CC BY
35
Коммутативность Ф-операторных алгебр
УДК 519.48
Ю.Н. Мальцев, Е.С. Чибрикое Коммутативность Ф-операторных алгебр, удовлетворяющих тождеству от одной переменной
Пусть Ф - конечнопорожденное коммутативное кольцо с единицей, являющееся областью главных идеалов (целостным кольцом главных идеалов [3]). В работе рассматриваются ассоциативные Ф-алгебры.
Теорема. Пусть /(х) = а1х + аЛх2 + ■ ■ • + йпхп £ Ф[ж]. Произвольная Ф-алгебра Я, удовлет-
воряющая тождеству /(х) = о, является комму -тативной тогда и только тогда, когда либо аг -обратимый элемент в Ф, либо а] - необратимый элемент и если(1\ = ?Г1 Я"?2 ■ ■ • Й* ' Л|^|1» Щ Ф з ложение на неприводимые множители в) а2х +
и не является тождеством
Ф< = Ф/(яч), г = 1,2,
ни в одном из полей
Данная теорема обобщает основной результат работы [2, с. 277-280], доказанный в случае, если
ф = г.
Доказательство. Пусть Ф-алгебра Я удовлетворяет тождеству /(х) — о, где а г - обратимый элемент. Тогдя Ц, «ттгтттртрппстрт некоторому тождеству вида-С + бз^" + - ■ -(-Опя" = О.Если а £ J (Я), то а = а ■ V, где V £ 7 (Я) . Ввиду квазирегулярности радикала Джекобсона Суш^-тт^рт ^ттрл/грттт м) £ J(II) такой, что(_1’) + и; + (~г,)№ - 0. ’
Следовательно, а = аи> ~~ (а‘и)и> = 0- Итак,
Я - полупростая Ф-алгебра. Для доказательства коммутативности алгебры Я достаточно проверить коммутативность ее примитивных гомоморфных образов. Пусть S - примитивный гомоморфный образ Я. Из теоремы плотности следует, что либо S - алгебра с делением, либо некоторое подкольцо S гомоморфно отображается на Ф-алгебру матриц второго порядка над алгеброй с делением. Так как алгебра матриц второго порядка не удовлетворяет нашему тождеству (например, при х = е 12), то S -алгебра с делением. Согласно теореме Накаяма [4, с. 185],
Б - коммутатив'— ^
Пусть далее — 7Г1 • • •7Г.’ ' ^ - разложение
элемента ал на неприводимые множители в фак-ториальном кольце Ф (Л11, 7Г{ неассоциировано с 7Т1; если г ф ]) и выполнены условия а), б), в). Докажем, что любая Ф-алгебра Я, удовлетворяющая тож1тег.тт№ К-ж'1 = п 5™тт5гртс5г коммутативной. Пусть ^ = ^ = 0} <3 Ф. Заметим, что
7Л0. Действительно, если г £ Я то 0 = /г (г) —
2)г = I), т.е. ах{2" -2)...('2*-2) ^06/. Пут
I — (г>)> 1"Де а - порождающий элемент / ии = Ъ ^1 (^1 и)- разложение а на
неприводимые множители. Тогда я = Д1®--0Д«, где
л-/ Я( = 0. Докажем, что каждый идеал Д,(г = 1,...,|| явг-у/ - ^ммутативной алгеброй. Если' ‘ ’ 1 — ', то Ю удовлетворяет некоторо
му тождеству х + ЬАх2 + • • • + Ьпхп — 0 и, следовательно, Я{ - коммутативная алгебра. Пусть (тг?', Я;) ф 1. Тогда т^ содержится в разложении «1 на неприводимые множители (например, тг г = 7Т]). Пусть е - наименьшее натуральное число
что тг?Д, = 0(е = о,).
такое, 1 4
Если Я г не является коммутативной алгеброй, то класс Ф-алгебр Я с тождествами/(х) = 0 и п/х = 0 -некоммутативное многообразие. Тогда минимальное некоммутативное подмногообразие М порождается Ф-алгеброй Я одного из следующих типов [1];
максимальный
идеал
Ф
. ( Ф/М Ф/М У ~ ( ф/м о \
0 0 / V Ф/М О )' м
3) Я - нильпотентная Ф-алгебра;
- {( 0 Д(о) ); “■6 6 к‘,ж к
4) V 4 . ' 1 ' - конеч
ное поле, Д нетривиальный автоморфизм К и КА -максимальное подполе К. Если М порождается алгеброй типа 1), то /(х) = 0 - тождество
Ф/М Ф/М
о о
Пусть М — (/г), где р,
- неприводимый элемент Ф. Тогда М = (тг,) и (я2аг + • ■ • + апхп) = 0 - тождество в поле Ф/М. Противоречие.
