О наследственности локально-конечного радикала в некоторых классах алгебраических расширений алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уфа : УГАТУ, 2009

Т.12, № 1(30). С. 156-160

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 681.5.03

О. К. БАБКОВ

О НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ЛОКАЛЬНО-КОНЕЧНОГО РАДИКАЛА В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ АЛГЕБР

Исследуется связь между локально-конечными радикалами алгебры Я и ее подалгебры В в том случае, когда Я является алгебраическим расширением В, при некоторых ограничениях, накладываемых на это расширение. Локально-конечный радикал ; наследственность ; алгебраическое расширение ; подалгебра

Пусть F - поле, M - множество многочленов над F от одной переменной без свободного члена. F-алгебру R назовем M-расширением своей подалгебры B, R\ M B, если для каждого элемента r є R найдется ненулевой многочлен f є M, зависящий от r, такой, что f(r) є B.

В настоящей работе исследуется связь между локально-конечными радикалами алгебр R и B таких, что R \ M B, при некоторых ограничениях, накладываемых на множество многочленов M. Локально-конечный радикал какой-либо алгебры A будет обозначаться через L(A). Определение и свойства этого радикала см. в [2, § 6.4].

Определение 1. Множество M ненулевых многочленов над полем F от одной переменной без свободного члена назовем A-множеством, если выполнено следующее условие (А):

(A) каждая F-алгебра, являющаяся M-расширением своей локально-конечной подалгебры, является, в свою очередь, локально-конечной.

Примером A-множества многочленов может служить множество A(n, F, t) ненулевых многочленов без свободного члена над полем F от одной переменной t, имеющих степень не выше n. Согласно теореме А. З. Ананьина [1], существует целочисленная функция p(n), такая, что если характеристика поля F больше p(n) (или равна нулю), то A(n, F, t) является A-множеством.

Контактная информация: (347)273-77-35

Определение А-множества вводится для того, чтобы формулировка основного результата настоящей работы (теорема 2) не зависела от появления новых примеров А -множеств.

Теорема 2. Пусть Г - поле, М - некоторое А-множество многочленов над Г от одной переменной без свободного члена, Я - алгебра над Г, В подалгебра Я и Я | М В. Тогда Ь(В) = = Ь(Я) П В.

1. ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ

В этом пункте рассматриваются некоторые общие свойства алгебраических расширений в классе полупервичных алгебр.

Лемма 3. Пусть Ф - коммутативное кольцо, Я - алгебра над Ф, порожденная как Ф-алгебра двумя элементами х, а, для которых выполняются соотношения:

(1) а2 = 0;

(2) а(а1х + а2х2 +...+ а„х")а = 0 для некоторых аь а2,..., ап є Ф;

(3) если г, и є Я и ги =0, то гаи = 0.

Тогда справедливы равенства

а . (ха)(п+1)+п+'"+(п-,'+1) = 0, (1)

і = 0, 1, к, п-1.

Доказательство. Справедливость равенств (1) докажем по индукции. По условию

ах ■ (а1 +а2х + к + апхп-1)а = 0. (2)

В силу пункта 3 условий данной леммы отсюда вытекает

ах ■ а ■ (а1 + а 2 х + к + а пхп-1 )а = 0.

Так как а2 = 0, то

ax • ax • (a2 +a3x + к + anxn )a = 0. Продолжая этот процесс, через конечное

число шагов получим:

v n-1

апа(ха)п х • а = 0, ап(ха)п =0.

Тем самым мы доказали первое из равенств

(1).

Допустим теперь, что для некоторого 1 = = 0,1,.,п мы доказали равенства

ап(ха)п+1 = 0,...,ап_г(ха)(п+1)+п+-+(п-г+1) = 0. (3)

Обозначая Ы=(п +1) + п +...+(п - 1 + 1), домножим равенство (2) справа на (ха)м. Учитывая равенства (3), справедливые в силу предположений индукции, получаем:

ах • (а1 + а 2 х + к + а п_(г+1) хп_(г+1))а • (ха)ы = 0.

