CC BY
35
Е. В. Журавлев
S-радикальные расширения колец
УДК 519.49
Пусть Z[x] - кольцо многочленов о-i переменной х над кольцом целых чисел. Длл некоторого фиксированного целого числа к > 1 ассоциативное кольцо Я назовем FS'Ск-кольцом (или кольцом с обобщенным условием Фейта относительно множества S' С Z[x\), если выполнено условие: для любых элементов a.be R существуют многочлены f(x),g(x) G S', зависящие от а и 6, такие. ЧЮ [f(a),n(b)]k = [[/(я),д(Ь)]к-х,д(Ь)] = Q. В работе рассматриваются ^¿''С^-кольца, где S'
- одно из следующих множеств:
I ) S = {in+1p(*) ± *’>(*) G Z[x]} п <Е iV};
2) So = {/(*) € S|/(1)#0};
3) Si = {/(*) G Sc|/(l) = 1}:
4) S3 = {x-p(x) ± ф(х) G Z[x]}\
5) S4 = {/(x) € S3|/(l) = 1}.
11ель настоящей статьи - обобщить основные результаты работ [1- 3], доказанные в случае FS'C"V колец.
Определим [х,у\к для положительного целого целого к > 1 как:
[•»*. У)0 = *.[*,»]» = ХУ ~ У*< [*.!/]* = [[*,
Обозначим за У(Я), N(R), L(R), P(R) соответственно радикал Джекобсона, верхний ниль радикал, радикал Левицкого и множество ниль-потентных элементов кольца R. Пусть также Nr(R) - сумма ниль-правых идеалов кольца Я, а 7Г, множество всех простых чисел в Z.
В работе [1] отмечена справедливость следующего утверждения:
Утверждение[1]. а) множество S'удовлетворяет условиям:
1) если f(x) G S, го -f(x) 6 S;
2) если f[x),g(x) G S, то f(x)g{x) G S;
3) если f(x),g(x) G S, то f[g(x)) € S.
6) множество St, обладает свойствами 1,2 и свойством 3, в предположении, что р(1) ф —1 в пункте Я; в) множество Si обладает свойствами 2, 3. в предположении, что g( 1) ф -1 в пункте 3; г) множество Sa обладает свойствами 1, 3.
Лемма 1. Пусть R - ассоциативное кольцо и к - некоторое положительное целое число. Тогда для любых элементов х,у,а,Ь 6 R выполнены следующие условия:
1) [*,¥]*'=
2) [ab,y]k = £j_0 (¿)[а,2/],[&, y]k-i\
3) если [х,у]а- = 0, то для любых натуральных чисел оп* : [я, у"1,... , уп*] =
U. [(.ух , у]к = а[х, у}к, [[ж, <х у], у] к = а [л, y]*+t;
4) [а 4- Ь,у]к = [а,у]к + [6, уЬ,[х,а + b,y]k = 1 [г, а,у]* 4- [x,6,y]fc;
5) если [г, у]* = 0, то для любых многочленов fi(x),... , fk(x) € S выполнено равенство
[*. /i(у), • - ,/fe(y)] = 0;
6) если [а;, у]к = 0, то для любого натурального числа 71 выполнено равенство [а.-г\ y](n*-«+i) —
О и [г", y]nfc = 0:
7) если [х, у]* = 0, то для любого многочлена /»(¡г) G S имеем [/î(x),y]mfc = Ü, где ю ~ degh(x)\
8) если [х, у]* = 0, то для любого натурального числа s существует целое число р такое, что [х2,,у]2»(*-1) = /i([x.y](*_i)Ÿ’,p ф Ü.
Доказательство. Заметим, что свойства 1,
2, 3, 4, б, 8 несложно доказать, используя метод математической индукции по к (см. [4, 5, 6]). Свойство 5 очевидно следует из свойств 3 и 4, свойство 7 из свойства б.
Лемма 2. Пусть R - кольцо с кручением и N(R) = 0. Тогда R - коммутативное кольцо в каждом из следующих случаев:
1) R является FSçjC'k-телом;
2) R является F Si Ck-полу простым кольцом.
