, то функция имеет вил

(см. Лемму 1 настоящей заметки).

Заметим, что периодическое дискретное множество в полосе обязательно имеет вил Е + ТZ, где Е — конечное множество. Основным нашим результатом является простое условие, когда такой вид имеет множество нулей функции класса А, и, следовательно, сама функция имеет вил (2).

Прежде всего напомним некоторые определения (см., например, [2], [3]).

Множество Е С К называется относительно плотным, если существует такое L < œ, что Е П [а, а + L] = 0 для любого a G К.

N.P. Girya, S.Yu. Favorov, Critérium of periodicity for quasipolynomials.

© Гиря Н.П., Фаворов С.Ю. 2012.

Поступила 21 декабря 2011 г.

N

(1)

f (z) = Ce^z YI sin(wz + bk), fi E R, C, bk G C, ш = n/T

(2)

Непрерывная функция /(х) на К называется почти периодической, если для любого е > 0 множество £-почти периодов f

Е£ = [т € К : вир Ц(х + т) — /(ж)| < е} является относительно плотным.

Непрерывная функция f (г) называется почти периодической в полосе

$(а,ь) = [% : а < 1т г < Ь},

если для любой меньшей полосы 5" = Б(а,р), а < а < @ < 6, и любого е > 0 множество

(Б', е)-почти периодов f

Щв'д = [т € Е : йир |/(г + т) — f (г)| < £}

является относительно плотным; в частности, если а = — ж, Ь = +<ж, то /(г) будет почти

периодической функцией в С,

Спектром почти периодической функции /(х), х € К, называется множество

ер/ = [А € Е : a(X,f) = °}

где

Т

а(К !) = т1^то 2^ У /(х)е-гХхёх -т

коэффициент Фурье функции, соответствующий показателю Л,

Например, спектром конечной экспоненциальной суммы (1) (при условии \п = \т для т = п) является множество [Л1, \2,..., Хм} а ап являются коэффициентами Фурье, соответствующими показателям Хп.

Спектр любой почти периодической функции не более чем счетен ([3]),

Теорема 1 ([2], Гл.6, [3], ч,2, Гл,1). Любая почти периодическая функция на, Е с ограниченным спектром продолжается до целой почти периодической функции экспоненциального 'типа, и наоборот, сужение любой такой целой функции на, К имеет ограни-ченныи спектр. При этом, нули этой целой функции лежат в горизонтальной полосе

А

когда, 'точные верхняя, и нижняя, грани спектра ему принадлежат.

А

Множество А С Д, где И область в С, будем называть дискретным, если оно не имеет предельных точек в Д, Близким к нему является понятие дивизора в Д - это множество нулей некоторой голоморфной в И функции. Точки дивизора, в отличие от точек множества, могут иметь конечную кратность, т,е, дивизор является мультимножеством. Дивизор можно также представлять как последовательность [ап} С И без точек сгущения в И. Дискретное множество можно рассматривать как частный случай дивизора.

Множество (или дивизор) Z = [ап}, являющееся нулевым множеством голоморфной функции в горизонтальной полосе Б(а,ь), называется почти периодическим, если для любого е > 0 и любой меньшей полосы 5" = Б^аф), а < а < @ < Ь, найдется относительно плотное множество Е(з',е) С Е, что для каждого т € Е(в',е) существует биекция а : N ^ N при которой справедлива импликация

0,п € $ ^а(п) € 3 у \&п + Т 0,а(п) \ < &.

(см. [4]).

В случае, когда а = — ж, Ъ = го, т.е, S(ap) = C, а дивизор лежит в горизонтальной полосе ограниченной ширины, определение почти периодического дивизора появилось ранее в следующей форме: для любого е > 0 найдется относительно плотное множество Ее С R такое, что для каждого т Е Ее при некоторой биекции о : N ^ N выполняется неравенство

sup 1ап + т — аа(п) I < £

raGN

(см, [2], Приложение 6, п, 2), Другое определение почти периодического дивизора, использующее понятие обобщенной функции, рассматривалось в [5], [6]. Эквивалентность определений доказана в [7].

Заметим, что если почти периодический дивизор в C весь попадает в какую-нибудь горизонтальную полосу конечной ширины, то количество точек дивизора (с учетом кратности) на множестве {z : х0 < Re z < х0 + 1} ограничено равномерно по х0 Е R, Действительно, это количество не превосходит количества точек на множестве {z : —1 < Re z < L + 1}, где L выбрано так, что любой сегмент вещественной оси длины L содержит 1-почти периоды дивизора.