Применим к этому равенству описанный выше процесс использования пункта 3 условий доказываемой леммы и равенства а2 = 0; через п - 1 - 2 шагов находим:

ап_(1+1)а • (ха) п~'~2 х • а(ха)1Я = 0,

^(п+1)+п+к+(п_1+1)+(п_1) 0

a

) (xa)(

полной индукции

^-(1+1)'

В силу принципа равенства (1) доказаны.

Пусть Ф - ассоциативно-коммутативное кольцо, Ф[^ - кольцо многочленов над Ф от переменной t. Многочлен ft) = a0 + a1t +...+ + asts є Ф[/| назовем регулярным относительно Ф-алгебры R, если из равенств a0z = a1z =...= = asz = О для z є R следует z = О. Множество многочленов Л с Ф[t] назовем регулярным относительно алгебры R, если каждый элемент Л регулярен относительно R. Для многочлена ft) є tФ[t] положим f (t) = tf (t).

Левый идеал L алгебры R назовем левым Л-идеалом, если он является Л-расширением

своего правого аннулятора: L

rR (L).

Теорема 4. Пусть Я - полупервичная алгебра над коммутативным кольцом Ф, не содержащая односторонних Л-идеалов, где Л -семейство многочленов над Ф от одной переменной без свободного члена, регулярное относительно алгебры Я. Тогда

1. Если Ь є Я, Ь - левый идеал Я и для каждого х є Ь найдется многочлен /хє Л, такой, что Ь/х(х) = 0, то ЬЬ = 0.

2. Если а є Я и для каждого х є Я найдется многочлен /хє Л, такой, что а/х(х)а = = 0, то а = 0.

Доказательство. Докажем первое

утверждение теоремы. Введем обозначение

В = {Ь е Я|("х е Щ3/х(0 е Л) Ь/х(х) = 0}.

Отметим, что для Ь е В включение ЯЬ с В следует из определения.

Доказательство проводится в несколько шагов.

Шаг 1. Покажем, что если Ь е В и а е Ь -нильпотентный элемент, то Ьа = 0. Пусть т -наименьшее целое, такое, что Ьат = 0.

Предположим, что т > 1 и обозначим с = ат-1. Тогда се Ь, Ьс Ф 0 и Ьса = Ье2 = 0.

Покажем сначала, что ЬсгЯ(Ь) = (0). Пусть уе гЯ(Ь) произвольный элемент. Тогда (с+1)уЬс еЬ, и по условию для некоторого /уеЛ имеем Ь/у ((с+1)уЬс) = 0. Отсюда, в силу Ьс2 = 0 и Ьу = 0, получаем:

0 = Ь/у ((с +1)уЬс) =

= Ь (с +1 )/у (уЬс(с +1)) уЬс =

= Ь(с + 1)/у (уЬс) = Ьс/у (уЬс) = /у (Ьсу)Ьс = 0.

Последнее равенство означает, что ЬсгЯ (Ь) <Л Я - правый Л-идеал Я. Согласно условию доказываемой теоремы ЬсгЯ(Ь) = (0).

Возьмем теперь произвольный элемент х е Я. Поскольку хЬс е Ь, то для некоторого /хе Л имеем Ь/(хЬс) = 0, то есть /х(хЬс) е гЯ(Ь). По доказанному, отсюда вытекает Ь/х(хЬс) = 0 и ЯЬс <Л Я. Значит, ЯЬс = 0. Алгебра Я

полупервична, поэтому Ьс = Ьат_1 = 0 . Это противоречит выбору т и показывает, что т=1, то есть Ьа = 0.

Шаг 2. Покажем, что для любых элементов Ь е В, г е Ь элемент Ьz нильпотентен. Пусть Ь е В, г е Ь. В силу условий доказываемой теоремы найдется многочлен /() = а^+ а21;2+... + ап1;п е Л, регулярный относительно Я, для которого

Ь(а1г + а 2 г2 + к + а пгп) = 0.

Получим отсюда с помощью индукции равенства

а1(Ьг)Ь = 0,...,ап (Ьг)пЬ = 0. (4)

Выберем произвольный элемент у е Я и пусть

п— 2

Р\ = а2 + аз г + . + апг , а1 = (а; + гр1) уЬг.

