CC BY
9(ОАЭ) статистики ,ф\) относительно статистики 1)п(ф2,ф2)- Для любого ^ > 0 определим альтер-
нативу И\п(7), при которой
ег - (а + п-1/2^агЛ ег-1, Ь = 1,2,..., ео = 0.
щ = ег - ^а + п ' чаг,п) ег-1
ОАЭ тестовой статистики 1)п(^\,ф\) относительно тестовой статистики 1)п(ф2,ф2) мы назовем такое положительное число Ь(ф1,ф\/^2,ф2) = ¿1,2, что при Н\п(Ь\,2) статистика 1)п(ф2,ф2) имеет такое же асимптотическое распределение, что и 1)п(^1,ф1) при Н1п- Тогда при ¿1,2 > 1 статистика 1)п(ф1 ,ф1) лучше Оп(ф2,ф2), поскольку Я1п "ближе" к Но, чем Н1п(Ь\22), а распознают они их одинаково. Оптимальными ф*,ф* назовем такие функции, что Ь (ф* ,ф*/ф,ф) ^ 1 для любых допустимых ф,ф- Следующая теорема позволяет получить явный вид ОАЭ тестовой статистики 1)п(ф1, ф1) относительно тестовой статистики Ь п(ф2,ф2 )-
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда
11,2
с (vi ,ф1)
с (v2 ,Ф2)
где С((р,ф) =
л/КШО'
Таким образом, оптимальными будут такие у*,Ф*, что C(у*,ф*) = sup\C(у,ф)\. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем, что у* (x) = x и ф* (x) = g'(x)/g(x). Следовательно, наилучший тест будет получаться тогда, когда уравнение, задающее оценку, совпадает с уравнением максимального правдоподобия. Оценка максимального правдоподобия является асимптотически эффективной, т.е. асимптотически наилучшая оценка параметра а порождает асимптотически наилучший тест.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pikard D. Testing and estimating change-point in time series // Adv. Appl. Probab. 1985. 7. 841-867.
2. Ling S. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in nonstationary autoregressive models // Ann. Statist. 1998. 26. 741-754.
3. Bai J. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in ARMA models // Ann. Statist. 1994. 22. 2051-2061.
4. Koul H.L. Asymptotics of some estimators and sequential residual empiricals in nonlinear time series // Ann. Statist. 1996. 24, N 1. 380-404.
5. Болдин М.В. О последовательных остаточных эмпирических процессах в ARCH модели // Успехи матем. наук. 2002. 57, вып. 2. 185-186.
6. Boldin M.V. On median estimates and tests in autoregressive models // Math. Methods Statist. 1994. 3, N 2. 435-448.
7. Болдин М.В. Об оценке наименьших модулей в нестационарной авторегрессии и проверке стационарности // Теория вероятностей и ее применения. 1996. 41, № 2. 409-417.
8. Martin R.D., Yohai V.J. Influence functionals for time series // Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.
9. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.
10. Парджанадзе А.М. Функциональные предельные теоремы в задаче апостериорного обнаружения разладки // Теория вероятностей и ее применения. 1986. 31, № 2. 408-411.
Поступила в редакцию 04.04.2007
УДК 517-9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Т. Ю. Семенова
1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу:
ё1у(7(х)Уь) = Q(x,v)+F(х,ь, Уь), х <Е О, (.)
V = Т (1)
где О — ограниченная область в И,"" с кусочно-гладкой границей дО. Решение этой задачи будем рассматривать в классе При этом функция т € Ьд(дС1), где д ^ 2 при п > 2 и д < оо при п = 2 (см. [1]).
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) Q(x, у) — неубывающая по у функция;
2) Р принадлежит классу С\Ъ\р1 по у и классу С2Ыр1 по Уу;
3) ^(х) — симметричная матрица размера п х п с элементами из Ь\(О), положительно определенная для х € О; ее собственные числа отделены от нуля числом ^0 > 0.
Если 7(х) = Е, то 70 = 1, а ё1у(7(х)У) — оператор Лапласа.
