CC BY
18
МАТЕМАТИКА
УДК 512.552.4
Е.В. Дурандина, Ю.И. Мальцев
О коммутативности колец, удовлетворяющих некоторым коммутаторным тождествам
В работе доказан следующий основной результат.
Теорема. Произвольное ассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству [у —
4>(у)ф(х),х] = 0, где rp(t) = jr a,t\ <p{t) =
1=0
m
£2 M* £ Z[t] является коммутативным тогда
»== 1
и только тогда, когда 1 — ao&i = ±1.
В качестве следствия получаем следующий результат [1].
Следствие. Ассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству [у - утхп,л:] = 0, является коммутативным.
Доказательство теоремы. Рассмотрим многообразие колец М. = var([y — <р(у)ф(х), ж] = 0). Докажем, что оно не содержит почти коммутативных подмногообразий колец тогда и только тогда, когда 1 — aobx = ±1.
Для этого перепишем тождество [у - р(у)ф(х),х] = 0 в виде: [х, г/] =
[я.^ЫМ*) = [£.6111/ + ь2у2 + ... + ьтут](а0 +
аух + а2х2 + ... + апхп) = a0bx[x, у] + [x,biy + Ь'<У~ + ■ ■ ■ + bmym](aix + а2х2 + ... + апхп) + [х,Ь?у2 + ... + Ьтут]а0 ИЛИ [х,г/](1 - a0bi) = 6J.E, 2/](aia: -)- а2х2 + ... + а„хп) + [x,b2y2 + ... + ЬтУт]Ф(х). (1)
Если 1 - aobi ф ±1, то существует простое число р, которое делит 1 - a06i.
/0 Zp\ Рассмотрим кольцо R — 0 0 Zv . Оно
\0 0 0 / удовлетворяет тождествам рх = хуг = 0 и, следовательно, тождеству (1), и оно не является коммутативным. Поэтому 1 — ao&i = ±1 является необходимым условием для коммутативности многообразия М. Докажем, что оно является достаточным условием.
Лемма. Если 1 — ao6i = ±1, то М не содержит нильпотентных почти коммутативных многообразий.
Доказательство. Действительно, из (1) итерацией следует, что для любого числа к е N ±[х,у] = bi[x, y](ajx + а2х2 + ... + апхп) + [.г,62у2 + ... + ьтут]ф(х) = £u[jc,y]v, где deg(u) + deg(v) > к,
Если Я нильпотентное кольцо и Rk = 0, то [R, R) = 0. Следовательно, R - коммутативное кольцо.
Известно, что любое некоммутативное многообразие ассоциативных колец, не содержащее нильпотентных почти коммутативных подмногообразий колец, содержит кольцо, изоморфное
(антиизоморфное) Ах = или А2 —
{(о а(а)) 'гдва’Ь 6 ОР(Р9')’ <т(а) = аР''* =
пде-1, 1 < п < Я, р,я — простые числа, сг — аето.морфшл;поляС^(р9‘)} [2]. Для доказательства теоремы достаточно показать, что при выполнении равенства 1 — а0Ь\ = ±1 многообразие М не содержит ни одно из колец Ах, А2, /4°, А% (А0 - кольцо, антиизоморфное кольцу А).
Случай 1. аоЬх = 0.
Если ао = 0, то тождество (1) переписывается в виде:
[ж, у] = [х,&1 у -I- Ь2у2 + ...+ £>тУт](а1Х + а2х2 + . ..+0„1"). (2)
Пусть А\ удовлетворяет (2). Тогда положим х = ец, у — е 12 и подставим в (2). Получим, ЧТО [ж, у] = е12 = [е 11, Ь\в12 -(- &2е12 + ••• + ЬтеГ2](а1еи+а2е1! + .. . + апе?1), так как е?2 = 0 и е?! = ... = е?! = еп, то [х,у] = ^ 12ч. ~ Ьхех2{ах + ... + а„)ец = 0. Противоречие.