Тогда а1 е Ь, а1 = 0 и Ьа1 = 0 согласно шагу

1, то есть Ь(а1 + гр1) уЬг = 0. В силу произвольности выбора у е Я получаем ЬгЬ (а1 + гр1)ЯЬгЬ(а1 + гр1) = 0.

Так как алгебра Я полупервична, то ЬгЬ(а1+гр1) = 0. Отсюда Яа1ЬгЬ = Я(Ьг)2 р1 еВ П П Ь и Яа1ЬгЬ Я . Согласно условиям теоремы

Яа1ЬгЬ = (0) и а1ЬгЬ = 0. Кроме того,

(Ьг)2 р1 = (Ьг)2(а2 +а3г + ... + апгп—2) = 0.

Предположим, что для некоторого т < п мы доказали равенства

а т_1 (Ьг) т—1Ь = 0,

(Ьг)т (а т +а т+1г + к + а пгп— т) = 0.

Возьмем произвольный элемент у е Я и положим

рт = а т+1 +а т+2 г + ••• + а пг ,

ат =(ат + ^т )у(Ьг)>П .

Тогда ат е Ь и а2т = 0 по предположению индукции. Как показано выше на шаге 1, отсюда следует Ьат = 0. Таким образом, в силу произвольности выбора у е Я имеем

(Ьг) тЬ(а т + грт )Я(Ьг)тЬ(а т + грт) = 0.

Отсюда, как выше, следуют равенства ат (Ьг)тЬ = 0,

(Ьг)т+1 (а т+1 + ат+2 г + к + а пгп _ т—1) = 0.

Согласно принципу полной индукции, получаем соотношения (4).

Из регулярности относительно Я многочлена /О вытекает (Ьг)п+1 = 0, то есть Ьг нильпотентный элемент.

Шаг 3. Пусть х е Я, Ь е В, г1, г2 е Ь произвольные элементы. Тогда хЬ е В и, как показано на шаге 2, элемент хЬг1г2 нильпотентен, а вместе с ним нильпотентен и элемент г2хЬг1. Поскольку г2хЬг1 е Ь, то Ьг2хЬг1= 0, см. шаг 1. Это означает, в силу произвольности выбора х е Я, г1, г2 е Ь, что ЬЬЯЬЬ = (0). Так как алгебра Я полупервична, то ЬЬ = 0.

Докажем теперь второе утверждение теоремы. Для этого обозначим

N = {а е Я|("хе Я)($/х(() е Л) а/х(х)а = 0}.

Покажем сначала, что если а е N, то а2 = 0. Действительно, для каждого х е Я найдется /х е Л такой, что а/(аха)а = 0. Отсюда а2/(ха2) =

0 и Ra2 <1 R . В силу условий теоремы имеем Ra2 = 0 и а2 = 0.

Докажем, что если а е N, r, s е N и rs = 0, то ras = 0. Пусть b е R, Ь2 = 0. Возьмем произвольный элемент х е R. Для некоторого fx е Л имеет место равенство а/х(Ь+аха)а = 0. Отсюда

0/Х (Ь + ахаЬ)а = а(Ь + ахаЬ) f х (ахаЬ)а =

= аЬ f х (ахаЬ)а = 0.

Умножая это равенство справа на х и перегруппировывая сомножители, получаем /х(аЬах) = 0. Таким образом, abaR R.

Следовательно, abaR = (0) и aba = 0 в силу полупервичности R. Пусть у е R произвольный элемент. Тогда (syr)2 =0 и по доказанному asyra = 0. Отсюда rasRras = (0) и ras = 0, так как алгебра R полупервична.

Пусть а е N. Выберем произвольные элементы z, х е R. По условию, для некоторого многочлена/х{() = a0 + a1t +...+ + antn е Л имеет место равенство afx (х)а = 0, откуда

aza(a^ + a2 х2 + к + a пхп )aza = 0.