Теорема 2 ([2], Приложение 6, п, 2). Дивизор любой функции класса А является почти, периодическим.

В нашей заметке мы доказываем следующую теорему.

Теорема 3. Если для, дивизора Zf = {zn} функции f Е А множество разностей zn — zm является, дискретным,, то f имеет вид (2).

Заметим, что обратное утверждение является очевидным.

Следствие 1. Если, для, дивизора {zn} экспоненциального полином,а,

N

Р(z) = ^ aneiX"z, Хп Е R, ап Е C

П=1

множество разностей zn — zm является, дискретным,, то

к

Р (z) = Cei/3z П sin(^z + bk), ш,Р Е R, С, bk Е C.

3=1

Докажем вначале следующие леммы.

Лемма 1. Для любой функции f Е А найдется чиело R < ж такое, что любая, замкнутая вертикальная, полоса, ширины R содержит нули функции f.

Доказательство леммы. По Теореме 2 дивизор Zf функц ии f почти периодический. Поэтому найдется число L < ж такое, что каждый сегмент вещественной оси длины L содержит 1-почти период дивизора функции f. Для любых точек а Е Zf и х0 Е R можно найти 1-почтп пер под т Е [х0 — Re а — L/2, х0 — Re а + L/2], и поэтому точка дивизора, находящаяся на расстоянии не больше 1 от а + т, попадет в вертикальную полосу

{z : х0 — (L/2 + 1) < Rez < х0 + (L/2 + 1)}.

Таким образом, утверждение леммы выполняется для R = L + 2.

Лемма 2. Если, множество нулей Z функции f Е А имеет пер иод Т, то функция имеет вид (2).

Доказательство леммы. Так как нули функции f лежат в горизонтальной полосе конечной ширины и не имеют точек сгущения, то множество {z = х + гу :0 < х < Т}

содержит конечное ЧИСЛО корней функции /, пусть ЭТО будут ТОЧКИ С1 ,...,Ск- Тогда множество корней может быть записано в виде [с]_,...,ск} + ТZ. Положим и = ,Ък = —иск, к = 1, 2, ■ ■ ■ ,К.

Функция

' -¡г-*®------- (3)

П 8т(шг + Ьк) к=1

является целой без нулей. Так как знаменатель равномерно отграничен от нуля вне кругов одинакового малого радиуса с центрами в корнях, а из почти периодичности функции / следует ее ограниченность в любой горизонтальной полосе конечной ширины, то функция (3) имеет экспоненциальный рост в плоскости, ограничена на вещественной оси и поэтому равна Се^@ € Е, С € С,

Доказательство теоремы. Выберем число Н так, что для любых нулей гп, гт функции / выполняется неравенетво \1т(гп — гт)\ < Н, и пусть К число из Леммы 1,

По условию множество, состоящее из разностей точек из дискретно. Поэтому можно выбрать столь маленькое е > 0, чтобы для любых точек а, Ъ, с, <1 € Zf таких, что

\а — Ь\ < Я + Н + 2, \с — ¿\ < Я + Н + 2, а — Ь = с — ¿,

всегда выполнялось неравенство е < \(с — ¿) — (а — Ь)\. Можно также считать, что е < 1,

В частности, при с = ^ получаем, что е < \а — Ь\, если толь ко а,Ь € Zf ъ а = Ь.

Зафиксируем а € 2/, и пусть г € Е произвольный (е/2)-почти период Zf. Заметим, что существует единственное с € ^ такое, что \а + т — с\ < е/2. Действительно, в противном случае мы имеем

\с — ё\ < \а + т — с\ + \а + т — ё\ < е,

что невозможно ввиду выбора е.

Далее, положим Т = с — а. Для любого а' € /<^ найдется а" € Zf такое, что \а' + т — а"\ < е/2, и поэтому

\и + Т — а \ < \о + т — а \ + \с — а — т\ < е.

Таким образом, Т является е-почти периодом дивизора Zf. Покажем, что в действительности Т является периодом этого дивизора.

Пусть Ь € ^ такое, ч то Ь = аи \И,е (6 — а)\ < К +1 Так к ак Т является е-почти периодом ^.найдется то чка й € Zf такая, что \Ь + Т — ¿\ < е, и поэтому

\(а — Ь) — (с — ¿)\ = ^ — Т — Ь\ < е.