Пусть Л® удовлетворяет (2). Заметим, что удовлетворяет тождеству [ж, у*] =
[ж, у]ук~1. Действительно, из равенства [х,ук] = [х.уу*-1] = у[л:,у*-1] -Ь [аг,у]у*-1 и тождества г[ж,у] = 0 в А0! следует, что [г, у*] = [х,у]у'с-1.
Поэтому (2) можно переписать в виде:
[ж, у] = [х,у]ьу{аух+а2х2-Ь . .+апх") +[ж, у](Ь2у+ • ■• + Ьтут~1)(ахх + а2х2 + ... + апхп). Положим, х = е21, у = ец. Тогда получим, что
= ^21610^21 + е21 (62 + ■ • • + &т)е11а1е21 = 0' Противоречие.
Итак, если ао = 0, то многообразие М не содержит ни А\, ни А° (ни для каких р).
Если &1 = 0. Тогда (1) имеет вид: [ж, у] = [х, 62У2 + Ь3уя +
+ 6тут](а0 + а:Х + а2х2 + ... + апхп). (3)
Если А\ удовлетворяет (3), то, полагаем, х — ец, у = е12 и получаем, что с\2 = 0. Противоречие.
Если А° удовлетворяет (3), то, полагаем, х — ец, у = е21 и получаем, что -е21 = 0. Противоречие.
Итак, если а0Ь1 = 0, то многообразие М не
= Є21, У
, где а ф <т(а), получим,
деству (3), то, полагая у = еj2, ж =
содержит ни А\, ни (ни для какого простого числа р).
Если ао = 0 и М содержит А2, то, подста-вив в (2) х - біг, У = (о <г(а))' ГДЄ а ^
получим, что (а - <т(а))еі2 = 0. Противоречие. Если М. содержит Л” и «о = 0, то, полагая 'а 0 ^0 <т(а),
что (а — 0-(а))егі = 0. Противоречие.
Итак, при ао = 0 многообразие .М не содержит ни /12, ни (ни для какого р).
Пусть Ь\ = 0. Если Л'2 удовлетворяет тож-
'а 0 \ ч0 (г{а))'
где а ф <т(а), получим, что (а — 0'(а))е]2 = 0. Противоречие.
Если А'і удовлетворяет тождеству (3), то, по-'а 0 ,0
аналогично получим противоречие.
Итак, если аобі = 0, то М не содержит почти коммутативных подмногообразий и, следовательно, является коммутативным многообразием колец (т.е. состоящим только из коммутативных колец).
Случай 2. ао&1 = 2.
Если Оо = 2, 6] = 1 то тождество (1) перепишется в виде: —[ж, і/] = [ж, у](оух + а2х2 + ...+ апхп) + [ж, Ь2у2 + ... + 6тут](2 -1- аіж + п2ж2 + ... +а„хп). (4)
Пусть Аі удовлетворяет (4). Так как в А\ есть тождество [ж, у]г = 0, то (4) можно переписать следующим образом: —[ж, у] = 2(Ь2у+ ... +
ЛОЖИВ у = Є21, ж
, где а ф гт(а),
>.</
т-1
Положим Ж = Сц, У = Є12- Получим, ЧТО —єі2 = 262єі2Єі2 — 0. Противоречие.
Пусть .4? удовлетворяет (4). Так как в А® есть тождество г[х, у] = 0, то (4) можно переписать в виде: [ж, у]{1 + а\х + а->х2 + ... + апхп + (Ь>У + 63у2 + ... + 6тут-1)(2 + а\х + а2ж2 +
,.. + о„ж")} = 0. (5)
( а 0\ ( 7
о] . У =
Пусть ж =
ак О41 /Зак~1 0,
Тогда [ж, у] = ((3~у -й’а)е21.