Доказательство. Для простого числа р
определим G R I р'х = о|. Заметим, ^
что Яр = {х G R I px = 0}. Действительно, если р'х = 0, то (рх)’ = 0 и рх порождает ниль-идеал. Так как N(R) = 0, то рх = 0 и Я,, = {.r G Я I рх = о|. Ясно, что Я = 0peir Яр. Из включения N(RP) С А’(Я) = {0} следует, что N{RP) =
0. Поэтому доказательство леммы сводится к коммутативности каждого кольца Я;, ,р G тг. Итак, пусть Я = Я,,, для некоторого р G тт. Выберем целое число s > 1 так, чтобы р* > к. Пусть
а, 6 G Я. Найдутся многочлены f(x),g(x) G 5o(Sj) такие, что i/(a),y(6)]* = 0. Тогда
0 = [/(а),у(6)]* = [[/(«), j?(&)]* ,0(6)](р»-*) = [/(a),ÿ(6)]P-- = [fH,gp'(b)), так как (£) делится на р при 1 < Ar < р. Ясно, что gi{x) = gp (х) G So(Si) (в силу предложения 1). Поэтому для любых элементов а, 6 G Я существуют многочлены f{x),9\{z) G S0(Si) такие, что [/(a),gx(b)] = 0.
В силу результатов А. Мекея [1,3] Я - коммутативное кольцо в каждом из приведенных случаев. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть R - FS0Ck(FS[Ck, FSaC-k) кольцо без кручения, k > 1. Тогда для любых элементов a,b G Я существуют многочлены /(*•), h[x) G So (Si, Sa) такие, что [/(a), h(b)]k = 0
п [f{a),h(l>)](k-о нильпотенгный элемент.
Доказательство. Пусть [f[a).g(b)]k = 0, где f(x),g{x) - некоторые многочлены из Sa(Si,Sa). Для элементов f2(a),y(b) Е Я существуют многочлены р(х),у(х) £ $o[S\,S3) такие, что [/'(/-(о)).</Ы&))Ь ~ о. Положим Л(х) = '/(.'/(')) € 5о(5д,53). Тогда [р(/2(а)),h(b)]k = 0. Веди р(х) - аах* + a,-ix,~i + -. .+a'jx'-+a\x, где $ - некоторое натуральное число, го [ns/2s(a) + 0,-1 /-(*- 1>(а) + . :. + Oif'~(a), h(b)]k - 0.
Так как [,/'(«) I z/(^)]a-. = 0, то
в силу свойства 5 леммы 1 имеем [/(«), '/(¿/(л))]а = 0 или [f[a),h(b)]k = 0.
По свойству 6 леммы 1 получаем, что [/2(а),Ш)Ь_2+1 = 0,[/4(a)./i(6)]4fc-4+i =
[/2(* ‘'(а), Л (6)]з(*— 1 )А-—2(*— 1)н-1 — 0.
Г/3*(а), Л(6)]а»/ь_2,+1 = 0. Заметим, что 2sfr -2s + 1 = 2s(fc - 1) 4- J > 2s(k - 1) и 2(s - I)Jk -2(s -1)4-1 = 2sk - 2к - 2s + 2 + J = 2a(k -i) - 2k + 3 < 2 s (к - 1) при к > 1. Следовательно. [f-[ci).h(b)]2fik.к = 0, [/4(o.),/i(fc)]2,(fc_i) =
0,...,, /-’!*“ll(o)./?(b)]2,(fc-i) = 0. Откуда следует, что 0 = [/>(/3(а)),/*(&)]*• =
Ip(/S(a)),ft(6)]a .(Лг-i) = [»«/“'(в) + а(»-1)
у2(»-1 )(й) + ... + г»1/2(а), Л (6)]ai(fc-1) =
I/2*(а)* /*(^)]2a(A-— I)H-Ö9_ 1 [У2(!, —1 }(я), Л(6)]о,(»с-1)+
• ■ +'п[/2(г/.), /i(6)]2.,(fc-i) = [/"*(«). Il(b)h»(-k-l)
- (I. Ти к как Я - кольцо без кручения,
то [/2*(а), Л(6)]2,(*_1) = U. По условию
[/(о), //(6)]а = 0. В силу свойства 8 леммы 1 имеем [/3'(а),Л(6)]з,(*_1) = p([f(a),h(b)]k-i)2’ - 0, для некоторого целого /j ^ 0 Гак как Я кольцо без кручения, то [/(а), Л(6)]н-1 - нильпотентный элемент. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть Я - FSoCk(FS\Ck, FS^Ch)-кольцо без кручения и Р(Я) — 0. Тогда Я является F$qC 1 (FSi С\, FS%C\ )-кОльцом.
