Об одном критерии непрерывности оператора Релея-Ритца Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.93, 517.937

DOI: 10.18101/2304-5728-2018-3-3-13

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРА РЕЛЕЯ-РИТЦА

© Лакеев Анатолий Валентинович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник,

Институт динамики систем и теории

управления им. В. М. Матросова

Россия, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134

E-mail: [email protected]

© Линке Юрий Эрниевич

доктор физико-математических наук, профессор,

Иркутский национальный исследовательский технический университет Россия, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83 E-mail: [email protected]

© Русанов Вячеслав Анатольевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник,

Институт динамики систем и теории

управления им. В. М. Матросова

Россия, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134

E-mail: [email protected]

В работе рассматривается оператор Релея-Ритца, определенный на множестве пар измеримых функций и равный отношению их модулей, если знаменатель отличен от нуля, и ноль — в противном случае. Исследуется вопрос непрерывности этого оператора относительно сходимости по мере. Показано, что для сходимости значения оператора на последовательности пар к значению на предельной паре функций необходима не только сходимость по мере его аргументов, но и сходимость по мере носителей второго аргумента к носителю его предела.

Ключевые слова: мера; <т -алгебра; сходимость по мере; топология; оператор Релея-Ритца; носитель функции; метрика; характеристическая функция.

Введение

Каждая область современной математики, как правило, содержит свои ведущие проблемы, которые настолько трудны, что их полное решение даже и не ожидается, но которые стимулируют постоянный поток работ и служат главными вехами на пути прогресса в этой области. В качественной теории дифференциальной реализации такой проблемой является проблема классификации непрерывных систем [1], рассматриваемых так, как если бы они точно совпадали с решениями идеализированных дифференциальных моделей. Одним из эффективных методов решения этой за-

дачи заключается в построении оператора Релея-Ритца [2-4], поведение которого на множестве пар «траектория, управление» характеризует наличие означенной модели. В данном контексте особую роль приобретает свойство непрерывности (см. замечание 3 [3], а также теорему 3 [4]) про-ективизации оператора Релея-Ритца, основанное на критериях сходимости по мере [5, 6], чему и посвящена данная работа.

1. Постановка задачи

Будем придерживаться терминологии и обозначений из [5, 6]. Пусть (X, £, ¡и) — измеримое пространство, т.е. X — произвольное множество, £ — О" -алгебра на X с единицей X и ¡л — о -аддитивная мера на £ . Кроме того, всюду в дальнейшем будем считать, что мера ¡л полна и, для простоты, конечна, т.е. ¡и(Х) < со (хотя все полученные результаты легко переносятся и на случай о -конечной меры). Обозначим через Я = 5(Х, £, ¡и) — множество всех вещественных измеримых (более точно, ¡л -измеримых) функций, заданных на X и почти всюду конечных. При этом, как обычно, функции, совпадающие почти всюду, отождествляются.

Определим оператор : Я х Я —> Я, который будем называть оператором Релея-Ритца, следующим образом:

' I /(*) |

если g(x) Ф 0,

1*00 Г ' (!)

0, если g(x) = 0,

для всех /, ^ е ^ , х е X .

На пространстве Я будем рассматривать топологию, порождаемую сходимостью по мере. Хорошо известно [5, с. 64, теорема 14], что (при ¡и(Х) < со) эта топология порождается следующей метрикой на Я :

при

Основная задача, которая исследуется в данной работе, состоит в следующем.

Пусть заданы две последовательности ..., ,.... gi,...,gn,... и функции g ш Б такие, что р(/„,/)->0, рС^,,?)0 при п —> оо .

Верно ли, что р(*¥(/и,gn)■,x¥(/,g)) —» 0 , при п —» со и если нет, то при каких условиях это верно?

2. Основные теоремы

Сначала рассмотрим более простой оператор ц/: —» определяемый следующим образом:

/ ч/ ч —"—> если

¥(£)(*)= (3)

О, если g(x) = О,

для всех g е $, х е X .

В [6] показано (с. 54, следствие 12.1), что если функции g, при п = 1,2,... не обращаются в нуль на X и —> 0 при п —» со , то

Р(¥^п\¥(§)) —> 0 при и —> оо .

В дальнейшем, для любой функции g е Я, будем обозначать вирр^-= {х е X | ^(х) ^ 0} ее носитель (определяемый с точностью до множества меры нуль).

Таким образом получаем, что для оператора у/ основная задача данной работы решается положительно, но при дополнительном условии: 8иРРё = X, вирр^„ = Х,при п = 1,2,... .

Оказалось, что в общем случае это не верно, как будет видно из приводимой ниже теоремы.