Поэтому, подставляя в (5), имеем:
(/3-/ -6п)е2] (1 -МЦаец -1-/0621) + ■ • ■ + «пК^!1 + (Зап~ 1 621) + ^2(7е 1.1 + ^е21) + ... + Ьт(■),7,_ 1 е 1 х + й'уп-2е21))(2 + а)(аец + 0е21) + ... + ап(апец + 0ап~1е21)).
Таким образом, поле Zp удовлетворяет тождеству: (/?7 - йа)(1 + а^а + ... + а„а" + (762 + ... + 7п,_1^т)(2 + аа1 -I-. •. + апап)) = 0.
Если 7 = 0, то —orrf (1 + aai + ... + апап) = 0. (6)
Если а = 0, то /?7(1 + 2(627 + ••• + 6m7m-i)) = 0. (7)
Пусть J = 0. Тогда /37(1 + сца + ... + а„ап + (762 4- • • • + 7m-l6m)(2 + aai + .. . + апап)) =
0. Используя (7), получаем /?7(1 + 627 + ••• + 6m7m_1)(2 + 001 + ... + a"an) = 0. (7')
Из (6) следует, что существует а такое, что aift+.. .+a„an ф 0. Тогда из (7') следует, что для любого 7 7(1 + 627 + . ■. + Ьт7т-1) = 0. (8)
Следовательно, из (7) и (8) получаем, что 7(^27 + • • ■ + bm7m-1) — 0. Противоречие.
Случай, когда а0 = —2, 61 = —1, рассматривается аналогично.
Итак, если ао = ±2, 61 = ±1, то многообразие М не содержит ни А], ни А° (ни для какого Р)-
Если ao = 1, b 1 = 2, то перепишем (1) в виде: -[ж, у] = 2[ж, у](а!Ж + а2ж2 + .. . +
а„хп) + [ж, Ь2у2 4- ... + fcmym](l + “1* + а2*2 + ...+апжп). (9)
Если А\ удовлетворяет (9), то полагаем ж = ец, у — ei2. Получим, что —ej2 = 2ei2(ai -f ... + ап)ец =0. Противоречие.
Если /4“ удовлетворяет (9), то перепишем (9) в виде: [ж, у](1 + 2(а1Ж + а2ж2 +.. ,-|-апжп)-|-(б2у-(-. • .+6тут_1)(1 + а1Ж-|-а2Ж2-|-.. .+апж")) = 0. (10) 'а 0\ ft 0N
J oj* у - [s 0У
тождества (10) следует, что (^7 —rfa)(l+2(aia + ... +anan) + (627+ • ••+6m7m-1)(1 + al° + • • ■ + ana")) = 0 — тождество в Zp.
Если 7 = 0, то —Ja(l + 2(ai« + anan)) — 0 для любого <5. Положим S =
1. Тогда -a(l + 2(aia + ... + a„a")) =
0. (11)
Если a = 0, /9=1, то 7(1 -I- 627 + ... +
Пусть x =
Тогда из
— 1 \ _
) = 0.
(12)
Пусть /3 = 1. Тогда — rfa(l + 2(aia a„an) (i27 + • • • + &m7m~1)(l + ai« + ... + a„an)) = 0. Из (И) следует, что —rfa(627 + •. • + fcm7m-1)(l + aia + ... + anan) = 0. Из (12) следует, что существует 7 такое, что 627 + .. • + Ь,„ут~1 ф 0. Тогда для любого а и /3 = 1 —о(1 + aia + ... + a„an) = a(aia + ... + anan). Следовательно, a(aia a„Qn). Противоре-
чие.
Случай, когда a0 = -1, 61 = —2, рассматривается аналогично.
Итак, многообразие М никогда не содержит ни Ai, ни А? (ни для какого р).
Пусть а0 = 2, 61 = 1 и А2 удовлетворяет
(4). Положим ж = (j Ja)j, у = (J ad(c)
да (В(с) - В(<т(с)))А(сг(а)) = 0, т.е. либо В(с) = В(ст(с)), либо Л(<т(а)) = 0.
