CC BY
19
МАТЕМАТИКА___________________________________________
УДК 519.49
Е.В. Журавлев
Некоторые условия коммутативности колец
1. Кольца с условием [/(л:), flr(y)] = [/(*)• 9(у)]к
Введем следующие обозначения: М(Л) - множество нильпотентных элементов кольца R, C(R) - коммутаторный идеал, N(R) - ниль радикал, Z(R) - центр кольца R, N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел.
Цель первой части статьи - обобщить следующий результат Бэлла [1, с. 300].
Теорема. Пусть R - ассоциативное кольцо без непулевых ниль идеалов, удовлетворяющее следующему свойству: для любых элементов х,у е R существует число к = к{х,у) € N такое, что [г,у] = [х,у]к. Тогда R - коммутативное кольцо.
Кольцо R называется периодическим, если для каждого х 6 R существуют натуральные числа пит такие, что хп = хт (п ф т).
В дальнейшем нам потребуются следующие леммы.
Лемма 1 [1, с. 296]. Пусть R - произвольное кольцо. Тогда R содержит максимальный периодический идеал P(R) такой, что R/P(R) не содержит не тривиальных периодических идеалов.
Лемма 2 [2]. Предположим, что для любого элемента а 6 R, существует положительное целое число п = п(а) и многочлен р(х) = рг(х) 6 Z[x) такой, что ап = ап+1р(а). Тогда R является периодическим кольцом.
Лемма 3 [1, с. 296].
1. Пусть R - произвольное кольцо, char R = р, где р - простое число. Тогда [а, Ь]р„ = [а, 6^ ] для любых а,Ь 6 R, к € N ;
2. Если [а, 6]Г = [а,6]Р+*, где г, к е N, то [а, Ь]т = [а, 6]„, для любых т,п € N с условиями: г < т < п и п = т (mod к).
В работе [3] определен когиперцентр кольца R как множество элементов а £ R таких, что для каждого Ь 6 R существует многочлен f(x) = х-х2р(х) £ Z[x], зависящий от а и 6, для которого [a, f(b)] = 0. Там же доказана следующая лемма.
Лемма 4 [3, с. 214]. Пусть R - полупер-вичное кольцо. Тогда когиперцентр совпадает с центром Z(R) кольца R.
Лемма 5 [4, с. 231]. Пусть R - алгебра над полем F без ненулевых алгебраических идеалов. Предположим, что для любых a,b £ R существуют многочлены f(x),p(x) 6 F[x], зависящие от
а иЬ, такие, что [/(а),д(Ь)] = 0. Тогда R - коммутативная алгебра.
Следующий результат обобщает вышеприведенную теорему Белла для колец без кручения и для алгебр над полем С^(р).
Теореме 1. Пусть И, - ассоциативное кольцо, удовлетворяющее следующему свойству: для любых элементов а,Ь Є /? существует число к Є N и многочлены /(х),#(х) Є {х — *2Р(*)| Р(*) Є Z[x]} С Z[x] такие, что [/(а)..«?(Ь)] = [/{а),д(Ь)]к- Тогда Л - коммутативное кольцо в каждом из следующих случаев:
1. сИагЩ ф 0, Л'(Л) = 0 и к = к(а.Ь);
2. сНаг(Н) = 0, /(х),д(х) - фиксированные многочлены и к = к(Ь).
Доказательство. Докажем первое утверждение. Без потери общности можно считать, что Л - первичное кольцо без ненулевых ниль идеалов. Для простого числа р определим Лр = |х £
Л | р'х = 0>. Заметим, что Лр = {х є Л I рх = 0}. Действительно, если р'х = 0, то (рх)* = 0 и рх порождает ниль идеал. Так как N(R) = О,4, то рх = 0 и Лр = {х Є Л | рх = о|. Ясно, что Л = ф Лр. Так как Л - первичное кольцо, то
рЄіг
Л = Ля для некоторого простого числа р.
