Об одном критерии коммутативности ассоциативных колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об одном критерии коммутативности ассоциативных колец

УДК 519.49

Т.П. Ширедченко Об одном критерии коммутативности

ассоциативных колец

В данной работе рассматриваются ассоциативные кольца. Напомним следующее определение.

Определение. Многообразие колец М называется почти коммутативным (минимальным некоммутативным), если М некоммутативное многообразие колец, но каждое собственное подмногообразие Я Е Л1 коммутативно.

Из леммы Цорна следует, что каждое некоммутативное многообразие содержит почти коммутативное. Определим следующие типы колец:

1. В - нильпотентное кольцо, удовлетворяющее тождествам х[у, г) = [х, у\г - 0;

2. =

0 0

где р - простое число;

3. Антиизоморфное Лі

Аі° =

4. А'і —

о /З 0 <т (о)

а,(3 Є ОР(д)-, <г -

нетривиальный автоморфизм (^(<7)

5. Кольцо, антиизоморфное А?.

В 1976 г. Ю Н. Мальцев классифицировал почти коммутативные многообразия колец [1, с. 65] и описал базисы тождеств длн случаев 2-5. Воспользуемся этой классификацией для доказательства основного результата данной работы.

Теорема. Пусть Я - ассоциативное кольцо, удовлетворяющее условиям: существуют фиксированные многочлены /(и), у>(и), ф(и) Л(и), ((и) £ 2[и] такие, что Л(0)-<(0) = 0, у>(0)-^(0) = ±1 и для любых х, у £ В выполнено гпож-дество [<р(^)У'Р(х)-Ь(х)у2 /(у)Цх), х] = 0. Тогда Я - коммутативное кольцо.

Доказательство. Преобразуем наше тождество: [у>(х)у0(х), г] = [/г(х)у'-/(у)*(х), г]. Воспользуемся известным фактом: [аб, с] = а[6, с]+[а,с]6. Имеем, что <р{х)[уф(х), х] = И(х)[у2/(у)<(х), х],

тХт. Тогда исходное тождество можно записать следующим образом:

аоЬ0[у. х] + а0[у, х](б!х +---1- 6тхт)+

+(а]Х +------1- а„хп)[у, х]60+

+(а:ж + ••• + апх")[у,х](&1х + --- (2)

+6т*т) = Л(х).[у2/(у),х].<(х).

Далее будем вести доказательство от противного. Предположим, что Я некоммутативное кольцо. Тогда многообразие М, определенное тождеством (1), содержит Я и, следовательно, является некоммутативным. Поэтому М содержит одно из почти коммутативных подмногообразий: уагВ, уагЛх, уагЛД уагЛ2, уагЛ2°.

Случай 1. Пусть М Э уагЯ, где Вы = 0 и по теореме Ю.Н. Мальцева В удовлетворяет тождествам х[у,г] = [х,у]г = 0. Тогда (2) примет вид: ао6о[2/, *“] = 0. По условию теоремы <^(0) • ^(0) = аа • &о = ±1; следовательно, В коммутативно. Противоречие.

Случай 2. М 3 уагЛ], где

Яр %\

0 0

деству [х,у]г = 0. Тогда (2) эквивалентно следующему выражению: а0 ■ Ь0 ■ [у, х] + (сцх +------(-

*]Ьо = Ь(х)[у2/(у),х]10. Подставим матричные единицы: х = е]2, у = еп. Получим:

а0Ь0е12 = Ло/(1)е12<о, где Л(х) = Ло + /11® +---1-

Икхк и <(х) = to + t^x + ■ ■ ■ + t|Xl. Так как по условию аоЬо = ±1, а Но = 0 или <о = 0, то получаем противоречие.

Случай 3. Если М Э уагЛ®, то (2) можно записать в виде: а0 ■ Ьо ■ [у,х] + а0 • [у, х] • (61Х + ----ЬЬтхт) = /1о[у2/(у),х]<(х), Л? удовлетворяет тождеству х[у, г] = 0. Аналогично подставляем х = 612, у = ец 6 Л°, получим, что —а060е12 = —Ло/(1)ег1<о = 0. Противоречие.

Случай 4. Предположим, что М Э уагЛ2.

0

А\ = ( ‘пр ^пр ) и удовлетворяет тож-

Рассмотрим элементы:

х =

0

<г(а)

Заметим, что

ф) [у,х]-ф(х) = Н(х) ■[у2/(у),х] 1(х). (1) у2/{у) =

а2/{а)

0

о о~)’ У ~

в этом случае

и [у,х] =

Пусть многочлены <р(х) и у(х) имеют вид: 4>(х) = а0 + а\х +---(- апхп, ф(х) = Ь0 + ЬіХ +

0 а(а2/(а))

(а - о-(а))е 12, тогда в (2) получится: а0Ь0(а сг(а))е12 = /Мо(о2/(а)-£т(а2/(а)))е12 = 0. Противоречие.