Доказательство. Если к — 1, то лем-
ма доказана. Иначе, в силу леммы 3, для любых элементов п,Ь е Я существуют многочлены f'(x),g'(x) Е So(Si,Sa) такие, что [f'U),y'[b)]k-1 = 0 и [f'{a).!j'[b)]k-i - ниль-потентный элемент. Так как Р(Я) = 0, то [f'(a),(i'{b)]k-x = 0. Таким образом Я является FSoC'k-i[FS\Ck-i, FS^Ck~i)-Konbv,OM. Если к — 1 ф 1, то рассуждая аналогично, получим, что Я является FSqC\ (FSi С\, F33Ci )-кольцом. Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть D FS{)C\ (FS, Ск)-тело. Тогда D - поле
Доказательство. Если ге.ю D с кручением. то утверждение следует из леммы 2. Если charD = Ü. то по лемме 4 D является FS(\( 'i [FS\Ci)-TenoM. Из работы [1] следует, что в этом случае D - поле. Лемма доказана.
Теорема 1. Если Я - ЯЗзС’к-кольцо без кручения и Р{Я) = 0, то Я - коммутативное кольцо. И частности Я ЗзСк-тело без кручения является полем.
Доказательство. В силу леммы 4 Я является Яй’зС-гКОЛЬЦОМ без кручения и не содержит пильпотентных элементов, В этом случае, из результатов работ [1, 2], следует, что Я коммутативное кольцо. Теорема доказана.
Лемма 6.
1. Полупростая РЗцС'к-алгебра Я над полем характеристики нуль является коммутативной.
2. Полу простое /'.Ь', С к-кольцо Я является коммутативным.
Доказательство. Докажем утверждение первое. Так как полупростое кольцо Я есть подпрямая сумма примитивных колец и го моморфный образ Яб’оС^-кольца также является FSoC'fc-кoльцoм, то для доказательства теоремы можно считать, что Я примитивное кольцо. Тогда либо Я = Дт для некоторого целого числа т > 1, либо для каждого целого числа т > 1 существует подкольцо Я' С Я такое, что имеет место эпиморфизм Я1 —► Дто, где Д-тело. Заметим, что алгебра матриц порядка 2 не является ЯЗоСк-кольцом Действительно, если предположить противное. ТО ДЛЯ идемпотентов Сц е12 И Ец, где е,^ матричные единицы, существуют многочлены 1[х),Ц(х) € 5[) такие, что: [/(еи+е12),.7(ец)]д- = ты + ^12)1 '/(1)еп]/,- = /ту1* (1)[(сп + е12))Рц]/с = /(1)5*(1)[—С12| бц]*-1 = ... = /(1)/(1)(-1)д'е12 = 0. Так как /{1)дк(1) ф 0 и сНагЯ = 0, то получаем противоречие. Следовательно, Я = Д. По лемме 5, Д-поле. Доказательство утверждения второго аналогично предыдущему, так как /(1 )#*(!) = 1. Лемма доказана.
Лемма 7.Пусть Я - РЗоСк{Р31С’к)-кольцо и а.Ь = 0, а, 6 € Я. Тогда существуют многочлены Н^х), /¡з(х) Е 5о(5х) такие, что 6/и(а) = 0, /12(6)а = 0.
Доказательство. Положим с ~ а + Ьа. Тогда для любого натурального числа п имеем сп = (а + Ьа)п — а" + Ьач. Поэтому для любого многочлена ¡(х) Е 5и(5г) справедливо /(с) = /(а) + 6/(а). Для элементов с,а Е Я существуют многочлены /(х),д[х) € .5'о(5!) такие, что 0 = [/(с),д(а)]к = [/(а) + Ь/(а),д(а)]к = [Ь/(а),д(а)]к = Ь/(а)дк[а), Заметим, что Н1(х) = /(х)дк(х) Е 5в1<51) н Ьк\ (а) = 0.
