Ассоциативные кольца, удовлетворяющие полугрупповому тождеству Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ассоциативные кольца, удовлетворяющие ...

УДК 519.49

Е.В. Журавлев

Ассоциативные кольца, удовлетворяющие полугрупповому тождеству

Обозначим через (Д, •) мультипликативную полугруппу ассоциативного кольца Д, а через (Д, о) - полугруппу Д относительно круговой операции х о у = х + у + ху. Пусть и и V - некоторые слова из свободной полугруппы. Полугрупповое тождество и = V называется приведенным, если первые и последние буквы слов и и V являются различными. Если (Д, •) (соответственно, (Д, о)) удовлетворяет тождеству, то мы будем говорить, что Д удовлетворяет полугрупповому тождеству (соответственно, круговому полугрупповому тождеству).

Ассоциативное кольцо называется энгеле-вым, если оно удовлетворяет некоторому тождеству Энгеля степени и + 1 (и £ Ж), т.е. тождеству вида [х,у]п = [[ж, у]п-1, у] = 0. Многообразие колец Ш называется энгелевым, если определяющий идеал тождеств Т(Ш) содержит многочлен вида [х,у,... ,у]. Многообразие Ш называется почти энгелевым, если Ш - не энгелево многообразие, а каждое собственное подмногообразие С Ш является энгелевым.

В работе [1] поставлены следующие проблемы;

1. Будет ли кольцо Д удовлетворять тождеству Энгеля, если Д удовлетворяет приведенному полугрупповому тождеству?

2. Будет ли кольцо Д удовлетворять тождеству Энгеля, если Д удовлетворяет круговому приведенному полугрупповому тождеству?

Автором получен отрицательный ответ на данные вопросы. Прежде чем привести соответствующие контрпримеры, отметим справедливость следующей теоремы.

Теорема [2, 3]. Многообразие колец является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одним из колец:

А1 - ( 2р 2р ) А0 - ( 2р " I 1 -

" ^ о о ) 'Л1 ~ { гр о ) 'Л2 ~

{( 0 а(а) ) |а'& £ е ^СД(д), по-

ле инвариантов СР(д)а - единственное максимальное подполе СР(д)}, А2 (кольцо антиизоморфное А2).

Примеры. Рассмотрим кольцо А2 =

| 0 ^ | а, & £ вД (4) А2 не является энгелевым, но тем не менее удовлетворяет приведенному (круговому приведенному) полугрупповому тождеству х3у3 = у3х3.

Действительно, пусть х £ А2. Тогда х = аец+а2е22+Ьех2 для некоторых а,Ъ £ 4). Если а ф 0,1, то х3 = ец + в22- Если а = 0, то х3 = 0, и, наконец, если а = 1, то х3 = ец + е22 + Ье 12. Так как (ец + е22 + &1е12)(ец + е22 + &2е12) = ец + е22 + (&1 + Ь2)е12 = (ец + е22 + &2е12)(ец + е22 + &1е12), для любых Ъ2 £ 4), то несложно заметить, что равенство х3у3 = у3х3 выполнено в А2, для любых элементов х и у.

Далее, пусть х = аеп + а2е22 + Ье12 £ {А2, о) (а, Ь £ 4)). Тогда, если а ф 0,1, то хохох = 0. Если а = 0, то ж о ж о ж = Ье\2 и, наконец, если а = 1, то ж о ж о ж = ец + е22. Так как 61612 о Ъ2е12 = (&1 + Ь2)е 12 = Ь2в12 о &2е12, Для любых &1,&2 £ СД(4), то несложно заметить, что равенство х3у3 = у3х3 выполнено в (^2,0), для любых элементов х и у.

Итак, в общем случае вышесформулирован-ные вопросы имеют отрицательное решение, но тем не менее в некоторых частных случаях можно дать положительный ответ.

Рассмотрим приведенное полугрупповое тождество следующего вида:

ж 12»^¿з . . ■г{пу1 = х2г^1г^2 . . .г^ту2, (*)

где х\ ф «2, г/1 ф у2,п,т £ N и |Д--Вг-| = 1, для некоторой переменной _гг- £ X (Д- и В{ - число вхождений буквы _гг- соответственно в правую и левую части тождества).

Теорема 1. Пусть кольцо Д удовлетворяет некоторому приведенному полугрупповому тождеству вида (*). Тогда Д удовлетворяет тождеству Энгеля.

Доказательство. Допустим, что Д не удовлетворяет тождеству Энгеля, и следовательно, порождает неэнгелево многообразие Так как содержит некоторое почти энгелево многообразие Ш, то, по теореме Пайсон [2; 3], одно из колец Ах, А°, А2, А2 должно удовлетворять полугрупповому приведенному тождеству.

Если А\ £ то, полагая у\ = ец + 612, хх = х2 = у2 = г{ = ец, г ф 3 имеем в силу равенств е11 = е1Ь (еи + е12)ец = ец, ец(ец + е12) = (ец + е12)2 = ец + е12, что ец + е12 = ец. Противоречие.

Если А° £ то, полагая хх = ец + 621, у\ = х2 = у2 = г{ = ец, г ф 3 имеем в силу равенств еП = ец, ец(ец + е21) = ец, (ец + е21)ец =

АЛГЕБРА

(ей + е21)2 = ец + е21, что ец + е21 = ец. Противоречие.

Если А2 Е то, полагая _гг- = ец + е-п + 612,^- = ец + в22, г ф ], имеем в силу равенства (ец + е22 + е!2)п = ец + е22 + пе 12, п Е М, что ец + е22 + Л'е 12 = е11 + е22 + Ще12- То есть | А{ — В{ |е12 = 612 = 0. Противоречие.

Если ^2 Е Ж, то, полагая _гг- = ец + е-п + 621,^- = ец + е22, г ф ], имеем в силу равенства (ец + е22 + е21)п = ец + е22 + пе21, п Е М,

что ец + е22 + Д-е21 = ец + е22 + В{е21- То есть |А{ — В{\е21 = е21 = 0. Противоречие.

Итак, ни одно из колец Ах, А°, А2, А9, не удовлетворяет тождеству (*). Следовательно, К удовлетворяет тождеству Энгеля. Теорема доказана.

Автор выражает благодарность профессору Ю.Н. Мальцеву за внимание, проявленное к данной работе.

Литература

1. Riley D.M. and Wilson M.C. Associative Algebras satisfying a Semigroup Identity. Preprint, 1997.

2. Пайсон О.Б. Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конеч-

ным полем // Изв. вузов. Математика. 1995. №1.

3. Пайсон О.Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические // Изв. вузов. Математика. 1997. №1.