Предположим, что M(R) ф 0. По условию теоремы, для элементов а Є Ли и Є М(Н)
найдется число к = к(а, и) > 1 и многочлены
/(х),д{х) такие, что [/(а),*?(«)] = [Да),д(и)]к. Пусть в такое натуральное число, что д(и)р = 0, р’ > к. Разделим р’ на к — 1 с остатком, т.е. р' = Цк - 1) + г, I, г Є Ы, 0 <
Г < к - 1. Если г = 1, то [/(а),д(и)] = [/(“). 0(“)]* = [[/(в),0(и)],р(и)](*-і) =
[[/(а). «(«)]*, $(«)](*-!) = [/(“).5НЬ(*-1)+1 =
{ на * - 1 шаге } = [/(а), ^(«)]*(*_1)+1 =
[/(а).р(и)]р" = [І(а),д{и)р ] = 0. Если
г > 1, то, аналогично, имеем [/(а),а(«)] =
1)+]. Отсюда
получаем [/(а),д(и)]Г = [/(а), </(и)]р. =
[/(а)>5(и)г‘] = 0. Если г = 0, то [/(а),у(и)] = [/(а).р(и)]* = ... = [Да),0(и)](4_1)(к_1)+1. Следовательно, [/(«).</(и)](*_і) =
[Л<1).5(“)]((-1)(А-1)+1+*-21= [/(а),0(и)]<(*-1) =
[/(а)>з(и)]р* = [/(а). </(и)р ] = 0. Итак, в любом случае [/(а), </(и)]г = 0, 0 < г < к — I, а значит, [/(“)>5(")] = 0.
Некоторые условия коммутативности колец
Пусть д(х) = X - х2р(х), р(х) £ Z[x], Согласно вышесказанному, для элементов /(а) и u2p(u) найдутся многочлены /i(x), дх(х) = х-х2Р](х), такие, что [/i(/(a)),^i(«2р(«))] = 0. Очевидно, что из [/(а),у(и)] = 0 следует [Л(/(а))> </(“)] = 0. Складывая два по-
следних равенства, получим [fi(f(a)), д(и) + Si(uJP(u)))] = [f\(f(a)),u - и2р(и) + и2р(и) -(ti2p(u))2p,(u2p(u))] = [/i(/(a)),u - u4p2(u)] = 0i Рг(*) € Z[x], Таким образом, увеличивая степень и, на некотором шаге мы получим \/’(а),и - и'р'(и)] = 0, /*(х),р'(х) 6 Z[x], t £ N, и' = 0, то есть [/'(а), и] = 0. В силу леммы 4, Л/(Я) С Z(R). а значит Л/(Я) = 0.
Итак, R - первичное кольцо без нильпотентных элементов. Согласно теореме Андрунакиевича-Рпбухина, без потери общности, можно предположить, что R - кольцо без делителей нуля Так как р - простое число, то кольцо R является алгеброй над нолем Zp.
Рассмотрим кольцо Я* = R/P(R) (лемма 1), которое не содержит нетривиальных периодических идеалов, а следовательно (в силу леммы 2), и нетривиальных алгебраических идеалов. Пусть а,6 € Я' и [f{a),g(b)] = [f(a),g(b)]k, для некоторых многочленов /(х),д(х) и числа к из условия теоремы. Так как количество классов вычетов по модулю к — 1 конечно, а множество степеней числа р бесконечно, то подберем р“ и fA а,0 £ N, о ф 0 такие, что р“ = рР(тос1 (к -1)). В силу леммы 3, [/(«), $(6)]Р. = [f(a).g(b)]p,, следовательно, [f(a),g(by°] = [f(a),g(b)p"]. т.е. [/(а),р(Ь)р° - д(Ь)1'1’] = 0. Согласно лемме 5, Я* является коммутативным кольцом, а значит, С(Я) С Р(Я). Итак, С(Я) - периодическая область. По теореме Джекобсона [5]., идеал С(Я) является коммутативным. Так как область, содержащая ненулевой коммутативный идеал, сама должна являться коммутативной, то С(Я) =
0. Следовательно, Я - коммутативное кольцо.