Если А(<т(а)) = 0, то из (**) следует, что 6(сг(с) - с) + ^щ{В(с) - В{(т(с)))(а - <г(а)) + ЦВ(а(е) - 5(c)) = 0.
Пусть 6 = 0, d = 1. Тогда для любых с ф <х(с), а ф <т(а) имеем, что В(с) = В(а(с)). Из (**) получаем, что 0 = Ц<т(с) - с)(1 + 2Л(сг(а))). Тогда дли Ь = 1 и для любого С Ф <х(с) имеем, что I + 2А((т(а)) = 0 для любого а.
Пусть а = 0. Тогда 1 + 0 = 0. Противоречие.
Если А° удовлетворяет (9), то, положим, х =
(б (т(а))' У = (d *(*)) “ Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть с ф сг(с). Тогда (d(a(a) - а) + Ь(с, -о-(с)))(1 + 2Л(я)) + (j^f^fc) - fi(«r(c)))(oт(а) - а) + Ь(В(с) -ВИс))))(1 + А(а)) = 0. (*)
Случай 2. Пусть с — <т(с). Тогда d(a(a) -а)(1+2А(а)) + сШ'(с)(сг(а) — a)(l+,4(a)) =0. (**)
Пусть d = 1, с = 0, тогда (сг(а) - а)(1 + 2Л(а)) = 0 для любого а или (а(а) — а)(1 + А(а)) = (а — сг(а))А(а). Из (**) лолучаем, что В'(с)[а - ст(а)).4(а) = 0. Пусть а ф о^а), для любого с = <т(с) следует, что В'(с)А(а) = 0. Т.е. В'(с) = 0 или .4(a) = 0.
Если А(а) — 0, то из (**) получаем, что d(a(ci) — а) + clB'(c)(a(a) — a) = 0.
Пусть <7=1. Тогда для любого а ф tr(a) полу-
чаем, что £?'(с) + 1 = 0. Пусть с = 0, т.е. 0+1 = 0. Противоречие.
Перепишем 1 с учетом 2: Ь(с — сг(с))(1 + 2Л(а)) + ^(5(с)-В(<т(с)))(а(а)-а)+Ь(й(с)-В(а(с))(1 + А(а)) = (). (»')
Пусть 6 = 0, с/ = 1. Тогда с~ъу(В(с) -В(а(с)))(а — <т(а))А(а) = 0. Для любых с ф <т(с), а ф а(а) получаем, что [В(с) — В(ст(с)))А[а) = 0, т.е. В(с) = В(а(с)) или А(а) = 0.
Если А(а) = 0, то из (*') получаем, что Ь{с - а(с)) + Ь(В(с) - В(сг(с)) + ^^(В(с) -В(а(с)))(<т(а) — а) — 0. Пусть 6 = 0, с/ = 1. Тогда для любых с ф сг(с), а ф <г(а) получаем, что В (с) = В(<т(с)).
Таким образом, из (*') получаем, что 6(с -<т(с))(1 + 2Л(о)) = 0, тогда для любого с ф а(с) и Ь = 1 имеем, что 1 + 2А(а) = 0 для любого а. Пусть а = 0, тогда 1 + 0 = 0. Противоречие.
Итак, многообразие М никогда не содержит ни Л 2, ни А? (если, конечно, 1 — аоЬх = ±1) ни для какого р. Теорема доказана.
Рассуждая аналогично, можно доказать следующий результат.
Теорема. Произвольное ассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству
[х, У] = [<р{х),ф{у)] = 0, где ф{1) =
1=0
ip(t) = М* G 7j[1] является коммутативным
i=i
тогда и только тогда, когда 1 — а\Ь\ = ±1.
Литература
1. Bell Е. Commutativity of rings with constraints on commutators, II. Result Math. 2000. № 38.
2. Mal’cev Y.N. The structure of associative algebras satisfying the polinomial identities an varieties of algebras. Barnaul, 1994.