Как известно (см., например, [1-3]), в зависимости от того, каковы функции Q, Р и т, задача (1) может иметь или не иметь решение из рассматриваемого класса. Единственности решения в общем случае тоже нет (см., например, [4]). Естественно, возникает вопрос о том, как в случае отсутствия единственности решения выделить то или иное решение в терминах его принадлежности множеству линий уровня некоторого дополнительного набора функционалов. Этот вопрос в отношении разных задач математической физики изучался в целом ряде работ (см., например, [5-9]).
В данной работе для задачи (1) мы будем рассматривать функционалы
Р (у) = (ь,р) ^ у(х) ■ р(х)йх , где р € Ь2 (О). ./п
Р : у ^ Р(у) = (у, р) = у(х) ■ р(х)йх , где р €
п
В работе устанавливается, что функция и = У\ — У2, являющаяся разностью двух решений, принадлежит множеству
Ыо = {и € Щ1, \\УЩ2 < С\\и\\Ъ}, при этом величина С зависит лишь от констант Липшица функции Р по и и по Уи, а также от константы эллиптичности оператора у ^ ё1у(7(х)Уу). Таким образом, вопрос сводится к нахождению таких функционалов Р1,... ,РМ, для которых равенства Р1(и) = ■ ■■ = Рм(и) = 0 для функции и € Ыо влекут равенство и = 0, т.е. единственность решения исходной задачи. Такой набор функционалов назовем определяющим (см. также [7]).
Среди определяющих наборов можно выделить минимальный по числу своих элементов. Используя идеи работы [5], показываем (см. следствие 2), что таким минимальным набором функционалов является определяющий набор функционалов вида (у,ф±), где г = 1,...,Б, Б = Б (С), а ^ — собственные функ-
о
ции оператора Лапласа А : Ш2 ^ соответствующие первым собственным значениям. Несмотря
на замечательное свойство минимальности числа элементов, такой набор функционалов может оказаться неудобным, поскольку он требует знания решения во всей области О. Поэтому в работе изучается возможность выделения решения с помощью "локальных" функционалов, построенных по функциям р с малым носителем. Доказываются критерий для одного определяющего функционала и необходимое условие на определяющий набор функционалов Р1,..., Рм. Также показывается, что по крайней мере в случае, когда область О является квадратом, число N в определяющем наборе таких локальных функционалов асимптотически равно 2Б при Б ^ то.
2. Формулировки и доказательства основных результатов. Теорема 1. Функция и = У1 — У2, являющаяся разностью двух решений задачи (1), принадлежит множеству
Ыо = {и € Щ1, \\УЩ2 < С\\Щ2},
где постоянная С = С {с 1,62,70) = ^С2+*У/^2+4т/°С1 ^ зависит от исходного уравнения.
о
Доказательство. Функция и = У1 — У2 принадлежит классу и удовлетворяет следующему равенству: ё1у(7(х)Уи) = Q(x,y1) — Q(x,y2) + Р(х,у1, Уу1 ) — Р(х,у2, Уу2). Домножив обе части равенства на и и проинтегрировав по О, получим
/ &\у(^(х)Уи)ийх = ^(х,у-[_) — Q(x,y2))udx + (Р(х,у1, Уу1) — Р(х,у2, Уь2))ийх. п п п
Интеграл в левой части преобразуется к виду — У и, ^(х)Уи)с!х. Далее, в силу свойств, наложенных на 7, Q и Р, имеем
70\\Уи\\2 ^ / (Уu,Y(x)Уu)dx = — ^(х,у1) — Q(x,v2 ))udx — (Р (х,у1, Уу1) — Р (х,у2, Уу2 ))udx ^ п п п
^ — ^(х,ь1, Уь1) — F(х,ь2, Уь2))пйх ^ / \F(х,ь1, Уь1) — F(х,ь2, Уь1)||щ| йх + / \F(х,ь2, Уь1) — ,'п ,'п ,'п
—F(х,ь2, Уь2)\\п\ йх ^ сЛ \п\2йх + с2 \Уп\\п\ йх ^ с^ЩЦ2 + с2||Уп||2 ||п||2. Из этого неравенства, если положить г = ^У^ ^ 0, получаем неравенство 7о<г2 — с2г — С\ ^ 0. Отсюда
доказана.