Поскольку aza е N, то в силу доказанных свойств элементов множества N, к элементам aza е N, х е R, входящим в это равенство, возможно применение леммы 3. Имеем:

a1 (xaza)q = к = a п (xaza)q = 0, где q = (п + 1) + п +...+ 2. Из регулярности f относительно алгебры R вытекает (xaza)q =0 и ^az)11+1 = 0. Число q, как и число п, зависит только от выбора элементов a е N , х е R и не зависит от выбора элемента z е R. Так как элемент z е R выбирался произвольным образом, то в правом идеале axaR алгебры R выполнено тождество tq+1 = 0 . Поскольку алгебра R полупервична, то из теоремы Левицкого [3, лемма 1.1], следует axaR = 0 и аха = 0. Элемент х выбирался произвольным образом, поэтому aRa = (0) и a = 0 в силу полупервичности алгебры R.

2. НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ ЛОКАЛЬНОКОНЕЧНОГО РАДИКАЛА

Лемма 5. Пусть M - некоторое A-множество многочленов над полем F от одной переменной без свободного члена, R - алгебра

над F, A - подалгебра R и R\M A. Тогда из равенства L(R) = 0 следует равенство L(A) = 0.

Доказательство. Обозначим G = {d є L(A)jd2 = 0}. Пусть b є G, a є R, a2 = 0. Выберем произвольный элемент r є R. По условию, найдется f є M, такой, что f(arab + ara) є A. Для каждого целого числа q>1 имеем

(arab + ara)qb =

(arab)q-1 (arab + ara)b = (arab)q.

Поскольку b є L(A), то farab + ara)b = f(arab) є L(A). Таким образом, алгебра aRab является M-расширением локально-конечной алгебры aRab n L( A). По условию, M является A-множеством, следовательно, алгебра aRab локально конечна. Докажем, что алгебра Raba локально конечна. Выберем произвольные элементы r1,к,rn є R и обозначим через Q алгебру, порожденную над F множеством [rflbaj 1 =1,...,n}, а через T - алгебру, порожденную над полем F множеством {ar.baji = 1,...,n}. Так как T является подалгеброй локально-конечной алгебры aRab, то [T : F] < ¥ . Пусть t1,к,tN базис алгебры T

над полем F . Тогда конечное множество {riabtja,riabaj i = 1,...,n; j = 1,..., N} порождает

Q как линейное пространство над полем F. Таким образом, Raba - левый локально конечный идеал R. Согласно [2, теорема 6.4.1] Raba с L(R) = 0 . Так как алгебра R полупервична, то aba = О, и в силу произвольности выбора b є G имеем aGa = 0 для каждого a є R такого, что a2 = О.

Пусть a, b є R таковы, что ab = О и g є G. Докажем, что agb = О. Выберем r є R. Поскольку (bra)2 = О, то, как было показанно ранее, bragbra = 0, откуда (ragb)3 = 0. Таким образом, левый идеал Ragb полупервичной алгебры R удовлетворяет тождеству t3 = О . Согласно [1, лемма 1.1] Ragb = 0 и agb = 0 в силу полупервичности R.

Пусть q є A нильпотентный элемент, qn = О . Если a є A, b є G произвольные элементы, то bab є G и по доказанному из равенства qn = О последовательно получаем: qabaqn-1 = 0, (qbab)2qn-2 =0, к, (qbab)n = 0. Умножая последнее равенство слева на ab и справа на qb, находим (abqb)n+1 = 0 . Поскольку число n в этом равенстве зависит только от выбора элемента q є A и не зависит от выбора

а е А, то левый идеал АЬдЬ алгебры А удовлетворяет тождеству гп+1 = 0 .

С целью применения теоремы 4 рассмотрим

правый идеал I алгебры Я такой, что I I: (I) .

Обозначим 3 = 11 (I). Тогда 3 < I,

факторалгебра Ш является М-расширением нулевой алгебры и потому локально-конечна в силу [2, лемма 6.4.1]. Из [2, теорема 6.4.1] вытекает, что I с Ь(Я) = 0 .

По теореме 4 алгебра А полупервична. Согласно [3, лемма 1.1] АЬдЬ = 0 и ЬдЬ = 0.

Если Ь(А) нильалгебра, то для элемента 0 Ф Ь е Ь(А) такого, что Ь2 = 0, получим, как показано выше, ЬЬ(А)Ь=0. Это противоречит полупервичности алгебры Ь(А), являющейся идеалом полупервичной алгебры А.