Для того, чтобы сформулировать эту теорему, введем на £ следующую метрику ([5], с. 66):

рМ>В) = Р(Х а, Хв)',

A, В ёЕ , где Х.\ и Хн — характеристические функции множеств А и

B, соответственно (при этом множества такие, что А = /?(тос1 ¡и) отождествляются). Используя формулу (2), нетрудно показать, что

2'

разность множеств А и В .

Кроме того, при доказательстве теоремы будем пользоваться, наряду с определением сходимости по мере как сходимости по метрике р , также и

стандартным определением ([5], с. 57), т.е. последовательность gn£ 8 Ы) сходится по мере к g £ 5 на X (обозначение — gn —,> g(/u) при п —» со ), если для любого £ > О

K{xtX\\gn(x)-g(x)\>s})^>0 при и->со. Теорема 1. Пусть g,gn е п = 1,2,... такие, что —> 0 при

п —» со . Для того, чтобы р((//(£"н ),(//(£")) —> 0 при и —» со, необходимо и достаточно, чтобы

р^(А,В) = -/и(ААВ), где ААВ = (А\В){](В\А) — симметричная

Ра (SUPP g„, SUpp g) 0 при П СО . (4)

Доказательство. Пусть gn —> g(/u) . Так как для оператора у/ определяемого формулой (2), y/(g) = (//( g |) , то без ограничения общности можно считать, что функции g,gn £ S неотрицательные. Обозначим

1 ( \ I gn(X)~g(X) I ^

Ап (х) =-. Тогда по условию теоремы

1+1 £„(*)-£(*) I

P(gn,g) = \k(x)dx -> 0 при п СО .

Положим

<Рп(х)

1

1

gn(x) g(x)

1+

1

1

g„(x) g(x) 1

если xeAn = suppg„ П suppg,

gn(x)

1 +

1

gn(x)

если x&Bn= supp gn \ supp g,

1

g(x)

1+ 1 g(x)

если x e С„ = supp g \ supp gn,

0, если хеДл= эирр gn П эирр g.

Тогда р(|//(^п),1//(^)) = ^п(х)й6с и нужно показать, что

X

р(|//(^п),|//(^)) —> 0 при п —»со тогда и только тогда, когда РДвирр^вирр^) = ^^фирр^ЛзиррзО >• 0 при п >• со .

Так как множества Ап, Вп, Сп и 1)п образуют разбиение множества X, а функции <рп неотрицательные, то для этого необходимо и достаточно, чтобы все интегралы ^(рп{х)сЬс, ^(р п(х)с!х и ^(рп(х)с!х сходились к

нулю при п —> со .

Покажем, что j'(pn{x)dx сходится к нулю при п—»со, немного моди-

А„

фицируя доказательство теоремы 12.3 и следствия 12.1 из [6, с. 52-53].

Обозначим К „

I

п

с: R1. Так как К] а К

2 ■---- и

=(0,со), ТО для En=gl{Kn) получаем и

и=1 00

и^»=и=8ирр£ •

п=1

По теореме о непрерывности меры, для любого у > О, можно подоб-

у

рать г так, чтобы для М = 17 \Ег выполнялось неравенство /и(М) < — .

Обозначим К'

1 1

— ,г + -2 г г

. Тогда в силу равномерной непрерывно-

сти функции — на К' для любого £ > О найдется 5 > 0 такое, что для любых , /2 £ К' таких, что —12 |< <5 выполняется неравенство

1__1

Рассмотрим множества

< £ (можно взять § = —-).

4г

2r

у

Так как gn —> #(/./), то найдется п0 такое, что /u(Gn) < — для всех

и > п0 и, следовательно, ¿/(/I/ U С/,,) < ц(М) + jii(Gj < у и тем более ¡u(Anf)(M{jGn))<y.

Далее заметим, что если х е Ап \ (М U GJ, то:

а) х е Ег, поэтому g-(x) е К, с: К':

б) так как xgGn, то | ^„(х) - g-(x) |< min{—,8} < —, поэтому

2г 2 г

111 , ч 1 , ч 1 1

— =--— ^ g(x) - — < gn (х) < g(x) + — ^ г + —, следовательно

2r г 2 г 2 г 2 г 2 г

gn(x)^K'-

в) опять, так как | g (х) - g(x) |< <5 и g„(x),g(x) е К',

2 г

то

1

1

< г .

£„(*) §(х)

Но тогда, для х е Ап \ (М и Сп ) , получаем 1 1

(Рп(Х) =

1 +

1

1

<8 .