Пусть 0 < Xi ^ Х2 ^ ■■■ — собственные значения задачи Штурма-Лиувилля
-г ^ Таким образом, ||Vm||| ^ С||гл|||, где С = C(ci,c2,7o) = ^ _ Теорема
начения зад
(Ли = -X ■ и, (2)
\и\дп = 0, ()
а Vi,V2, ■■■ — соответствующие им собственные функции (собственное значение Xk пишется столько раз, сколько линейно независимых собственных функций ему соответствует). Понятно, что если C < Xi, то Uc содержит только функцию, равную нулю в области Q.
Теорема 2. Пусть Xi ^ C < X2 и и Е Uc ■ Функционал P(u) = (u,p) будет определяющим функцио-
го р2
налом тогда и только тогда, когда ^ л ]_с < 0, где pj — коэффициенты Фурье функции р(х) по системе
j=i j
собственных функций задачи (2). Если C = Xi, то необходимым и достаточным условием будет условие Pi = 0.
Доказательство. Поскольку и Е Uc , то для коэффициентов Uj разложения функции и по собствен-
го го
ным функциям задачи (2) имеем неравенство ^ Xjи2 ^ C ■ ^ и2. Обозначим Kj = Xj — C. При этом
j=i j j=i
Ki ^ 0 < k2 ^ k3 ^ ■■■.
Рассмотрим следующую экстремальную задачу:
го
У^ и2 ^ sup, j=i
го го
Kj и2 ^ 0 (и Е Uc ), j^Pj и-j = 0 ((P, и) = 0) j=i j=i Функционал P будет определяющим тогда и только тогда, когда два последних условия эквивалентны условию ui = и2 = ■■■ =0, т.е. экстремальное значение в этой задаче равно нулю.
При Ki =0 (когда Xi = C) утверждение теоремы очевидно. Пусть Ki = 0. Функция Лагранжа задачи
го го го
равна С, = — 7} и2 -{- т; + ^ S Pjuj- Необходимым условием экстремума является равенство
j=i j=i j=i
го
Uj(1 — /Kj) = Xpj. Отсюда для Uj, удовлетворяющих необходимому условию, получаем ^ и2(1 — /Kj) = 0,
j=i
2 2 2
го го го
J2 и2 = /^2 Kj и2. Теперь если ^ Kj и2 = 0 или / = 0, то u1 = и2 = ■■■ =0. Рассмотрим случай j=i j=i j=i
00
^2 К3п2 < 0 и ц < 03 = 1
Если /л = то необходимому условию экстремума удовлетворяют следующие Uj: и\ любое, и2 = П3 = ••• =0- Тогда р1 =0 и конечного экстремума задача не имеет.
д. р2
Если /л ф то и^ = -[^¿т-- Получаем Л ^2 ■ = 0- Поскольку ^2 < 0, то А / 0. Значит,
3 3=1 3 3=1
Ж р2 1
^2 1_3к. = 0. Последнее уравнение имеет отрицательное решение из промежутка [—оо, —) тогда и только
3=1 3
Ж р2
тогда, когда ^ — ^ 0. Таким образом, необходимое и достаточное условие равенства нулю экстремаль-3=1 Кз
Ж р2
ного значения в рассматриваемой задаче есть условие ^ — < 0. Теорема доказана.
3=1 Кз
Пример. Рассмотрим область О = [0; 1]2 С И2. Собственными числами задачи Штурма-Лиувилля являются Хк,т = п2(к2 + т2), к = 1, 2,... , т = 1, 2,... , а собственными функциями — функции фит = 2§,\пикх ■ зтиту. В качестве семейства функционалов возьмем Р(и) = ^(и, где х$ — характеристическая функция квадрата, содержащегося в области О, со стороной Н и центром в точке в = (х,у). Вычислив коэффициенты Фурье для хНн и оценив их, из теоремы 2 можно получить
Следствие 1. Пусть О = [0; 1]2, А1 = 2п2 < С < 5п2 = Х2 и и €Ыо■ Если в = (х,у) € [Н/2;1 — Н/2] х [Н/2; 1 — Н/2] П Оно, где
( . 2 . 2 С — 2п2 . г ^ 1 ^ п4Н4/16
С^ = (В1П £ к2т2{,2{к2 + т2)-СУ 22 ,2{к2+ш2)-С
2 (КтШ 1.1) (к,т)^(1,1) У '
то Р(и) = ^(и,х$) ~ определяющий функционал.