Пусть 0 Ф а е Ь( А) ненильпотентный элемент. Алгебра Ь(А) является алгебраической ^-алгеброй, поэтому для некоторого целого числа п > 1 и многочлена а с коэффициентами в

поле ^ имеем ап = ап+1 /(а). Обозначая

* = (а/ (а))п

имеем:

an = an+1

/ (а) = ап+2(/ (а))2 =...

...= а2п (/(а))п = апе.

Если е = 0, то ап = 0 вопреки выбору а. Умножая полученное равенство ап = апе на (/(а))п, находим е= е2. Так как е є Ь(А) с А , то

Яе п А = Ае и Яе\ Ае . Так как Ае с Ь(А), то

I М —У / ,

Ае локально-конечная Г-алгебра, и, согласно определению А-множества, алгебра Яе локально-конечна. В силу [2, теорема 6.4.1] Яе с Ь(Я) = 0 и е = 0 вопреки построению. Таким образом, предположение Ь(А) Ф 0 привело к противоречию.

Доказательство теоремы 2. Включение Ь(Я) п В с Ь(В) очевидно, поэтому достаточно доказать, что Ь(В) с Ь(Я). Рассмотрим алгебру 5 = Я/Ь( Я). Пусть А = В/Ь(Я) п В . Тогда 5 является М-расширением А. Согласно [2, лемма 6.4.4] Ь(5) = 0 . По лемме 5 Ь(А) = 0 . Однако Ь(В) + Ь(Я)/Ь(Я) локально-конечный идеал алгебры А. В силу [2, лемма 6.4.3] Ь(В) + Ь(Я)/Ь(Я) с Ь(А) = 0, откуда

Ь(В) с Ь(Я).

Следствие 6. Существует целочисленная функция р(п), такая, что если п > 1 целое число, Г - поле характеристики больше р(п) (или

равной нулю), Я - алгебра над Я, В- подалгебра Я и для каждого г є Я найдется зависящий от г, ненулевой многочлен / над Г от одной переменной без свободного члена степени не выше п, такой, что /(г) є В, то Ь(В) = Ь(Я) п В.

Это утверждение вытекает непосредственно из теоремы 2 и теоремы Ананьина [1].

Замечание. Возникающее по аналогии с локально-конечным радикалом предположение о наследственности локально-нильпотентного радикала N в классе алгебраических расширений ограниченной степени

опровергается следующим примером. Пусть п > 1 - целое число, Г поле, Я - полная матричная алгебра квадратных п X п матриц над Г, В с Я - ее подалгебра верхнетреугольных матриц. Тогда М(Я) = 0, в то время как М(В) совпадает с нильпотентной алгеброй верхнетреугольных матриц с нулевой главной диагональю. При этом по теореме Гамильтона-Кэли матричная алгебра Я является А(п, Г, і) -алгебраическим расширением своего центра, содержащегося в алгебре В.

Тем не менее, справедливо следующее утверждение.

Следствие 7. Если Г - поле, М -некоторое А-множество многочленов над Г от одной переменной без свободного члена, Я -

нильалгебра над F, B то N(B) = N(R) n B.

подалгебра R и R

Для доказательства достаточно заметить, что в силу [2, теорема 2.3.1] для каждой нильалгебры A имеет место равенство N (A) = L( A) и применить теорему 2.

Работа выполнена в инициативном порядке на кафедре математики УГАТУ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ананьин, А. З. Локальная конечность некоторых алгебр / А. З. Ананьев // Алгебра и логика. 1979. Т. 18, № 1. С. 3-8.

2. Херстейн, И. Некоммутативные кольца / И. Херстейн. М. : Мир, 1972. 191 с.

3. Herstein, I. N. Topics in ring theory / I. N.Herstein. Chicago : Univ. Chicago Press, 1969. 132 p.

ОБ АВТОРЕ

Бабков Олег Константинович,

доц. каф. математики. Дипл. математик по математике и прикл. математике (НГУ, 1977). Канд. физ.-мат. наук по алгебре, логике и теории чисел (Кишинев, ин-т математики с ВЦ АН Молд. ССР, 1985). Иссл. в обл. теории колец, алгебраических свойств дифф. уравнений, групповой классификации дифф. уравнений.

M

B