I___1_

£„(*) ё(х) Окончательно получаем

\(рп{х)(3х= ¡срп(фх+ \(рп{х)сЗх<1л{Ап(ММ иС„)) +

а„ А„Г)(миа„) А„\(мио„)

+ е/и(Ап\(М[]Оп)) <у + 8/и(Х) 0 при п 00 . Далее заметим, что

Вп и С„ = (вирр gn (х) \ вирр g{x)) и (эирр g(x) \ вирр gn (х)) =

= 8ирр£„(х)Д8ирр£-(х) .

Поэтому, если выполняется условие (4), то

\(Р„(х)йс + |</>„(х)й6с < ц(Вп) + ц(Сп) = 2p^щvgn,жwg) —> Оп

Вп Сп

ри п —> со, то есть условие (4) достаточно для сходимости Р(¥(Е„),¥(ЯУ) к нулю.

Покажем необходимость условия (4). Пусть р(Ц'{ёп)-'У/{ёУ) ~~^ 0 при п —> оо .

Для интегралов ^(р п(х)с!х и ^(рп(х)с!х заметим, что верны следующие

Вп Сп

равенства:

1) если х е В то

(Рп(Х) + \(Х)

2) если х е Сп, то

1

8п(х)

1 + 1

+ -

1+1 £„001 1+1 £„001 ' 1+1 &,(*)!

1 , +

(Р„(х) + \(х)

1

g(x)

1+

1

g(x)

+ -

g(x)

1 , + _ \g(x)\

1.

1+ I g(x) I 1+ I g(x) I 1+ I g(x) I Поэтому ß(Bn) = ^(pn(x)dx+ jÄn(x)dx и

Bn Bn

M(cn) = j(pn(x)dx+jÄn(x)dx.

С С

^n ^n

А так как JXn(x)dx < p(g„,g) О и j\(x)£& < p(g„,g) 0 при

Bn Cn

«—»со, если p(gn,g) —> 0, то из сходимости к нулю интегралов jVn(x)i& и jVn(x)i& следует, что ß(Bn)^> 0 и ¿i(Cn) —> 0 при

Вп Сп

00. Но тогда и рД supp g„, supp g) = ^(5ИАСИ) -> 0 при

и —> оо . Теорема доказана.

Следствие 1. Если \ suppg) > 0, то существует последовательность gn —» #(/./) такая, что y/(g„) не сходится к (//(¿f) по мере ц. . Доказательство. Достаточно взять

'g(x), если g(x) * О,

gn(X) =

Тогда supp gn = X и

—, если g(x) = 0. п

1

Рц (supp g„, supp g) = -ju(X\ supp g) = const > 0 .

Поэтому условие (4) не выполняется и, следовательно, tj/(gn) не сходится к I¡/(g) по мере ц..

Но при этом /и({х е X | | g„(x) - g(x) |> £}) = 0 при п > — и, следо-

s

вательно, gn —> g(/u) при и —> оо . Следствие доказано.

Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что оператор у/ : S S будет непрерывен относительно метрики

Ро (j, g) = Pif, g) + Рц (supp /, supp g) . Рассмотрим теперь оператор Релея-Ритца Ч^: S х S —> S, определяемый формулой (1). Для него верно следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть f,f„,g,g„eS, п = 1,2,... такие, что p(Jn,f) 0 и p(gn,g) —> 0 при и —» со . Если, кроме того, выполняется условие (4), т.е

Pß (supp g„, supp ^)->0прии^оо, то pQ9(Jn,gn),4<J,g)) 0 при л go .

Доказательство. Пусть /и —> f(/u) и gn g(/u) . Так же, как и для оператора у/, то без ограничения общности можно считать, функции /, f„>g>g„GS неотрицательные.

Положим

<Рп(х):

Ш /(*)

g„(X) g(X)

1 +

если xeAn = suppg„ П suppg,

ш

gn(X)

1 + ш

gn(X)

если x e Bn = supp gn \ supp g,

g(x)

1 + f(x)

g(x)

если x e C„ = supp g \ supp gn,

0, если х е Ип = эирр gn П эирр g.

Тогда р(х¥(/п^п),х¥(/^)) = 1<рп(х)сйс и нужно показать, что

X

Р^СЛ^Л^С/^))-^0 ПРИ если рДзирр&^ирр^-^О.

То, что ^(рп(х)сЬс —> 0 доказывается так же, как и в теореме 1, с не-

Ап

большими модификациями.

И так же, как в тереме 1, из условия (4) получаем, что

\<Р„(х№+ \(Рп(х)^ < М(Вп) + КСп) = 2pм(sappg„,sappg) -> 0

при и —> оо . Теорема доказана.

Замечание 2. Очевидно, что условие (4) в общем случае уже не будет необходимым. Однако можно доказать его необходимость например если | /„(х) |> consn > 0 для всех х е suppg .