Таким образом, по фиксированному Н можно определить допустимое местоположение центра в и наоборот.
Например, в случае в = (1/2,1/2) при помощи теоремы 2 получается такая картина: если 2п2 ^ С < С* ~ 2, б7Г2, то функционал Р(и) = ^(и,х$) будет определяющим при любом значении ¡1 € (0; 1]. При Н > Н* ~ 0, 25 функционал Р(и) будет определяющим при любом значении С, лежащем между первым и вторым собственными числами.
Теорема 3 (необходимое условие). Пусть Аs ^ С < А^+1 и и € Ыо■ Если {Рп}п—1 N — определяющий набор функционалов, то ранг матрицы {р"Л)п=1 N =1 s равен Б■
те
Доказательство. Так же как в доказательстве теоремы 2, имеем ^ Куи2 ^ 0, где Ку = Ау — С. При
з=1 '
этом к1 ^ ■ ■ ■ ^ кs ^ 0 < кs+1 ^ ....
Предположим противное: ранг матрицы А = {р")п—1 N г-1 s меньше Б, в этом случае система ли-
s
нейных уравнений А ■ (и1 ,...,us) = 0 имеет ненулевое решение и = (111 , ...,иs). Отсюда ^ и2 > 0,
г—1
s s
^ кги2 ^ 0^ рПиг = 0,п = 1,...^. Функция и = и1ф1 + ■ ■ ■ + us фS принадлежит Ыо, Рп(и) = 0,
г—1 г—1
п = 1,...^, следовательно, получаем противоречие с тем, что множество функционалов {Р"}п—1 N является определяющим. Значит, ранг матрицы А равен Б. Теорема доказана.
Следствие 2. В условиях теоремы 3 если {Р"}п—1 N — определяющий набор функционалов, то N ^ Б, причем минимальное число функционалов в определяющем наборе достигается на наборе (и,фг), г = 1,...,Б, где фг — первые Б собственных функций задачи (2).
Действительно, неравенство N ^ Б сразу следует из теоремы 3. Если иг = (и,фг) =0, г = 1,...,Б,
те те
то для выполнения условия ^ кги2 = ^ кги2 ^ 0 при 0 < кs+l ^ кs+2 ^ ... необходимо, чтобы
г—1 г—s+l
us+l = us+2 = ■ ■ ■ = 0.
При помощи теоремы 3 можно исключать из рассмотрения наборы функционалов, которые не удовлетворяют необходимому условию. Например, если для рассматриваемой выше области, являющейся квадратом, множество {Рп(и) = Х$") }п—1 N вы^Рать таким образом, что вп = (1/2,уп) для всех п
(или вп = (хп, 1/2) для всех п), то ни при каких N и Нп это множество функционалов не является определяющим при С > А2 = А3 = 5п2.
Теорема 4. Пусть О = [0;1]2, ^ С < Аs+l и и € Ыо ■ Тогда существует определяющий набор
функционалов Рп(и) = ±(и,Хеп),п = причем N = (рД + I)2 < ([^2(5 + 1)] + I)2 - 25" при
Б ^Ж).
Теорема 4 показывает, что при правильном выборе Н и центров квадратов вп число функционалов рассматриваемого вида по порядку совпадает с минимальным (т.е. порядка Б). Отметим, что в доказательстве указано, какие Н и вп можно для этого взять.
Доказательство. Для доказательства теоремы 4 нам понадобится Лемма. Для О = [0; 1]2 справедливо неравенство Аs ^ 2п2Б (Б = 2).