Аналогично, полагая с = Ь + Ьа, доказывается существование многочлена /г2(х) 6 ^о(^) такого, что /12(6)я = 0. Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть Я - FS0C\- ( F Si С к )-алгебра над полем характеристики нудь и а - нильпо-тентныП ц.лемент из Я, тогда aR и Ru нилькольце.
Доказательство. Пусть an = 0,ап_1 ф 0.її Є А. Тогда для любого элемента г £ Я имеем anr = an_1(«r) — 0, га" =
(j-а)о"— 1 — 0. В силу леммы 6 существуют многочлены fi(x),g\(x) £ Sq{Si) такие, что fi[or)a"~l = 0,an_1(7i(rci) — 0. Далее, из равенств (/i(ar)an_2)(ar) = 0 и (ra)(an~2gi(ra)) и леммы 6 следует, что найдутся многочлены /2(х),5г2(х) £ S0(Si) такие, что f?(ar)an~2 = 0, «п-2</з(га) = 0. Рассуждая аналогично, получим /п(вг) = 0,у„(га) = 0, для некоторых fn(.r).gn(.г) Є 5o(Si). Далее, R/J{R) - комму-ппивная алгебра в силу леммы 6. Если a ^ ./(Я), то cin = 0 и â — Ô, так как полупрос-тое коммутативное кольцо не содержит ниль-потентых элементов. Противоречие доказывает, что a £ J{R). Следовательно, a г Є ./(Я). Так как аг - алгебраический элемент, то найдется некоторое натуральное число п и многочлен р{х) g Z[®] такие, что (ar)n+1p(ar) — (ar)n = 0, (ar)”(l — (ar)p(ar)) = 0. Домножая справа на ( 1 — (ar)p(ar))-1, получим (ar)n = 0. Аналогично (га)'1 = 0. Лемма доказана.
Теорема 2. F5oCk(FS\Ck)-B^re6pa Я без ненулевых ниль-чдеалов над полем характеристики нуль коммутативна тогда и только тогда, когда Я является РІ-алгеброП.
Доказательство. Ясно, что коммутативная алгебра является Р/-алгеброй. Пусть Я - Ріал гебра. Рассмотрим конечное множество элементов «і, «2,... , as £ Я и породим ими подалгебру ,4 =< ai,ü2,... ,a, >. Ясно, что .4 -РІ-алгебра и по теореме Амицура J(А) является ниль-идеалом. В силу леммы б, для любых элементов u, v £ A, [u, v] £ ./(А), Следовательно, [и, t;] - нилыгатентный элемент Поэтому для любых элементов a, Ь £ Я, [а. 6] нильпотент-ный элемент и согласно лемме 7 порождает ниль-иравый идеал [а,6]Я. Согласно [7] в Р1-алгебре Я имеем [а,6]Я Ç L(R) = N(R) = 0. Следовательно, [а, 6] содержится в левом аннуляторе /(Я) кольца Я, но /(Я)2 = Ü и поэтому /(Я) = 0 Таким образом, [a,b] = 0. Теорема доказана.
Лемма 9. Пусть Я - FSaCk-Кольцо. Тогда для любых нильпотентных элементов a.b £ Я имеем [о, b]k = 0.
Доказательство. Пусть a и Ь - нильпотент-ные элементы кольца Я такие, что а1 — 0, а,_1 ф
0 и 1>’ -- U,//-1 ф U, где l,s - натуральные числа. Покажем методом математической индукции относительно индекса нильпотентности
I элемента а £ Я, что дли любого элемента у £ Я существует многочлен р(х) £ 5з такой, что [а,р(з/)]*; = 0. При / = 2 для элементов а и у существуют многочлены /(х),д(х) £ 5з такие, что [/(а),д{у)]к = 0. Но /(а) = а, поэтому [а,д{у)]к = 0. Сделаем предположение индукции об истинности утверждения при I < п — 1 и докажем его при / = п.
В силу индукционного предположения найдутся многочлены Лх(аг), /г-г(ж),... ,/»п-гМ, принадлежащие множеству £3, такие, что [«2,Му)]к = 0, [а3,/г2(/11 (г/))]*.- = 0, ... ,
[ап~\/1п_2(Лп_з(... (*1 (г/)) ■ • ■))]* = 0. Ясно, что //.(*) = кп-'ЛНп-з(- • -(М*)) ...))€ 53 (см. предложение 1). Используя свойство 5 леммы 1, получаем 0 = [а2, Ь(у)]к = . •• = [ап~1 ,к(у)]к = 0.