Случай 2) рассматривается аналогично. Случай 44 -----можен, так как К Б КА Б Ф,-,
ф. = ф/(щ)
где
но.
и он рассматривается аналогич
Рилгмлтпт,,, ОТТ,/,тай 3\ Ппе/ТСТЭВИМ ОХ =
= % Ш 1)|^ Д® (*< ' — ^. Алгебра
К удовлетворяет некоторому тождеству вида_
причем ■‘7Г< > ^2) — 1-
-Г2 — —)>~ ТГкТ -±-
это тождество в виде. — °2 х ■
1.-11.- -----Ь^1Ьпхп~3)х2.
некоторого элемента
на
МАТЕМАТИКА
е € К. Если к > е,
то7Г^х = О И I2 = 0.
Откуда следует, что
2 Г1Г2 = ПГ2 + Г|Г2 = 0
для любых элементов т(,т2 £ Я. Таким образом, Я -коммутативное кольцо. Пусть далее е > к.
Еслие - * < *. ТЬО-^х-Гх^~0ХЗ = 0,И
Є24) + 7-Єі4! Ф/Гійїк п Si
R. Откуда следует, что R. Так
Г1Г2 + Г2П
- тождество в
^(Г1Г2) = ТГ?Г1Г2 + МГ1Г2)2 = 0и
I ^ ^ ^
Поэтому К - коммутативное кольцо. Противоречие. Пусть е — /с > к И е - четное число. Пзра-
/(тгЯ г) = -*+*--0
? 1 + £ > следует, что
/{тг~ г) =
венствJ
е. Противоречие.
Если е - нечетное число, то'
Г-+*
= 0 и
= 0.
Противоречие. Итак, мы доказали достаточность приведенных в теореме условий. Докажем далее их необходимость.
Пуст^ь дто^яст Ф-яттуе^пя /? v япштеткппяющая ах А его разложение на неприво димые элементы (А11, тг,- ф щ, i ф j). Если существует 3T[j который не делит 2, то рассмотрим
следующую алгебру
Ь'і = (а(еі2 — Є34) + +
выполнены тождества х~ = ху + ух — 0,
7Г,Х = 0.
Следо
вательно, /(яг) = 0 - тождество в 5\. Согласно условию теоремы, 5\ - коммутативная алгебра. лее пусть 2 = я®1 яу /г, для некоторого
X <S
/;' f Ф. Если для некоторого —
Hi > С,,
длялюбыхэле}
Пусть( элементы из S2- Тогда (
рассмотрим алгебру^2 ~ (а(е12 е34) + /^(е 13 +
' е24)+7е14; 0,Р, 7
Она удовлетворяет тождествам х1 — х^+^х = 0, ттл'х = 0. Поэтому /(ж) = 0 - тождество в S2- По
УСЛОВИЮ Тргтрл'гт'т - тгтил>готятттття5г яттгрбпя
за = /?i(ei3 + е24), Ь = (ei2 — €34)
,аЬ йен аде]
Откуда следует, что 2/?i = 0. Противоречие. Итак, ai|2. Заметим, что (01,02) = 1- Если (ai,a2) ф 1, то, например, Tr*|a-i ияДа^ и следующая алгебра
Ьз =
удовлетворяет тождеству /fx) = 0 (так как £’| = 0). Противоречие.
Далее, следующая алгебра £4 = (Ф,еп + Ф»е 12; Ф« = Ф/(тг»)) не является коммутативной и, следовательно, не удовлетворяет тождеству f(x)
— П Тя тстсатйРЧг + ОД = (а20-Ч,
• • • + а„ап)ец + (в2а + ■ • • + а„а” m
f[x) — d\X = 0 не является тождеством НИ В ОДНОМ ИЗ ПОЛейФ’ ~ Ф/() 1 г — l-i •••'s-Теорема доказана.
Литература
1. Mal’cev Y.N. Just noncommutative varieties of operator algebras and rings with some conditions 011 nilpotent elemets // Tamkang J. Math. 1996. V. 27.
2. Laffey T. Machale D. Polynomials that force
a ring to be commutative // Proc. R. Ir. Acad. 1992. V. 92 A, № 2.
4.
1968.
Ленг С. Алгебра. М., 1968.
Jacobson N. Structure of rings. AMS,
то
A