Докажем пункт 2. По условию теоремы, для произвольных элементов а,Ь £ Я найдется число к = к(а) £ N такое, что [/(а),з(6)] = [/(а),5(*)]*, где f(x),g(x) - фиксированные многочлены. Предположим, что д(х) = х + а2х2 +
а3х3 + ...+ апхп £ Z[x], .........ап £ Z, п £ N.
Рассмотрим элементы А6 £ Я, А = 1,2,..., пА-. Так как к = к(а), то [/(а),.?(А6)] = [f(a),g(Xb)]k, для всех А = 1,2,...,пк. То есть [/(о),А6 + a2A2fc2 -I- п3\3Ь3 + ... + a„A"6"] = [/(a), А6 + а2А~Ь2 + а3А363 + ... + апАП6п]*. Следовательно! •М/(а)>Ч + -^‘/2(0,6) + А3/з(а, 6) + ... + X‘kfnk(a,b) = 0, где fi(x,y), i = 2,3,... ,пк -некоторые многочлены. Используя определитель Вандермонда, получаем [/(а), 6] = 0 для любых
а. Ь £ Я. В силу теоремы Херстейна (см. [6].), Я - коммутативное кольцо. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть R - ассоциативное кольцо без кручения■ и без ненулевых ниль идеалов, удовлетворяющее следующему свойству: существуют числа п, т £ N такие, что для любых элементов а,Ь £ Я найдется натуральное число k = k(a,b) > 1 такое, что [a",6m] =
[а",б"1]*. Тогда Я - коммутативное кольцо.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что Я - первичное кольцо без ненулевых ниль идеалов. По условию теоремы, для любых элементов а, 6 £ Я можно подобрать натуральное число г, такое, что [an,6m] =
[ап,6т]г и [a",(26)m] = [а",(26)т]г. Отсюда (2т - 2Г'*Г)[о", 6т] = 0. Следовательно, [a",6m] =
0. Первичное кольцо без ниль идеалов с данным условием является коммутативным (см. [7]). Теорема доказана.
2. Кольца с условием d(xn) = nxn~ldx
H.Е. Dell и Л.A. Klein в работе [8] доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть Я - ассоциативное кольцо, удовлетворяющее условию: для любого элементи х £ Я существует целое число п = п(х) > 1 такое, что [хп, у] = пхп-1[х, у], для всех у £ Я.
Тогда C(R) - ниль идеал.
Цель этого параграфа - естественным обра- w зом продолжить исследования в данной области.
Для этого нам потребуются следующие леммы.
Лемма 6 [9]. Пусть п £ N и Я - первичное кольцо. Если Я допускает ненулевое дифференцирование d такое, что d(xn) = 0 для всех х £ Я, то Я является коммутативным и бесконечным. Более того, char Я = р > 0 и р|п.
Лемма 7 [10]. Пусть Я - первичное кольцо и L - ненулевой левый идеал Я. Если Я допускает ненулевое дифференцирование d такое, что [rf(x),x] = 0 для всех х £ L, то Я является коммутативным кольцом.
Теорема 3. Пусть R - первичное ассоциативное кольцо с ненулевым дифференцированием d, удовлетворяющее условию: для любого элемента х £ Я d(xn) = нхп_1с(х, где п некоторое фиксированное число. Тогда кольцо Я является коммутативным и бесконечным в каждом из следующих случаев:
I. Я - GF(p) ajue6pa и р\п;
2. Я+ не имеет кручения.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть х € Я и d(xn) = пхп~Ч(х), где п = п(х). Из условия р\п следует, что rf(x") = 0.
В силу леммы б, кольцо Я является коммутативным.