Для элементов а, к(у) £ Я существуют многочлены /(х),д(х) £ 53 такие, что
[/(о), с1(к(у))]к = 0. Заметим, что р(х) =
ц(Н(х)) £ 5з (см. предложение 1). Учитывая справедливость равенств 0 = [а2,д(Ь(у))]к = ... = [ап~1 ,д(Ь(у))]к = 0 и 0 = [аг,р[у)}к = ... = [а’*_1,р(у)]к, заметим, что 0 = [/{а),р(у)]к = [оп_1ап_1 + + ... + а2а:' + а,р(у)]к =
[а.р(у)]/е = 0' Получили требуемое.
Итак, существует многочлен <71 (х) £
5л такой, что [а, 51(6)]* = 0. ^г(х) =
я2Р\{я) + РлЧ*) € 2[х]' Заметим,
что для любою натурального числа (?п верно следующее равенство: дТ(х) =
(х*Р1(х) + хГ = ЕГ=о(7)(*2М*)Г-'*’'
Е,Г=о‘ (7)Р1(^)т"'*2т"' + = а:т+1 А'т(х) +
хт, для некоторого Кт(х) £ £[*].
Пусть р 1(х) = (*тхт + ат_!Хт_1 + ...+ а2х2 + ахх -|- ао, где т - некоторое натуральное число, а, £ = 0,..., т. Рас-
смотрим многочлен #2(2) £ 5з вида д?(х) = х2рх(х) - х. Тогда (72(<71 [Ь)) = у'г(^)Р1 (^1 (*)) -дЛЬ) = д'ЦЬ)[атд?(Ь) + ат-хд?-1(Ь) + .,.+ а^дЦЬ) + <>1.91 (*) + «о) - д\[Ь) = атд™+1[Ь) + от_1у'”+1(6) + ... + 02.91(6) + ог1</?(6) + аодЦЬ) - .<7,(6) = «т(6п‘+3Ят+2(6) + 6т+2) + ат_1(Ьт+2Ат+, (6) + Ьт+1) + ... + а2(65А-4(6) 4 6'1) +а1(64А'з(6) +63) + а0(63А'2(6) + 62) -^(6) = (ат6т+3Ат+2(6) + ат_16т+2А'гп+1(6) + ... + а2Ь'Чй{Ь) + 0164А'з(6) + ао63А'2(6)) + (ат6т+2 + ат_1&т+1 + ... + ог264 + огхб3 + а062) - ¿71(6) =
63М(&) + Ь2(атЬт + ат_16т-1 + ... + а262 + ОГ16 + а0) - 51(6) = Ь3М(6) + Ь2Р1(6) - Ь-рх(Ь) -Ь = Ь3М{Ь) — 6, для некоторого многочлена М(х) £ £3. Таким образом, в силу свойства 5 леммы 1 получаем равенство 0 = [а,51 (^)]<-- = [я, -д2{д\(Ь))]к = [а,63р2(6) +Ь] = 0, где р2{х) = -М(х),ръ(х) £ 53.
Далее, пусть для некоторого натураль-
пою р > 2 имеем [а.Ьрр1(Ь) + Ь]* =
0.</,Ы = хрр{(х) + х,рх(х) £ 2[х]. За-
метим. что для любого натурального числа ( т > I справедливо равенство: 5"‘(х) =
((^Р1(х) + *г = £Г=о(7)(*рЫ*)Г-‘*’ =
г Ж1 (7Ь’Г>Кт-р<+; + *т - х?+1кт(х) + I .ст, для некоторого многочлена Ат(х) £ Я[х],
1 гагк как рт - рг 4- » > рт — р(т — 1) + т — 1 =
■ рт — рт + р + т — 1 = т + (р — 1) > р + I, при »77 > 2.
Пусть рх[х) — сктж'л + ат_1х(т-1) + ... -I- оз.!’" + «¡.с + ао,а» £ * = 0,...т.