Замечание 3. Из теоремы 2 следует, что оператор : S х S —> S будет непрерывен относительно метрики на S xS, определяемой равенством

Ро((/>g),(/,gi)) = Pif, fx) + P(g,gi) + Pu(suppg,suppgl) .

Заключение

В работе для оператора Релея-Ритца определенного на множестве пар измеримых функций и равного отношению их модулей, если знаменатель отличен от нуля, и ноль — в противном случае, исследуется вопрос непрерывности этого оператора относительно сходимости по мере. Показано, что для сходимости значения оператора на последовательности пар к значению на предельной паре функций необходима не только сходимость по мере его аргументов, но и сходимость по мере носителей второго аргумента к носителю его предела.

Литература

1. Willems J. С. System Theoretic Models for the Analysis of Physical Systems // Ric. Aut. 1979. No. 10. P. 71-106.

2. Данеев А. В., Русанов В. А., Шарпинский Д. Ю. Нестационарная реализация Калмана-Месаровича в конструкциях оператора Релея-Ритца // Кибернетика и системный анализ. 2007. № 1. С. 82-90.

3. Лакеев А. В., Линке Ю. Э., Русанов В. А. К реализации полилинейного регулятора дифференциальной системы второго порядка в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53, № 8. С. 1098-1109. DOI: 10.1134/S037406411708012Х.

4. Русанов В. А., Данеев А. В., Линке Ю. Э. К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве // Кибернетика и системный анализ. 2017. Т. 53, № 4. С. 71-83.

5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

6. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998. 160 с.

ON A CRITERION FOR THE CONTINUITY OF THE RAYLEIGH-RITZ OPERATOR

Anatoly V. Lakeev

Dr. Sei. (Phys. and Math.),

Leading Researcher,

Institute of Systems Dynamics and Theory of Management named after V. M. Matrosov (ISDTM SB RAS) 134 Lermontova St., Irkutsk, 664033, Russia E-mail: [email protected]

Yury E. Linke

Dr. Sei. (Phys. and Math.), Prof., Irkutsk State National Research Technical University 83 Lermontova St., Irkutsk, 664033, Russia E-mail: [email protected]

Vyacheslav A. Rusanov Dr. Sei. (Phys. and Math.), Senior Researcher,

Institute of Systems Dynamics and Theory of Management named after V. Matrosov (ISDTM SB RAS) 134 Lermontova St., Irkutsk, 664033, Russia E-mail: [email protected]

The work considers the Rayleigh-Ritz operator identified on the set of pairs of measurable functions that equals to the ratio of their modules if a denominator is different from zero, and zero otherwise. The issue of the continuity of this operator regarding the convergence in measure is studied. It is shown that for the convergence of the value of operator on a sequence of pairs to the value on the limit pair of iunctions, it is necessary not only the convergence in measure of its arguments, but also the convergence in measure of the second argument to the carrier of its limit.

Keywords: measure; a -algebra; convergence in measure; topology; the Rayleigh-Ritz operator; carrier of function; metric; characteristic function.

References

1. Willems J. C. System Theoretic Models for the Analysis of Physical Systems. Ric. Aut. 1979. No. 10. Pp. 71-106.

2. Daneev A. V., Rusanov V. A., Sharpinskii D. Yu. Nestacionarnaja realizacija Kalmana-Mesarovicha v konstrukcijah operatora Releja-Ritca [The Nonstationary Realization of Kalman-Mesarovic in the Constructions of the Rayleigh-Ritz Operator] Kibemetika i sistemnyi analiz - Cybernetics and Systems Analysis. 2007. No. 1. Pp. 82-90.

3. Lakeev A. V., Linke Yu. E, Rusanov V. A. K realizacii polilinejnogo regulja-tora differencial'noj sistemy vtorogo porjadka v gil'bertovom prostranstve [To Realization of a Polylinear Controller as a Second-Order Differential System in a Hilbert Space]. Differentsial'nye ura\meniya - Differential Equations. 2017. V. 53, No. 8. Pp. 1070-1081. DOI: 10.1134/S0012266117080122.

4. Rusanov V. A., Daneev A. V., Linke Yu. E. K geometricheskim osnovam differ-entsial'noi realizatsii dinamicheskikh protsessov v gil'bertovom prostranstve [To the Geometric Foundations of the Differential Realization of Dynamical Processes in a Hilbert Space]. Kibemetika i sistemnyi analiz - Cybernetics and Systems Analysis. 2017. V. 53, No. 4. Pp. 554-564. DOI: 10.1007/sl0559-017-9957-z.

5. Kantorovich L. V., Akilov G. P. FunkcionaJnvj Analiz [Functional Analysis]. Moscow: Nauka Publ., 1984. 752 p.

6. Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Mera i integral [Measure and Integral]. Moscow: Factorial Publ., 1998. i60p.