Так как

\а — Ь\ < \И,е (а — Ь) \ + \1т (а — Ь)\ < Я + Н +1

и

\с — ё\ < \а — Ъ\ + \Ь + Т — ¿\ < Я + Н + 2,

мы ввиду выбора е получаем, что а — Ь = с — ¿, следовательно, й = Ь + Т. Повторим эти рассуждения для всех Ь € ^ таких, что \Яе (Ь — а)\ < Я + 1. После этого, для всех Ъ' € Zf таких, что \Яе (Ь' — Ь)\ < Я + 1 для какой-либо точки Ь, выбраной ранее. После конечного или счетного числа шагов мы построим множество ^ С ^ такое, что а + Т € ^ для всех а € ^ .

Покажем, что ^ разность Zf \ ^ непустое множество, положим

Я1 = 1п£[\Яе (а — Ь)\ : а € ^, Ь € Zf \ ^}.

Мы имеем Я1 > Я + 1, поскольку в противном случае хотя бы одна точка из Zf \ ^ участвовала бы в нашей процедуре и поэтому принадлежала бы ^. Выберем а' € Еж

Ь' € Zf \ ^ так, что К1 < \Яе (а1 — Ь')\ < К1 + 1 и положим х0 = Яе (а1 + Ь')/2. Тогда для любой точки с & Zl имеем

не пересекается с что, как было отмечено в Лемме 1, невозможно. Итак, Zf = Zl ъТ является периодом Zf. Применив Лемму 2, получаем утверждение теоремы.

Замечание. Так как дивизор Zf лежит в горизонтальной полосе конечной ширины, то период Т с необходимостью будет вещественным.

Отметим, что в доказательстве теоремы 3 участвовали не все возможные разности нулей функции, а только разности, не большие, чем К + Н + 2, Поэтому условие теоремы можно ослабить.

Теорема 4. Пусть для пулей {гп} функции / € А (или конечной экспоненциальной суммы) множество

{% = zn — zm, \г\ < Н + Н + 2} конечно; здесь Н ширина горизонтальной полосы, в которой лежат все нули, а, Я такое, что любая, вертикальная, полоса, ширины К содержит хотя бы один нуль. Тогда, для f справедливо представление (2).

А

следующий пример.

дискретное множество В полосе 3(-(Х,<х) = С, Легко видеть, что этот дивизор является почти периодическим, причем разности его точек образуют дискретное множество. Заметим, что проекция множества Е на мнимую ось не плотна в пей, поэтому по Теореме 1 работы [7] найдется целая почти периодическая функция с дивизором Z, не являющаяся

А

синусов не имеет места.

^

\Яе с — Хо \ = Яе (с — Ь ) — Яе —~— > Я>1 — и для любой точки й € Zf \ Я имеем

ь1 — ^

\Яе $ — Хо \ = Яе ((! — а ) — Яе ——— > К1 — Поэтому полоса

{г : х0 — К/2 < Яе г < х0 + К/2}

Пусть

^ = {гщк = 2пж + г3к, п € Ъ, к € М}

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крейн М.Г., Левин Б.Я. О целых почти периодических функциях экспоненциального типа // ДАН СССР. 1949. Т. LXIV, № 2. С. 285-287.

2. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. Госиздат, тех.-теор. лит., Москва, 1956. 632 с.

3. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

4. Н. Tornehave Systems of zeros of holomorphic almost periodic functions, Kobenhavns Universitet Matematisk Institut, Preprint No. 30, 1988, 52 p.

5. J.C. Lagarias Mathematical quasicrystals and the problem of diffraction // Directions in Mathematical Quasicrustals, M. Baake and R. Moody, eds., CRM Monograph series, Vol. 13, AMS, Providence RI. 2000. P. 61-93.

6. L.I. Ronkin Almost periodic distributions and divisors in tube domains, Zap. Nauchn. Sem. POMI 247 (1997). P. 210-236 (Russian).

7. S.Yu. Favorov, A.Yu. Rashkovskii, A.I. Ronkin Almost periodic divisors in a strip, J. d Analyse Math., Vol 74 (1998). P. 325-345.

Наталия Петровна Гиря,

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4,

61022, г. Харьков, Украина E-mail: n_girya@mail.ru

Сергей Юрьевич Фаворов,

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4,

61022, г. Харьков, Украина E-mail: sf avorov@gmail. com