Рассмотрим (/:>(*!■) £ ¿>з вида //э(х) =
I х~1>\{х) - X. Тогда 52(51(6)) - 5?(6)Р1(51(6)) -['/1(6) = я\(Ь)(01тд™ {Ь) + '(6) + ... 4-
+ п 151 (6) + аи) - 1/1(6) = ат</"1+2(6) + «т-1</Г + 1(6) + ••• + »251(6) + »15?(6) + «о5Г(6) - </1(6) = «гп(/^-*-1Л'т+2(6) + 6”‘+2) +
Пт-1(Ьг + [ К,п + 1 (6) + 6"‘+1) + ...+ о2 (6Р + 1 к4 (6) +
I 64) + о!(//■+'Л3(6) + /,у) + о0(^+1Ла(6) + ь2) -
¿/1(6) = '>т6‘”+1Л'т+2(6) + ат-1бР+1А-т+1(6) +
.. + ад6,+1 А-4(6)-Ьл1бр+1 А’з(Ь) + ао6р+1 Л'з(6)+ (У„,6|" + - 4- от-1б1,, + ‘ -+-...+ а264 + сцб3 4- ооб2 —
I „,(6) = //+'Л/(6) + 62(»т6т + ит.1Г'“ + ... +
(л-:Ь- -г 1л\Ь + оц) — д\(Ь) — ЬР^М{Ь) + 6_'р1(А) —
; Ь-рх(Ь) — I) = ЬГ+1М(Ь) - Ь. для некоторого многочлена А/(х) £ ,53. Таким образом, 0 = [«.У1(Ь)]к = [«,-52(51(6))]* = [а,Ьр+'р2(Ь) + Ь] = 0. где р2(х) = -М(х) и р‘>[х) £ 5'з-
Следовательно, для любого натурального числя г/ > 2 существует полином р(х) £ 2[*], удовлетворяющий условию [и,6,:,р(6) + Ь]к = 0. Если с1 > 8 4- 1, го получаем [о,6]* = 0. Лемма доказана.
Лемма 10. Полупростая РЗзС^-алгебра над полем характеристики нуль является коммутативной.
Доказательство. Так как полупростое кольцо Я есть подпрямая сумма примитивных колец и гомоморфный образ /\V.--fС?-кольца также А 53С2-кольцо. то для доказательства теоремы можно считать, что Я - примитивное кольцо. Тогда либо Я = А,,., для некоторого целого числа т > 1, либо для каждого целого числа т > 1 существует подкольцо Я' С Я такое. чго имеет место эпиморфизм Я' —*• Д,„, где А-тело. Заметим, что алгебра матриц порядка 2 не является /,-5'зС.укольцом. Действительно, если предположить противное, то для нильпотентных элементов еXа, £21 в силу леммы 9 имеем, ЧТО [с] 2. 1 ] 2 = [еЫ ~ ^22^г'л] =
^11^21—^22^21—^21 ^ 11 “Ь г~21 ^ 22 — “ 21 —0. Про-
тнворечие. Следовательно, Я = Д. По теореме 1, Л-поле. Теорема доказана.
Ломма 11. Пусть Я - радикальное ( в смыс-
ле радикала Джекобсона) ЯЗаС?-кольцо без кручена я и АҐ(Я) = 0. Тогда Я - коммутативное кольцо.
Доказательство. Если Р(Я) = 0, то Я коммутативное кольцо в силу леммы 5. Пусть «
- ненулевой нилыютентный элемент из Я такой,
что а2 = 0. Тогда, в силу доказательства леммы 8, для любого элемента Ь £ Я существует многочлен д(х) £ 5з такой, что [а, = 0. За-
метим, что 0 = [а,д(Ьа)]к — [ад(Ьа),д(Ьа)]к-\ = ... = адк(Ьа) = а(Ьа)к(Ьад\(Ьа) - 1)^ = I), где д(х) = х7ді(х) - х,д(х) £ 53,5і(*) Є %[*]• I* силу радикальности кольца Я имеем а(Ьа)к = 0 и (аЬ)к+1 — 0, (Ьа)к+1 = 0. Если Яа = 0, то правый аннулятор 7*(Я) Э а. Так как №(Н) = 0 и /■(Я)2 = 0, то 7-(Я) = 0, а значит а = 0. Противоречие. Поэтому Яа ф 0. Тогда левый идеал Яа удовлетворяет тождеству хл+1 = 0. Откуда следует, что Ь(Яа) — На С Ь(Я) С ЛГ(Я) = и. Противоречие. Таким образом в Я нет ненулевых нильпотентных элементов. Лемма доказана.