Для небольших значений Б неравенство можно доказать, просто выписав в порядке возрастания собственные числа. Пусть Б > 64. Обозначим а = [^Б] ^ 8. Для всех пар (к, т), таких, что к ^ а, т ^ а, верно неравенство Аи,т ^ Аа,а ^ 2п2а2. Для всех (к, т) при к = а + 1, т ^ а — 2 или к ^ а — 2, т = а + 1
имеем Ak,m ^ Aa+i,a-2 = n2(2a2 — 2a + 5) ^ 2п2a2. Также Aa+2д ^ Aa+2,2 = n2(a2 + 4a + 8) ^ 2п2a2, Ai,a+2 ^ A2,a+2 = n2(a2 + 4a + 8) ^ 2n2a2, Aa+3 д = A1,a+3 = n2(a2 + 6a + 10) ^ 2n2a2. Таким образом, мы предъявили a2 + 2(a — 2) + 6 > (a + 1)2 > S собственных значений, которые не больше 2п2a2. Значит, Xs ^ 2-/Г2а2 ^ 2тг2S. Лемма доказана.
Разобьем область Q на N = ([-^р] + I)2 квадратов со стороной h = 1 /л/N. Пусть Рп(и) = ji{u,Xe„) =
0. где 6n — центры квадратов. Предположим, что u не тождественный нуль в Q. Поскольку IlVullJ ^ C||u|2, то существует хотя бы один квадрат — обозначим его Qh, — такой, что ||Vu||2 ^ ^ Clull2, Qh, причем u не тождественный нуль в Qh. (Под || • 112, üh подразумевается норма в L2(Qh). Везде далее будем придерживаться этого обозначения.) Определим векторное поле д на квадрате Q^^ со стороной л/2 h и центром в центре Qh- Сделаем это таким образом, чтобы д = Vи вС/,и было верно равенство \\д\\2 q =
2||Vu||i>nh.
Положим 0 < е < -—-J=j--1. Обозначим через Од^)^ квадрат со стороной (1 -\-e)h
< л/2 h и центром
в центре Qh. Пусть v — бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне квадрата Q(i+e)h и единице в Qh, \v| ^ 1. Обозначим через w функцию, такую, что Vw = vg. Эта функция постоянна вне Q(i+£)h и определена с точностью до постоянной, поэтому возьмем ее так, чтобы w\dn(1+E)h = 0. В силу определения в области Qh функция w отличается от u на постоянную величину, причем udx = h ■ Р1(и) = 0, поэтому |Н|2А < |к||2А- Получаем ||Vw|||Q(i+£)fe < \\g\\l^h = = 21^||2А <
2CHuH2, Qh ^ 2CHwH2 Qh ^ 2CHwH2, ^ . Таким образом, мы предъявили функцию w, равную нулю на границе области Q(i+e)h и удовлетворяющую условию ||Vw|2 ^ ^ 2CHwH2, ^ . Функция w не может равняться нулю в Q(i+e)h, так как это в совокупности с условием f^ udx = 0 дало бы u = 0 в Qh. Поэтому 2C должно быть больше первого собственного числа задачи (2) для области Q(i+e)h. Отсюда 2С > (Щ^р^р") или N = < 1 + е)2 < ([-^р] + I)2- Противоречие. Исходное предположение неверно, и и = 0 в Q. Значит, указанный набор функционалов является определяющим. Используя лемму, получаем
N = + I)2 < + I)2 < ([лДЩТТ)} + I)2 - 25. Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Г. Царькову и всем участникам руководимого им спецсеминара по теории приближений за постоянное внимание к работе. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 06-01-00160-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А, Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.
2. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
3. Pokhozhaev S.I. Nonlinear variational problems via the fibering method // Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations / Ed. by M. Chipot. Vol. 5. Amsterdam: Elsevier, 2008. 49-209.
4. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.
5. Ладыженская О.А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. науч. семинара ЛОМИ. 1987. 163. 105-129.
6. Jones D.A., Titi E.S. Determination of the solutions of Navier-Stokes equation by finite volume element // Phys. D. 1992. 60. 165-174.
7. Чуешов И.Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем // Успехи матем. наук. 1998. 53, № 4. 77-124.
8. Царьков И.Г. Устойчивость однозначной разрешимости в некорректной задаче Дирихле // Матем. заметки. 2006. 79, № 2. 294-308.
9. Семенова Т.Ю. Приближение классов Соболева ступенчатыми функциями и единственность решений дифференциальных уравнений вида u" = F(x,u,u') // Изв. РАН. Математика. 2007. 71, № 1. 155-186.
Поступила в редакцию 04.09.2007