Замечание [2]. Если в кольце Я без нпль-идеалов выполнено тождество [[іСі, Хд), [хз, Х4]] =
О, то оно коммутативно.
Теорема 3. Яб'зСг-алгебра Я над полем характеристики нуль без ненулевых ннль-идеалов является комму та тивной.
Доказательство. Алгебра Я//(Я) в силу леммы 10 является коммутативной, Следовательно, для любых элементов а, 6,с, сі £ Я имеем: [«,6] £ 7(Я),[с,¿] £ J(R). Откуда, в силу леммы 11, имеем: [[а, 6], [с, г?]] = 0. Таким образом, Я - РI-алгебра, удовлетворяющая тождеству [[*і,*2],[»з, *4]] = 0. По результатам работы [2] (см. замечание), Я - коммутативная алгебра Теорема доказана.
Следствие 1. Яб’зСг-алгебра Я над полем характеристики нуль удовлетворяет тождеству
[[агі, *3]т [*з, аг4]]а = 0.
Доказательство. Рассмотрим алгебру Я//У(Я). Так как N(R/N(R)) = 0, то Я/ЛГ{Я)
- коммутативная алгебра (см. теорему 3), Поэтому коммутаторный идеал [Я, Я] С N(R). т.е. для любых элементов а,Ь,с.ё £ Я имеем: [а, 6] £ М(Н),[с.с]] £ N(R). В силу леммы 9 выполнено равенство [[а, 6], [с, д?]]з = 0. Таким образом, алгебра Я удовлетворяет тождеству [[хі,х2], [хз,£4]]2 = 0, т.е. является Я/-алгеброй. Следствие доказано.
Теорема 4. Пусть Я - РЗ^Ск-кольцо без кручения и без ненулевых ниль-идеалов. Тогда Я - коммутативное кольцо.
Доказательство. Кольцо Я/І(Я). в силу леммы 6, является коммутативным. Следовательно, для любых элементов а, ІІ, С, (I £ Я име-
ем: [о,/»] € 7(Д), [г, с/] є ./(Я). Откуда в силу леммы І1 имеем: [[а, 6], [с, (/]] = 0. Таким образом, Я - РІ-кольцо, удовлетворяющее тождеству [[хь х->>], [¿‘з, 24]] = 0. Но результатам работы [2] (см. замечание), Я - коммутатнвное кольцо. Теорема доказана.
Следствие 2. РЬ^Ск-кодьцо Я без кручении удовлетворяет тождеству [[¡Е.ь.*з], [а?3. Ж4Л/Є = 0.
Доказательство. Рассмотрим кольцо
R/ЩЯ). Так как N(R/N(R)) = 0, то R/N(I
- коммутативное кольцо (см. теорему 4). И этому коммутаторный идеал [Л, Л] С N(R т.е. для любых элементов a,b,c,d 6 R имее> [а,6] € ./У(Я),[с,с(1 6 N(R). В силу леммы выполнено равенство [[а, 6], [с, t/]] = 0. Таки образом, кольцо R удовлетворяет тождеств [[*li*2]i [*3i ®4]]а — 0, т.е. является Р/-кольцо! Следствие доказано.
Литература
1. Мекей А. Некоторые теоремы о коммутативности колец // Известия АН Молдавской ССР. Сер. фиэ.-техн. и мат. наук. 1973. №1.
2 Мекей А. О кольцах с условием Фейта // Мат. исследования: Сб. ст. Кишинев, 1973. Т. 8. Вып. 4(30).
3. Chacrou М. A commutativity theorem for rings // Amer. J. Math. 1976. V. ЪЭ.
4. Chen-Lian Ohuang. Jer-Shyong Lin. On a
Conjecture by Herstein // J.Algebra. 1989. \ 126.'
5. Kezlan T.P. On generalized commutators an nil commutator ideals // Arch. Math. 1984. \ 43.
6. Kezlan T.P. Some rings with nil commutati ideals // Michigan Math. J. 1965. V. 12.
7. Mal’cev Y.N. The structure of associate algebras satisfying the polinomial identities an varieties of algebras. Barnaul, 1994.
I •
w
